平面向量课时作业-2026届高三数学一轮复习

2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点,,,是坐标原点，若,在上的投影向量相等，则（   ） A．-2 B．0 C．2 D．6 【答案】C 【分析】运用投影向量的公式进行计算. 【详解】则在上的投影向量为， 在上的投影向量为.所以由题得，解得.故选：C. 2．已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】C 【分析】利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】由题意，得，故.故选:C 3．已知非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到方程组，设，则，，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】，所以，不妨设，则，，所以，故， 又，故与的夹角为.故选：D 4．已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算结合数量积公式计算求解. 【详解】因为，，所以，因为，所以， 即，解得或.故选：A. 5．已知向量满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合投影向量的定义运算求解即可. 【详解】因为在上的投影向量为，则，且，可得， 所以.故选：C. 6．在三角形ABC中，已知，那么（    ） A．25 B．24 C． D． 【答案】D 【分析】利用向量和为零向量，对其两边平方，结合向量模的平方等于向量的平方，展开后求解数量积的和即可. 【详解】由，对其两边平方可得： .故选：D. 7．设锐角三角形ABC的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另一式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案. 【详解】如图，圆是锐角的外接圆，设其半径为， 则， 由可得，即， 也即①. 又由两边平方可得，即， 也即② 联立①和②，解得，因为锐角三角形，故有，， 从而，， 于是，.故选：A. 8．已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得点的轨迹，进而根据点到直线的距离公式求解. 【详解】因为，所以．又， 所以，解得．因为，所以． 建立如图所示的直角坐标系，设， 因为，所以，整理得， 即点的轨迹是：圆心为，半径为2的圆． 设，则点在直线上运动，则， 令点到直线的距离为，则，无最大值，故选：B． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】当时，验证是否成立，即可判断A；根据平面向量数量积的坐标表示，验证是否成立，即可判断B；取，验证是否成立，即可判断C；验证是否成立，即可判断D. 【详解】若，则，所以，故A正确；因为，而，所以，故B正确； 取，则，此时， ，故C错误；因为，故D正确.故选：ABD. 10．已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式；B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算；C利用公式；D利用公式 【详解】因，则，故A正确；因，， 则，故B错误；，故C正确； 在上的投影向量为，故D正确.故选：ACD 11．已知平面向量．与的夹角为，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】对于A，因为，即不存在实数使，所以与不共线，故A不正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，因为，，所以故C正确； 对于D，在上的投影向量为.故D不正确.故选：BC. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．三角形ABC中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 【答案】 ； 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二. 【详解】如图， 因为，所以，所以． 因为D为线段的中点，所以； 又因为，所以， ，所以，所以， 所以 ． 故答案为：；. 13． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 . 【答案】. 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，则，． 因为∥，，所以，因为，所以， 所以直线的斜率为，其方程为，直线的斜率为，其方程为． 由得，，所以．所以． 14．若平面向量满足：；则的最小值是 【答案】 【详解】试题分析：因为，所以，，－8，所以 ，即的最小值是． 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理可求得，进而可求； （2）由三角形的面积利用三角形的面积可求，利用向量数量积的运算律把化简计算可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，所以，所以， 因为，； （2）因为， ， . 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得，可求； （2）由题意可得，两边平方可求得. 【详解】（1）因为，所以由余弦定理可得， 整理得，所以，所以， 所以，因为，所以； （2）因为，所以，又， 两边平方得，又，，， 所以，所以. 17．（15分）记三角形ABC的内角的对边分别为.已知的周长为，. (1)求的值； (2)若的面积为，求角的大小. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用数量积坐标公式计算再应用正弦定理边角转化求解； （2）先结合面积公式化简得出，再应用余弦定理计算求解. 【详解】（1）由题意可知，即 所以由正弦定理可得，于是，所以，因此； （2），由（1）知 又由余弦定理得，于是. 因为，所以. 18．（17分）在 三角形ABC中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算出的值，再利用正弦定理得进行化简，然后得到相应的值； （2）由得到，再由余弦定理，得到，从而得到. 【详解】（1）由，且，则， 又因为，由正弦定理得，所以 （2）因为，得，所以，即 由余弦定理得： 所以得，所以，所以. 19．（17分）已知 为三角形ABC的角 所对的边，且满足 , 为的中点. (1)求角 ; (2)若，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角； （2）利用数量积公式计算求得，由平面向量加法的平行四边形法则可得，计算出的值，即可求得的长． 【详解】（1）, 由正弦定理得，，， ∴， ，， 当时，，，∴，， ∵，. （2），∴， 又∵，由余弦定理得，∴. 由平面向量加法的平行四边形法则可得， 所以，，，即的长为． 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知点A(1,1),B(2,3),C(3,m),O是坐标原点，若OB,OC在OA上的投影向量相等，则m=() A.-2 B.0 C.2 D.6 2.已知向量m=(1,2),i=(2,3),则i.(位-=() A.1 B.0 c.-1 D.-2 3.已知非零向量a,3满足(a+4b)La,(a+3b)Lb,则a与6的夹角为() A若 B.3 C.2n 3 D.Sre 6 4.已知向量a=(2,2),a+b=(4,-3),若a⊥b,则的值可以为（) A.-4 B.-2 C.2 D.3 5.己知向量a万满足同=V3,1,若ā在8上的投影向量为，b,则cos(a6)=（) A.3 2 B.6 4 c.3 6 D.6 8 6.在三角形ABC中，已知AB=3,BC=4,AC=5,那么AB.BC+BC.CA+CAAB=() A.25 B.24 C.-24 D.-25 7.设锐角三角形ABC的外心为O,满足3OA.OB=O元.OC,sinC=Y5s sinA,则sinB=() 2 A.22+5 B.2W5+1 c.73 5 5 D.75 18 12 8.已知向量a,b,c满足=3，=1，a-=√7，=2-d,记m=tbt∈R),则m-c的取值范围是() A.「V2,+o） B.「2W5-2,+∞）C.（-∞，25+2）D.「2W5-2,23+2] 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知向量a=(c0sa,sin),b=(cosB,sino),c=(cos(a-B),-1),则下列说法正确的是() A.若a+B-则a/B B.a2=1+(ab)2 C.a.c=b.c D.+b2=2 10.已知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则() A.同=i0 B.（2a-b)Lb C.a与b的夹角为锐角 D.a在5上的按影向量为（剖 11.已知平面向量a=(-1,-2),b=1,-3).a与b的夹角为0，则() A.allb B.a(a-6) C.0=45° D.五在a上的投影向量为行) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填在题中的横线上） 12.三角形ABC中，D为AB边中点，C丽-CD,西-aAC-五，则B= (用a,b表示)，若|AE=5, AE⊥CB,则AE.CD= 13.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=2V5，AD=5,∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE, 则BD.AE=】 14.若平面向量a,五满足：2a-b≤3；则a.6的最小值是 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D是边BC的中点，三角形ABC的面积为 1,且(b+√3c)sinB=(a+c)(sinA-sinC). (1)求A: (2)求AB.(DA+DB)的值： 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,若b+2 c cosB=2a. (1)求角C: (2)已知a=3V2,b=3,D为AB边上一点，且BD=2DA,求CD. 17.(15分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知三角形ABC的周长为V5+2, a(.)mic (I)求c的值： (2)若三角形ABC的面积为2simC,求角C的大小 18(17分)在三角形ABC中，内角A层C的对边分别为a么c,己知公-ac,且co8=号 (1)求inB sin Asin C的值， (a设ABc-子，求a+c的值 19.(17分)己知a,b,c为三角形ABC的角A,B,C所对的边，且满足2b(sin BcosC+V3cosA)+csi12B=0，D 为BC的中点 (1)求角A; ②诺亚亚：a=7,求40的长2026届高考数学一轮复习课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的) 1.已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，m)，O是坐标原点，若 $$\overrightarrow { O B } ， \overrightarrow { O C }$$ 在 $$\overrightarrow { O A }$$ 上的投影向量相等，则 m= () A.-2 B.0 C.2 D.6 【答案】C 【分析】运用投影向量的公式进行计算 【详解】 $$\overrightarrow { O A } = \left( 1 ， 1 \right) ， \overrightarrow { O B } = \left( 2 ， 3 \right) ， \overrightarrow { O C } = \left( 3 ， m \right) ，$$ ，则 $$\overrightarrow { O B }$$ 在 $$\overrightarrow { O A }$$ 上的投影向量为 $$\frac { \overrightarrow { O B } \cdot \overrightarrow { O A } } { | \overrightarrow { O A } | ^ { 2 } } \cdot \overrightarrow { O A } = \frac { 5 } { 2 } \overrightarrow { O A } ，$$ $$\overrightarrow { O C }$$ $$\overrightarrow { O A }$$ 上的投影向量为 $$\frac { \overrightarrow { O C } \cdot \overrightarrow { O A } } { | \overrightarrow { O A } | ^ { 2 } } \cdot \overrightarrow { O A } = \frac { 3 + m } { 2 } \overrightarrow { O A }$$ .所以由题得 $$\frac { 3 + m } { 2 } = \frac { 5 } { 2 } ，$$ 解 解得m =2 .故选：C. 2.已知向量m $$= \left( 1 ， 2 \right) ， \overrightarrow { n } = \left( - 2 ， 3 \right) ，$$ ，则m $$\left( \overrightarrow { n } - \overrightarrow { m } \right) = \left($$ ) A.1 B.0 C.-1 D.-2 【答案】C 【分析】利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】由题意，得立-m=(-3，1) ^{∘} ，故m $$\left( \overrightarrow { n } - \overrightarrow { m } \right) = 1 \times \left( - 3 \right) + 2 \times 1 = - 1 .$$ .故选 ∵C 3.已知非零向量 $$\overrightarrow { a } ， \overrightarrow { b }$$ 满足 $$\left( \overrightarrow { a } + 4 \overrightarrow { b } \right) \bot \overrightarrow { a } ， \left( \overrightarrow { a } + 3 \overrightarrow { b } \right) \overrightarrow { b } \bot \overrightarrow { b } ，$$ ，则 $$\overrightarrow { a }$$ 与 $$\overrightarrow { b }$$ 的夹角为() $$A . \frac { \pi } { 6 }$$ $$B . \frac { \pi } { 3 }$$ $$C . \frac { 2 \pi } { 3 }$$ $$D . \frac { 5 \pi } { 6 }$$ 【答案】D 【分析】根据向量垂直得到方程组，设 =1， ，则 $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = - 3 ，$$ ，a $$\overrightarrow { x } = 2 \sqrt 3 ，$$ ，利用向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】 $$\left( \overrightarrow { a } + 4 \overrightarrow { b } \right) \cdot \overrightarrow { a } = \overrightarrow { a } + 4 \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 0 ， \left( \overrightarrow { a } + 3 \overrightarrow { b } \right) \cdot \overrightarrow { b } = \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } + 3 \overrightarrow { b } ^ { - 2 } = \left( \right.$$ ，所以 $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = - \frac { \overrightarrow { a } } { 4 } = - 3 \overrightarrow { b } ^ { - 2 } ，$$ 不妨设固 =1， 则 $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = - 3 ，$$ $$\overrightarrow { a } ^ { 2 } = 1 2 \overrightarrow { b } ^ { 2 } = 1 2 ，$$ ，所以 $$| \overrightarrow { a } | = 2 \sqrt 3 ，$$ $$\cos \left( \overrightarrow { a } \overrightarrow { b } \right) = \frac { \overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } } { | \overrightarrow { a } | \cdot | \overrightarrow { b } | } = \frac { - 3 } { 2 \sqrt 3 } = - \frac { \sqrt 3 } { 2 }$$ $$x \left( \overrightarrow { a } ， \overrightarrow { b } \right) \in \left[ 0 ， \pi \right]$$ ，故与 的夹角为 $$\frac { 5 \pi } { 6 }$$ .故选： 4.已知向量 $$\overrightarrow { a } = \left( 2 ， \lambda \right) ， \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } = \left( 4 ， - 3 \right) ，$$ ，若 $$\overrightarrow { a } \bot \overrightarrow { b } ，$$ ，则λ的值可以为() A.-4 B.-2 C.2 D.3 【答案】A 【分析】根据向量的加法运算结合数量积公式计算求解. 【详解】因为 $$\overrightarrow { a } = \left( 2 ， \lambda \right) ， \overrightarrow { a } + \overrightarrow { b } = \left( 4 ， - 3 \right) ，$$ ，所以 $$\overrightarrow { b } = \left( 2 ， - 3 - \lambda \right) ，$$ ，因为 $$\overrightarrow { a } \bot \overrightarrow { b } ，$$ ，所以 $$\overrightarrow { a } \cdot \overrightarrow { b } = 0 ，$$ 0， 即4-32-入2=0，解得2=1或1=4.故选：A 5.已知向量a6满是同=5，-1，若在6上的投影向量为}名，则csa6)-() A. 5 B C.3 6 2 D. 4 6 8 【答案】C 【分析】根据题意结合投影向量的定义运算求解即可. 【所据1国在上的能为片5.到的必子子且a1,用承-方 所以cos( 2W3 6故选：C 6.在三角形ABC中，己知AB=3,BC=4,AC=5,那么AB.BC+BC.CA+CAAB=() A.25 B.24 C.-24 D.-25 【答案】D 【分析】利用向量和为零向量，对其两边平方，结合向量模的平方等于向量的平方，展开后求解数量积的和即可. 【详解】由AB+BC+C4=0,对其两边平方可得： AB-BC+BC.CA+C4AB= AB+BC2+CA-32+4+5=25.故选：D. 2 2 7.设锐角三角形ABC的外心为0，满足OA.O死=O5.OC,sinC-5 则sinB=() A. 2W2+V3 B.25+1 C. 7W3 D. 7w2 5 5 18 12 【答案】A 【分析】结合图形，利用向量数量积的定义和二倍角公式将题设等式化成①式，再利用同角的三角函数关系将另 式化成②式，联立求出三角函数值，借助于和角公式即可求得答案 【详解】如图，圆O是锐角△ABC的外接圆，设其半径为R, 则|OAOB OC=R,∠AOB=2∠ACB,∠BOC=2∠BAC, 由3OA.OB=OB.OC可得3R2cos2C=R2cos2A,即3(2cos2C-1)=2cos2A-1, 也即3cos2C-cos2A=1①. 又由smC=55inA两边平方可得4simc=3sim24,即4-4eos'C=3-3cos4, 2 也即4cos2C-3cos2A=1② cos'C=2 5 联立①和②，解得 ，因&ABC为锐角三角形，故有cosC-0 cos24= 5 5 从而sinc=V-co时c-5,m4=-cos'A=25 5 于是，sinB=sim(A+C)=cosCsinA+cos AsinC= 2反+5故选：A 5 8.己知向量ā，b,c满足d=3,=1,a-=√7，=2-d，记m=bt∈R),则m-c的取值范围是() A.[V2,+∞）B.[25-2,+∞)C.（-m,25+2D.[2W3-2,2W3+2] 【答案】B 【分析】根据向量的模长公式可得<ā.6>号，进而建立直角坐标系，根据坐标运算可得C点的轨迹，进而根据点 到直线的距离公式求解. 【详解】因为a-=V万，所以2-2ā.6+2=7.又同=3,5-1， 所以9g-6cs<a.6>+1-7,解得cos<a5:因为aie0,所以<a.6号 y 建立如图所示的直角坐标系xOy,设ā=OA=(3,0),b=0B 1V3 22 ,c=0C=(x,y), 因为=2-，所以Vx2+y2=2Wx-3)+y2,整理得(c-4)2+y2=4, 即C点的轨迹是：圆心为E(4,0),半径为2的圆。 设m=OM=tOB,则点M在直线OB上运动，则m-c=bM-OC=M, 令点E到直线OB的距离为d,则1CL=d-r=Osim写2=25-2，无最大值，故选：B. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，有选错的得0分) 9.已知向量a=(cos,sinB),b=(cosB,sino),c=(cos(a-B),-1),则下列说法正确的是() A若a+B-受则ab B.a2=1+(ab)2 C.a-c=b.c D.a2+b2=2 【答案】ABD a+P上)时，验证cosasinc-sn6cosB=0是否成立，即可判断A:根据平面向量数量积 验证2=1+(ab)2是否成立，即可判断B:取a=0,B=π，验证ac=bd是否成立，即可判断C:验证a+b2=2是 否成立，即可判断D 【详解】若a+B= 分则m--ncsB=号（sm2a-n2)-sn(-2p）-snm2p]-0,所以a/i,枚A 正确；因为ab=cosccosB+sinasinB=cos(a-),而c2=cos2(a-B)+（1)2,所以c=1+(ab2,故B正确： 取a=0,B=元，则a=(1,0),b=(-1,0),c=(-1,-1),此时ac=-1,bc=1, ac≠c,故C错误；因为+b2=cos2a+sin2B+cos2B+sina=2,故D正确.故选：ABD. 10.己知平面向量a=(1,3),b=(-2,1),则() A.同=i0 B.(2a-B)LB C.a与b的夹角为锐角 D.a在5上的按影向量为(》 【答案】ACD 【分析】A利用向量的模的计算公式：B利用数量积的运算律以及向量的坐标运算：C利用公式c0sa石-a ：D 五.币 利用公式可 【详解】因ā=(3)，则d=V+3-10,故A正确；因ā：6=1x(2)3x1=1,=V-2)+12=√5， 则(2a-)6=2a.6-8=2-5≠0，故B错误；cosa.6=a6 50x510 5>0,故C正确： a在五上的投影向量为 故D正确.故选：ACD 11.已知平面向量a=(1,-2),b=1,-3).a与b的夹角为8，则() A.allb B.aL(a-6) C.0=45 D.b在a上的投影向量为 【答案】BC 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算逐项求解判断 【详解】对于A因为+号即不存在实数A位ā=瓜，所以a与6不共线。故A不正确： 对于B,a-b=(-1,-2)-(1,-3)=(-2,),a(a-=-1-)弋-9×1=(，所以a1(a-b),故B正确： 对于C,因为cosB= a.i_-1x1+(-2)x(-3)V2 d呵5x10 7,8e0列，所以8=故C正确 4 对于D,b在a上的投影向量为 2a=1x1+(-2x3到(1,2)(，2故D不正确故选：B@ 5 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.三角形ABC中，D为AB边中点，CE=C0,48=a4C-五，则：— (用a,表示)，若|AE=5, AE⊥CB,则A亚.CD= 【答案】 1a+2 -15 63 【分析】根据向量的线性运算求解即可空一，应用数量积运算律计算求解空二 【详解】如图， 因为丽=号而，所以亚-4C-aD-AC),所以A证-D+号c. 因为D为线段AB的中点，所以A证=AB+4C=a+2五： D 6 3 63 4正c西=信4+6(a-列-=言a+a6-6=0,所以云+3ai=话，所以云+ai=180 所以丽而-（信a*儿6-6-+a6-) 6 (a+2a6-20-a列-(a-4a列-l15, 故答案为：a+2五；-15 6 3 13.在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=2√，AD=5,∠A=30°，点E在线段CB的延长线上，且AE=BE, 则BDA正= 【答案】-1. 【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解. 【详解】建立如图睛示价直角丝标系，则20，D心5· 因为AD∥BC,∠BAD=30°，所以∠CBA=150°，因为AE=BE,所以∠BAE=∠ABE=30°， 所以直线正的率为号共方程为y。-2,直线证的斜率为气其方程为)=马。 . 3 3 -(x-23), 3 由 -x =6.-1，所以65-.所以丽=5多=1 3 D E 14.若平面向量a,五满足：2ā-s3;则a6的最小值是 【答案】 9 8 9 【详解1试题分析：因为2a-s3,所以，(2+2-4后-6≤9，-8a…5≤9，所以a52 9 ,即a·6的最小值是- 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,D是边BC的中点，△ABC的面积为1，且 (b+3c)sin B=(a+c)(sin A-sin C). (1)求A: (2)求AB.(DA+DB)的值. 【答案104- 5π (2)2√3 【分析】(1)利用正弦定理与余弦定理可求得c0SA,进而可求A: (2)由三角形的面积利用三角形的面积可求bc=4,利用向量数量积的运算律把AB.(DA+DB)化简计算可求解， 【详解】(1)因为(b+√3c)simB=(a+c)(sinA-sinC), 所以由正弦定理得b+5cb=a+ca-c)=a2-c,所以B+c:-a:-Vc,所以cs4B+c-dk5 因为A∈(0，，A= 6: 2)国为丽+D)=丽[证+A0)+丽-aC)=丽(-40)=-C-kosA5, 2 .ane =be sinA=Ibc=1.bc=4, 4 .(A+D丽=5c=235 2 16.(15分)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是，b,c,若b+2 c cos B=2a. (1)求角C: (2)已知a=3V2,b=3,D为AB边上一点，且BD=2DA,求CD. 【答案】四写 (2)V6+2√2 【分们1)利用余孩定理可得coxC分可求C-号 (2)由题意可得⑦-号丽-西，两边平方可求得cD 【详解】(1)因为b+2c0sB=2a,所以由余弦定理可得6+2c×。+。2-8 =2a, 2ac 整理得ab+2+c2-62=2如2，所以ab=a心+B-c2,所以+b-c2-, 2b=2' 所以caC=方因为0<C<,所以C=号 2)因为-2D,所以Bn-M-Oi-c④，又cD=cs+引Ci-c四)Ci+西， 3 两边平方得而-号C网+号CA.西+gc6,又c-子a=3,6-3, 9 9 所以C元-A×3+4×3W2×3×+x3=6+22,所以cD=V6+25 9 9 29 17.(15分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C.已知△ABC的周长为V5+2, a=(2cos4,6)5=tan4, a-6-finc. (I)求c的值： (2)若△ABC的面积为二sinC,求角C的大小 【答案】(1)c=2 cs2 【分析】(1)先应用数量积坐标公式计算再应用正弦定理边角转化求解； (2)先结合面积公式化简得出ab=1,再应用余弦定理计算求解 【详解】(1)由题意可知a.b=2cos4tanA+2sinB=V5sinC，,即2sinA+2sinB=√5sinC (2)）3=& sinc-mc-ab-=1,由(D知a+b-5e 又由余弦定理得cmC-4+6c-a+b-2ab-c,于是cosC-5-2-2- 2ab 2ab 2 2 因为0<C<,所以C=2 3 18.(17分)在三角形ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知6=c,且csB 3 如Ain C的值； sin B (1)求. @暖网c:登求a+e的位 【答案】03V5 23 2 【分析】(I)先算出sinB的值，再利用正弦定理得sin2B=sin AsinC进行化简，然后得到相应的值； (2)由BA.BC=得到6：，再由余弦定理，得到d+c2,从而得到a+c 2 【详解】()由cos8=子，且0<B<T,则snB=-cosB- 5 3 3 又因为b=ac,由正弦定理得sin2B=sinAsinC,所以，sinB sin B _135 sin Asin C sin2B sin B 5 (2)因为财c=子得业cos8-子所以x子即公= 4 由余流定理得：公=i+e-2cc因所以得a+e-斗，所以a+e旷=a+e+2c=早所以ac=园 2 19.(17分)已知a,b,c为三角形ABC的角A,B,C所对的边，且满足2 (sin BcosC+V3cosA+csin2B=0，D 为BC的中点. (1)求角A; ②)若AB:Ac5a=7,求AD的 【答案1@ 2 【分析】(1)利用正弦定理和三角函数恒等变换公式化简变形可求得角A: (2)利用数量积公式计算求得bc=15,由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD=AB+AC,计算出44D的值， 即可求得AD的长。 【详解】(1)2b(sin B cosC+V3cosA)+csin2B=0, 由正弦定理得2simB(sin BcosC+V3cosA+sinC2 sin B cos B=0,sinB≠0，sin BcosC+√3cosA+sinC.cosB=0, .sin(B+C)+3cos=0, :sin(B+C)=sin(π-A)=sinA，.sinA+√3cosA=0, 当cosA=0时，sinA=l,sin A+√3cosA≠0，.cosA≠0，.tanA=-√5， AE(0.),.A=2m 3 2）丽ac@or号如=片k5 又.a=7,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA,∴.b2+c2=34. 由平面向量加法的平行四边形法则可得2AD=AB+AC, 所以.40匝+C广=G2亚C+acc4b上a6ac4-15=19网-9罗即40的长为 2 2026届高考数学一轮复习 课时作业：平面向量 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知点,,,是坐标原点，若,在上的投影向量相等，则（   ） A．-2 B．0 C．2 D．6 2．已知向量，则（   ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 3．已知非零向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，，若，则的值可以为（   ） A． B． C．2 D．3 5．已知向量满足，若在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 6．在三角形ABC中，已知，那么（    ） A．25 B．24 C． D． 7．设锐角三角形ABC的外心为，满足，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知向量满足，记，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分) 9．已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C． D． 10．已知平面向量，，则（    ） A． B． C．与的夹角为锐角 D．在上的投影向量为 11．已知平面向量．与的夹角为，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上) 12．三角形ABC中，D为AB边中点，，则 （用，表示），若，，则 13． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则 . 14．若平面向量满足：；则的最小值是 四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．（13分）设三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，三角形ABC的面积为1，且. (1)求； (2)求的值. 16．（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若. (1)求角C； (2)已知，，D为AB边上一点，且，求CD. 17．（15分）记三角形ABC的内角的对边分别为.已知三角形ABC的周长为，. (1)求的值； (2)若三角形ABC的面积为，求角的大小. 18．（17分）在 三角形ABC中，内角的对边分别为，已知 ，且 . (1)求的值; (2)设 ，求的值. 19．（17分）已知 为三角形ABC的角 所对的边，且满足 , 为的中点. (1)求角 ; (2)若，求的长. 学科网（北京）股份有限公司 $