专题09 电磁感应中的能量和动量问题模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

专题09 电磁感应中的能量与动量问题 【模型一】能量问题 【模型剖析】 1．能量的转化 (1)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，此过程中，其他形式的能转化为电能。当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能。 (2)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能。 2．常用方法 (1)利用克服安培力做功求解：能量的转化和守恒是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。 (2)利用能量守恒求解：一般是机械能与电能的转化，机械能的减少量等于电能的增加量。 (3)利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。 3．基本步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向。 (2)画出等效电路，求出回路中消耗电功率的表达式。 (3)分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到导体做功的功率的变化与回路中电功率的变化所满足的关系。 4. 计算焦耳热的三种方法 (1)电流恒定时,根据焦耳定律求解,即 ； (2)感应电流变化,可用以下方法分析: ①利用动能定理，求出克服安培力做的功 ，即 ，任何情况都适用； ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量任何情况都适用。 5. 解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功, 以及哪些形式的能量相互转化; (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。 【例题精讲】 【例1】（2025•白银区校级二模）如图所示，以O点为圆心、半径为R0的区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律为B＝kt（k为常数且k＞0）。一半径为2R0、电阻为R1的金属圆环放置于纸面内，圆环圆心在O点。则在t0时间内因磁场变化在圆环上产生的热量为（　　） A．0 B． C． D． 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：根据法拉第电磁感应定律可得产生的感应电动势为：Ek 在t0时间内因磁场变化在圆环上产生的热量为：Q 解得：Q，故B正确、ACD错误。 故选：B。 【例2】（多选）（2025春•青羊区校级期中）如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属直导轨固定，导轨间距为L，所在平面与水平面的夹角为θ＝30°，导轨间存在垂直于导轨平面、方向相反的匀强磁场，其磁感应强度的大小分别为B、B′。pp′、qq′是垂直于导轨，间距为d的磁场边界。将质量分别为m、2m的金属棒a、b垂直导轨放置，a棒与PP′的间距也为d，两棒接入导轨之间的电阻均为R，其他电阻不计。现同时将两棒由静止释放，两棒与导轨始终垂直且接触良好。t1时刻a棒经过qq′，b棒恰好经过PP′进入磁场，t2时刻b棒经过qq′。a棒运动的v﹣t图像如图乙所示，中间图线平行于横轴，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A． B．a棒刚进入磁场时的速度大小 C．0∼t1时间内，a棒上产生的焦耳热为 D．t2时刻，a、b两棒的距离为 【推理过程】 【答案】AB 【解答】解：BC．对a棒从开始到刚进入磁场过程根据机械能守恒可得： 解得a棒刚进入磁场时的速度为： 0～t1时间内，根据能量守恒可得： 由于两棒接入导轨之间的电阻相等，故a棒上产生的焦耳热为： 联立解得： 故B正确，C错误； A．设初始时两棒间的距离为Δx，t1时刻a棒经过qq′，b棒恰好经过pp′进入磁场，在0～t1时间内a棒先做匀加速运动，进入磁场后做匀速运动，b棒一直做加速度大小为gsin30°的匀加速运动，根据运动学公式，对a棒有 根据位移—时间公式，对b棒有： 联立解得初始时两棒间的距离： 设b棒刚好经过pp′进入磁场时的速度为vb，由速度—位移公式有： 解得b棒刚好经过pp′进入磁场时的速度为 根据图像可知，a棒在t1～t2时间内做匀速运动，受力分析可知a棒在两区域磁场中时受到的安培力相等，由于a棒经过qq′后的一段时间后仍做匀速运动，故可知该段时间内电路中的电流不变，故该段时间内两棒均做匀速运动，两棒切割磁感线产生的感应电动势相互叠加，则有 根据安培力表达式，此时a棒受到的安培力为 0～t1时间内对a棒受到的安培力为： 又由F1＝F2， 联立解得磁感应强度的大小之比为： 故A正确； D．b棒在磁感应强度为B的磁场中运动的时间满足： 该段时间a棒运动的位移满足： 故t2时刻两棒间距离为，故D错误。 故选：AB。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•河南模拟）如图，在磁感应强度大小为0.5T、方向水平向左的匀强磁场中，固定有两个导轨半径均为0.5m的平行圆弧导轨ad、bc，间距为0.4m，电阻不计；c、d两端与阻值为0.2Ω的电阻R和理想电压表连接。现有一长为0.4m、阻值为0.2Ω、质量为1kg的导体棒AC，从导轨的最高处cd在方向始终沿圆弧导轨的切线方向的拉力作用下，以2m/s的速率沿导轨向下做匀速圆周运动到ab处。取g＝10m/s2。导体棒从cd处运动到ab处的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导体棒刚过cd处时通过导体棒中的电流方向沿AC方向 B．电压表的示数为0.20V C．导体棒中产生的焦耳热为 D．导体棒刚到达ab时对导轨的压力大小为18.2N 【变式训练2】（2025•宜秀区校级模拟）如图所示，两光滑金属轨道平行固定在水平面上，右端连接阻值为R的电阻，一根电阻为r的金属棒垂直放置在轨道上与绝缘弹簧拴接在一起，弹簧另一端固定。开始时金属棒处于O位置，弹簧处于原长，如果将弹簧拉到M处由静止释放，运动到最左端N处时金属棒的速度为0。已知（OM＝x0，弹簧的劲度系数为k，不计金属轨道的电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒第一次运动到O处时速度最大 B．金属棒在M处加速度大小等于在N处加速度大小 C．金属棒由M向N运动的过程中通过R的电流一直增大 D．金属棒最终停下时，金属棒上产生的热量为 【变式训练3】（多选）（2025•广东开学）如图，竖直平面内固定有半径分别为L与2L的半圆形金属导轨PQ、MN，两者圆心均在O点，Q、N间接有电阻R（体积可忽略），导轨右端有一圆心角为30°的扇环状匀强磁场，磁感应强度大小为B。长3L的轻质导体棒可以绕O点在竖直面内自由转动，转动过程导体棒与金属导轨接触良好。现将导体棒拉至水平位置自由释放，已知导体棒末端固定质量为m的绝缘小球，重力加速度大小为g，导体棒质量、导体棒与金属导轨的摩擦、导体棒与导轨电阻、空气阻力均忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．导体棒第一次进入磁场瞬间，Q、N间电势差为 B．导体棒第一次进入磁场瞬间，Q、N间电势差为 C．最终电阻R上产生的焦耳热为mgL D．最终电阻R上产生的焦耳热为mgL 【模型二】 动量问题 【模型剖析】 1. 适用条件:当题目中涉及速度 、电荷量 、运动时间 、运动位移 时用动量定理求解更方便。 2.分析思路: 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时, 安培力的冲量为: ; 通过导体棒或金属框的电荷量为: ; 磁通量变化量: 。 如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力,则 . 【例题精讲】 【例1】（2025春•重庆校级月考）如图，间距为L的光滑平行金属导轨，水平置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的金属杆在水平外力的作用下以速度v0向右匀速运动，其内部自由电子沿杆定向移动速率为u0。设在金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。某时刻撤去外力，一段时间后电子沿杆速率变为。在这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，金属杆以速度v0向右做匀速直线运动时产生的感应电流为I。 由电流的微观表达式有I＝nSeu0 金属棒切割磁感线产生的感应电流为 联立解得 当自由电子沿金属杆定向移动的速率 可得金属杆的速度 以金属杆为研究对象，金属杆的速度由v0变到的过程，取向右为正方向，由动量定理得 设在这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为d，根据电流的微观表达式可得 又 联立解得，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•河南模拟）如图所示，质量为m的金属杆垂直放置在足够长的光滑水平导轨上，接入电路的有效长度为L，导轨处在磁感应强度大小为B，方向与导轨所在的平面间夹角为53°斜向上的匀强磁场中，整个回路的电阻恒为R，现给金属杆施加水平向右的恒定拉力由静止开始运动，最终以速度v0匀速运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．水平导轨对金属杆的支持力大小始终为mg B．水平向右的恒定拉力为 C．金属杆克服安培力的最大功率为 D．若金属杆从静止到刚匀速运动时的位移为L，则这段运动时间为 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：A、当金属杆速度为v时，由E＝BLvsin53°、、F安＝BIL可得金属杆受到的安培力大小为 由左手定则可知安培力斜向左下方与水平方向的夹角成37°，把安培力分别沿水平方向和竖直方向分解，竖直方向由平衡条件可得 可知，在金属杆的速度逐渐增大的过程中，水平导轨对金属杆的支持力逐渐增大，故A错误； B、当金属杆以速度v0匀速运动，水平方向由平衡条件可得，故B正确； C、金属杆克服安培力的最大功率为，故C错误； D、由法拉第电磁感应定律可得 由闭合电路欧姆定律可得 由电流的定义可得 联立可得 金属杆从静止到匀速运动的位移为L，则有ΔΦ＝BL2sin53° 综合可得 取水平向右为正方向，由动量定理可得 Ft﹣BLcos37°•t＝mv0 结合qt，综合可得Ft﹣BLqcos37°＝mv0 解得，故D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•福田区校级月考）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法不正确的是（　　） A．ab杆将做加速度减小的减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 【变式训练2】（2025•望城区校级一模）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　） A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加 B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的 C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 【变式训练3】（多选）（2025春•亳州期末）在水平地面上，固定着两条足够长且平行的光滑金属导轨，导轨间距L＝1m。整个空间存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。导轨上静置着两个导体棒a、b，其质量分别为ma＝0.1kg、mb＝0.3kg，电阻分别为Ra＝1Ω、Rb＝3Ω。在t＝0时刻，对导体棒a施加水平方向的外力F1使其向右运动，同时，对导体棒b施加水平外力F2使b始终保持静止。当t＝2s时，导体棒a速度为v0＝8m/s，此刻同时撤去外力F1和F2。已知导体棒a、b的长度与导轨间距相等，且始终与导轨保持良好接触，不计导轨电阻及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．撤去外力后，导体棒b先做加速运动，再做减速运动，最终停止运动 B．t＝2s时，回路电流为2A C．撤去外力后，导体棒b所能达到的最大速度为4m/s D．从撤去外力到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为0.6J 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•上城区校级期中）如图所示，光滑水平金属导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．ab和cd组成的系统动量守恒 B．两棒最终以相同的速度做匀速直线运动 C．cd最终的速度为 D．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 2．（2024•泉州模拟）如图，在水平面上有两条光滑平行导电导轨，匀强磁场垂直于导轨所在的平面，磁感应强度的大小为B，两根材质相同、长度相等的金属杆P、Q间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，杆P质量是杆Q的两倍，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计。杆P以初速度v0滑向杆Q，为使两杆不相碰，则杆Q固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 3．（2023•池州二模）如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为θ，导体棒ab、cd用绝缘细线栓连，处于水平状态（未画出）。在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出），磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒ab、cd接入电路的电阻分别为R和2R，剪断细线，经t时间ab达到最大速度，已知导体棒ab质量为2m，导体棒cd质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，ab与cd速度大小之比为1：1 B．ab的最大速度为 C．在0到t时间内，流过ab的电荷量为 D．在0到t时间内，ab上滑的距离为 4．（2025春•青秀区校级期中）如图所示，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。则从开始到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 5．（2025•滁州模拟）如图甲所示，一长直U形金属导轨在水平面内固定放置，导轨间距为L，电阻不计，在导轨的左端接有一个阻值为R的电阻。质量为m的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨之间的动摩擦因数为μ，接入电路中的电阻为R。整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场。在t＝0时刻，对金属棒施加一个水平拉力F，F随时间变化的图像如图乙所示，金属棒运动过程中与导轨接触良好。在t＝2t0时刻金属棒的速度达到最大值。已知重力加速度为g，假设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．金属棒的最大速度为 B．在0～2t0时间内摩擦力的冲量大小为2μmgt0 C．在0～2t0时间内金属棒的位移大小为 D．在0～2t0时间内通过金属棒的电荷量为 6．（2025•广东开学）如图所示，竖直平面内固定有一光滑导电轨道abedc，其中ab和cd为竖直轨道，bed为半圆弧轨道。半圆弧轨道直径为D，最低点e处接有一体积可忽略不计、阻值为R的电阻，有一光滑细长钉子垂直轨道平面于圆心O点。两个质量均为m的带孔导体小球分别穿在两竖直轨道上（小球孔径略大于轨道直径），小球之间接有一条长度为D且不可伸长的轻质软导线。整个装置处在磁感应强度大小为B，方向水平向里的匀强磁场中。将两小球同时从距离圆心高度为H处无初速度释放，小球进入半圆弧轨道前已经做匀速运动。已知重力加速度为g，各连接点接触良好形成电流回路，除R外其余电阻均不计，则以下说法正确的是（　　） A．小球在竖直轨道上运动的最大速度为 B．小球在竖直轨道运动过程，电阻R产生的焦耳热为2mgH C．小球刚进入圆弧瞬间，回路电流大小为 D．从释放小球到小球抵达最低点过程，流经电阻R中的电量为 7．（2023秋•海南期末）如图所示，光滑水平面的上方存在一宽度为l、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一个阻值为R的正方形金属线圈边长为l，线圈在磁场左方某一位置处在恒力F作用下从静止开始运动，保持线圈平面与磁场方向垂直，线圈能匀速进入磁场，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．线圈进、出磁场过程中感应电流均沿逆时针方向 B．线圈进、出磁场过程中安培力方向相反 C．线圈出磁场过程中速度逐渐减小 D．线圈在进入磁场和穿出磁场过程中产生的焦耳热之和为2Fl 8．（2025•选择性模拟）如图甲所示，倾角为α、宽度为l、电阻不计的光滑平行金属轨道足够长，整个装置处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中。轨道上端的定值电阻阻值为R，金属杆MN的电阻为r，质量为m。将金属杆MN由静止释放，杆始终与轨道垂直且接触良好。通过数据采集器得到电流i随时间t的变化关系如图乙所示。当金属杆下滑的位移为x时，可认为电流达到最大值i1。已知t0时刻的电流为i0，重力加速度为g，下列说法中不正确的是（　　） A．磁感应强度的大小 B．t0时刻金属杆的加速度大小 C．金属杆的最大速度大小 D．杆下滑位移为x的过程中，电阻R产生的焦耳热 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025•广西模拟）如图甲所示，某仪器平台悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在O′点。为保持平台的稳定，需要在下方安装减振装置。减振装置由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的一个线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图乙所示。已知t＝0时速度为v0，方向向下，t1、t2时刻的振幅分别为A1，A2。平台和线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，线圈半径为r、电阻为R。已知，当弹簧形变量为Δx时，其弹性势能为。不计空气阻力，g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，线圈中的感应电流为 B．t＝0时，线圈所受安培力大小为 C．在t1～t2时间内，线圈产生的焦耳热为 D．在t1～t2时间内，弹簧弹力冲量大小为|| （多选）10．（2025•鹤壁开学）如图所示，间距为L的足够长平行直导轨固定在绝缘水平面上，两导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，垂直于导轨的虚线MN左侧导轨光滑、右侧导轨粗糙，质量均为m的金属棒ab、cd分别垂直放置在MN左右两侧的导轨上，均处于静止状态，金属棒cd与导轨间的动摩擦因数为μ，给金属棒ab施加平行于导轨的大小恒为F（F＞μmg）的外力，使金属棒ab从静止开始水平向右运动，当金属棒ab运动距离为x时，金属棒cd恰好开始运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两金属棒在此后的运动中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，金属棒ab始终在MN左侧运动，忽略导轨的电阻，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．金属棒cd中的感应电流方向从c到d B．当cd棒刚要滑动时，ab棒的速度大小为 C．从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中，cd中产生的焦耳热为 D．金属棒ab和cd最终的速度差为 （多选）11．（2025•市中区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Oy竖直向下，Ox水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照B＝kx（k＞0且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度v0沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直 B．导线框下落高度为h时的速度小于 C．整个过程中导线框中产生的热量为 D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•北仑区校级期中）如图甲所示，间距L＝1m的足够长倾斜导轨倾角θ＝37°，导轨顶端连接阻值R＝1Ω的电阻，MN左侧存在一面积S＝0.6m2的圆形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向下，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，MN右侧存在着方向垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B1＝1T，一长L＝1m、电阻r＝1Ω的金属棒ab与导轨垂直放置，EF左侧导轨均光滑，EF右侧导轨与金属棒间的动摩擦因数μ＝0.8，已知t＝0至t＝0.1s，金属棒ab恰好能静止在导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，且在经过EF前速度已经稳定，最后停止在导轨上，不计导轨电阻与其他阻力，金属棒始终与导轨接触良好，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）0～0.1s内流过电阻的电流和金属棒ab的质量； （2）金属棒ab经过EF时的速度大小； （3）若金属棒ab经过EF后至停止的过程中通过电阻R的电荷量为q＝2.5C，求在此过程中电阻R上产生的焦耳热。 13．（2024秋•深圳期末）如图所示，两光滑平行金属导轨abc和efg固定，间距L＝1m，其中ab、ef是半径为R＝0.8m的四分之一圆弧导轨，bc、fg是与圆弧轨道相切的水平导轨，水平导轨所在的区域有磁感应强度大小为B＝1T，方向竖直向上的匀强磁场。初始时刻，质量为mQ＝1kg的金属棒Q与水平导轨垂直放置，与bf之间的距离为d＝1.5m。现将另一根质量为mP＝3kg的金属棒P从ae位置由静止释放。已知P、Q接入电路的电阻分别为rP＝0.1Ω、rQ＝0.3Ω，P、Q运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，导轨长度无限长，取重力加速度g＝10m/s2。求： （1）P进入磁场瞬间，Q的加速度大小； （2）从P进入磁场到速度恒定的过程中，Q上产生的焦耳热； （3）P、Q之间的最小距离。 14．（2025秋•崂山区校级期中）如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直且垂直纸面向里。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放，导体棒进入磁场后做减速运动最终匀速运动。导体棒整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g。 （1）求导体棒运动过程中的最大电流； （2）匀速运动的速度大小； （3）若已知导体棒从静止开始至在磁场中最小速度过程中通过的电荷量为q，求此过程回路中产生的焦耳热。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 电磁感应中的能量与动量问题 【模型一】能量问题 【模型剖析】 1．能量的转化 (1)电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，此过程中，其他形式的能转化为电能。当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能。 (2)“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能。同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功，就有多少电能转化为其他形式的能。 2．常用方法 (1)利用克服安培力做功求解：能量的转化和守恒是通过做功来实现的，在电磁感应中要注意，安培力做的功是电能与其他形式的能相互转化的桥梁。 (2)利用能量守恒求解：一般是机械能与电能的转化，机械能的减少量等于电能的增加量。 (3)利用电路特征求解：即利用电功、电热求解电能。 3．基本步骤 (1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律确定感应电动势的大小和方向。 (2)画出等效电路，求出回路中消耗电功率的表达式。 (3)分析导体机械能的变化，用能量守恒定律得到导体做功的功率的变化与回路中电功率的变化所满足的关系。 4. 计算焦耳热的三种方法 (1)电流恒定时,根据焦耳定律求解,即 ； (2)感应电流变化,可用以下方法分析: ①利用动能定理，求出克服安培力做的功 ，即 ，任何情况都适用； ②利用能量守恒定律，焦耳热等于其他形式能量的减少量任何情况都适用。 5. 解题的一般步骤 (1)确定研究对象(导体棒或回路)； (2)弄清电磁感应过程中哪些力做功, 以及哪些形式的能量相互转化; (3)根据功能关系或能量守恒定律列式求解。 【例题精讲】 【例1】（2025•白银区校级二模）如图所示，以O点为圆心、半径为R0的区域存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度随时间变化的规律为B＝kt（k为常数且k＞0）。一半径为2R0、电阻为R1的金属圆环放置于纸面内，圆环圆心在O点。则在t0时间内因磁场变化在圆环上产生的热量为（　　） A．0 B． C． D． 【推理过程】 【答案】B 【解答】解：根据法拉第电磁感应定律可得产生的感应电动势为：Ek 在t0时间内因磁场变化在圆环上产生的热量为：Q 解得：Q，故B正确、ACD错误。 故选：B。 【例2】（多选）（2025春•青羊区校级期中）如图甲所示，两根足够长的光滑平行金属直导轨固定，导轨间距为L，所在平面与水平面的夹角为θ＝30°，导轨间存在垂直于导轨平面、方向相反的匀强磁场，其磁感应强度的大小分别为B、B′。pp′、qq′是垂直于导轨，间距为d的磁场边界。将质量分别为m、2m的金属棒a、b垂直导轨放置，a棒与PP′的间距也为d，两棒接入导轨之间的电阻均为R，其他电阻不计。现同时将两棒由静止释放，两棒与导轨始终垂直且接触良好。t1时刻a棒经过qq′，b棒恰好经过PP′进入磁场，t2时刻b棒经过qq′。a棒运动的v﹣t图像如图乙所示，中间图线平行于横轴，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A． B．a棒刚进入磁场时的速度大小 C．0∼t1时间内，a棒上产生的焦耳热为 D．t2时刻，a、b两棒的距离为 【推理过程】 【答案】AB 【解答】解：BC．对a棒从开始到刚进入磁场过程根据机械能守恒可得： 解得a棒刚进入磁场时的速度为： 0～t1时间内，根据能量守恒可得： 由于两棒接入导轨之间的电阻相等，故a棒上产生的焦耳热为： 联立解得： 故B正确，C错误； A．设初始时两棒间的距离为Δx，t1时刻a棒经过qq′，b棒恰好经过pp′进入磁场，在0～t1时间内a棒先做匀加速运动，进入磁场后做匀速运动，b棒一直做加速度大小为gsin30°的匀加速运动，根据运动学公式，对a棒有 根据位移—时间公式，对b棒有： 联立解得初始时两棒间的距离： 设b棒刚好经过pp′进入磁场时的速度为vb，由速度—位移公式有： 解得b棒刚好经过pp′进入磁场时的速度为 根据图像可知，a棒在t1～t2时间内做匀速运动，受力分析可知a棒在两区域磁场中时受到的安培力相等，由于a棒经过qq′后的一段时间后仍做匀速运动，故可知该段时间内电路中的电流不变，故该段时间内两棒均做匀速运动，两棒切割磁感线产生的感应电动势相互叠加，则有 根据安培力表达式，此时a棒受到的安培力为 0～t1时间内对a棒受到的安培力为： 又由F1＝F2， 联立解得磁感应强度的大小之比为： 故A正确； D．b棒在磁感应强度为B的磁场中运动的时间满足： 该段时间a棒运动的位移满足： 故t2时刻两棒间距离为，故D错误。 故选：AB。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•河南模拟）如图，在磁感应强度大小为0.5T、方向水平向左的匀强磁场中，固定有两个导轨半径均为0.5m的平行圆弧导轨ad、bc，间距为0.4m，电阻不计；c、d两端与阻值为0.2Ω的电阻R和理想电压表连接。现有一长为0.4m、阻值为0.2Ω、质量为1kg的导体棒AC，从导轨的最高处cd在方向始终沿圆弧导轨的切线方向的拉力作用下，以2m/s的速率沿导轨向下做匀速圆周运动到ab处。取g＝10m/s2。导体棒从cd处运动到ab处的过程中，下列说法正确的是（　　） A．导体棒刚过cd处时通过导体棒中的电流方向沿AC方向 B．电压表的示数为0.20V C．导体棒中产生的焦耳热为 D．导体棒刚到达ab时对导轨的压力大小为18.2N 【答案】C 【解答】解：A、根据右手定则可知，导体棒刚过cd处时通过导体棒中的电流方向沿CA方向，故A错误； B、t时刻导体棒产生的感应电动势e＝BLvcosωt 其中 即得e＝BLvcos（t） 代入数据可得e＝0.4cos4t（V） t时刻的感应电流iA＝cos4tA 感应电流的有效值IAA 则电压表示数U＝IR0.2V≈0.14V，故B错误； C、导体棒中产生的焦耳热为Q＝I2R•，解得QJ，故C正确； D、设导体棒刚到达ab时受到导轨的支持力大小为N，则有 解得N＝18N 根据牛顿第三定律，导体棒刚到达ab时对导轨的压力大小为18N，故D错误。 故选：C。 【变式训练2】（2025•宜秀区校级模拟）如图所示，两光滑金属轨道平行固定在水平面上，右端连接阻值为R的电阻，一根电阻为r的金属棒垂直放置在轨道上与绝缘弹簧拴接在一起，弹簧另一端固定。开始时金属棒处于O位置，弹簧处于原长，如果将弹簧拉到M处由静止释放，运动到最左端N处时金属棒的速度为0。已知（OM＝x0，弹簧的劲度系数为k，不计金属轨道的电阻，下列说法正确的是（　　） A．金属棒第一次运动到O处时速度最大 B．金属棒在M处加速度大小等于在N处加速度大小 C．金属棒由M向N运动的过程中通过R的电流一直增大 D．金属棒最终停下时，金属棒上产生的热量为 【答案】D 【解答】解：A、金属棒第一次运动到O处弹簧弹力为0，此时有向右的安培力，加速度向右，已经在做减速运动了，因此速度不是最大，故A 错误； B、由于金属棒由M向N运动过程中安培力做功，机械能损耗，则M处弹性势能大于N处弹性势能，那么ON＜OM，又由于在M、N两处速度为0安培力为0，合力就是弹簧弹力，则金属棒在M处加速度大于在N处加速度，故B错误； C、金属棒由M向N运动过程中先加速再减速，根据E＝BLv可知，感应电动势先增大后减小，根据闭合电路欧姆定律可知，通过R的电流先增大后减小，故C错误； D、金属棒最终停下时，弹簧处于原长。在整个过程中弹簧弹性势能全部转化为焦耳热，金属棒与电阻串联，热量与电阻成正比，则：Qr 弹簧弹力做功大小等于减小的弹性势能，则释放的弹性势能为： 解得金属棒上产生的热量为；Qr，故D正确。 故选：D。 【变式训练3】（多选）（2025•广东开学）如图，竖直平面内固定有半径分别为L与2L的半圆形金属导轨PQ、MN，两者圆心均在O点，Q、N间接有电阻R（体积可忽略），导轨右端有一圆心角为30°的扇环状匀强磁场，磁感应强度大小为B。长3L的轻质导体棒可以绕O点在竖直面内自由转动，转动过程导体棒与金属导轨接触良好。现将导体棒拉至水平位置自由释放，已知导体棒末端固定质量为m的绝缘小球，重力加速度大小为g，导体棒质量、导体棒与金属导轨的摩擦、导体棒与导轨电阻、空气阻力均忽略不计。下列说法正确的是（　　） A．导体棒第一次进入磁场瞬间，Q、N间电势差为 B．导体棒第一次进入磁场瞬间，Q、N间电势差为 C．最终电阻R上产生的焦耳热为mgL D．最终电阻R上产生的焦耳热为mgL 【答案】BD 【解答】解：AB．导体棒从自由释放到准备切割磁感线的过程中，小球能量守恒，减少的重力势能转化为动能，则根据能量守恒有 解得速度为 根据切割部位可以算得切割的平均速率为 则导体棒第一次进入磁场瞬间，动生电动势满足 由于只有Q、N间的电阻，其电压等于电动势，故A错误、B正确； CD．最终导体棒做刚好不进入扇环状匀强磁场，在其下方来回摆动的运动。全过程减少的重力势能都转化为电阻上的焦耳热，则根据能量守恒，最终电阻R上产生的焦耳热为： 故C错误、D正确。 故选：BD。 【模型二】 动量问题 【模型剖析】 1. 适用条件:当题目中涉及速度 、电荷量 、运动时间 、运动位移 时用动量定理求解更方便。 2.分析思路: 导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时, 安培力的冲量为: ; 通过导体棒或金属框的电荷量为: ; 磁通量变化量: 。 如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力,则 . 【例题精讲】 【例1】（2025春•重庆校级月考）如图，间距为L的光滑平行金属导轨，水平置于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中，导轨左端接有阻值为R的定值电阻。质量为m的金属杆在水平外力的作用下以速度v0向右匀速运动，其内部自由电子沿杆定向移动速率为u0。设在金属杆内做定向移动的自由电子总量保持不变，金属杆始终与导轨垂直且接触良好，除了电阻R以外不计其它电阻。某时刻撤去外力，一段时间后电子沿杆速率变为。在这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为（　　） A． B． C． D． 【推理过程】 【答案】D 【解答】解：设金属杆内单位体积的自由电子数为n，金属杆的横截面积为S，金属杆以速度v0向右做匀速直线运动时产生的感应电流为I。 由电流的微观表达式有I＝nSeu0 金属棒切割磁感线产生的感应电流为 联立解得 当自由电子沿金属杆定向移动的速率 可得金属杆的速度 以金属杆为研究对象，金属杆的速度由v0变到的过程，取向右为正方向，由动量定理得 设在这段时间内一直在金属杆内的自由电子沿杆定向移动的距离为d，根据电流的微观表达式可得 又 联立解得，故ABC错误，D正确。 故选：D。 【例2】（多选）（2025•河南模拟）如图所示，质量为m的金属杆垂直放置在足够长的光滑水平导轨上，接入电路的有效长度为L，导轨处在磁感应强度大小为B，方向与导轨所在的平面间夹角为53°斜向上的匀强磁场中，整个回路的电阻恒为R，现给金属杆施加水平向右的恒定拉力由静止开始运动，最终以速度v0匀速运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　） A．水平导轨对金属杆的支持力大小始终为mg B．水平向右的恒定拉力为 C．金属杆克服安培力的最大功率为 D．若金属杆从静止到刚匀速运动时的位移为L，则这段运动时间为 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：A、当金属杆速度为v时，由E＝BLvsin53°、、F安＝BIL可得金属杆受到的安培力大小为 由左手定则可知安培力斜向左下方与水平方向的夹角成37°，把安培力分别沿水平方向和竖直方向分解，竖直方向由平衡条件可得 可知，在金属杆的速度逐渐增大的过程中，水平导轨对金属杆的支持力逐渐增大，故A错误； B、当金属杆以速度v0匀速运动，水平方向由平衡条件可得，故B正确； C、金属杆克服安培力的最大功率为，故C错误； D、由法拉第电磁感应定律可得 由闭合电路欧姆定律可得 由电流的定义可得 联立可得 金属杆从静止到匀速运动的位移为L，则有ΔΦ＝BL2sin53° 综合可得 取水平向右为正方向，由动量定理可得 Ft﹣BLcos37°•t＝mv0 结合qt，综合可得Ft﹣BLqcos37°＝mv0 解得，故D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025春•福田区校级月考）如图所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为L，导轨电阻均可忽略不计。在M和P之间接有一阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并始终与导轨垂直且接触良好。整个装置处于方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。现给ab杆一个初速度v0，使杆向右运动，最终ab杆停止在导轨上。下列说法不正确的是（　　） A．ab杆将做加速度减小的减速运动直到静止 B．ab杆速度减为时，ab杆加速度大小为 C．ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为 D．ab杆速度减为时，ab杆通过的位移为 【答案】C 【解答】解：A、ab杆在水平方向上受到与运动方向相反的安培力，ab杆将做减速运动，其所受安培力大小为： 其加速度大小为： 由于速度减小，所以ab杆做加速度减小的减速运动直到静止，故A正确； B、当ab杆的速度减为时，根据A选项的解答，可得此时ab杆加速度大小为： ，故B正确； C、设ab杆速度减为时，通过定值电阻的电荷量为q。以向右为正方向，对ab杆，由动量定理得： ，其中： 解得：，故C错误； D、根据： 解得此过程ab杆通过的位移为：，故D正确。 此题选择错误的，故选：C。 【变式训练2】（2025•望城区校级一模）定义“另类加速度”，A不变的运动称为另类匀变速运动。若物体运动的A不变，则称物体做另类匀变速运动。如图所示，光滑水平面上一个正方形导线框以垂直于一边的速度穿过一个匀强磁场区域（磁场宽度大于线框边长）。导线框电阻不可忽略，但自感可以忽略不计。已知导线框进入磁场前速度为v1，穿出磁场后速度为v2。下列说法中正确的是（　　） A．线框在进入磁场的过程中，速度随时间均匀增加 B．线框在进入磁场的过程中，其另类加速度A是变化的 C．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 D．线框完全进入磁场后，在磁场中运动的速度为 【答案】C 【解答】解：A、线框在进入磁场的过程中，受到向左的安培力而做减速运动，线框受到的安培力大小为，可知，随着速度减小，线框受到的安培力减小，加速度减小，因此线框在进入磁场的过程中，做加速度逐渐减小的变减速直线运动，速度随时间非均匀减小，故A错误； B、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 其中 解得：，可知另类加速度A不变，故B错误； CD、线框在进入磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 线框穿出磁场的过程中，取水平向右为正方向，根据动量定理得 联立解得：，故C正确，D错误。 故选：C。 【变式训练3】（多选）（2025春•亳州期末）在水平地面上，固定着两条足够长且平行的光滑金属导轨，导轨间距L＝1m。整个空间存在垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B＝1T。导轨上静置着两个导体棒a、b，其质量分别为ma＝0.1kg、mb＝0.3kg，电阻分别为Ra＝1Ω、Rb＝3Ω。在t＝0时刻，对导体棒a施加水平方向的外力F1使其向右运动，同时，对导体棒b施加水平外力F2使b始终保持静止。当t＝2s时，导体棒a速度为v0＝8m/s，此刻同时撤去外力F1和F2。已知导体棒a、b的长度与导轨间距相等，且始终与导轨保持良好接触，不计导轨电阻及一切阻力。下列说法正确的是（　　） A．撤去外力后，导体棒b先做加速运动，再做减速运动，最终停止运动 B．t＝2s时，回路电流为2A C．撤去外力后，导体棒b所能达到的最大速度为4m/s D．从撤去外力到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为0.6J 【答案】BD 【解答】解：A、撤去外力后，回路中总电动势为E＝BLva﹣BLvb，因a做减速运动，b做加速运动，所以E减小。根据可知，电流I减小，两导体棒受到的安培力F＝BIL减小，根据牛顿第二定律得F＝ma，两棒的加速度在减小，当a、b速度相等，回路中电流为零，两棒不再受安培力，所以最终a、b两棒一起做匀速运动，故A错误； B、t＝2s时，导体棒a速度为v0＝8m/s，回路电动势为E＝BLv0＝1×1×8V＝8V，回路电流为IA＝2A，故B正确； C、撤去外力后，导体棒a、b组成的系统满足动量守恒，取向右为正方向，由动量守恒定律得mav0＝（ma+mb）v，解得v＝2m/s，即撤去外力后，导体棒b所能达到的最大速度为2m/s，故C错误； D、从撤去外力到最终稳定状态过程中，由能量守恒得Qma（ma+mb）v2，解得Q＝2.4J。因a、b串联，所以从开始运动到最终稳定状态过程中，导体棒a产生的焦耳热为QaQ，解得Qa＝0.6J，故D正确。 故选：BD。 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•上城区校级期中）如图所示，光滑水平金属导轨置于磁场中，磁场的磁感应强度为B，左侧导轨间距为L，右侧导轨间距为2L，导轨均足够长。质量为m的导体棒ab和质量为2m的导体棒cd均垂直于导轨放置，处于静止状态。ab的电阻为R，cd的电阻为2R，两棒始终在对应的导轨部分运动，两棒始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计。现给cd一水平向右的初速度v0，则此后的运动过程中，下列说法正确的是（　　） A．ab和cd组成的系统动量守恒 B．两棒最终以相同的速度做匀速直线运动 C．cd最终的速度为 D．从cd获得初速度到二者稳定运动，此过程系统产生的焦耳热为 【答案】C 【解答】解：A.导体棒ab和cd的长度不一样，所以受到的安培力大小不相等，系统合力不为零，所以导体棒ab和cd组成的系统动量不守恒，故A错误； BC.根据题意可知，当导体棒ab和cd产生的电动势相等时，两棒都做匀速直线运动，则有BLvab＝B•2Lvcd，对导体棒ab，规定水平向右为正方向，由动量定理可得，对导体棒cd，规定水平向右为正方向，由动量定理可得，联立解得vab，vcd，故B错误，C正确； D.由能量守恒定律得，整个回路产生的焦耳热Q•2mm•2m，代入解得，故D错误。 故选：C。 2．（2024•泉州模拟）如图，在水平面上有两条光滑平行导电导轨，匀强磁场垂直于导轨所在的平面，磁感应强度的大小为B，两根材质相同、长度相等的金属杆P、Q间隔一定的距离摆开放在导轨上，且与导轨垂直，杆P质量是杆Q的两倍，两杆与导轨接触良好，导轨电阻不计。杆P以初速度v0滑向杆Q，为使两杆不相碰，则杆Q固定与不固定两种情况下，最初摆放两杆时的最少距离之比为（　　） A．1：1 B．1：2 C．3：1 D．1：3 【答案】C 【解答】解：已知两金属杆材质相同、长度相等，杆P质量是杆Q的两倍，可得杆P的横截面积是杆Q的两倍，根据电阻定律，可知杆P的电阻是杆Q的，设杆P的质量为2m，电阻为R，则杆Q的质量为m，电阻为2R。 杆Q固定时，设最初摆放两杆时的最少距离为x1，这也是杆P速度减到零的距离，以向右为正方向，对杆P，根据动量定理得： ﹣BL0﹣2mv0 其中： 解得： 杆Q不固定时，设最初摆放两杆时的最少距离为x2，这也是杆P、Q的最大相对位移。杆P、Q相对运动时受到等大反向的安培力作用，两杆组成的系统所受合力为零，此系统动量守恒，最终两杆相对静止，以相同的速度做匀速直线运动，设最终两杆的速度均为v，以向右为正方向，则有： 2mv0＝（2m+m）v，解得： 以向右为正方向，对杆Q，根据动量定理得： BLmv﹣0 其中： 解得： 可得：x1：x2＝3：1，故ABD错误，C正确。 故选：C。 3．（2023•池州二模）如图所示，两足够长平行光滑固定导轨，倾角为θ，导体棒ab、cd用绝缘细线栓连，处于水平状态（未画出）。在平行于斜面向上的恒力F作用下静止于轨道，一范围足够大的匀强磁场垂直于轨道斜面（未画出），磁感应强度为B，轨道宽度为l，导体棒ab、cd接入电路的电阻分别为R和2R，剪断细线，经t时间ab达到最大速度，已知导体棒ab质量为2m，导体棒cd质量为m。下列说法正确的是（　　） A．在任意时刻，ab与cd速度大小之比为1：1 B．ab的最大速度为 C．在0到t时间内，流过ab的电荷量为 D．在0到t时间内，ab上滑的距离为 【答案】B 【解答】解：A、导体棒ab、cd组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，以沿斜面向上的方向为正方向， 根据动量守恒定律可得：2mvab﹣mvcd＝0，解得：vab：vdd＝1：2，即在任意时刻，ab与cd速度大小之比为1：2，故A错误； B、未剪断细线时，两导体棒静止，处于平衡状态，由平衡条件得：F＝3mgsinθ 导体棒ab达到最大速度时做匀速直线运动，由平衡条件得：2mgsinθ+F安培＝F 安培力F安培＝IlB＝lB 感应电动势：E＝Blvab+Blvdd 解得ab的最大速度：vab，故B正确； C、选择沿斜面向上的方向为正方向，根据动量定理可得：（F﹣2mgsinθ）t﹣BIlt＝2mvab 其中：q＝It，解得：q，故C错误； D．设在0到t时间内，ab上滑的距离为x，则cd下滑的距离为2x，可得：q，解得：x，故D错误。 故选：B。 4．（2025春•青秀区校级期中）如图所示，空间存在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场。足够长的光滑平行金属导轨水平放置，导轨左右两部分的间距分别为l、2l；质量分别为m、2m的导体棒a、b均垂直导轨放置，导体棒a接入电路的电阻为R，其余电阻均忽略不计；a、b两棒分别以v0、2v0的初速度同时向右运动，两棒在运动过程中始终与导轨垂直且保持良好接触，a总在窄轨上运动，b总在宽轨上运动，直到两棒达到稳定状态。则从开始到两棒稳定的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a棒加速度大于b棒的加速度 B．稳定时a棒的速度为1.5v0 C．电路中产生的焦耳热为 D．通过导体棒a的某一横截面的电荷量为 【答案】C 【解答】解：A、根据牛顿第二定律得 对a棒有 aa 对b棒有 ab 可知a、b棒的加速度大小相等，故A错误； B、取向右为正方向，对a、b棒，分别根据动量定理有 ﹣B•2l•Δt＝2mvb﹣2m•2v0 稳定时有 Blva＝B•2lvb 即得va＝2vb 联立解得 va＝2v0，vb＝v0，故B错误； C、由能量守恒定律可知，系统动能的损失等于焦耳热，则电路中产生的焦耳热为 ，故C正确； D、对a棒，取向右为正方向，根据动量定理可得 又 va＝2v0 联立解得通过导体棒a的某一横截面的电荷量为，故D错误。 故选：C。 5．（2025•滁州模拟）如图甲所示，一长直U形金属导轨在水平面内固定放置，导轨间距为L，电阻不计，在导轨的左端接有一个阻值为R的电阻。质量为m的金属棒ab垂直导轨放置，与导轨之间的动摩擦因数为μ，接入电路中的电阻为R。整个空间存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场。在t＝0时刻，对金属棒施加一个水平拉力F，F随时间变化的图像如图乙所示，金属棒运动过程中与导轨接触良好。在t＝2t0时刻金属棒的速度达到最大值。已知重力加速度为g，假设最大静摩擦力的大小等于滑动摩擦力。下列说法正确的是（　　） A．金属棒的最大速度为 B．在0～2t0时间内摩擦力的冲量大小为2μmgt0 C．在0～2t0时间内金属棒的位移大小为 D．在0～2t0时间内通过金属棒的电荷量为 【答案】C 【解答】解：A.对金属棒，达到最大速度时有： BIL＝F﹣μmg 又因为 F＝1.5μmg 故最大速度 故A错误； B.由图像可知，时刻， F＝μmg， 故0～时间内，物体受到静摩擦力作用，大小等于F，故在0～2t0时间内摩擦力的冲量大小 故B错误； CD.在0～2t0时间内，对导体棒，以水平向右为正方向，根据动量定理有： ∑F•t﹣∑f•t﹣∑BIL•t＝mv﹣0 其中外力F的冲量为 摩擦力的冲量为 安培力的冲量为 q为流过金属棒的电荷量，x为金属棒的位移，解得： 故C正确，D错误； 故选：C。 6．（2025•广东开学）如图所示，竖直平面内固定有一光滑导电轨道abedc，其中ab和cd为竖直轨道，bed为半圆弧轨道。半圆弧轨道直径为D，最低点e处接有一体积可忽略不计、阻值为R的电阻，有一光滑细长钉子垂直轨道平面于圆心O点。两个质量均为m的带孔导体小球分别穿在两竖直轨道上（小球孔径略大于轨道直径），小球之间接有一条长度为D且不可伸长的轻质软导线。整个装置处在磁感应强度大小为B，方向水平向里的匀强磁场中。将两小球同时从距离圆心高度为H处无初速度释放，小球进入半圆弧轨道前已经做匀速运动。已知重力加速度为g，各连接点接触良好形成电流回路，除R外其余电阻均不计，则以下说法正确的是（　　） A．小球在竖直轨道上运动的最大速度为 B．小球在竖直轨道运动过程，电阻R产生的焦耳热为2mgH C．小球刚进入圆弧瞬间，回路电流大小为 D．从释放小球到小球抵达最低点过程，流经电阻R中的电量为 【答案】D 【解答】解：A、小球进入半圆弧轨道前已经做匀速运动，此时速度最大，设为v，根据平衡条件有 2mg＝F安 又F安＝BID＝BD 即得 解得，故A错误； B、小球在竖直轨道运动过程，根据能量守恒定律有，可知电阻R产生的焦耳热E焦＜2mgH，故B错误； C、小球刚进入圆弧瞬间开始旋转切割磁感线，回路电流大小为，故C错误； D、从释放小球到小球抵达最低点过程，流经电阻R中的电量为，故D正确。 故选：D。 7．（2023秋•海南期末）如图所示，光滑水平面的上方存在一宽度为l、方向垂直纸面向里的匀强磁场，一个阻值为R的正方形金属线圈边长为l，线圈在磁场左方某一位置处在恒力F作用下从静止开始运动，保持线圈平面与磁场方向垂直，线圈能匀速进入磁场，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　） A．线圈进、出磁场过程中感应电流均沿逆时针方向 B．线圈进、出磁场过程中安培力方向相反 C．线圈出磁场过程中速度逐渐减小 D．线圈在进入磁场和穿出磁场过程中产生的焦耳热之和为2Fl 【答案】D 【解答】解：A、线圈进磁场过程中，磁场方向垂直纸面向里，穿过线圈的磁通量增加，根据楞次定律可知感应电流沿逆时针方向。线圈出磁场过程中，磁场方向垂直纸面向里，穿过线圈的磁通量减小，根据楞次定律可知感应电流沿顺时针方向，故A错误； B、根据左手定则，线圈进、出磁场过程中安培力方向均向左，方向相同，故B错误； C、线圈能匀速进入磁场，则有F安进＝BIl＝BlF 由于磁场宽度等于线圈边长，线圈刚出磁场时，速度仍为v，则线圈刚出磁场时受到的安培力为 F安出F 故线圈出磁场过程将做匀速直线运动，速度不变，故C错误； D、线圈在进入磁场和穿出磁场的过程，根据动能定理得：0 可得：W安＝﹣2Fl 线圈在进入磁场和穿出磁场过程中产生的焦耳热之和为：Q＝﹣W安＝2Fl，故D正确。 故选：D。 8．（2025•选择性模拟）如图甲所示，倾角为α、宽度为l、电阻不计的光滑平行金属轨道足够长，整个装置处于垂直轨道平面向下的匀强磁场中。轨道上端的定值电阻阻值为R，金属杆MN的电阻为r，质量为m。将金属杆MN由静止释放，杆始终与轨道垂直且接触良好。通过数据采集器得到电流i随时间t的变化关系如图乙所示。当金属杆下滑的位移为x时，可认为电流达到最大值i1。已知t0时刻的电流为i0，重力加速度为g，下列说法中不正确的是（　　） A．磁感应强度的大小 B．t0时刻金属杆的加速度大小 C．金属杆的最大速度大小 D．杆下滑位移为x的过程中，电阻R产生的焦耳热 【答案】D 【解答】解：A、由图像可知，金属杆稳定运动时的电流为i1，杆受重力、支持力和安培力三个力平衡，根据平衡条件有：mgsinα＝Bi1l 代入数据解得：，故A正确； B、t0时刻，对金属杆根据牛顿第二定律可得：mgsinα﹣Bi0l＝ma 解得金属杆的加速度大小为：，故B正确； C、金属杆速度最大时，克服安培力做功功率等于重力做功功率，则有：mgvsinα 解得金属杆的最大速度大小为：，故C正确； D、当金属杆下滑的位移为x时，可认为电流达到最大值i1，此过程中，根据动能定理可得：mgxsinα﹣W克安 根据功能关系可得产生的总焦耳热为：Q＝W克安 杆下滑位移为x的过程中，电阻R产生的焦耳热：QRQ 解得：QR[]，故D错误。 本题选错误的，故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2025•广西模拟）如图甲所示，某仪器平台悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在O′点。为保持平台的稳定，需要在下方安装减振装置。减振装置由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的一个线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图乙所示。已知t＝0时速度为v0，方向向下，t1、t2时刻的振幅分别为A1，A2。平台和线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，线圈半径为r、电阻为R。已知，当弹簧形变量为Δx时，其弹性势能为。不计空气阻力，g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　） A．t＝0时，线圈中的感应电流为 B．t＝0时，线圈所受安培力大小为 C．在t1～t2时间内，线圈产生的焦耳热为 D．在t1～t2时间内，弹簧弹力冲量大小为|| 【答案】ACD 【解答】解：A.根据圆的周长公式可知，线圈的长度为 L＝2πr 根据法拉第电磁感应定律 E＝BLv0 t＝0时线圈的速度为v0，根据闭合电路的欧姆定律有 联立解得 ，故A正确； B.根据安培力公式有 ，方向竖直向上，故B错误； C.平台在t1～t2时间内，振动时能量的减少量转化为线圈的焦耳热，根据图像可知，t1和t2时刻平台的速度为零，动能为零，以开始静止时线圈所处的平面为零势面，根据能量守恒定律有 ，故C正确； D.t1～t2时间内，取竖直向下为正方向，根据动量定理有 I安+I弹﹣IG＝0 其中 IG＝mg（t2﹣t1） 其中 ∑v•Δt＝|x|＝A1﹣A2 解得 故有 ，故D正确。 故选：ACD。 （多选）10．（2025•鹤壁开学）如图所示，间距为L的足够长平行直导轨固定在绝缘水平面上，两导轨间有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小均为B，垂直于导轨的虚线MN左侧导轨光滑、右侧导轨粗糙，质量均为m的金属棒ab、cd分别垂直放置在MN左右两侧的导轨上，均处于静止状态，金属棒cd与导轨间的动摩擦因数为μ，给金属棒ab施加平行于导轨的大小恒为F（F＞μmg）的外力，使金属棒ab从静止开始水平向右运动，当金属棒ab运动距离为x时，金属棒cd恰好开始运动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两金属棒在此后的运动中始终与导轨垂直并接触良好，两金属棒接入电路的电阻均为R，金属棒ab始终在MN左侧运动，忽略导轨的电阻，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　） A．金属棒cd中的感应电流方向从c到d B．当cd棒刚要滑动时，ab棒的速度大小为 C．从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中，cd中产生的焦耳热为 D．金属棒ab和cd最终的速度差为 【答案】BCD 【解答】解：A．金属棒ab向右运动，切割MN左侧的匀强磁场，导致ab、cd及导轨组成的闭合电路的磁通量减小，由楞次定律增反减同，可知感应电流产生的磁场与原磁场相同，由安培定则可知回路电流为逆时针方向，金属棒cd中的感应电流方向从d到c，故A错误； B．cd棒刚要滑动时，其受到的安培力恰好等于最大静摩擦力，满足BIL＝μmg 由闭合回路欧姆定律 金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势E＝BLv 联立得cd棒刚要滑动时，ab棒的速度大小，故B正确； C．从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中，外力F对ab做的功，一部分转化为ab的动能，另一部分转化为电路中的总焦耳热，由能量守恒 代入数据得 两金属棒电阻相等，且串联在电路中，根据焦耳热公式Q＝I2Rt 串联电路中焦耳热与电阻成正比，因此两棒产生的焦耳热相等，即从ab开始运动到cd棒刚要滑动过程中，cd中产生的焦耳热为，故C正确； D．金属棒ab和cd最终的速度差恒定时，则电路中的电流恒定。设速度差为Δv，则这时回路中的电流 由于速度差恒定，因此两金属棒的加速度相同，对金属棒ab有F﹣BIL＝ma 对金属棒cd有BIL﹣μmg＝ma 联立得金属棒ab和cd最终的速度差为，故D正确。 故选：BCD。 （多选）11．（2025•市中区校级二模）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，Oy竖直向下，Ox水平。在第一象限（空间足够大）存在垂直平面向外的磁场区域，磁感应强度沿y轴正方向不变，沿x轴正方向按照B＝kx（k＞0且为已知常数）规律变化。一个质量为m、边长为L的正方形导线框，电阻为R，初始时一边与x轴重合，一边与y轴重合。将导线框以速度v0沿x轴正方向抛出，整个运动过程中导线框的两邻边分别平行两个坐标轴。从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，导线框下落高度为h，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．导线框受到的安培力总是与运动方向垂直 B．导线框下落高度为h时的速度小于 C．整个过程中导线框中产生的热量为 D．导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为 【答案】CD 【解答】解：A、从导线框开始运动到速度恰好竖直向下的过程中，穿过线框的磁通量向外增加，根据楞次定律可知，线框中产生顺时针方向的感应电流，根据左手定则可知左边框受到的安培力方向向右，右边框受到的安培力方向向左，上边框受到的安培力方向向下，下边框受到的安培力方向向上，再根据磁场的分布规律以及安培力公式F＝BIL可知，左边框受到的安培力小于右边框受到的安培力，上、下边框受到的安培力大小相等，可知导线框受到的安培力的合力方向向左，与运动方向不垂直，故A错误； B、导线框在竖直方向所受安培力的合力为零，可知导线框在竖直方向做自由落体运动，下落高度为h时的速度满足运动学关系：，可得：，故B错误； C、根据能量守恒定律得：mghQ，结合，解得整个过程中导线框中产生的热量为Q，故C正确； D、设导线框在时间t时的水平分速度大小为v，水平位移为x，则在此时刻导线框产生感应电动势大小为 导线框内的感应电流大小为 所以导线框受到安培力的大小 又根据 Σ（﹣Ft）＝（0﹣mv0） 可得 导线框速度恰好竖直向下时左边框的横坐标为 ，故D正确。 故选：CD。 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•北仑区校级期中）如图甲所示，间距L＝1m的足够长倾斜导轨倾角θ＝37°，导轨顶端连接阻值R＝1Ω的电阻，MN左侧存在一面积S＝0.6m2的圆形磁场区域，磁场方向垂直于斜面向下，磁感应强度大小随时间变化关系如图乙所示，MN右侧存在着方向垂直于斜面向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B1＝1T，一长L＝1m、电阻r＝1Ω的金属棒ab与导轨垂直放置，EF左侧导轨均光滑，EF右侧导轨与金属棒间的动摩擦因数μ＝0.8，已知t＝0至t＝0.1s，金属棒ab恰好能静止在导轨上，之后金属棒ab开始沿导轨下滑，且在经过EF前速度已经稳定，最后停止在导轨上，不计导轨电阻与其他阻力，金属棒始终与导轨接触良好，重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）0～0.1s内流过电阻的电流和金属棒ab的质量； （2）金属棒ab经过EF时的速度大小； （3）若金属棒ab经过EF后至停止的过程中通过电阻R的电荷量为q＝2.5C，求在此过程中电阻R上产生的焦耳热。 【答案】（1）0～0.1s内流过电阻的电流为3.0A，金属棒ab的质量为0.5kg； （2）金属棒ab经过EF时的速度大小为6m/s； （3）若金属棒ab经过EF后至停止的过程中通过电阻R的电荷量为q＝2.5C，在此过程中电阻R上产生的焦耳热为4J。 【解答】解：（1）题意易知t＝0至t＝0.1s，回路产生的电动势 则通过电阻的电流 对ab，由平衡条件有 mgsinθ＝B1IL 联立解得金属棒ab的质量 m＝0.5kg （2）由于金属棒ab经过EF前速度已经稳定，则由平衡条件有 联立解得金属棒ab经过EF时的速度大小 v1＝6m/s （3）因为 代入题中数据，联立解得此过程金属棒ab移动的距离 x＝5m 由动能定理有 联立解得该过程金属棒ab克服安培力做的功 W克安＝8J 根据功能关系可知 W克安＝Q＝8J 故在此过程中电阻R上产生的焦耳热 解得 QR＝4J 答：（1）0～0.1s内流过电阻的电流为3.0A，金属棒ab的质量为0.5kg； （2）金属棒ab经过EF时的速度大小为6m/s； （3）若金属棒ab经过EF后至停止的过程中通过电阻R的电荷量为q＝2.5C，在此过程中电阻R上产生的焦耳热为4J。 13．（2024秋•深圳期末）如图所示，两光滑平行金属导轨abc和efg固定，间距L＝1m，其中ab、ef是半径为R＝0.8m的四分之一圆弧导轨，bc、fg是与圆弧轨道相切的水平导轨，水平导轨所在的区域有磁感应强度大小为B＝1T，方向竖直向上的匀强磁场。初始时刻，质量为mQ＝1kg的金属棒Q与水平导轨垂直放置，与bf之间的距离为d＝1.5m。现将另一根质量为mP＝3kg的金属棒P从ae位置由静止释放。已知P、Q接入电路的电阻分别为rP＝0.1Ω、rQ＝0.3Ω，P、Q运动过程中始终与导轨垂直且接触良好，导轨电阻不计，导轨长度无限长，取重力加速度g＝10m/s2。求： （1）P进入磁场瞬间，Q的加速度大小； （2）从P进入磁场到速度恒定的过程中，Q上产生的焦耳热； （3）P、Q之间的最小距离。 【答案】（1）P进入磁场瞬间，Q的加速度大小等于10m/s2； （2）从P进入磁场到速度恒定的过程中，Q上产生的焦耳热等于4.5J； （3）P、Q之间的最小距离等于0.3m。 【解答】解：（1）P从ae运动到bf的过程中，由动能定理得 解得 P进入磁场瞬间，P切割磁感线产生的感应电动势大小为 E＝BLvP＝1×1×4V＝4V 根据闭合电路欧姆定律得 对Q由牛顿第二定律得 BIL＝mQa 解得Q的加速度大小 （2）从P进入磁场到速度恒定的过程中，P、Q组成的系统动量守恒，以水平向右为正方向，由动量守恒定律得 mPvP＝（mP+mQ）v 解得 由能量守恒定律得 解得 Q上产生的焦耳热为 （3）当P、Q共速时，二者之间的距离最小，以水平向右为正方向，对Q根据动量定理得 设从P进入磁场开始，在这段时间内，两导体棒之间的距离减少了Δx，根据法拉第电磁感应定律得 根据闭合电路欧姆定律得 联立以上三式解得 P、Q之间的最小距离为 xmin＝d﹣Δx＝1.5m﹣1.2m＝0.3m 答：（1）P进入磁场瞬间，Q的加速度大小等于10m/s2； （2）从P进入磁场到速度恒定的过程中，Q上产生的焦耳热等于4.5J； （3）P、Q之间的最小距离等于0.3m。 14．（2025秋•崂山区校级期中）如图所示，两足够长的光滑金属导轨竖直放置，相距为L，一理想电流表与两导轨相连，匀强磁场磁感应强度为B，方向与导轨平面垂直且垂直纸面向里。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放，导体棒进入磁场后做减速运动最终匀速运动。导体棒整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持水平，不计导轨的电阻，重力加速度为g。 （1）求导体棒运动过程中的最大电流； （2）匀速运动的速度大小； （3）若已知导体棒从静止开始至在磁场中最小速度过程中通过的电荷量为q，求此过程回路中产生的焦耳热。 【答案】（1）导体棒运动过程中的最大电流为。 （2）匀速运动的速度大小为。 （3）此过程回路中产生的焦耳热为。 【解答】解：（1）导体棒由静止释放后做自由落体运动，进入磁场时速度达到最大值vm，由机械能守恒定律得，解得：。 此时感应电动势最大，根据法拉第电磁感应定律Em＝BLvm，结合欧姆定律，联立可得最大电流。 （2）导体棒进入磁场后受安培力作用减速，最终以最小速度v做匀速运动，此时安培力与重力平衡，即，解得：。 （3）设导体棒在磁场中下降高度为x时达到稳定速度，由电荷量公式，解得：。 对全过程应用能量守恒定律，有，将v和x的表达式代入，整理得回路产生的焦耳热。 答：（1）导体棒运动过程中的最大电流为。 （2）匀速运动的速度大小为。 （3）此过程回路中产生的焦耳热为。 学科网（北京）股份有限公司 $