四川省德阳中学2025-2026学年中考数学模拟试卷

2025-2026学年四川省德阳中学数学模拟试卷 一、选择题：本题共13小题，每小题3分，共39分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个图形中，是中心对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 3.若关于的方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. 且 D. 且 4.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 5.把函数图象向右平移个单位长度，平移后图象的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 6.如图，平面直角坐标系中，点在第一象限，点在轴的正半轴上，，，将绕点逆时针旋转，点的对应点的坐标是    ． A. B. C. D. 7.下列各点，，，关于原点对称的两点是  (    ) A. 点与点 B. 点与点 C. 点与点 D. 点与点 8.如图，是的直径，是弦，四边形是平行四边形，与相交于点，下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 平分 9.如图，四边形内接于，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 10.若正多边形的一个外角为，则这个正多边形的中心角的度数是(    ) A. B. C. D. 11.如图，正五边形内接于，为上的一点点不与点重命，则的度数为(    ) A. B. C. D. 12.一只不透明的袋子中装有个黑球、个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出个球，下列事件为必然事件的是(    ) A. 至少有个球是黑球 B. 至少有个球是白球 C. 至少有个球是黑球 D. 至少有个球是白球 13.如图，半径为的中，为直径，弦且过半径的中点，点为上一动点，于点当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 14.如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边，那么实数的取值范围是          ． 15.若关于的函数是二次函数，则           ． 16.抛物线向下平移个单位，再向右平移个单位后的解析式是          ． 17.如图，和关于点成中心对称，若，，，则的长是          ． 18.已知的半径为，弦的长为，则圆心到的距离为          ． 19.如图所示，是边长为的正方形，点，分别为边，上动点点不与，重合，点不与，重合，且，下列说法： 点从向运动的过程中，的周长始终不变； 以为圆心，为半径的圆一定与相切； 面积有最小值； 的面积最大值小于． 其中正确的有          填写序号 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 20.用因式分解法解下列方程： ； ； ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分   某班为了解学生一学期做义工的时间情况，对全班名学生进行调查，按做义工的时间单位：小时，将学生分成五类：类，类，类，类，类绘制成尚不完整的条形统计图如图． 根据以上信息，解答下列问题： 类学生有______人，补全条形统计图； 类学生人数占被调查总人数的______； 从该班做义工时间在的学生中任选人，求这人做义工时间都在中的概率．   22.本小题分 如图，反比例函数的图象与直线交于点，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线分别交反比例函数图象和轴于点和点． 求和的值； 根据图象直接写出的自变量的取值范围； 当长为时，求点的坐标． 23.本小题分 在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． 如果点在函数的图象上，求点的坐标； 将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 24.本小题分 如图，正方形与正方形的边、在一条直线上，正方形以点为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为在旋转过程中，两个正方形只有点重合，其他顶点均不重合，连接，． 当正方形旋转至如图所示的位置时，求证：； 如图，如果，，，连接，，求的面积． 25.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是直线上的动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，设点的横坐标为． 分别求出直线和这条抛物线的解析式； 若点在第四象限，连接，，当线段最长时，求的面积； 是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 详细解答和解析过程见【答案】 【解答】 解：不是中心对称图形，故本选项错误； B.不是中心对称图形，故本选项错误； C.是中心对称图形，故本选项正确； D.不是中心对称图形，故本选项错误． 故选C． 2.【答案】  【解析】解：、是一元二次方程； B、是一元一次方程； C、是二元一次方程； D、中未知数的最高次数是，不是一元二次方程． 故选：． 根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程逐项进行排查即可． 本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式以及一元一次方程和一元二次方程的概念，解答此题时要注意分和两种情况进行讨论由于的取值范围不能确定，故应分和两种情况进行解答即可． 【解答】 解：当时，，解得； 当时，此方程是一元二次方程， 关于的方程有实数根， ，解得， 由、得，的取值范围是． 故选B． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了求抛物线的顶点坐标．熟记二次函数的顶点式的形式是解题的关键．直接利用顶点式的特点可写出顶点坐标． 【解答】 解：顶点式，顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数图象与几何变换． 根据平移规律：左加右减可得答案． 【解答】 解：根据“左加右减”的规律可知，将函数的图象向右平移个单位长度， 所得的图象解析式为，即． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查坐标与图形变化旋转，旋转的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 如图，作轴于由含角的直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，进而得出即可得出答案． 【解答】 解：如图，作轴于． 由题意得：，， ，， ， ，， ， ， 故选B． 7.【答案】  【解析】略 8.【答案】  【解析】解：为直径， ， 四边形为平行四边形， ，， ，所以选项正确； 由垂径定理得到 根据三角形的中位线得到，选项B正确； ，所以选项的结论错误； ，， 平分，所以选项的结论正确． 故选：． 利用圆周角定理得到，再根据平行四边形的性质得到，，利用，可对选项进行判断；利用垂径可判断为的中位线，则，可对选项进行判断；同时得到，则可对选项进行判断． 此题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和平行四边形的性质． 9.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 由于四边形内接于，根据圆内接四边形的对角互补即可求得的度数，而、是同弧所对的圆周角和圆心角，根据圆周角定理即可得到的度数． 【解答】 解：四边形内接于， ，而， ， ． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了正多边形和圆，熟悉掌握正多边形的性质和外角和是解题的关键． 根据正多边形的外角和是求出正多边形的边数，再求出其中心角即可． 【解答】 解：正多边形的一个外角为， 正多边形的边数为， 其中心角为． 故选：． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．连接，求出的度数，再根据圆周角定理即可解决问题． 【解答】 解：如图，连接，． 是正五边形， ， ， 故选B． 12.【答案】  【解析】解：一只不透明的袋子中装有个黑球、个白球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出个球， 至少有个球是黑球是必然事件； 至少有个球是白球、至少有个球是黑球和至少有个球是白球都是随机事件． 故选：． 由于只有个白球，则从中任意摸出个球中至少有个球是黑球，根据必然事件的定义可判断选项正确． 本题考查了随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．事件分为确定事件和不确定事件随机事件，确定事件又分为必然事件和不可能事件， 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，是解本题的关键． 连接，，由，利用垂径定理得到为的中点，由中点的定义确定出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，进而确定出的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，由垂直于，得到三角形始终为直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半径，当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与重合，可得出当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长，在直角三角形中，利用锐角三角函数定义求出的度数，进而确定出所对圆心角的度数，再由的长求出半径，利用弧长公式即可求出的长，即可求出点所经过的路径长． 【解答】 解：连接，， ， 为的中点，即， 的半径为，弦且过半径的中点， ， 在中，根据勾股定理得：， ， 又， 在中，根据勾股定理得：， ， 始终是直角三角形，点的运动轨迹为以为直径的半圆， 当位于点时，，此时与重合；当位于时，，此时与重合， 当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长， 在中，， ， 所对圆心角的度数为， 直径， 的长为， 则当点从点出发顺时针运动到点时，点所经过的路径长为 故选C． 14.【答案】  【解析】解：方程有三个根，有一个根为，有两个实数根，则，， 又， ， ，，， ． 15.【答案】  【解析】略 16.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减，按照“左加右减，上加下减”的规律本题据此回答即可． 【解答】 解：将抛物线向下平移个单位得，再向右平移个单位，得； 故所得抛物线的解析式为． 17.【答案】  【解析】解：与关于点成中心对称， ≌， ，，， ， ， ， 故答案为． 利用全等三角形的性质以及勾股定理即可解决问题． 本题考查中心对称，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握性质定理是解题的关键． 18.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 如图，作于，连接，根据垂径定理得到，然后利用勾股定理计算的长即可． 【解答】 解：如图，作于，连接， 则， 在中，， 所以圆心到的距离为． 故答案为． 19.【答案】  【解析】【分析】 延长至点，使得，连接，然后证明，进而得到，，从而得到，最后得到的周长得解； 由和可知以点为圆心、为半径的圆与相切，然后利用对称性可得与相切； 设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积，进而求得对应的最值； 设，，则，然后结合的三边关系得到与之间的关系，进而可以用含有的式子表示的面积，进而求得对应的最值． 本题考查了全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系、正方形的性质、二次函数的性质求最值，解题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 【解答】 解：如图，延长至点，使得，连接， 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ，和关于所在的直线对称， ， ， 的周长始终不变，故正确，符合题意； ，的半径，， 与相切， 和关于所在的直线对称， 与相切，故正确，符合题意； 设，， 则，，， 在中，， ， 化简得，， ， ， 当即时，的最小值为，故错误，不符合题意； 当即时，的最大值为，故正确，符合题意； 故答案为：． 20.【答案】【小题】 解：因式分解，得 ， 或， ，； 【小题】 移项，得， 因式分解，得， 或， ，； 【小题】 因式分解，得 ， 或， ，； 【小题】 因式分解，得 ， 或， ，．   【解析】 见答案  见答案  见答案  见答案 21.【答案】解：； 补全图形如下：    记内的两人为甲、乙，内的人记为、、， 从中任选两人有：甲乙、甲、甲、甲、乙、乙、乙、、、这种可能结果， 其中人做义工时间都在中的有、、这种结果， 这人做义工时间都在中的概率为．  【解析】【分析】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果数目，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查条形统计图． 根据总人数等于各类别人数之和可得类别学生数； 用类别学生数除以总人数即可得； 列举所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解答】 解：类学生有人， 补全图形如下： 故答案为：； 类学生人数占被调查总人数的， 故答案为：； 见答案． 22.【答案】【小题】 解：反比例函数的图象与直线交于点， ，， 【小题】 根据图像可知，的自变量的取值范围为：． 【小题】 由可知，反比例函数解析式为，正比例函数解析式为：， 设则，点在反比例函数图象上， ，解得或舍去，．   【解析】 略  略  略 23.【答案】【小题】 解：． 【小题】 ．   【解析】 略  略 24.【答案】【小题】 证明：由旋转的性质可知：，由正方形的性质可知：，．．； 【小题】 解：延长交于点当时，则．．又，．为等腰直角三形．．． ．   【解析】 略  略 25.【答案】【小题】 解：把代入，得 解得所以抛物线的解析式是； 设直线的解析式是，把代入， 得解得 所以直线的解析式是； 【小题】 解：设点的坐标是，则， 点在第四象限， ， 当时，取得最大值，此时； 【小题】 解：存在，理由如下：， 当时，点，，，为顶点的四边形为平行四边形， ， 当时，方程无实数根；当时，解得． 综上所述，点的横坐标是或．   【解析】 见答案  见答案  见答案 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $