2.7弧长及扇形的面积 同步练习题 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.7 弧长及扇形的面积 同步练习题 一、单选题 1．下列图形不是扇形的是（    ） A． B． C． D． 2．如果一个扇形的半径为1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为（    ） A． B． C． D． 3．半径为3、圆心角为的扇形的面积为（   ） A． B． C． D．3 4．半径为的圆中，的圆心角所对的弧长为（   ） A． B． C． D． 5．如图，为半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转，使点A恰好旋转到点C的位置．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则的长度为（    ） A． B． C． D． 7．如图，将长为的铁丝首尾相接围成半径为的扇形，则（   ） A． B． C． D． 8．如图，以含有角的三角尺的顶点B为圆心，长为半径画，交边于点D．若，则劣弧的长为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形内部有半圆弧长与扇形弧长，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 10．如图，一个半径为1的圆从位置A开始，在与它半径相同的其它3个圆上紧贴着滚动，到达B位置(这3个圆的圆心与A，B在同一直线上)时停止，该圆的圆心移动的路程为（　　） A． B．2 C． D． 二、填空题 11．已知的圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径为 ． 12．如图，菱形的三个顶点，，在上，对角线，交于点，若的半径是，则图中阴影部分的面积是 ． 13．如图，已知四边形内接于，的半径为2，，则弧的长为 （结果保留） 14．如图，量角器的直径与直角三角板的斜边重合，其中，量角器刻度线的端点与点重合，射线从处出发沿顺时针方向以每秒度的速度旋转，与量角器的半圆弧交于点，第秒时，点在量角器上对应划过的的长度是 ．（结果保留） 15．如图，同一个圆中的两条弦、相交于点．若，，则与长度之和的最小值为 ． 三、解答题 16．如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作，与的延长线交于点 (1)求证：是的切线； (2)若是的直径，的半径为，则阴影部分的面积为______． 17．如图，的网格中，每个小方格的边长为1．的三个顶点都在格点上，为的外接圆． (1)仅用无刻度的直尺在指定的网格中作图（保留作图痕迹，不写作法）． ①标出的外接圆圆心； ②在上作点，使平分； (2)的长度为______． 18．如图，是的直径，C是上一点，于点D，延长至点F，使得 (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的周长结果保留 19．如图，在中，，O是上一点，以为半径的与相切，切点为D，连接，与相交于点E． (1)求证：是的角平分线； (2)若，． ①求的半径； ②设与边的另一个交点为E，求线段、与劣弧所围成的阴影部分的图形面积．（结果保留根号和π） 20．如图，圆内接四边形，为直径，点在上，且满足，连接并延长交的延长线于点，与交于点． (1)若，的半径为，求劣弧的长． (2)如图，连接，若．求证：． (3)如图，在（）的条件下，，，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2.7 弧长及扇形的面积 同步练习题2025-2026学年苏科版九年级数学上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B D B A B A C 1．B 【分析】本题考查了扇形的定义，扇形是由一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、该图形是扇形，故该选项不符合题意； B、该图形不是扇形，故该选项符合题意； C、该图形是扇形，故该选项不符合题意； D、该图形是扇形，故该选项不符合题意； 故选：B 2．C 【分析】本题考查了弧长的有关计算． 根据弧长公式，即可求解． 【详解】∵弧长 ，其中 ，， ∴ ， 两边除以：， 即， 简化得， ∴ ． 故此扇形的圆心角为． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查求扇形的面积，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由题意，该扇形面积为：. 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了弧长公式，根据弧长公式直接计算即可求解，掌握弧长公式是解题的关键． 【详解】解：弧长， 故选：． 5．D 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算及旋转的性质，根据题意，将阴影部分的面积转化为扇形的面积，再结合扇形的面积公式进行计算即可，熟知旋转的性质及扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：如图：旋转可知， ， 则， 所以， 所以阴影部分的面积可转化为扇形的面积． 因为，， 所以扇形的面积为：，即阴影部分的面积为， 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了弧长公式、圆的切线的性质、正方形的判定，关键是找到弧所对的圆心角及半径； 连接，可得是正方形，进而圆心角，半径为，则弧长可求． 【详解】解：连接，如下图， 由题意得：是的切线， ∴， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查了扇形的面积公式的应用，能够正确运用扇形的面积公式进行计算是解题的关键． 根据扇形的面积公式弧长×半径进行列式代入数值，进行计算，即可作答． 【详解】解：由题意知，半径，弧长， ∴弧长×半径， 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查含有角的直角三角形的性质、弧长计算．明确圆心角和半径是解题的关键．由含有角的三角形可先求出半径，再由弧长公式得出劣弧的长． 【详解】解：含有角的三角尺的顶点B为圆心， ，， ，， 长为半径画，交边于点D， ， ， ， 劣弧的长为：． 故答案为：B． 9．A 【分析】本题主要考查弧长的大小比较，熟练掌握弧长公式是做题的关键．根据弧长公式作答即可． 【详解】解：设正方形的边长为， 则半圆弧长，扇形弧长， ． 故选：A． 10．C 【分析】本题考查了弧长的计算． 它从A位置开始，滚过与它相同的其他三个圆的上部，到达B位置．则该圆共滚过了3段弧长，其中有2段是半径为，圆心角为120度，1段是半径为，圆心角为60度的弧长，所以可求得． 【详解】解：如图， 路程， 故选：C． 11．6 【分析】本题考查了弧长公式． 根据弧长公式 代入已知数值求解． 【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，代入弧长公式： ， ，， 解得：． 故答案为：6． 12． 【分析】本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，根据四边形是菱形，得，即是等边三角形，根据，所以图中阴影部分的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ， 图中阴影部分的面积． 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了弧长的计算、圆周角定理、圆内接四边形的性质等知识点，掌握圆的内接四边形的性质以及弧长公式是解题的关键． 如图：连接，根据圆的内接四边形的性质可求得，再根据圆周角定理可得的的度数，再运用弧长的公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ，四边形内接于， ∴ ， 的半径为2， 弧的长为． 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了弧长的计算，圆周角定理，解题的关键是掌握相关知识．连接、，先根据直角三角形斜边上的中线性质得到，即点在以为直径的圆上，再根据圆周角定理得到，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：连接、，如图， 为量角器的直径， 为直角三角形斜边上的中线， ，即点在以为直径的圆上， ， ， ， ， 故答案为：． 15． 【分析】如图，以为边作等边，则，而，则在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，，证明，再证明，（当，，三点共线时取等号），再利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：如图，以为边作等边，则，而， ∴， ∴点在的外接圆上运动，记，所在的圆为，连接，，，， ∴，， ∴ ， ∵，（当，，三点共线时取等号）， 当时，半径最小，此时半径为， ∴此时与长度的和最小，最小值为：． 故答案为：． 16．(1)见解析 (2) 【分析】（1）设交于点，由是的直径，是的中点，得，，所以，，推导出，则，由，得，即可证明是的切线； （2）根据题意先证明四边形是正方形，再根据计算即可求解． 【详解】（1）证明：如图1，设交于点， 是的直径，是的中点， ，， ，， ，， ， ，平分， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）解：如图2， 是的直径，且的半径为2， ，， ∴四边形是矩形 又∵ ∴四边形是正方形 ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理及其推论、等腰三角形的“三线合一”、平行线的性质、切线的判定、扇形的面积公式等知识，推导出是解题的关键． 17．(1)①见详解；②见详解 (2) 【分析】本题考查了作外接圆的圆心，网格与勾股定理，正方形的判定与性质，弧长公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①先结合网格以及垂直平分线的性质，则外接圆的圆心是的垂直平分线的交点，即可作答． ②利用网格与勾股定理得出，以及，得四边形是正方形，故，即点M是的中点，再连接，所以，故平分即可作答． （2）结合正方形的性质，以及弧长公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：①的外接圆圆心，如图所示： ②在上作点，使平分，如图所示： （2）解：由（1）中的②得出四边形是正方形，， ∴， 则的长度． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查切线的判定与性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直线与圆的位置关系，扇形面积的计算，解题的关键是掌握以上知识点． （1）连接，利用等腰三角形性质得到，再根据直径所对圆周角是直角和直角三角形两锐角互余，结合已知条件推出，进而得到，从而证明与相切； （2）先根据，，求出，再根据半径相等得到最后根据弧长公式求出的长，加上和的长，得到阴影部分的周长． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 与相切； （2）解：，， ， ， △是等边三角形， ， 的长度， 阴影部分的周长为． 19．(1)见解析 (2)①；②阴影部分的图形面积为． 【分析】本题考查了切线的性质，等边对等角，度角的性质，扇形面积公式，勾股定理． （1）连接，根据切线的性质得到，进而证明，得到，根据等边对等角得到，进而得到，即可证明是的角平分线； （2）①设，根据度角的性质得到，，可得，求解即可； ②根据扇形面积公式求出，根据勾股定理求出，根据三角形面积公式求出，即可得到阴影部分的图形面积． 【详解】（1）证明：连接， ∵直线与相切， ∴． ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）①解：设，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得； ②解：在中，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴阴影总分的面积为． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理和弧长公式解答即可． （2）连接，利用圆周角定理可得，设，根据等弧或同弧所对的圆周角相等，结合内外角关系可证得，再次根据，证得，利用“”证明三角形全等即可． （3）根据，易证，再由全等的性质可得，利用勾股定理可求得的长，从而得到，、的长，根据含角的直角三角形的性质，可求得的长，再利用勾股定理依次求得、的长，从而得解． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ， 劣弧的长为． （2）证明：如图，连接， 为直径， ， 设， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ． （3）解：， ， ， ， ， 在中， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的周长为． 【点睛】本题考查了圆的有关性质，弧长公式，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $