专题04 带电粒子在叠加场中的运动模型（讲义）物理人教版选择性必修第二册

本讲义聚焦高中物理“带电粒子在叠加场中的运动”核心知识点，先通过表格对比重力场、电场、磁场的力与能量特点搭建基础支架，再按“重力场+磁场”“重力场+电场+磁场”模型分层剖析运动类型，衔接单一场到叠加场的综合应用脉络。 该资料以模型建构为主线，通过“模型剖析+例题精讲+变式训练”设计，如“三力平衡匀速直线运动”“重力电场力平衡匀速圆周运动”等总结，结合例1机械能守恒与牛顿定律推理、例2配速法应用，强化科学思维与运动和相互作用观念。课中辅助教师分层教学，课后通过选择、解答题等帮助学生查漏补缺，提升综合解题能力。

专题04 带电粒子在叠加场中的运动 【分析方法】 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能。 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能。 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能。 2.带电体仅受重力、电场力、洛伦兹力的作用: (1)若三力平衡,则带电体一定做匀速直线运动. (2)若重力与静电力平衡,则带电体一定做匀速圆周运动. (3)若合力不为零且与速度方向不垂直, 则带电体将做复杂的曲线运动. 因洛伦兹力不做功, 故可用能量守恒定律或动能定理求解相关问题. 【模型一】在 “重力场+磁场” 中运动 【模型剖析】 1. 带电体做直线运动 带电粒子在重力场与磁场共存的情况下做直线运动, 运动状态一定是做匀速直线运动. 2. 带电体做一般曲线运动 带电体在重力场与磁场共存的情况下做曲线运动时，由于洛伦兹力永不做功, 若无磁场, 则带电体机械能守恒；若有磁场, 则带电体的机械能仍守恒. 【例题精讲】 【例1】（2025春•曲阜市期中）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力是自身受到的重力大小的2倍，重力加速度大小为g，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．4mg B．5mg C．6mg D．7mg 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大且不变，由 ，解得： 物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力是自身受到的重力大小的2倍，根据牛顿第三定律可得物块第一次经过圆槽最低点时圆槽对物块的支持力大小为：F1＝2mg，此时物块受到向上的洛伦兹力，根据牛顿第二定律得： 物块第二次经过圆槽最低点时，物块受到向下的洛伦兹力，根据牛顿第二定律得： 联立解得：F2＝4mg 根据牛顿第三定律可得物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为4mg，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【例2】（多选）（2025秋•莱西市期中）如图所示，地面上方空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球从距地面高h处由静止释放，小球刚好不会撞到地面。不计空气阻力，重力加速度为g。小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹是圆的一部分 B．该过程中小球机械能守恒 C．小球的最大速度为 D．小球在最低点时洛伦兹力大小等于重力大小 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A.小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，所受合外力大小和方向都在变，其运动轨迹不是圆的一部分，故A错误； B.小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，洛伦兹力始终不做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故B正确； C.小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中，由动能定理得 解得 故C正确； D.以v的方向为正方向，对小球由动量定理得有 其中 解得 小球在最低点时洛伦兹力 F＝qvB＝2mg＞mg 故D错误； 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•南充模拟）如图所示，一根足够长的固定竖直绝缘杆，位于垂直纸面向外、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。现有一个质量为0.2kg、带电荷量+0.5C的小球套在绝缘杆上从某点静止开始下滑，经过0.8s达到最大速度。已知小球与杆间的动摩擦因数为0.8，重力加速度为10m/s2。则在小球加速下滑的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的最大加速度为5m/s2 B．小球的最大速度为5m/s C．小球下降的高度为3.2m D．系统因摩擦生热为3J 【答案】B 【解答】解：A.根据题意可知，开始下滑时，小球速度为0，洛伦兹力为0，此时小球与杆间的摩擦力为0，小球只受重力，加速度最大，等于重力加速度，故A错误； B.根据题意可知，当小球速度最大时，加速度为0，则有 mg＝μqvmB 解得 故B正确； C.小球由静止开始下滑，到达到最大速度，以竖直向下的方向为正方向，由动量定理得 mgt﹣乙μqBvt＝mvm﹣0 整理可得 mgt﹣μqBh＝mvm 解得 解得 h＝1.5m 故C错误； D.小球由静止开始下滑，到达到最大速度，由动能定理得 解得 Wf＝0.5J 则系统因摩擦生热为0.5J，故D错误。 故选：B。 【变式训练2】（2025•三模拟）如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于O点，O点下方有一匀强磁场。现将小球拉至A点并由静止释放，D点为最低点，C为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．C点比A点低 B．相邻两次过D点的速度相同 C．相邻两次过D点的加速度相同 D．相邻两次过D点的绳子拉力相同 【答案】C 【解答】解：A．洛伦兹力对小球不做功，轻绳的拉力也不做功，只有重力做功，根据机械能守恒，可知左侧最高点应与A点等高，故A错误； B．根据机械能守恒，可知相邻两次到达D点时，无论是从A到D还是从C到D，重力做功相同，重力是势能相同，故速度大小都相同，但方向不同，故B错误。 C．根据向心加速度表达式 可知相邻两次a大小相等，且方向都指向O点，故C正确。 D．由于相邻两次的洛伦兹力方向不同，所以绳子拉力大小不相等，故D错误。 故选：C。 【变式训练3】（2023秋•武陵区校级期末）如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑绝缘轨道，M、N为两轨道的最低点，匀强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b（可视为质点）分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑的时间比b球下滑时间长 B．a、b两球的机械能均守恒 C．a球到M点的速度小于b球到N点的速度 D．a球对M点的压力大于b球对N点的压力 【答案】D 【解答】解：AC、由于小球在磁场中运动，磁场力对小球不做功，整个过程中小球的机械能守恒；而小球在电场中运动受到的电场力对小球做负功，到达最低点时的速度的大小较小，所以在电场中运动的时间也长，故AC错误； B、磁场力对小球不做功，整个过程中小球a的机械能守恒；小球b在电场中运动受到的电场力对小球做负功，机械能减小，故B错误； D、小球在磁场中运动，在最低点进行受力分析可知：Fm﹣mg﹣Bqvm＝m 解得：Fm＝mmg+Bqvm…① 小球在电场中运动，在最低点受力分析可知：Fn﹣mg＝m 解得：Fn＝mmg …② 因为vm＞vn，所以Fm＞Fn，故D正确。 故选：D。 【变式训练4】（多选）（2025秋•西安期中）长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边、极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度 B．使粒子的速度 C．使粒子的速度 D．使粒子的速度v满足 【答案】AB 【解答】解：作出粒子在磁场中的运动轨迹，如图所示 当粒子恰好打到上极板的右边缘时，设轨迹半径为r1，由几何关系可得 解得 由洛伦兹力提供向心力 解得半径大小为 可得速度大小为 故要使粒子从极板右侧飞出，应满足 当粒子恰好打到上极板的左边缘时，轨迹半径 由洛伦兹力提供向心力可得半径公式 可得速度大小为 可知当时，粒子不能打在极板上。综上可知，欲使粒子不打在极板上，粒子的速度v应满足 或 故AB正确，CD错误。 故选：AB。 【模型二】在“重力场+电场+磁场”中运动 【模型剖析】 带电体仅受重力、电场力、洛伦兹力的作用: （1）若三力平衡,则带电体一定做匀速直线运动. （2）若重力与静电力平衡,则带电体一定做匀速圆周运动. （3）若合力不为零且与速度方向不垂直, 则带电体将做复杂的曲线运动. 因洛伦兹力不做功, 故可用能量守恒定律或动能定理求解相关问题. 【例题精讲】 【例1】（2025•广州二模）如图所示，带电平行板中匀强电场E的方向竖直向上，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，一带电小球从光滑绝缘轨道上的A点自由滑下，经P点进入板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的C点自由滑下，经P点进入板间，不计空气阻力则小球在板间运动过程中（　　） A．动能将会减小 B．电势能将会减小 C．机械能将会减小 D．小球带负电 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：小球从A点滑下进入复合场区域时沿水平方向做直线运动，则小球受力平衡，判断可知小球带正电，则有mg＝qE+qvB 从C点滑下刚进入复合场区域时，其速度小于从A点滑下时的速度，则有mg＞qE+qv′B 小球向下偏转，重力做正功，静电力做负功，因为mg＞qE，则合力做正功，小球的电势能和动能均增大，机械能减小。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•安徽二模）空间内存在方向水平向左的匀强电场E和磁感应强度大小B＝10T、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出），一质量m＝0.1kg、带电荷量q＝0.1C的小球从O点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为L，已知qE＝mg，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球经过A点时的速度为 B．小球经过A点时的速度最大 C． D． 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：AB、由题意可知qE＝mg＝1N，即电场力与重力大小相等且方向相互垂直，其合力大小为，解得：。采用配速法分析：小球在O点静止，可将其初速度分解为两个大小均为v0、方向相反的分速度，其中沿虚线向下的分速度使小球所受洛伦兹力与合力F平衡，即满足F＝qv0B。另一分速度对应以v0为初速度的匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，有。联立解得：，。轨迹上A点距离虚线OB最远，表明圆周运动分运动恰好完成半个周期，此时其分速度方向沿虚线向下，与匀速直线运动分速度方向一致，故小球在A点合速度最大，最大值为vmax＝2v0，解得：。故A错误，B正确； CD、小球到虚线OB的最大距离为圆周运动分运动的直径，即L＝2R，解得：。故C错误，D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•杭州一模）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B＝1T，电场强度大小可调。一带电小球从O点正上方2m处以初速度v0＝2m/s水平抛出。已知小球质量为m＝0.1kg，电量为q＝0.2C，则其能经过O点时的最大动能约为（　　） A．0.20J B．0.28J C．1.28J D．2.20J 【答案】B 【解答】解：由于电场力与重力的合力处于竖直方向，磁场方向处于竖直方向，在竖直方向的分速度不会产生洛伦兹力，水平方向的分速度受到洛伦兹力作用，将小球的运动分解为以初速度v0的水平面匀速圆周运动和竖直方向初速度为0的匀加速直线运动；对于水平面匀速圆周运动有 解得其轨道半径为 r＝1m 周期为 Ts＝πs 则小球从水平抛出到经过O点所用时间满足 t＝nT＝nπ，（n＝1，2，3⋯） 小球从水平抛出到经过O点，竖直方向有 可得小球经过O点竖直分速度为 vym/sm/s，（n＝1，2，3⋯） 当n＝1时，竖直分速度有最大值，此时小球经过O点时的动能有最大值，且最大动能为 ，故ACD错误，B正确。 故选：B。 【变式训练2】（2025秋•五华区校级月考）如图所示，点M、O、N、P位于同一竖直平面内，曲线MON为半径为R的半圆弧，直线MN沿竖直方向，MN⊥NP，直线MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E1，右侧存在水平向左的匀强电场E2。一带电量为q、质量为m的小球（可视为质点）在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，经过M点进入匀强电场E2。已知磁感应强度为B，E2E1（E1大小未知），∠MPN＝60°，重力加速度为g，则（　　） A．电场强度E1大小为 B．M、P两点的电势差为 C．小球从N运动到M的速度大小为 D．小球在电场E2中距离MP最远时，速度大小为 【答案】D 【解答】解：A、小球在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，电场力和重力相等，根据平衡条件可得：qE1＝mg，解得：E1，故A错误； B、根据几何关系可得：M、P两点沿电场线方向的距离为：d，解得：d 由于E2E1，则M、P两点的电势差为：UMP＝﹣E2d，解得：UMP，故B错误； C、根据洛伦兹力提供向心力可得：qvB＝m，解得小球从N运动到M的速度大小为：v，故C错误； D、在M点将速度进行分解，如图所示： 小球在右边电场中运动时，设合力与MN的夹角为θ，根据几何关系可得：tanθ，解得：θ＝60°，说明合外力方向与MP垂直。 小球在电场E2中距离MP最远时，垂直于MP方向的速度为零，此时速度大小为：v2＝vcos60°，故D正确。 故选：D。 【变式训练3】（2024秋•广东校级期末）如图所示，在一正交的电场和磁场中，一带电荷量为+q、质量为m的金属块沿倾角为θ的粗糙绝缘斜面由静止开始下滑．已知电场强度为E，方向竖直向下；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；斜面的高度为h．金属块滑到斜面底端时恰好离开斜面，设此时的速度为v，则（　　） A．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，做的是加速度逐渐减小的加速运动 B．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了qEh C．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了mv2﹣mgh D．金属块离开斜面后将做匀速圆周运动 【答案】C 【解答】解：物体受重力、支持力、摩擦力、电场力及洛伦兹力的作用；因洛伦兹力垂直于接触面；随着速度的增大，洛伦兹力增大，物体对接触面的压力减小；摩擦力减小；则合外力一定增大；故加速度增大；故A错误； B、在下滑过程中，由于有电场力和摩擦力做功；故机械能的增加量小于qEh；故B错误； C、重力势能减小了mgh，而动能增加了mv2；故机械能增加量为mv2﹣mgh；故C正确； D、离开斜面后，由于受竖直向下的重力与电场力的合成，以及洛伦兹力，故不可能做匀速圆周运动；故D错误； 故选：C。 【变式训练4】（2025•辽宁模拟）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场，虚线边界MN的右侧还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球从P点沿着与水平方向成30°角开始运动，运动到虚线边界MN上的Q点时速度方向恰好水平向右，之后小球开始做匀速直线运动。已知小球的初速度大小为v0、质量为m、电荷量大小为q，重力加速度为g，匀强电场的电场强度E，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 C．P、Q两点的水平距离大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【答案】C 【解答】解：A．由题意可知带电小球从P点到Q点在竖直方向做匀减速直线运动，则加速度方向向上，小球受到的电场力向上，与场强方向相反，所以小球带负电，故A错误； C．带电小球从P点到Q点过程，竖直方向有，0＝v0sin30°﹣at 水平方向有x＝v0cos30°•t 联立解得P、Q两点的水平距离大小为，故C正确； BD．小球经过Q点之后小球开始做匀速直线运动，根据平衡条件可知，洛伦兹力竖直向下，由左手定则可知，匀强磁场的方向垂直于纸面向里；又qv0cos30°•B+mg＝qE 解得匀强磁场的磁感应强度大小为，故BD错误。 故选：C。 【变式训练5】（多选）（2025•宜宾模拟）水平地面上方足够大的空间存在水平方向上相互正交的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一质量m＝0.2kg，带电量q＝+0.2C的物体从A点由静止释放，释放后经时间t＝1.1s，恰好从B点离开地面。已知电场强度E＝7.5N/C，磁感应强度B0＝2T，物体与地面的动摩擦因数μ＝0.5。物体可视为质点，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．物体从A运动到B做加速度增大的加速直线运动 B．物体运动到B点的速度大小为6m/s C．A、B之间的距离x＝2.45m D．从B点离开地面后，再经过秒后，物体距离地面的高度为米 【答案】AD 【解答】解：A、物体从A运动到B的过程中受力分析，可知物体受重力、电场力、洛伦兹力、摩擦力，水平方向有：qE﹣μN＝ma 竖直方向有：N+qvB＝mg 随着速度增大，加速度逐渐增大，故A正确； C、物体从A运动到B的过程中，以向右方向为正方向，根据动量定理有：qEtmv 考虑到平均压力mg，所以有 其中位移： 解得：x＝2.25m，故C错误； B、从B点离开地面，那么在B点有：qvB＝mg 代入已知数据解得：v＝5m/s，故B错误； D、物体离开地面时，恰好受重力、电场力、洛伦兹力作用，且大小分别为：G＝mg＝2N，F＝qE＝1.5N，f＝qvB＝2N 根据配速法，如图， 其中： 解得：v合＝6.25m/s v合与水平方向的夹角满足： 可分解为v合方向的匀速直线运动及向下的v′作用下的匀速圆周运动，物体在磁场中运动的周期为 经过半个周期，即秒后，做圆周运动的分运动在竖直方向无位移 所以物体距离地面的高度为：h＝v合tcosθ＝6.25m米，故D正确； 故选：AD。 一．选择题（共8小题） 1．（2025•杭州一模）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B＝1T，电场强度大小可调。一带电小球从O点正上方2m处以初速度v0＝2m/s水平抛出。已知小球质量为m＝0.1kg，电量为q＝0.2C，则其能经过O点时的最大动能约为（　　） A．0.20J B．0.28J C．1.28J D．2.20J 【答案】B 【解答】解：由于电场力与重力的合力处于竖直方向，磁场方向处于竖直方向，在竖直方向的分速度不会产生洛伦兹力，水平方向的分速度受到洛伦兹力作用，将小球的运动分解为以初速度v0的水平面匀速圆周运动和竖直方向初速度为0的匀加速直线运动；对于水平面匀速圆周运动有 解得其轨道半径为 r＝1m 周期为 Ts＝πs 则小球从水平抛出到经过O点所用时间满足 t＝nT＝nπ，（n＝1，2，3⋯） 小球从水平抛出到经过O点，竖直方向有 可得小球经过O点竖直分速度为 vym/sm/s，（n＝1，2，3⋯） 当n＝1时，竖直分速度有最大值，此时小球经过O点时的动能有最大值，且最大动能为 ，故ACD错误，B正确。 故选：B。 2．（2025秋•新疆月考）如图1所示，空间中匀强磁场B的方向与x轴平行。不计重力的带电粒子以初速度v0进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成α的锐角，如图2所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是（　　） A．仅减小初速度v0 B．仅减小角度α C．仅增大角度α D．仅增大磁感应强度B 【答案】B 【解答】解：A．将速度沿y轴正方向与x轴正方向分解为v0sinα、v0cosα，粒子沿x轴正方向做匀速直线运动，垂直于x轴方向做匀速圆周运动，则有， 解得运行半径以及周期为：， 螺旋线的螺距 当仅减小初速度v0时，螺距、半径均减小，故A错误； B．仅减小角度α，螺距增大、半径减小，故B正确； C．仅增大角度α，螺距减小、半径增大，故C错误； D．仅增大磁感应强度B，螺距、半径均减小，故D错误。 故选：B。 3．（2025•沈阳模拟）如图所示，两平行金属板之间有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，一带负电的粒子（重力不计）以速度v0水平向右飞入两板之间，恰能沿直线飞出，下列判断正确的是（　　） A．粒子一定做匀速直线运动 B．若只增大粒子速度v0，其运动轨迹仍是直线 C．若只增加粒子的电量，其运动轨迹将向上偏转 D．若粒子以速度v0从右向左水平飞入，其运动轨迹是抛物线 【答案】A 【解答】解：A.带负电的粒子沿直线从正交场中飞出，则受向上的电场力等于向下的洛伦兹力，则一定做匀速直线运动，如果不是匀速直线运动，则洛伦兹力就会变化，将做曲线运动，故A正确； B.若只增大粒子速度v0，则粒子受洛伦兹力变大，则其运动轨迹向下弯曲，则轨迹不是直线，故B错误； C.根据qv0B＝qE 可知，若只增加粒子的电量，则粒子仍沿直线穿过正交场，故C错误； D.若粒子以速度从右向左水平飞入，则受电场力和洛伦兹力均向上，则其运动轨迹是曲线，但不是抛物线，故D错误。 故选：A。 4．（2025•庐阳区校级模拟）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ；现使圆环以初速度v0向下运动，经时间t0，圆环回到出发点。若圆环回到出发点之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．环经过时间刚好到达最低点 B．环的最大加速度为am＝g C．环在t0时间内损失的机械能为m（） D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等 【答案】B 【解答】解：A．对环受力分析，以竖直向上为正方向，设加速度大小为a1，根据牛顿第二定律，则 因为速度的减小，导致洛伦兹力减小，则摩擦力会减小，因此环做加速度减小的减速运动，当环向上运动时，根据牛顿第二定律，环的加速度大小 随着速度增大，开始做加速度减小的加速运动，之后做匀速直线运动，因此在 t 时，圆环不可能刚好到达最低点，故A错误； B．圆环在运动过程中，向下运动时的加速度大于向上运动的加速度，而向下运动所受摩擦力越大，则加速度越大，因此环刚开始运动时加速度最大，最大加速度 故B正确； C．圆环从出发点到回到出发点的过程中，重力势能变化为零，那么机械能的损失即为动能的减小，则动能变化满足 ΔEkmv2 而速度大小为 v 因此损失的机械能为 m（） 故C错误； D．根据功能关系，除重力以外的力做功，才导致机械能变化，而环在下落与上升过程中，因摩擦力做功不同，因此环在下落过程中损失的机械能不会等于上升回到出发点过程中损失的机械能，故D错误。 故选：B。 5．（2025•中山市校级二模）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从O点沿电场方向射入，OMN为其一段运动轨迹，M点为轨迹的最右端，N点为O的正下方，不计空气阻力。关于小球从O经M到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀变速运动 B．小球的机械能守恒 C．小球从O到M速度先减小后增加 D．小球在M、N两点的动能可能相等 【答案】C 【解答】解：A、小球在复合场中受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，洛伦兹力与速度方向垂直，所以洛伦兹力的大小和方向均会发生变化，小球的加速度会变化，小球一定不是做匀变速运动，故A错误； B、洛伦兹力不做功，但电场力做功，所以机械能不守恒，故B错误； C、把重力和电场力合成为一个等效重力，其方向斜向左下方，等效最高点在O到M的中途某处，而洛伦兹力不做功，所以小球从O到M的过程中速度先减小后增大，故C正确； D、小球从M点到N点洛伦兹力不做功，但重力和电场力都做了正功，由动能定理可知，小球的动能增加，故D错误。 故选：C。 6．（2024秋•惠山区校级期末）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的范围足够大的匀强磁场内，固定着倾角为θ的绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为﹣q的带电小物块以初速度v0沿斜面向上运动，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ。设滑动时电荷量不变，在小物块上滑过程中，其速度v与时间t，加速度a与时间t和动能Ek与位移x的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：依据左手定则判断物块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下，对沿斜面向上运动的小物块受力分析，由牛顿第二定律可得： mgsinθ+μFN＝ma FN＝mgcosθ+qvB 联立解得： a＝gsinθ+μgcosθ，方向沿斜面向下 所以物体沿斜面向上做加速度减小的减速运动，速度越小，加速度越小，速度减小的越慢，加速度减小的越慢，在小物块上滑过程中，当速度为零时加速度最小，但最小值不为零； A、速度—时间图像的切线斜率表示加速度，故A错误； BC、物体加速度减小，且加速度减小的越来越慢，在小物块上滑过程中，加速度减不到零，故C正确，B错误； D、动能Ek与位移x的关系图像的斜率表示合力，根据以上分析可知，小物块上滑过程中，合力为变力，则斜率会发生变化，故D错误。 故选：C。 7．（2025•金凤区校级三模）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【答案】C 【解答】解：A.小球静止时只受电场力、重力、支持力及摩擦力，电场力水平向左，摩擦力竖直向上；开始时，小球的加速度应为 小球速度将增大，产生洛伦兹力，由左手定则可以知道，洛伦兹力向右，故水平方向合力将减小，摩擦力减小，故加速度增大，故A错误； C.当洛伦兹力等于电场力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达最大；此后速度继续增大，则洛伦兹力增大，水平方向上的合力增大，摩擦力将增大；加速度将减小，故最大加速度的一半会有两种情况，一是在洛伦兹力小于电场力的时间内，另一种是在洛伦兹力大于电场力的情况下，则： 计算得出 故C正确； D.同理有： 计算得出 v2 故D错误； B.而在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故机械能和电势能的总和将减小；故B错误； 故选：C。 8．（2025春•厦门校级月考）如图所示，质量分别为m、2m的两绝缘物体a、b叠放在光滑水平面上，a带电量为+q，b不带电。空间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，场强大小为E，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，两物体间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现将两物体由静止释放，两物体可相对静止一起运动一段距离，重力加速度为g，则两物体保持相对静止一起运动的最大速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：设物体一起a、b相对静止的加速度为a，对整体由牛顿第二定律得qE＝3ma 得整体加速度满足： 设两物体保持相对静止一起运动的最大速度为v，对a，竖直方向受力平衡 mg＝FN+qvB 得支持力满足：FN＝mg﹣qvB 对a由牛顿第二定律得：qE﹣Ff＝ma 又根据摩擦力的计算式：Ff＝μFN 综合解得两物体保持相对静止一起运动的最大速度为： 故ABD错误，C正确。 故选：C。 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•福州期末）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。在该空间中固定一光滑绝缘管道，管道轴线与水平方向夹角为30°。一带电小球先在管外以速度v0做直线运动，轨迹与管道轴线重合，如图中虚线所示。之后小球穿入管中，管道内径略大于小球直径。下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．电场强度和磁感应强度的大小关系为EBv0 C．小球从管道的乙端运动到甲端 D．若小球刚进入管道时将磁场加倍，小球将在管道中做匀加速直线运动 【答案】AB 【解答】解：AC、小球做匀速直线运动，当带正电时，电场力水平向右，重力竖直向下，从甲端运动到乙端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右上三力恰好平衡，能保证小球沿图中虚线运动；当小球带负电时，电场力水平向左，重力竖直向下，从甲端运动到乙端时或者从乙端运动到甲端时，洛伦兹力垂直于虚线斜向右下或者左上，均不能使小球沿直线运动，故A正确，C错误； B、由A项可知，电场力和洛伦兹力关系为 qE＝qv0Bsin30° 得 EBv0 故B正确； D、未将磁场加倍时，小球三力平衡，其中电场力和重力沿虚线方向的合力为零，当将磁场加倍时，在管道中所受重力和电场力均没有变化，故沿虚线方向（管道方向）合力仍为零。而管道的支持力垂直于管道，即小球合力仍为零，做匀速直线运动，故D错误。 故选：AB。 （多选）10．（2025•重庆模拟）xOy为竖直面内的直角坐标系，x轴下方有垂直于坐标面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限还有平行于y轴的匀强电场，如图所示。现有一质量为m的带电油滴从x轴上方的A点以初速度竖直向下抛出，运动至P点进入磁场区域，A点到P点的距离为d。油滴恰好从Q点垂直于y轴进入第Ⅲ象限，经过圆周从D点垂直于x轴进入第Ⅱ象限，D点与O点相距2d，重力加速度为g，依据上述数据，下列说法正确的是（　　） A．油滴带负电 B．油滴在D点的动能大小为4mgd C．油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小为3mg D．其他条件不变，增大油滴的初速度大小，油滴在第三象限仍然会做匀速圆周运动 【答案】ABD 【解答】解：A.油滴在P点时轨迹向左偏转，根据左手定则可知油滴带负电，故A正确； B.因为油滴在第Ⅲ象限做圆周运动，则有mg＝Eq，线段QO＝2d 对油滴从A到D的过程由动能动理有：mgd+Eq•2d＝EkD 代入数据可得EkD＝4mgd，故B正确； C.对油滴从A到Q的过程由动能定理有：mg•3d 油滴在第Ⅲ象限的轨迹为圆周，则圆周半径r＝2d 根据洛伦兹力提供向心力有：F洛＝m，代入数据可得F洛＝4mg，故C错误； D.其他条件不变，增大油滴的初速度大小，根据题干条件可知重力和电场力仍然平衡，油滴在洛伦兹力作用下仍然会做匀速圆周运动。 故D正确； 故选：ABD。 （多选）11．（2025•全国一模）如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长木板A与光滑地面接触，带电荷量为+q的绝缘物块B与木板间的动摩擦因数为μ，现用一水平恒力F拉动木板A，初始时A、B一起运动且相对静止。已知物块A、B的质量分别为M、m，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．若磁场方向垂直纸面向里，物块B的最大速度为 B．若磁场方向垂直纸面向里，物体B的速度为 时A、B恰好发生相对运动 C．若磁场方向垂直纸面向外，木板A匀速运动的速度为 D．若磁场方向垂直纸面向外，物块B将做加速度持续减小的加速运动 【答案】AB 【解答】解：A.磁场方向垂直纸面向里，物块B所受洛伦兹力竖直向上，满足 qvB＝mg 即v时，物块B达最大速度，故A正确； B.A、B恰好发生相对运动时 对B： FN＝mg﹣qv'B μFN＝ma 对整体： F＝（M+m）a 解得： v' B正确； CD.若磁场方向垂直纸面向外，物块所受洛伦兹力竖直向下，初始时A、B一起运动，随速度增加，洛伦兹力增大，A、B将一直一起匀加速运动，故CD错误。 故选：AB。 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，一半径为R的光滑绝缘圆弧面固定在光滑绝缘水平面上，末端与水平面相切且紧邻竖直边界MN。边界MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小；边界MN右侧存在与左侧磁场大小相等、方向相反的另一匀强磁场，同时该区域还存在一水平向右的匀强电场，场强大小。现将一带正电的绝缘小物块（可视为质点）从圆弧面顶端由静止释放，已知物块质量为m、电荷量为+q，重力加速度为g。 （1）求物块运动到圆弧面底端时对圆弧面的压力大小。 （2）物块经过一段时间后会飞离水平面，求物块在水平面上运动的时间。 （3）若水平面粗糙，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，已知此情景下物块从滑上MN右侧水平面到恰好飞离水平面的时间为t，其他条件不变。求物块在水平面上运动的位移大小。 【答案】（1）物块运动到圆弧面底端时对圆弧面的压力大小为3.5mg。 （2）物块经过一段时间后会飞离水平面，物块在水平面上运动的时间为5。 （3）若水平面粗糙，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，已知此情景下物块从滑上MN右侧水平面到恰好飞离水平面的时间为t，其他条件不变。物块在水平面上运动的位移大小为20R。 【解答】解：（1）沿圆弧面下滑过程中，满足： 到达圆弧面底端时： 联立解得：N＝3.5mg 由牛顿第三定律可知，物块运动到圆弧面底端时对圆弧面的压力大小为3.5mg （2）恰好飞离水平面时：mg＝qBv2 以水平向右为正方向，在水平面上运动过程中：qEt＝mv2﹣mv1 联立解得： （3）以水平向右为正方向，若存在摩擦，物块要飞离水平面，仍需满足速度达到v2在水平面上运动过程中：qEt﹣μmgt+μqB∑viti＝mv2﹣mv 又物块在水平面上运动的位移，联立解得：x＝20R 答：（1）物块运动到圆弧面底端时对圆弧面的压力大小为3.5mg。 （2）物块经过一段时间后会飞离水平面，物块在水平面上运动的时间为5。 （3）若水平面粗糙，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，已知此情景下物块从滑上MN右侧水平面到恰好飞离水平面的时间为t，其他条件不变。物块在水平面上运动的位移大小为20R。 13．（2025秋•兰州校级月考）如图所示，虚线上方有方向竖直向下的匀强电场，虚线上下有相同的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，ab是一根长为l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端恰在虚线上，将套在杆上的带正电的电荷量为q、质量为m的小球（重力不计）从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ＝0.3，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，其半径为，求： （1）小球到达b点的速度vb的大小； （2）匀强电场的电场强度E的大小； （3）带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与静电力所做的功之比。 【答案】（1）小球到达b点的速度为； （2）匀强电场的场强为； （3）带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值为。 【解答】解：（1）小球在磁场中做匀速圆周运动时，洛伦兹力提供向心力，则有： 已知： 代入数据可得：vb （2）小球沿杆向下运动时，受力分析如下图所示： 洛伦兹力F＝Bqvb 由力的平衡有：qE＝Ff Ff＝μFN＝μF 代入数据可得：E （3）小球从a运动到b过程中，由动能定理有： 电场力做功： 代入数据可得： 可得： 答：（1）小球到达b点的速度为； （2）匀强电场的场强为； （3）带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与电场力所做功的比值为。 14．（2025•成都校级模拟）在竖直平面内有xOy直角坐标系，x＜0区域内有竖直向下的匀强电场，第一象限有水平向右的匀强电场，两区域场强大小相等，x≤4m区域内还有向里的匀强磁场 B＝1T。下端位于O点的绝缘木板固定在第一象限，上端位于磁场右边界，与+x夹角θ＝37°，木板下端锁定了两个可视为质点的带电滑块P和滑块Q，电荷量大小均为q＝0.1C，P的质量为m1＝0.03kg，Q的质量为m2，两滑块间有一根压缩的绝缘微弹簧（不连接）。现解除锁定，弹簧瞬间恢复原长（无机械能损失）后，P做匀速圆周运动，Q恰好与木板无压力。忽略电荷间的相互作用，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）滑块P和滑块Q所带电性； （2）解除锁定前的弹性势能Ep； （3）滑块P从开始运动到第一次过+y轴所用时间tP和滑块Q离开木板后在电场中的运动时间tQ（tP保留小数点后一位，tQ可保留根号）。 【答案】（1）滑块P带负电，滑块Q带正电； （2）解除锁定前的弹性势能为； （3）滑块P从开始运动到第一次过+y轴所用时间为1.3s，滑块Q离开木板后在电场中的运动时间为。 【解答】解：（1）据题意分析可得，P做匀速圆周运动，电场力与重力合力为零，Q恰好与木板无压力，重力、电场力与洛伦兹力的合力为零，则滑块P带负电，滑块Q带正电。 （2）滑块P二力平衡 m1g＝qE 滑块Q三力平衡 m2gtanθ＝qE 得 m2＝0.04kg 设弹簧恢复后滑块P和滑块Q的速度分别为v1和V2，对滑块Q有： 弹簧恢复瞬间滑块P和滑块Q动量守恒，以滑块P的速度方向为正方向，有： 0＝m1v1﹣m2v2 滑块P和滑块Q机械能守恒，有： 弹簧弹性势能 （3）根据洛伦兹力提供向心力 又 ， 得 tP≈1.3s 滑块Q在重力和电场力的合力下做类平抛运动，如图所示 过木板的上端作垂线交x轴于M点，轨迹经时间tQ交x轴于N点，设MN长度为Δx，木板的长度为 L＝5m， 滑块Q在v2方向匀速直线运动，有： Δxcosθ＝v2t 滑块Q在合力方向匀加速直线运动，有： Ltanθ+Δxsinθat2 其中： 联立求解可得 答：（1）滑块P带负电，滑块Q带正电； （2）解除锁定前的弹性势能为； （3）滑块P从开始运动到第一次过+y轴所用时间为1.3s，滑块Q离开木板后在电场中的运动时间为。 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 带电粒子在叠加场中的运动 【分析方法】 1.三种场的比较 力的特点 功和能的特点 重力场 大小：G＝mg 方向：竖直向下 重力做功与路径无关；重力做功改变物体的重力势能。 电场 大小：F＝qE 方向：正电荷受力方向与场强方向相同，负电荷受力方向与场强方向相反 电场力做功与路径无关，W＝qU＝qEd；电场力做功改变带电粒子的电势能。 磁场 大小：F＝qvB（v⊥B） 方向：可用左手定则判断 洛伦兹力不做功，不改变带电粒子的动能。 2.带电体仅受重力、电场力、洛伦兹力的作用: (1)若三力平衡,则带电体一定做匀速直线运动. (2)若重力与静电力平衡,则带电体一定做匀速圆周运动. (3)若合力不为零且与速度方向不垂直, 则带电体将做复杂的曲线运动. 因洛伦兹力不做功, 故可用能量守恒定律或动能定理求解相关问题. 【模型一】在 “重力场+磁场” 中运动 【模型剖析】 1. 带电体做直线运动 带电粒子在重力场与磁场共存的情况下做直线运动, 运动状态一定是做匀速直线运动. 2. 带电体做一般曲线运动 带电体在重力场与磁场共存的情况下做曲线运动时，由于洛伦兹力永不做功, 若无磁场, 则带电体机械能守恒；若有磁场, 则带电体的机械能仍守恒. 【例题精讲】 【例1】（2025春•曲阜市期中）如图所示，质量为m的带电小物块从半径为R的固定绝缘光滑半圆槽顶点A由静止滑下，整个装置处于方向垂直纸面向里的匀强磁场中。已知物块所带的电荷量保持不变，物块运动过程中始终没有与圆槽分离，物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力是自身受到的重力大小的2倍，重力加速度大小为g，则物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为（　　） A．4mg B．5mg C．6mg D．7mg 【推理过程】 【答案】A 【解答】解：物块运动过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律可知物块到达圆槽最低点时速度最大且不变，由 ，解得： 物块第一次经过圆槽最低点时对圆槽的压力是自身受到的重力大小的2倍，根据牛顿第三定律可得物块第一次经过圆槽最低点时圆槽对物块的支持力大小为：F1＝2mg，此时物块受到向上的洛伦兹力，根据牛顿第二定律得： 物块第二次经过圆槽最低点时，物块受到向下的洛伦兹力，根据牛顿第二定律得： 联立解得：F2＝4mg 根据牛顿第三定律可得物块第二次经过圆槽最低点时对圆槽的压力为4mg，故A正确，BCD错误。 故选：A。 【例2】（多选）（2025秋•莱西市期中）如图所示，地面上方空间存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一质量为m、电荷量为q（q＞0）的小球从距地面高h处由静止释放，小球刚好不会撞到地面。不计空气阻力，重力加速度为g。小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的运动轨迹是圆的一部分 B．该过程中小球机械能守恒 C．小球的最大速度为 D．小球在最低点时洛伦兹力大小等于重力大小 【推理过程】 【答案】BC 【解答】解：A.小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，所受合外力大小和方向都在变，其运动轨迹不是圆的一部分，故A错误； B.小球运动过程中，受到重力和洛伦兹力的作用，洛伦兹力始终不做功，只有重力势能和动能的相互转化，机械能守恒，故B正确； C.小球静止释放到第一次运动到最低点的过程中，由动能定理得 解得 故C正确； D.以v的方向为正方向，对小球由动量定理得有 其中 解得 小球在最低点时洛伦兹力 F＝qvB＝2mg＞mg 故D错误； 故选：BC。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•南充模拟）如图所示，一根足够长的固定竖直绝缘杆，位于垂直纸面向外、磁感应强度B＝1T的匀强磁场中。现有一个质量为0.2kg、带电荷量+0.5C的小球套在绝缘杆上从某点静止开始下滑，经过0.8s达到最大速度。已知小球与杆间的动摩擦因数为0.8，重力加速度为10m/s2。则在小球加速下滑的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的最大加速度为5m/s2 B．小球的最大速度为5m/s C．小球下降的高度为3.2m D．系统因摩擦生热为3J 【变式训练2】（2025•三模拟）如图所示，一带电绝缘小球用绝缘细线悬挂于O点，O点下方有一匀强磁场。现将小球拉至A点并由静止释放，D点为最低点，C为左侧最高点，小球可视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．C点比A点低 B．相邻两次过D点的速度相同 C．相邻两次过D点的加速度相同 D．相邻两次过D点的绳子拉力相同 【变式训练3】（2023秋•武陵区校级期末）如图所示，甲、乙是竖直面内两个相同的半圆形光滑绝缘轨道，M、N为两轨道的最低点，匀强磁场垂直于甲轨道平面，匀强电场平行于乙轨道平面，两个完全相同的带正电小球a、b（可视为质点）分别从甲、乙两轨道的右侧最高点由静止释放，在它们第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑的时间比b球下滑时间长 B．a、b两球的机械能均守恒 C．a球到M点的速度小于b球到N点的速度 D．a球对M点的压力大于b球对N点的压力 【变式训练4】（多选）（2025秋•西安期中）长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），从左边、极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，如图所示。欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（　　） A．使粒子的速度 B．使粒子的速度 C．使粒子的速度 D．使粒子的速度v满足 【模型二】在“重力场+电场+磁场”中运动 【模型剖析】 带电体仅受重力、电场力、洛伦兹力的作用: （1）若三力平衡,则带电体一定做匀速直线运动. （2）若重力与静电力平衡,则带电体一定做匀速圆周运动. （3）若合力不为零且与速度方向不垂直, 则带电体将做复杂的曲线运动. 因洛伦兹力不做功, 故可用能量守恒定律或动能定理求解相关问题. 【例题精讲】 【例1】（2025•广州二模）如图所示，带电平行板中匀强电场E的方向竖直向上，匀强磁场B的方向垂直纸面向里，一带电小球从光滑绝缘轨道上的A点自由滑下，经P点进入板间后恰好沿水平方向做直线运动。现使小球从较低的C点自由滑下，经P点进入板间，不计空气阻力则小球在板间运动过程中（　　） A．动能将会减小 B．电势能将会减小 C．机械能将会减小 D．小球带负电 【推理过程】 【答案】C 【解答】解：小球从A点滑下进入复合场区域时沿水平方向做直线运动，则小球受力平衡，判断可知小球带正电，则有mg＝qE+qvB 从C点滑下刚进入复合场区域时，其速度小于从A点滑下时的速度，则有mg＞qE+qv′B 小球向下偏转，重力做正功，静电力做负功，因为mg＞qE，则合力做正功，小球的电势能和动能均增大，机械能减小。 故ABD错误，C正确。 故选：C。 【例2】（多选）（2025•安徽二模）空间内存在方向水平向左的匀强电场E和磁感应强度大小B＝10T、方向垂直纸面向里的匀强磁场（图中均未画出），一质量m＝0.1kg、带电荷量q＝0.1C的小球从O点由静止释放，小球在竖直面内的运动轨迹如图中实线所示，轨迹上的A点离OB最远且与OB的距离为L，已知qE＝mg，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．小球经过A点时的速度为 B．小球经过A点时的速度最大 C． D． 【推理过程】 【答案】BD 【解答】解：AB、由题意可知qE＝mg＝1N，即电场力与重力大小相等且方向相互垂直，其合力大小为，解得：。采用配速法分析：小球在O点静止，可将其初速度分解为两个大小均为v0、方向相反的分速度，其中沿虚线向下的分速度使小球所受洛伦兹力与合力F平衡，即满足F＝qv0B。另一分速度对应以v0为初速度的匀速圆周运动，向心力由洛伦兹力提供，有。联立解得：，。轨迹上A点距离虚线OB最远，表明圆周运动分运动恰好完成半个周期，此时其分速度方向沿虚线向下，与匀速直线运动分速度方向一致，故小球在A点合速度最大，最大值为vmax＝2v0，解得：。故A错误，B正确； CD、小球到虚线OB的最大距离为圆周运动分运动的直径，即L＝2R，解得：。故C错误，D正确。 故选：BD。 【变式训练】 【变式训练1】（2025•杭州一模）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B＝1T，电场强度大小可调。一带电小球从O点正上方2m处以初速度v0＝2m/s水平抛出。已知小球质量为m＝0.1kg，电量为q＝0.2C，则其能经过O点时的最大动能约为（　　） A．0.20J B．0.28J C．1.28J D．2.20J 【变式训练2】（2025秋•五华区校级月考）如图所示，点M、O、N、P位于同一竖直平面内，曲线MON为半径为R的半圆弧，直线MN沿竖直方向，MN⊥NP，直线MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场B和竖直向上的匀强电场E1，右侧存在水平向左的匀强电场E2。一带电量为q、质量为m的小球（可视为质点）在复合场中恰能沿着半圆弧NOM在竖直平面内做匀速圆周运动，经过M点进入匀强电场E2。已知磁感应强度为B，E2E1（E1大小未知），∠MPN＝60°，重力加速度为g，则（　　） A．电场强度E1大小为 B．M、P两点的电势差为 C．小球从N运动到M的速度大小为 D．小球在电场E2中距离MP最远时，速度大小为 【变式训练3】（2024秋•广东校级期末）如图所示，在一正交的电场和磁场中，一带电荷量为+q、质量为m的金属块沿倾角为θ的粗糙绝缘斜面由静止开始下滑．已知电场强度为E，方向竖直向下；磁感应强度为B，方向垂直纸面向里；斜面的高度为h．金属块滑到斜面底端时恰好离开斜面，设此时的速度为v，则（　　） A．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，做的是加速度逐渐减小的加速运动 B．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了qEh C．金属块从斜面顶端滑到底端的过程中，机械能增加了mv2﹣mgh D．金属块离开斜面后将做匀速圆周运动 【变式训练4】（2025•辽宁模拟）如图所示，空间中存在竖直向下的匀强电场，虚线边界MN的右侧还存在垂直于纸面的匀强磁场（图中未画出）。一带电小球从P点沿着与水平方向成30°角开始运动，运动到虚线边界MN上的Q点时速度方向恰好水平向右，之后小球开始做匀速直线运动。已知小球的初速度大小为v0、质量为m、电荷量大小为q，重力加速度为g，匀强电场的电场强度E，下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．匀强磁场的方向垂直于纸面向外 C．P、Q两点的水平距离大小为 D．匀强磁场的磁感应强度大小为 【变式训练5】（多选）（2025•宜宾模拟）水平地面上方足够大的空间存在水平方向上相互正交的匀强电场和匀强磁场，如图所示。一质量m＝0.2kg，带电量q＝+0.2C的物体从A点由静止释放，释放后经时间t＝1.1s，恰好从B点离开地面。已知电场强度E＝7.5N/C，磁感应强度B0＝2T，物体与地面的动摩擦因数μ＝0.5。物体可视为质点，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．物体从A运动到B做加速度增大的加速直线运动 B．物体运动到B点的速度大小为6m/s C．A、B之间的距离x＝2.45m D．从B点离开地面后，再经过秒后，物体距离地面的高度为米 一．选择题（共8小题） 1．（2025•杭州一模）如图所示，空间存在竖直方向的匀强磁场和匀强电场，磁感应强度大小为B＝1T，电场强度大小可调。一带电小球从O点正上方2m处以初速度v0＝2m/s水平抛出。已知小球质量为m＝0.1kg，电量为q＝0.2C，则其能经过O点时的最大动能约为（　　） A．0.20J B．0.28J C．1.28J D．2.20J 2．（2025秋•新疆月考）如图1所示，空间中匀强磁场B的方向与x轴平行。不计重力的带电粒子以初速度v0进入磁场时的速度方向与磁场不垂直，而是与磁场成α的锐角，如图2所示，这种情况下，带电粒子在匀强磁场中的轨迹就是一条等距的螺旋线。若要同时使螺旋线的螺距增大、半径减小，下列措施可行的是（　　） A．仅减小初速度v0 B．仅减小角度α C．仅增大角度α D．仅增大磁感应强度B 3．（2025•沈阳模拟）如图所示，两平行金属板之间有竖直向下的匀强电场E和垂直纸面向里的匀强磁场B，一带负电的粒子（重力不计）以速度v0水平向右飞入两板之间，恰能沿直线飞出，下列判断正确的是（　　） A．粒子一定做匀速直线运动 B．若只增大粒子速度v0，其运动轨迹仍是直线 C．若只增加粒子的电量，其运动轨迹将向上偏转 D．若粒子以速度v0从右向左水平飞入，其运动轨迹是抛物线 4．（2025•庐阳区校级模拟）如图所示，一根固定的绝缘竖直长杆位于范围足够大且相互正交的匀强电场和匀强磁场中，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B。一质量为m、电荷量为q的带正电小圆环套在杆上，环与杆间的动摩擦因数为μ；现使圆环以初速度v0向下运动，经时间t0，圆环回到出发点。若圆环回到出发点之前已经开始做匀速直线运动，不计空气阻力，重力加速度为g。则下列说法中正确的是（　　） A．环经过时间刚好到达最低点 B．环的最大加速度为am＝g C．环在t0时间内损失的机械能为m（） D．环下降过程和上升过程系统因摩擦产生的内能相等 5．（2025•中山市校级二模）如图所示，空间存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场，一个带负电的小球，从O点沿电场方向射入，OMN为其一段运动轨迹，M点为轨迹的最右端，N点为O的正下方，不计空气阻力。关于小球从O经M到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球做匀变速运动 B．小球的机械能守恒 C．小球从O到M速度先减小后增加 D．小球在M、N两点的动能可能相等 6．（2024秋•惠山区校级期末）如图所示，在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的范围足够大的匀强磁场内，固定着倾角为θ的绝缘斜面，一个质量为m、电荷量为﹣q的带电小物块以初速度v0沿斜面向上运动，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ。设滑动时电荷量不变，在小物块上滑过程中，其速度v与时间t，加速度a与时间t和动能Ek与位移x的关系图像，可能正确的是（　　） A． B． C． D． 7．（2025•金凤区校级三模）如图所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 8．（2025春•厦门校级月考）如图所示，质量分别为m、2m的两绝缘物体a、b叠放在光滑水平面上，a带电量为+q，b不带电。空间有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场方向水平向右，场强大小为E，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里，两物体间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，现将两物体由静止释放，两物体可相对静止一起运动一段距离，重力加速度为g，则两物体保持相对静止一起运动的最大速度为（　　） A． B． C． D． 二．多选题（共3小题） （多选）9．（2024秋•福州期末）如图所示，空间中存在水平向右的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场。在该空间中固定一光滑绝缘管道，管道轴线与水平方向夹角为30°。一带电小球先在管外以速度v0做直线运动，轨迹与管道轴线重合，如图中虚线所示。之后小球穿入管中，管道内径略大于小球直径。下列说法正确的是（　　） A．小球带正电 B．电场强度和磁感应强度的大小关系为EBv0 C．小球从管道的乙端运动到甲端 D．若小球刚进入管道时将磁场加倍，小球将在管道中做匀加速直线运动 （多选）10．（2025•重庆模拟）xOy为竖直面内的直角坐标系，x轴下方有垂直于坐标面向里的匀强磁场，第Ⅲ象限还有平行于y轴的匀强电场，如图所示。现有一质量为m的带电油滴从x轴上方的A点以初速度竖直向下抛出，运动至P点进入磁场区域，A点到P点的距离为d。油滴恰好从Q点垂直于y轴进入第Ⅲ象限，经过圆周从D点垂直于x轴进入第Ⅱ象限，D点与O点相距2d，重力加速度为g，依据上述数据，下列说法正确的是（　　） A．油滴带负电 B．油滴在D点的动能大小为4mgd C．油滴做圆周运动时受到的洛伦兹力大小为3mg D．其他条件不变，增大油滴的初速度大小，油滴在第三象限仍然会做匀速圆周运动 （多选）11．（2025•全国一模）如图所示，空间存在垂直纸面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，足够长木板A与光滑地面接触，带电荷量为+q的绝缘物块B与木板间的动摩擦因数为μ，现用一水平恒力F拉动木板A，初始时A、B一起运动且相对静止。已知物块A、B的质量分别为M、m，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　） A．若磁场方向垂直纸面向里，物块B的最大速度为 B．若磁场方向垂直纸面向里，物体B的速度为 时A、B恰好发生相对运动 C．若磁场方向垂直纸面向外，木板A匀速运动的速度为 D．若磁场方向垂直纸面向外，物块B将做加速度持续减小的加速运动 三．解答题（共3小题） 12．（2025秋•沙坪坝区校级期中）如图所示，一半径为R的光滑绝缘圆弧面固定在光滑绝缘水平面上，末端与水平面相切且紧邻竖直边界MN。边界MN左侧存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小；边界MN右侧存在与左侧磁场大小相等、方向相反的另一匀强磁场，同时该区域还存在一水平向右的匀强电场，场强大小。现将一带正电的绝缘小物块（可视为质点）从圆弧面顶端由静止释放，已知物块质量为m、电荷量为+q，重力加速度为g。 （1）求物块运动到圆弧面底端时对圆弧面的压力大小。 （2）物块经过一段时间后会飞离水平面，求物块在水平面上运动的时间。 （3）若水平面粗糙，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2，已知此情景下物块从滑上MN右侧水平面到恰好飞离水平面的时间为t，其他条件不变。求物块在水平面上运动的位移大小。 13．（2025秋•兰州校级月考）如图所示，虚线上方有方向竖直向下的匀强电场，虚线上下有相同的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外，ab是一根长为l的绝缘细杆，沿电场线放置在虚线上方的场中，b端恰在虚线上，将套在杆上的带正电的电荷量为q、质量为m的小球（重力不计）从a端由静止释放后，小球先做加速运动，后做匀速运动到达b端。已知小球与绝缘杆间的动摩擦因数μ＝0.3，当小球脱离杆进入虚线下方后，运动轨迹是半圆，其半径为，求： （1）小球到达b点的速度vb的大小； （2）匀强电场的电场强度E的大小； （3）带电小球从a到b运动过程中克服摩擦力所做的功与静电力所做的功之比。 14．（2025•成都校级模拟）在竖直平面内有xOy直角坐标系，x＜0区域内有竖直向下的匀强电场，第一象限有水平向右的匀强电场，两区域场强大小相等，x≤4m区域内还有向里的匀强磁场 B＝1T。下端位于O点的绝缘木板固定在第一象限，上端位于磁场右边界，与+x夹角θ＝37°，木板下端锁定了两个可视为质点的带电滑块P和滑块Q，电荷量大小均为q＝0.1C，P的质量为m1＝0.03kg，Q的质量为m2，两滑块间有一根压缩的绝缘微弹簧（不连接）。现解除锁定，弹簧瞬间恢复原长（无机械能损失）后，P做匀速圆周运动，Q恰好与木板无压力。忽略电荷间的相互作用，重力加速度g＝10m/s2，π＝3.14，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）滑块P和滑块Q所带电性； （2）解除锁定前的弹性势能Ep； （3）滑块P从开始运动到第一次过+y轴所用时间tP和滑块Q离开木板后在电场中的运动时间tQ（tP保留小数点后一位，tQ可保留根号）。 学科网（北京）股份有限公司 $