专题03 圆锥曲线（期末真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东日照·期末）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 6．（24-25高二上·山东滨州·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 7．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东东营·期末）若直线与椭圆交于A，B两点，点满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．满足的点共有4个 D．的最大值为8 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 12．（23-24高二上·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高二上·山东潍坊·期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 16．（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 17．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 18．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 19．（24-25高二上·山东东营·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线一定都关于坐标轴对称 B．曲线的离心率为2 C．若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D．设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 20．（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 21．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 22．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（    ） A．若，则该曲线为双曲线 B．若该曲线是椭圆，则 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率 23．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 24．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 25．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，椭圆的中心为坐标原点，为左焦点，分别为长轴和短轴的顶点，.则下列选项正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．成等差数列 C．成等比数列 D．过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，则 26．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（    ） A．的周长为6 B．A，，三点共线 C．A，两点间的最短距离为2 D． 27．（22-23高二上·山东潍坊·期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 三、填空题 28．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 29．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点、为椭圆 的左、右焦点，点为该椭圆上一点， 且满足 ，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为 . 30．（24-25高二上·山东东营·期末）已知平面平面，线段在平面内，为线段的中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为 ，如果，在平面内过点的直线与交于两点，则三棱锥的体积的最大值为 . 31．（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为 . 33．（22-23高二上·山东德州·期末）如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为 ． 四、解答题 34．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 35．（24-25高二上·山东东营·期末）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. (1)若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. (2)设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 36．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 37．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 38．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 39．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 40．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知两圆.一动圆与圆相外切，与圆相内切.设动圆的圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，其中为的等比中项，以为直径的圆的面积为，以为直径的圆的面积为的面积为，求的最小值. 41．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由． 42．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． (1)求曲线、的方程； (2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 43．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且． (1)求的标准方程； (2)不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值． 44．（23-24高二上·山东威海·期末）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 45．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 46．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 47．（23-24高二上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与轨迹交两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 48．（22-23高二上·山东潍坊·期末）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点.请探究：y轴上是否存在点R，使得?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由. 49．（23-24高二上·山东临沂·期末）动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与曲线交于两点，求的取值范围. 50．（22-23高二上·山东德州·期末）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值． 51．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为． (1)求C的方程； (2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上； (3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围． 52．（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，若，求直线的方程． 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）若过点的直线与双曲线相交于两点，且关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）设分别是双曲线的左、右焦点，若C上存在一点W满足，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 8．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·山东济南·期末）已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 14．（24-25高二上·山东东营·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线一定都关于坐标轴对称 B．曲线的离心率为2 C．若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D．设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 16．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）． A．若，则C的虚轴长为 B．若，则 C．若存在l使，则 D．若存在l使，则 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 18．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（    ） A．若，则该曲线为双曲线 B．若该曲线是椭圆，则 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率 19．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 三、填空题 20．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 21．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 22．（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 23．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 . 24．（23-24高二上·山东日照·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ．    25．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为 ． 26．（23-24高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为 . 四、解答题 27．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 28．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点 ，离心率 . (1)求双曲线 的方程及其渐近线方程； (2)过点的直线 交双曲线 于 两点(点在第一象限)，记直线 斜率为 ，直线斜率为，求的值; (3)过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点 为弦 的中点，证明: 29．（24-25高二上·山东日照·期末）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程； (2)设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值； (3)直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 30．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 31．（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 33．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 34．（23-24高二上·山东日照·期末）已知双曲线：的实轴长为4，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：． 35．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 36．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由． 37．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济宁·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 5．（21-22高二上·福建厦门·期末）抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 6．（22-23高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 二、多选题 7．（22-23高二上·山东潍坊·期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（    ） A．若，则 B．若点的坐标为，则的最小值为4 C． D．若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条 9．（23-24高二上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：，另一组对边.则下列命题正确的有（    ） A． B．与距离相等的点的轨迹方程为 C．该菱形一定有内切圆和外接圆 D．若直线经过抛物线的焦点，则 10．（22-23高二上·山东聊城·期末）在棱长为的正方体中，M，N，P均为侧面内的动点，且满足，点N在线段上，点P到点的距离与到平面的距离相等，则（    ） A． B．平面平面 C．直线AM与所成的角为定值 D．MP的最小值为2 11．（23-24高二上·山东日照·期末）已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（    ） A．的准线方程为 B．在点处的切线方程为 C．若，则 D．若，则 12．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）为坐标原点，以为准线，为焦点的抛物线的方程为：.过的直线交于两点，于于为线段的中点.下列选项正确的有（    ） A．面积的最小值为4 B． C．直线与轴交于点，过点作的垂线与轴交于点，则 D．，当且仅当轴时取等号 三、填空题 14．（22-23高二上·山东德州·期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米． 15．（22-23高二上·山东潍坊·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 . 16．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为 ． 18．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 19．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 20．（23-24高二上·山东滨州·期末）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，点在轴的上方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为为坐标原点，则 . 21．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 四、解答题 22．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值． 23．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 24．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 25．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 26．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 27．（24-25高二上·山东东营·期末）如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. (1)水面的宽为多少? (2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 28．（22-23高二上·山东德州·期末）已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） 29．（22-23高二上·山东潍坊·期末）已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，且. (1)求直线AB的斜率； (2)若的面积为，求抛物线C的方程. 30．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 31．（23-24高二上·山东东营·期末）已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值 32．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． (1)求曲线、的方程； (2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 33．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由． 34．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的准线方程为，直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点． (1)若为等腰直角三角形，求的面积； (2)若，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标． 35．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 36．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线 3大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程中表示椭圆的特征列式求解. 【详解】由方程表示焦点在x轴上的椭圆，得，解得， 所以m的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】结合椭圆的几何性质，即可求解. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为，可得且，解得. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知结合椭圆定义得出，再结合余弦定理得出，进而得出离心率. 【详解】 因为，又因为，所以， 因为，则，， 在中，， 所以， 所以， 所以，所以. 故选：D. 4．（24-25高二上·山东日照·期末）已知椭圆的左焦点为为坐标原点，若在上存在关于轴对称的两点，使得为正三角形，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，利用中位线性质得到是的直角三角形，在焦点三角形中利用椭圆定义即可建立的关系，从而求得离心率． 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为 ，直线交于点M， 连接，因为为正三角形，， 所以M为 的中点，所以， 故 ，易知 ， 所以， ，由椭圆的定义知 ， 即，得 . 故选：B. 5．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与交于两点，则平行四边形的周长为（    ） A． B．8 C． D．16 【答案】C 【分析】由题意，根据椭圆的定义计算直接得出结果. 【详解】由题意知，，由椭圆的定义知， 四边形的周长为. 故选：C 6．（24-25高二上·山东滨州·期末）椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】求出的值，结合椭圆的标准方程可得出该椭圆的焦点坐标. 【详解】在椭圆中，，，则， 所以，椭圆的焦点坐标为和. 故选：B. 7．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知、分别是椭圆 的左右顶点，是椭圆上异于、的任意一点，直线与斜率之积 ，则此椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，可得出，利用斜率公式以及已知条件可得出的取值范围，再由可求得该椭圆离心率的取值范围. 【详解】设点，则，且，可得， 易知、， 所以， 所以，可得， 故. 故选：D. 8．（24-25高二上·山东东营·期末）若直线与椭圆交于A，B两点，点满足，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线、椭圆方程，结合韦达定理，可得线段AB的中点为，结合斜率关系可得，进而可求离心率. 【详解】显然，直线，即为，    设，， 联立方程，消去x可得， 则，，， 即线段AB的中点为， 因为，则，且直线AB的斜率， 则，整理可得， 所以椭圆的离心率为. 故选：B 9．（24-25高二上·山东滨州·期末）如图所示，用一个与圆柱底面成角的平面截圆柱，截口曲线是一个椭圆，，为该椭圆的焦点，为椭圆上任意一点.若圆柱的底面圆半径为1，，则下列结论不正确的是（    ）    A．椭圆的长轴长为4 B．椭圆的离心率为 C．满足的点共有4个 D．的最大值为8 【答案】D 【分析】根据给定图形，求出椭圆长、短半长轴、，再逐项计算、判断作答. 【详解】设椭圆的长半轴长为，短半轴长为，半焦距为， 椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径， 则由截面与圆柱底面成锐二面角，得，故A选项正确； 显然，，解得，则，离心率，故B选项正确； 以椭圆的对称中心为圆心，为半径作圆，由，可知与椭圆有4个交点，所以满足的点共有4个，故C选项正确； 由椭圆定义，可得，根据不等式，可得，解得，当且仅当时，取得最大值，故D选项错误. 故选：D. 10．（23-24高二上·山东青岛·期末）点在椭圆上，，点到直线的距离为，则（    ） A．与无关 B． C． D． 【答案】C 【详解】设点，， 因为动点在椭圆上，则， 因为点到直线的距离为，所以， 又， 所以 ． 故选：C． 11．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知椭圆C：（）经过和两点，则C上的点到右焦点距离的最小值为（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据已知条件求得以及椭圆方程，进而求解结论即可. 【详解】∵椭圆C：（）经过和两点， ∴，，∴，椭圆方程为：. ∴C上的点到右焦点距离的最小值为：. 故选：B. 12．（23-24高二上·山东济宁·期末）若椭圆：的左、右焦点分别为，，为C上的任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的参数方程求出关键点的坐标，将目标式转化为三角函数式子求值域即可. 【详解】易知椭圆的参数方程为(是参数)，， 故，，， 故设，由两点间距离公式得， ， 故， 而，，故，即，故B正确 故选：B 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知椭圆的长轴长为4，离心率为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长轴以及离心率即可求解. 【详解】由长轴长为4，可得，又离心率为，即， 解得，故， 所以椭圆方程为， 故选：A 14．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P在第一象限，设双曲线方程，由题意可得c的值，且有，，结合余弦定理即可求得的值，求出，即可求得答案. 【详解】由题意可设双曲线方程为， 由于双曲线与椭圆有相同的焦点，，故，即， 不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，， 以上两式平方后相加减，得，， 由于，故， 则，则， 故双曲线方程为， 故选：D 15．（23-24高二上·山东潍坊·期末）月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可. 【详解】由题意得，半圆的方程为，在半椭圆中，则， 故半椭圆方程为，将代入半椭圆，解得， 将代入半圆，解得，故， 然， 故选：D 16．（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆的焦距为2，则实数m＝（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】D 【分析】分焦点在上和焦点在上讨论，利用列方程求. 【详解】焦距为2，即. 当焦点在上时，，得； 当焦点在上时，，得； 综合得或. 故选：D. 17．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质以及通径，可得，，再根据已知列式，结合椭圆的关系，求出离心率即可. 【详解】为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点， 由椭圆的性质，可得. 过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点， . 等于的最小值的3倍， . 椭圆中， ，即， 则. ， ，解得或（舍）. 故选：B. 二、多选题 18．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 19．（24-25高二上·山东东营·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线一定都关于坐标轴对称 B．曲线的离心率为2 C．若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D．设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 【答案】ACD 【分析】设，由题意得，即，从而可判断A；曲线即为，求其离心率可判断B；曲线即为，根据椭圆的方程特征即可判断C；曲线为曲线，即由，结合椭圆的对称性即可判断D. 【详解】设，因为，所以，即 对于A，只含和常数项，所以曲线一定都关于坐标轴对称，故A正确； 对于B，曲线即为，为等轴双曲线，其离心率为，故B错误； 对于C，曲线即为，即， 因为曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，得，解得，故C正确； 对于D，曲线为曲线，即，即    设点，则， 同理可得，由椭圆的对称性可得，， ，，同理可得，， 直线，，，这10条直线的斜率乘积为：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 20．（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（   ） A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为5 D．存在点，使得 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长、半焦距，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，椭圆的长轴长为6，A错误； 对于B，椭圆的离心率为，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，，以线段为直径的圆在椭圆内，因此不存在点，使得，D错误. 故选：BC. 21．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误； 对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故B正确； 对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确； 对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则， 解得，故D正确. 故选：BCD. 22．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（    ） A．若，则该曲线为双曲线 B．若该曲线是椭圆，则 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率 【答案】AD 【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项. 【详解】A选项，若，则， 则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确； B选项，曲线是椭圆等价于，解得且， 故B错误； C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且， 当时，焦点在轴，， ，解得, 当时，焦点在轴，， ，解得, 故C错误； D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得， 此时， ，当时，函数单调递增， 所以，故D正确. 故选：AD. 23．（23-24高二上·山东济南·期末）已知，分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（    ） A．椭圆C的焦距为6 B．的周长为16 C． D．的面积的最大值为16 【答案】AB 【分析】由椭圆方程求得，，的值，根据椭圆的几何性质结合选项即可逐一求解. 【详解】由椭圆，得，，， 椭圆的焦距为，故A正确； 又为椭圆上异于长轴端点，的动点，△的周长为，故B正确； ，故C错误； 当为椭圆的短轴的一个端点时，△的面积取最大值为，故D错误． 故选：AB． 24．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 25．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图，椭圆的中心为坐标原点，为左焦点，分别为长轴和短轴的顶点，.则下列选项正确的是（    ） A．椭圆的离心率为 B．成等差数列 C．成等比数列 D．过焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，则 【答案】ACD 【分析】利用椭圆性质以及勾股定理可得，解方程可知A正确，再利用可得成等比数列，即可知B错误，C正确；由通径公式可得D正确. 【详解】根据椭圆性质可得， 可得， 由可得，即， 可得，即，解得或（舍），即A正确； 由可得，即成等比数列，可得B错误，C正确； 易知为通径，可得，即D正确. 故选：ACD 26．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，且点是直线上任意一点，过点作的两条切线，，切点分别为，则（    ） A．的周长为6 B．A，，三点共线 C．A，两点间的最短距离为2 D． 【答案】ABD 【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A的真假；求出切点弦的方程，判断是否过右焦点可判断B的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D项. 【详解】设椭圆长轴长，短轴长，焦距， 则由椭圆方程可知， 如图：    因为A在椭圆上，所以，， 所以的周长为，故A正确； 对B：设点的坐标为，，， 由图可知，过点作椭圆的切线，切线斜率必存在. 所以过A点的切线方程可设为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 因为：，， 所以：, 即. 所以过点A的切线为：. 又切线过点，所以. 同理：. 故A，两点都在直线上，而点也在这条直线上，所以A，，三点共线，故B正确； 对C：若直线无斜率，则, 若直线有斜率，结合B项结论可设其方程为：, 联立方程组：，消去得：， 整理得：， 则，， 所以， 所以：. 综上：.故C错误； 对D：设过点的切线方程为：， 联立方程组：，消去得：， 由得：， 整理得：， 不妨设，则， 易知， 且均为锐角，故 ， 所以，故D正确. 【点睛】难点点睛：对于B项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆上一点的切线方程为，过椭圆外一点的切点弦方程为，如此可直接快速判定B项；对于C项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可. 27．（22-23高二上·山东潍坊·期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 【答案】BC 【分析】根据给定的方程，结合圆、圆锥曲线方程的特征逐项判断作答. 【详解】曲线E的方程为：，显然且， 对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误； 对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确； 对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线， 当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线， 因此当或时，曲线E为双曲线，C正确； 对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误. 故选：BC 三、填空题 28．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点且斜率为1的直线与交于两点，，则椭圆离心率的值为 ；当时，设的内切圆圆心为，外接圆圆心为，则的值为 ． 【答案】 【分析】直线的方程为，设，联立方程组利用弦长公式求得，结合弦长可得，进而可求离心率，结合，求得椭圆的方程，进而求得的坐标，进而利用外心与内心的性质求得的坐标，进而可求. 【详解】由题意可得直线的方程为，设， 联立，消去，得， 整理得， 所以， 所以 ， 又，所以，所以， 所以，所以， 解得或（舍去），所以，所以离心率； 当时，可得，所以椭圆的方程为， 所以，直线的方程为， 代入椭圆方程得，解得或， 可得，故在轴上， 设内切圆的半径为，所以， 所以，所以，即， 又的中点坐标为，的中点坐标为，， 所以的垂直平分线的方程为，即， 的垂直平分线的方程为，即， 联立，解得，所以， 所以. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：关键在于利用直线方程与椭圆方程联立方程组求得弦长，利用已知可得，进而可求离心率. 29．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知点、为椭圆 的左、右焦点，点为该椭圆上一点， 且满足 ，若的外接圆面积是其内切圆面积的倍，则该椭圆的离心率为 . 【答案】 【分析】在中利用余弦定理求得，从而可得的面积，由等面积法可得内切圆半径，和正弦定理可得外接圆半径，结合已知可解. 【详解】根据椭圆的定义，余弦定理，面积相等即可求解. 如图，由椭圆的定义可知，且，又， 利用余弦定理可知： ， 化简可得， 所以的面积为， 设的外接圆半径为，内切圆半径为， 由正弦定理可得，可得， 易知的周长为， 利用等面积法可知，解得， 又的外接圆面积是其内切圆面积的倍，即，所以， 即可得， 所以，离心率. 故答案为： 【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： 求出，，代入公式； 只需要根据一个条件得到关于，，的齐次式，结合转化为，的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围)． 30．（24-25高二上·山东东营·期末）已知平面平面，线段在平面内，为线段的中点，，，点为内的动点，且点到直线的距离为，则动点的轨迹的离心率为 ，如果，在平面内过点的直线与交于两点，则三棱锥的体积的最大值为 . 【答案】 / / 【分析】利用椭圆的定义求出椭圆的离心率；求出底面积的最大值，可求三棱锥体积的最大值. 【详解】解：空间中到直线的距离为的点构成一个圆柱面，它和面相交得一椭圆， 所以在内的轨迹为一个椭圆，为椭圆的中心，    在平面内，当时，可知，再由，可得， 所以，即，于是动点P的轨迹的离心率为 如图在平面内建立直角坐标系，可得椭圆方程为，为椭圆的焦点，，， 由题意设直线方程为，与椭圆方程联立，消去x，整理可得， 设的纵坐标为，则， 所以， 设，则， 当且仅当，即时，， 所以三角形的面积的最大值为， 又因为三棱锥的高为， 所以三棱锥的体积的最大值为 故答案为：； 31．（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由题意得，，由此即可求解；第二空：由题意得，结合离心率公式即可求解. 【详解】 由题意为椭圆内一点．首先，， 又双曲线：经过点和点， 所以，即，， 所以，结合可化简得， 所以，即的取值范围是； 因为，所以， 因为，所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为直线的交点，且点在线段上， 所以解得，又，， 所以. 故答案为：，. 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且，O为坐标原点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的定义以及余弦定理求出，再根据，即可解出. 【详解】解：椭圆C：，可得，，故， ∵，分别为椭圆C：的左、右焦点，P为C上一点，且， ∴， ∴，可得. 所以 . 故. 故答案为：. 33．（22-23高二上·山东德州·期末）如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为 ，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程. 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 可得，，， 所以，，， 故所求周长为； 设， 联立直线与，得， 即点， 联立直线与，得， 即点，且不重合，即， 又为中点， 所以， 即，，整理可得，， 故答案为：，. 四、解答题 34．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）由题意可得，求出即可求解； （2）①设直线的方程和，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程，解之即可求解； ②联立直线可得，由①知，化简计算即可求解. 【详解】（1）由题意可知，，所以． 又， 所以椭圆的方程为； （2）①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则． 又因为点到直线的距离． 令，解得， 所以直线的方程为． ②由①知， 则直线，直线， 由，整理得． 由①知，得， 所以， 即，解得， 所以点在直线上．    35．（24-25高二上·山东东营·期末）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C交于A，B两点. (1)若点P为椭圆C上异于点A，B的点. ①若直线AP，BP斜率分别为，，求证：为定值; ②若直线，点A在x轴上的射影为点D，求证：B，P，D三点共线. (2)设A在第一象限，点M为椭圆C的上顶点，点M关于直线的对称点为点N，直线AB与直线MN交于点Q，且，求直线AB的方程. 【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析 (2) 【分析】（1）①求出，设，则，由椭圆方程得，设，利用椭圆方程和斜率公式即可求证; ②通过求证，即可求证三点共线； （2）求出A点坐标，代入椭圆方程，求出k即可得直线方程. 【详解】（1）因为椭圆离心率为，所以 设，则，则，解得： ①设，则，整理得 ②依题意得：，， 因为所以，即： 而， 所以，故B、P、D三点共线. （2）依题意得：MN方程为，与联立得： 在中，由正弦定理可得：， 又， 所以，即， 所以A点的坐标为， 代入椭圆方程：，解得 故直线AB的方程为 【点睛】方法点睛：椭圆中定值问题，一般设交点坐标为，然后用动点坐标表示目标代数式，结合点满足的椭圆方程化简得到定值． 36．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可， （2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）（ⅰ）当直线与轴重合时，点则， 所以， 当直线与轴不重合时，设， 联立，则， 由得， 设，则 所以 由于，故同号，因此， 故 ， 此时， 综上可得的最大值为 （ⅱ）由于,设， 当直线与轴重合时，，符合题意， 当直线与轴不重合时，设 联立，则， 则 而 ， 即，故， 综上可得, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 37．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知抛物线：的准线与椭圆相交所得弦长为. (1)求抛物线的方程； (2)若圆过点，且圆心在抛物线上运动，是圆在轴上截得的弦.求证：弦的长为定值； (3)过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点和点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)32. 【分析】（1）由抛物线准线与椭圆的相交弦长易得椭圆上的点，代入即可求得的值； （2）设圆心的坐标为，利用圆的弦长公式计算即可证得； （3）设直线，的方程分别为，，点、，由直线与抛物线方程联立，利用抛物线焦半径公式求出和，再求得四边形的面积表达式，利用基本不等式即可求得面积的最小值. 【详解】（1）由已知，抛物线的准线方程为. 因为直线与椭圆相交所得弦长为. 结合椭圆的对称性， 可得直线与椭圆相交弦的一个端点坐标是， 将代入椭圆方程化简得，解得. 所以抛物线的方程为. （2） 如图，设圆心的坐标为， 由在抛物线上，可知到轴距离为，， 则， ， 故圆心在抛物线上运动时，弦的长为定值4. （3） 由（1）知. 易知，直线，的斜率存在且不为零， 如图，设直线，的方程分别为，， 点、， 由得， ，， 则， 同理可得， 所以四边形的面积为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即四边形的面积的最小值为32. 【点睛】思路点睛：本题主要考查与抛物线有关的四边形面积最值问题，属于较难题. 考虑到过焦点的两条弦互相垂直，将直线方程与抛物线方程联立得出韦达定理，利用焦半径公式求出弦长后，可直接写出，最后对于四边形的面积表达式，通过基本不等式求其最值. 38．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2. (1)求的方程； (2)若斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意得到关于、、的方程组，解得即可； （2）设，，利用点差法得到，再由点在椭圆内部，求出的取值范围，即可求出的范围. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）设，， 因为线段的中点为，所以， 又，两式相减可得， 即， 所以， 又点在椭圆内部，所以，解得， 所以，即的取值范围为. 39．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆和双曲线定义得到方程组，求得，进而可得，可求椭圆的方程； （2）设，，，由椭圆定义得到，设直线，，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，结合基本不等式求出的最大值． 【详解】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为，    所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 40．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知两圆.一动圆与圆相外切，与圆相内切.设动圆的圆心的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)为曲线上的两动点，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为，其中为的等比中项，以为直径的圆的面积为，以为直径的圆的面积为的面积为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆与圆的位置关系，结合椭圆的定义，及看看求解； （2）首先设直线，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，化简后求的值，并利用坐标和韦达定理表示和，并根据的取值，求面积比值的最值. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为3， 则，，则， 根据椭圆的定义，知动圆圆心的轨迹为：以为焦点，长轴为4的椭圆， 即； （2）设直线， ，得①， ， 由得，得， 所以：.即，得. 代回①式，得，由，得. ， ， 所以.（当且仅当时取等） 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法将其与椭圆方程联立得到韦达定理式，再根据代入整理得到，再计算的值，最后利用面积公式和弦长公式得到，再结合基本不等式即可. 41．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由． 【答案】(1) (2)坐标原点О在直线MH上，理由见解析 【分析】（1）利用弦长可得点的坐标，代入方程可得答案； （2）设出直线方程，利用韦达定理及斜率相等可得结论. 【详解】（1）因为的准线l的方程为，在l上， 所以，． 又轴时，，所以点在上， 所以，解得． 所以的方程为． （2）坐标原点О在直线MH上． 由题意直线的斜率不为0，设直线， 联立，消去x，得，， 设，，则， 因为于点H，所以， 所以，， 因为， 所以M，O，H三点共线，即坐标原点О在直线MH上．    42．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． (1)求曲线、的方程； (2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分析可知，曲线为抛物线，确定该抛物线的焦点坐标与准线方程，可得出曲线的方程，求出、的值，结合焦点位置可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程分别与曲线、的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意知，点到直线的距离等于， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为. 因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，， 所以，，所以，曲线的方程为. （2）解：若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为 由，整理得，则， 设、，则，， 所以，，则， 由，整理得， 则， 设、，则，， 所以， ， 因为，即，可得，解得， 所以，直线的方程为. 43．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且． (1)求的标准方程； (2)不过原点的直线与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点（点在线段上且不与端点重合），若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的面积公式、椭圆的离心率以及，可求得、的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据题意推导出点为线段的中点，将点的坐标代入椭圆的方程，可得出，将韦达定理代入可得，再利用基本不等式可求得直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值. 【详解】（1）解：由题意可得， 又因为椭圆的离心率为，所以， 又，联立解得，， 所以椭圆的标准方程为 （2）解：设点、， 联立可得， 则，① 由韦达定理可得，， 所以 ， 因为点为中点，所以， 由，可得，即， 所以，点为中点， 所以点的坐标为， 将点的坐标代入椭圆的方程，可得， 化简得， 又，， 代入上式可得，，即． 把，，代入， 可得，且满足①式． 在直线的方程中，令，可得，即直线交轴于点， 则直线与坐标轴所围成三角形面积为 ， 当且仅当时，即当时取等号． 所以直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 44．（23-24高二上·山东威海·期末）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求的方程； (2)若为的右顶点，点，在上，直线与的斜率之和为，，为垂足. 证明：存在定点，使得为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题目条件列关于的方程组求解即可； （2）直线的方程为，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理以及，计算可得关系，继而可得直线过定点，根据定点可以找到使为定值的点. 【详解】（1）由题意知，， 解得， 所以的方程为； （2）由题意知，直线存在斜率， 设直线的方程为，，， 则， 由，可得， 所以， 则， ， 所以， 又， 所以， 所以，可得，   所以，即， 所以直线恒过点， 令为的中点，则， 由题意知，是的斜边，所以， 所以存在点，使得为定值.    【点睛】方法点睛：将关于存在定点，使得为定值的问题转化为直线过定点问题，通过设出直线方程，然后找到参数的关系即可得定点. 45．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知圆，圆心是点T，点G是圆T上的动点，点H的坐标为，线段GH的垂直平分线交线段TG于点R，记动点R的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)过点H作一条直线与曲线E相交于A，B两点，与y轴相交于点C，若，，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)过点作两条直线MP，MQ，分别交曲线E于P，Q两点，使得.且，点D为垂足，证明：存在定点F，使得为定值. 【答案】(1) (2)为定值，， (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得，动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示，化简即可； （3）设的方程是，与椭圆方程联立，由条件，可得，则或，可证直线经过定点，又因为，所以D在以线段MK为直径的圆上，可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，半径， 因为线段的中垂线交线段于点， 所以， 所以， 所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆， 所以，，， 故曲线E的方程为. （2）当直线的斜率不存在时，其方程为， 与y轴不相交，不合题意，舍去， 当直线的斜率存在时，设所在直线方程为， 设，， 由 消去y整理得， 恒成立， 所以， 又因为直线与y轴的交点为C，所以， 所以，， ，， 又因为，所以，同理， 所以，且， 所以， 整理后得， 所以为定值，原题得证. （3）设，显然的斜率存在，，， 设的方程是， 由消去y得， 则，即， 由韦达定理得， 根据已知，可得， 即， 又，， 代入上式整理得， 则或， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点， 当时，直线的方程为， 所以直线经过定点与M重合，舍去， 故直线经过定点， 又因为， 所以D在以线段MK为直径的圆上. 所以F为线段MK的中点，即， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为的形式； （5）代入韦达定理求解. 46．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知椭圆C的两个焦点分别是，，并且经过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，当线段AB的长度最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法一：将代入椭圆方程，结合焦点坐标，列出方程组，求出，得到椭圆方程；解法二：由椭圆定义求出，结合焦点坐标，求出，得到答案； （2）联立直线与椭圆方程，得到两根之和，两根之积，表达出弦长，求出最大值和直线方程. 【详解】（1）解法一：因为椭圆C的焦点在x轴上．所以设它的标准方程为． 由题意知，， 解得． 所以，椭圆C的标准方程为． 解法二：由于椭圆C的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为． 根据椭圆定义得， 即． 又因为，所以， 所以，椭圆C的标准方程为． （2）由，消去y，得， 因为直线与椭圆C相交于A，B两点， 所以， 解得． 设，， 则，， 所以 当时，取最大值，此时直线l的方程为 47．（23-24高二上·山东东营·期末）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设为坐标原点，过点且与坐标轴不垂直的直线与轨迹交于两点.线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由； (3)过点且不垂直于轴的直线与轨迹交两点，点关于轴的对称点为，证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)存在， (3)证明见解析 【分析】（1）根据圆的位置关系可得圆心距与半径的关系，即可结合椭圆的定义判断轨迹符合椭圆定义，即可利用椭圆的性质求解． （2）联立直线与椭圆方程得，由已知条件推导出直线的方程为：，由此能求出线段上存在点，使得，其中． （3）联立直线方程与椭圆方程得，得韦达定理，进而根据点斜式求解直线的方程为，代入化简运算即可求解直线过定点． 【详解】（1）设动圆的半径为, 由于的圆心半径分别为为，且与圆的圆心和半径分别为， 由题意可得, 故,因此点轨迹满足椭圆方程，且以为焦点，以4为长轴长的椭圆， 故， 故轨迹的方程为    （2）设直线的方程为：，， 代入，得：， 恒成立． 设,，,，线段的中点为,， 则，， 由，得：， 直线为直线的垂直平分线， 直线的方程为：， 令得：点的横坐标， ，，． 线段上存在点，使得，其中．      （3）设直线的方程为：，， 代入，得：， 过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点， 由， 化简得，解得：， 设,，,，,， 则，， 则直线的方程为， 令得： ． 直线过定点．    【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 48．（22-23高二上·山东潍坊·期末）如图，D为圆O：上一动点，过点D分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为A，B，连接BA并延长至点W，使得，点W的轨迹记为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，且，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标； (3)若曲线C交y轴正半轴于点S，直线与曲线C交于不同的两点G，H，直线SH，SG分别交x轴于P，Q两点.请探究：y轴上是否存在点R，使得?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3)存在， 【分析】（1）设，求得点坐标并代入，化简求得曲线的方程. （2）设可设的方程为：，直线的方程为，将直线的方程与曲线的方程联立，求得的坐标，对进行分类讨论，由此证得直线过定点并求得定点坐标. （3）假设存在点使得，先求得，设出的坐标，有直线和直线的方程求得两点的坐标，结合在曲线上求得点的坐标. 【详解】（1）设，，则，， 由题意知，所以，得，所以， 因为，得，故曲线C的方程为. （2）由题意可知，直线，不平行坐标轴，则可设的方程为：， 此时直线的方程为. 由消去x得：， 解得：或（舍去），所以， 所以，同理可得：. ①当时，直线MN的斜率存在， ， ：， 所以直线MN过定点. ②当时，直线MN斜率不存在，此时直线MN方程为：，也过定点， 综上所述：直线MN过定点. （3）假设存在点R使得，设， 因为，所以，即， 所以，所以， 直线与曲线C交于不同的两点G、H，易知G、H关于x轴对称， 设，（，） 易知点，直线SG方程是，令得点Q横坐标， 直线SH方程是，令得点P横坐标， 由，得，又在椭圆上， 所以，所以，， 所以存在点，使得成立. 【点睛】方法点睛：利用相关点代入法求动点的轨迹方程，首先是设动点坐标为，然后根据对称性、向量或比例求得相关点的坐标，再根据相关点在题目给定的曲线上，利用代入法，化简后可求得动点的轨迹方程，最后要注意是否有特殊点不符合题意. 49．（23-24高二上·山东临沂·期末）动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数. (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与曲线交于两点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出方程，整理化简即可求解； （2）结合题干条件和（1）的结论可得，，进而得到，然后根据的位置讨论即可求解. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比是常数，则，所以， 整理化简可得：， 所以动点的轨迹的方程为. （2）设，， 由题干可知：，，所以， 当与左顶点重合，与右顶点重合时，取最大值， 取最小值，此时取最大值； 当与右顶点重合，与左顶点重合时，取最小值，取最大值，此时取最小值， 故的取值范围为. 50．（22-23高二上·山东德州·期末）已知椭圆的短轴长为，且过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线与椭圆相交于、两点，以为直径的圆过点，求点到直线距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点，结合短轴长列方程，解方程即可； （2）法一：当直线斜率不存在时，设点与的坐标，根据，解方程可得直线方程，当斜率存在时，设直线方程为，联立直线与椭圆，结合韦达定理及，可得，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：将椭圆方程转化为，设直线方程为，与椭圆联立构造齐次式得，所以则，是方程的两个根，则，即，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定距离的最值. 【详解】（1）椭圆的短轴长为，所以，， 代入点，得，所以 椭圆的方程为； （2）法一： 当直线斜率不存在时，则有、，直线的方程为：， 因为以直径的圆过点，所以， ， 又，可得，解得或（舍去）， 当直线斜率存在时，设直线的方程为：， 设点， 联立，得， 由韦达定理得，， ， 点点不在直线上，所以，则有，经检验，此时，满足题意， 所以直线的方程为，直线过定点 综上，直线恒过定点，记作 则当时，点到直线距离最大，最大值为. 法二：齐次化构造 椭圆的标准方程为，即 变形为， 即， 设直线的方程为 与椭圆方程联立构造齐次式为 即： 设点， 则，是方程的两个根， 又因为， 所以，即 代入直线方程得：， 故直线过定点，记作记作 则当时，点到直线距离最大，最大值为. 【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 51．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，（），上顶点为A，，且到直线l：的距离为． (1)求C的方程； (2)与l平行的一组直线与C相交时，证明：这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上； (3)P为C上的动点，M，N为l上的动点，且，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）由题意，根据椭圆的顶点坐标以及点到直线距离公式，可得答案； （2）由两直线的平行关系，设出直线方程，联立方程，利用韦达定理，表示出中点坐标，可得答案； （3）根据直线的平移，取与椭圆相切是的临界点，利用三角形的面积公式，可得答案. 【详解】（1）设，，由题意得， 解得，所以C的方程为． （2）证明：设这组平行线的方程为，与联立消去x，得， 则，得． 设直线被C截得的线段的中点为，则，其中，是方程的两个实数根． 所以， 消去m，得，所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上． （3）由（2）知，l与C相离， 当直线与C相切时，，解得或． 当时，直线与l的距离为，此时， 当时，直线与l的距离为，此时， 所以面积的取值范围为． 52．（22-23高二上·山东威海·期末）已知椭圆过点，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题知，进而解方程即可得答案； （2）由题知，直线斜率存在，设方程为，，故直线方程为，直线方程为，进而得的横坐标，再将直线与椭圆方程联立，结合韦达定理，弦长公式计算即可. 【详解】（1）解：因为椭圆过点，离心率为， 所以，解得， 所以，椭圆的方程为. （2）解：当直线斜率不存在时，方程为，此时两点中有一点与重合，不满足题意； 所以，直线斜率存在，设方程为，， 联立方程得， 所以，， 因为直线方程为，直线方程为， 所以，联立方程得， 联立方程得， 所以 因为点在直线上， 所以， 整理得，解得或， 所以，所求直线方程为或 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的方程可知，即可直接写出其渐近线的方程. 【详解】由双曲线的方程可知，根据渐近线方程公式，得到渐近线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）若过点的直线与双曲线相交于两点，且关于直线对称，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用已知可求得直线的方程为，设，将直线的方程代入双曲线方程，求得点，利用点在直线上，可得，可求渐近线方程. 【详解】因为过点的直线与双曲线相交于关于直线对称， 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即， 代入双曲线方程得，化简整理得， 设，所以，所以的中点的横坐标为， 所以，所以，所以， 又因为点在直线上，所以， 所以，解得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东青岛·期末）设分别是双曲线的左、右焦点，若C上存在一点W满足，且，则C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直角三角形边与角的关系，可求得与，再结合双曲线的定义，即可得到与的关系，从而求得离心率. 【详解】因为且，结合双曲线的定义可知：， 所以，所以. 故选：C 4．（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据渐近线方程可得，即可根据离心率公式求解. 【详解】由题知，双曲线的焦点在轴上，由于渐近线方程为，故， 故离心率为， 故选：B 5．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线（，）的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 而曲线的渐近线方程为，即， 所以该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 6．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，过点作直线l与C交于两点A，B（点B在第一象限），线段的垂直平分线过点，点到直线l的距离为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由双曲线的定义可得，再由勾股定理列出方程即可得到a，c的关系，进而求解结论. 【详解】解：设双曲线的半焦距为c，， ，根据题意得到， 又， 故，设的中点为C， 在中，，， 故， 则，， 根据， 可知， 故，可得. 故选：C. 7．（24-25高二上·山东滨州·期末）与圆及圆都内切的圆的圆心在（   ） A．椭圆上 B．双曲线的左支上 C．双曲线的右支上 D．抛物线上 【答案】B 【分析】设所求圆的圆心为，半径为，根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义可得出结论. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， 如下图所示： 设所求圆的圆心为，半径为， 由圆与圆的位置关系可得，， 所以，， 所以，圆心的轨迹是以、分别为左、右焦点的双曲线的左支， 故选：B. 8．（23-24高二上·山东菏泽·期末）如图，分别为双曲线的左，右焦点，在左支上，在右支上，且，，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据双曲线定义及题干知，，，，根据，得，然后利用余弦定理建立方程求出，即可求解渐近线方程. 【详解】连接， 因为，由双曲线的定义可得， 则，，， 在中，， 在中，， 因为，所以，所以， 所以，所以，即，所以， 所以该双曲线的渐近线方程为即. 故选：A 【点睛】方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法： （1）定义法：直接利用、求得比值，则焦点在轴上时，渐近线方程为，焦点在轴上时，渐近线方程为； （2）构造齐次式：利用已知条件结合，构建的关系式（或先构建的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可. 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线的焦距为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，，由，解得，可得，求出渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到． 【详解】由题意可得，，焦点为， 则，解得，又， 则双曲线的渐近线方程为， 则焦点到渐近线的距离为． 故选：B． 10．（23-24高二上·山东济南·期末）已知双曲线，其中A、分别为双曲线的左顶点、右焦点，P为双曲线上的点，满足垂直于x轴且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】设，代入双曲线方程求出，根据可得答案. 【详解】设，则，解得，即，， 因为，所以，可得， ，解得. 故选：A. 11．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知直线与曲线恰有三个不同交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先运算转化曲线的方程形式，再作出图形，数形结合，随着直线平行移动，与曲线有三个不同交点，求出直线截距范围即可. 【详解】曲线可化为， 当时，，则， 故此时曲线为椭圆的上半部分； 当时，，则， 故此时曲线为双曲线的上半部分，且渐近线方程为； 直线，表示一组斜率为的平行直线， 如图，当直线过点时，，解得； 当直线与椭圆上半部分相切时， 由，消化简得， 由，解得， 又直线与椭圆上半部分相切，则，故， 要使直线与曲线恰有三个不同交点， 结合图形可得，实数的取值范围为. 故选：D. 12．（23-24高二上·山东威海·期末）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，且为与椭圆的一个交点，若，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设P在第一象限，设双曲线方程，由题意可得c的值，且有，，结合余弦定理即可求得的值，求出，即可求得答案. 【详解】由题意可设双曲线方程为， 由于双曲线与椭圆有相同的焦点，，故，即， 不妨设P在第一象限，为左焦点，为右焦点，则，， 以上两式平方后相加减，得，， 由于，故， 则，则， 故双曲线方程为， 故选：D 二、多选题 13．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，若一曲线的方程为，则（    ） A．当时，该曲线为椭圆 B．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 C．当时，该曲线为焦点在轴上的双曲线 D．无论取何值，该曲线不可能为等轴双曲线 【答案】BCD 【分析】据的不同取值范围对曲线方程进行变形分析，根据椭圆、双曲线以及等轴双曲线的标准方程来判断曲线的类型即可. 【详解】当时，，方程可化为 因为，所以，，当，即时，方程，所以此时该曲线为圆，A选项错误. 当时，，方程可化为 因为，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，B选项正确. 当时，，方程可化为 因为，所以，，满足焦点在轴上的双曲线的标准方程，所以此时该曲线为焦点在轴上的双曲线，C选项正确. 若曲线为等轴双曲线，则，两边平方可得，解得. 当时，方程为，即，表示圆，不是等轴双曲线，D选项正确. 故选：BCD. 14．（24-25高二上·山东东营·期末）已知O为坐标原点，动点P到x轴的距离为d，且，其中，均为常数，动点 P的轨迹称为曲线，则下列说法正确的是（    ） A．曲线一定都关于坐标轴对称 B．曲线的离心率为2 C．若曲线为焦点在y轴上的椭圆，则的取值范围是 D．设曲线为曲线，曲线与x轴交于A，B两个不同的点，，，，，是线段AB的6等分点，分别过这五个点作斜率为的一组平行线，交曲线于点，，，，则，，，这10条直线的斜率的乘积为 【答案】ACD 【分析】设，由题意得，即，从而可判断A；曲线即为，求其离心率可判断B；曲线即为，根据椭圆的方程特征即可判断C；曲线为曲线，即由，结合椭圆的对称性即可判断D. 【详解】设，因为，所以，即 对于A，只含和常数项，所以曲线一定都关于坐标轴对称，故A正确； 对于B，曲线即为，为等轴双曲线，其离心率为，故B错误； 对于C，曲线即为，即， 因为曲线为焦点在y轴上的椭圆，所以，得，解得，故C正确； 对于D，曲线为曲线，即，即    设点，则， 同理可得，由椭圆的对称性可得，， ，，同理可得，， 直线，，，这10条直线的斜率乘积为：，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛，新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知曲线Γ：（），则（    ） A．Γ可能是等轴双曲线 B．若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C．Γ可能是半径为的圆 D．若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误； 对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故B正确； 对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确； 对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则， 解得，故D正确. 故选：BCD. 16．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知双曲线的右焦点为，右顶点为A，离心率为e，直线轴，且与C的左、右两支分别交于P，Q两点，О为坐标原点，则下列命题正确的是（    ）． A．若，则C的虚轴长为 B．若，则 C．若存在l使，则 D．若存在l使，则 【答案】BCD 【分析】由可求出可判断A；记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形，再由双曲线的定义可判断B；由可得，代入双曲线的方程可得进而判断C；由可得双曲线的渐近线的斜率大于，所以，可判断D. 【详解】由题意可得，， 对于A，若，则，则，， 所以C的虚轴长为，故A错误； 对于B，由A可知，双曲线， 记双曲线的左焦点为，连接，则易知四边形为等腰梯形， 所以，，故B正确； 对于C，因为A为双曲线的右顶点，则， 设，因为直线轴，所以， 因为，所以， ，即， 因为在上，所以， 所以，即，所以，， 所以，故C正确； 对于D，记与轴的交点为，因为直线轴，所以， 若存在l使，则是等腰直角三角形， 所以，所以， 易知双曲线的渐近线的斜率大于， 所以， 所以，所以，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：本题D选项的关键点是由得出，进而可知双曲线的渐近线的斜率大于，所以，再结合可判断.. 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．存在点，使得四边形为正方形 C．四边形的面积为 D．四边形的周长最小值为 【答案】BC 【分析】由双曲线的离心率公式可判断；当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，从而可判断B；设 ，则，根据点到直线的距离公式可得，从而可判断C；利用基本不等式求出的最小值，从而可判断D． 【详解】A选项，由题意得，故，故，A错误； B选项，由双曲线的方程可得渐近线方程为，两渐近线夹角为直角， 由对称性可知，若四边形为正方形，则到两条渐近线的距离相等， 所以当为双曲线右顶点时，四边形为正方形，故B正确； C选项，设，则 ， 因为渐近线方程为 ， 所以， 所以， 则四边形的面积为，故C正确； D选项，由C选项及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为． 四边形的周长为，故D错误． 故选：BC 18．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知曲线（为实数），则下列结论正确的是（    ） A．若，则该曲线为双曲线 B．若该曲线是椭圆，则 C．若该曲线离心率为，则 D．若该曲线为焦点在轴上的双曲线，则离心率 【答案】AD 【分析】利用椭圆以及双曲线的标准方程的特征可逐一判断各选项. 【详解】A选项，若，则， 则曲线为焦点在轴上的双曲线，故A正确； B选项，曲线是椭圆等价于，解得且， 故B错误； C选项，若该曲线离心率为，则曲线为椭圆，由B可知且， 当时，焦点在轴，， ，解得, 当时，焦点在轴，， ，解得, 故C错误； D选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得， 此时， ，当时，函数单调递增， 所以，故D正确. 故选：AD. 19．（23-24高二上·山东聊城·期末）若平面内的动点满足，则（    ） A．时，点的轨迹为圆 B．时，点的轨迹为圆 C．时，点的轨迹为椭圆 D．时，点的轨迹为双曲线 【答案】ABD 【分析】根据条件，结合选项，利用圆、椭圆、双曲线的定义，逐一分析判断，即可得出结果. 【详解】对于选项A，当时，由，得到， 其表示动点到定点的距离为，由圆的定义知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，所以选项A正确， 对于选项B，当时，由，得到， 整理得到，即，所以选项B正确， 对于选项C，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之和为， 又两定点，间的距离为，所以点的轨迹为线段上的点，故选项C错误， 对于选项D，当时，由， 得到，其表示动点到定点和的距离之差的绝对值为， 又，由双曲线的定义知，点的轨迹为双曲线， 故选：ABD. 三、填空题 20．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由题设条件，结合双曲线对称性确定出正三角形是求解问题的关键. 21．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点关于C的一条渐近线的对称点为M，且，则C的渐近线方程为 . 【答案】 【分析】根据双曲线的性质可知，，由条件得，根据三角形中位线，可得，即可求出渐近线方程. 【详解】解：设与渐近线的交点为A， 因为关于C的一条渐近线的对称点为M， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以C的渐近线方程为. 故答案为：. 22．（23-24高二上·山东日照·期末）已知椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆内一点．双曲线：经过点和点，则 ①的取值范围是 ； ②若点在椭圆上，使得，则的离心率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】第一空：由题意得，，由此即可求解；第二空：由题意得，结合离心率公式即可求解. 【详解】 由题意为椭圆内一点．首先，， 又双曲线：经过点和点， 所以，即，， 所以，结合可化简得， 所以，即的取值范围是； 因为，所以， 因为，所以， 等号成立当且仅当点与点重合，其中点为直线的交点，且点在线段上， 所以解得，又，， 所以. 故答案为：，. 23．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知圆上恰有3个点到双曲线的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先求出圆的圆心和半径，应用点线距离公式求圆心到直线距离，结合已知列方程求得，然后利用离心率公式求解即可. 【详解】圆即圆心为，半径为， 不妨取双曲线一条渐近线为即， 由题意圆上恰有3点到直线的距离为2， 只需圆心到直线的距离，即，所以， 所以该双曲线的离心率为. 故答案为： 24．（23-24高二上·山东日照·期末）我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为 ．    【答案】 【分析】根据给定条件，可得旋转体垂直于轴的截面是圆环，求出圆环面积，利用祖暅原理求出旋转体体积作答. 【详解】双曲线的渐近线为，设直线交双曲线及其渐近线分别于及，如图，    由，得， 由，得， 线段绕y轴旋转一周得到一个旋转体的一个截面，它是一个圆环，其内径，外径，    此圆环面积为， 因此此旋转体垂直于轴的任意一截面面积都为，旋转体的高为， 而底面圆半径为，高为的圆柱垂直于轴的任意一截面面积都为， 由祖暅原理知，此旋转体的体积等于底面圆半径为2，高为的圆柱的体积为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：利用祖暅原理求几何体的体积，找到一个等高的可求体积的几何体，并将它们放置于两个平行平面间，再探求出被平行于两个平行平面的任意一平面所截，截面面积相等是解题的关键. 25．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】先利用条件表示出，然后在三角形中利用余弦定理列式计算得到，进而根据求出离心率. 【详解】设双曲线右焦点为， 则， 则， 所以，又， 所以， 整理得， 所以. 故答案为：.    26．（23-24高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过点作圆的切线，交双曲线的右支于点，若，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】设切点为A，连接，作作，垂足为B，运用中位线定理和勾股定理，结合双曲线的定义，即可得到a，b的关系，即可求解． 【详解】如图，作于点A，于点B． ∵与圆相切，， ∴，，则，． 又点M在双曲线上，∴， 整理得，即，得，由解得， ∴双曲线的离心率为． 故答案为：． 四、解答题 27．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的离心率为2，且过点． (1)求双曲线的标准方程； (2)过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析， ；②证明见解析 【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）（i）设点，直线方程为，与双曲线方程联立方程组可得，设，利用对恒成立可求得定点的坐标；（ii）求得的坐标，可求得，进而可得四点共圆，可证得结论． 【详解】（1）由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为； （2）（i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ． 设，则 ， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点． （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则 ， 所以，所以． 又，所以四点共圆． 由相交弦定理得． 28．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知双曲线 的标准方程为 的左右顶点分别为 ，右焦点 ，离心率 . (1)求双曲线 的方程及其渐近线方程； (2)过点的直线 交双曲线 于 两点(点在第一象限)，记直线 斜率为 ，直线斜率为，求的值; (3)过圆 上的点 作圆 的切线 ，交双曲线 于 ， 两点，点 为弦 的中点，证明: 【答案】(1)双曲线方程为，渐近线方程为. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出基本量后可得双曲线方程和渐近线方程； （2）设，联立直线方程和双曲线方程消元后结合韦达定理可得，据此可求的值； （3）设，，根据切线可得，联立直线方程和双曲线方程，结合弦长公式可证. 【详解】（1）由焦点坐标可得，而，故，所以， 故双曲线方程为，渐近线方程为. （2）由题设斜率不为零，设， 由可得， 故且， 而，， 而. （3）由（1）可得圆， 若直线的斜率存在，设，， 因为为圆的切线，故即， 由可得， 故 ， 故， 而，故， 故，故， 当直线的斜率不存在时，或， 若，则，而，， 因，故， 同理可得若，也有， 故总成立. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线的定值问题，往往需要设出直线方程，然后联立直线方程和圆锥曲线方程，消元后结合韦达定理化简目标代数式，从而得到定值. 29．（24-25高二上·山东日照·期末）已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，当点在圆上运动时，设动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程； (2)设是曲线上不同的两点，是的中点，直线的斜率分别为．证明：为定值； (3)直线与曲线的右支交于点（在的上方），过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点；过点且斜率4为的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点作斜率为的直线，过点作斜率为2的直线与交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点．证明：共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意分析可得，可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，即可得结果； （2）设，，根据M，N为双曲线C上的两点，列由点差法得到，利用斜率公式进行求证即可； （3）设直线的方程为，，，将直线方程与双曲线方程联立，易得，结合韦达定理，求出，再利用韦达定理进行求证． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 因为，， 则， 可知动点的轨迹为是以为焦点的双曲线，且，则， 所以曲线的方程为. （2）设，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以， 两式相减得，整理得， 则，得证. （3）设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，，， 联立，消去y并整理得， 因为该方程有两个正根，则，解得，或（舍） 由韦达定理得， 直线的方程为， 因为，即，① 直线的方程为， 因为，即，② 联立①②，两式相加得，两式相减得， 因为， 则， ， 所以， 则都在直线上，故共线． 【点睛】思路点睛：直线与双曲线的位置关系，联立直线与双曲线方程，得到根与系数的关系，利用坐标关系可求解点的横纵坐标关系、直线上两点距离、三角形面积、定值定点等几何性质问题，但需要注意计算技巧处理. 30．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，点是和在第一象限的公共点，记的左，右焦点依次为，，． (1)求的标准方程； (2)设点在上且在第一象限，，的延长线分别交于点，，设，分别为，的内切圆半径，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆和双曲线定义得到方程组，求得，进而可得，可求椭圆的方程； （2）设，，，由椭圆定义得到，设直线，，与椭圆方程联立，得到两根之和，两根之积，结合基本不等式求出的最大值． 【详解】（1）双曲线方程为， 由椭圆和双曲线定义可得，， 又，故，， 又因为，所以， 则椭圆的标准方程为 （2）设，，，显然，，，， 由椭圆定义知：，的周长均为，    所以，同理， 所以， 设直线，， 将直线方程代入椭圆的方程得：， 所以，即，同理， 所以，当且仅当，时等号成立． 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 31．（24-25高二上·山东东营·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，点在双曲线C上. (1)求双曲线C的方程; (2)设双曲线C的左右顶点分别为A，B，过点的直线l交双曲线C于点M，在第一象限，记直线AM，BN的斜率分别为，，判断是否是定值，若是定值，请求出此定值;若不是定值，请说明理由. 【答案】(1) (2)是定值， 【分析】（1）结合已知条件列出关于的方程组求解可得双曲线方程； （2）设直线l的方程为，，，联立直线与双曲线方程，由韦达定理表示两斜率，从而计算可得. 【详解】（1）依题意，， 解得，， 故双曲线C的方程为 （2）设直线l的方程为，，， 由整理得， ， 由韦达定理得：，， 得：， 由题，， 所以 ， 所以是定值， 【点睛】方法点睛：双曲线的定值问题，设直线l的方程为，交点坐标，，直线方程代入双曲线方程应用韦达定理，再用点的坐标表示所求定值的量（本题是斜率之商），代入韦达定理的结论化简可得． 32．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若直线与双曲线C交于A，B两点，且，求实数m的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为，得，，由此能求出双曲线方程； （2）联立方程组，得，利用韦达定理、弦长公式、根的判别式能求出结果. 【详解】（1）双曲线C与椭圆有公共焦点，其渐近线方程为， 设双曲线的方程（，）， 由已知得，，所以，. 所以双曲线方程为. （2）直线与双曲线C交于A，B两点，且， 联立方程组，得， 当时，设， ，. 所以 令，解得. 经检验符合题意，所以. 33．（23-24高二上·山东菏泽·期末）直线与双曲线的两条渐近线交于两点，分别为双曲线的左､右焦点. (1)求过点的圆的方程； (2)设（1）中的圆和双曲线在第一象限交于点，求圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）联立方程求得两点坐标，然后根据确定所求圆的圆心为原点，半径为2，从而求出圆的方程即可； （2）联立双曲线与圆的方程求得点的坐标，利用切线性质求得切线斜率，代入点斜式方程即可求解. 【详解】（1）由双曲线，得左焦点， 又直线与双曲线的两条渐近线交于两点， 将代入，得，所以两点得坐标分别为， 所以，则过点的圆的方程为. （2）由（1）得圆的方程为.解方程组得切点， 所以，又过点的圆的切线的斜率，得， 所以过点的圆的切线方程为，即. 34．（23-24高二上·山东日照·期末）已知双曲线：的实轴长为4，焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)记的上、下顶点分别为，，过点的直线与的下支交于，两点，在第四象限，直线与交于点，设直线，，的斜率分别为，，．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据条件，直接求出，即可得出结果； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得，由韦达定理得，，再通过联立直线和的方程，求得，从而得出点在定直线上运动，即可证明结果； 【详解】（1）因为：的实轴长为4， 所以，由焦距可知，又， 所以双曲线方程为. （2）由（1）可得，，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为， 因为双曲线的两渐近线为，直线与双曲线的下支交于，两点，所以， 由，消得，且， 则，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两直线方程，得到， ， 据此可得点在定直线上运动， ， ， ． 所以 . （法2）联立直线与直线的方程可得： 所以可得，即， 据此可得点在定直线上运动． 则．    【点睛】关键点点晴：本题第（2）的关键在于，由直线的方程和双曲线方程得，从而得出，，联立直线和的方程，得到交点坐标，再利用，化简得到，从而解决问题. 35．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为. (1)求的离心率及其渐近线方程； (2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：. 【答案】(1)2； (2)证明见解析 【分析】（1）把、的坐标代入双曲线得方程可得答案； （2）求出、得，再由点P的坐标满足双曲线方程代入可得答案. 【详解】（1）由题意，把，代入双曲线得： ，解得，，， 所以双曲线的方程为， 故离心率，渐近线方程为； （2）由题意得，一定存在且，，， ，， 则， 又点的坐标满足，则， 故， 所以. 36．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知双曲线的左焦点，一条渐近线方程为，过做直线与双曲线左支交于两点，点，延长与双曲线右支交于两点． (1)求双曲线的方程； (2)判断直线是否过定点?若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由双曲线几何性质求方程； （2）分斜率存在于不存在分别研究，直线方程与双曲线方程联立，设，则直线的方程为，与双曲线求交点得，同理，从而求出直线的方程，可证. 【详解】（1）由题意可知： 解得 双曲线的方程为 （2）当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为 由 整理得 与左支交于两点 ，解得 设，则直线的方程为 代入整理得 设，则 ，， ，同理 直线的斜率 直线的方程为，即 直线过定点 当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 不妨设点在轴上方，则，直线的方程为 由，解得 同理 此时直线过点 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系结合韦达定理运算求解. 37．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知双曲线的实轴长为4，且双曲线经过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)过点且斜率不为零的直线与双曲线交于两点，关于轴的对称点为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，，由此即可得解. （2）设点，则，直线的方程为，联立椭圆方程结合韦达定理以及三点即可得的关系，由此即可得解. 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为4， 所以，解得. 又双曲线经过点， 所以，. 解得， 所以双曲线的方程为. （2） 设直线的方程为，设点，则， 将代入方程， 得， 易知， 则， 由三点共线可得, 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 又，所以， 直线的方程为， 所以直线过定点. 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是适当设点、设直线，结合韦达定理三点共线即可顺利得解. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 2．（23-24高二上·山东淄博·期末）抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把抛物线方程化成标准形式，再求出其准线方程即得. 【详解】抛物线方程化为，所以抛物线的准线方程为. 故选：B 3．（23-24高二上·山东济宁·期末）抛物线的焦点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形为标准形式，得到焦点坐标. 【详解】，焦点在轴上，故焦点坐标为. 故选：C 4．（23-24高二上·山东滨州·期末）如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面，水面宽.当水面上升后，水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，先求抛物线方程，然后求解即可. 【详解】以拱形顶点为原点，建立如图所示平面直角坐标系，则， 设抛物线方程为， 则有，解得，得抛物线方程为， 令，则，得， 所以，当水面上升后，水面宽为m. 故选：C ， 5．（21-22高二上·福建厦门·期末）抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，从点发出一条平行于x轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点，则光线从A出发到达B所走过的路程为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图所示： 焦点为，设光线第一次交抛物线于点，第二次交抛物线于点， 过焦点F，准线方程为：， 作垂直于准线于点，作垂直于准线于点， 则， ， ， ， 故选：C 6．（22-23高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（    ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，以及几何关系可知，再利用数形结合表示的值，进而得，再根据焦半径公式得，，进而求解直线的方程并与抛物线联立得，再用焦半径公式求解即可. 【详解】如图，设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，， 所以，. 又，所以， 设，则. 因为， 所以，所以， 所以，即. 所以，抛物线为，焦点为，准线为， 由得，解得， 所以，， 所以，直线的方程为 所以，联立方程得，解得， 所以，， 所以， 故选：B 二、多选题 7．（22-23高二上·山东潍坊·期末）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 【答案】BC 【分析】根据给定的方程，结合圆、圆锥曲线方程的特征逐项判断作答. 【详解】曲线E的方程为：，显然且， 对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误； 对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确； 对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线， 当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线， 因此当或时，曲线E为双曲线，C正确； 对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误. 故选：BC 8．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，点在准线上的射影为，则（    ） A．若，则 B．若点的坐标为，则的最小值为4 C． D．若直线过点且与抛物线有且仅有一个公共点，则满足条件的直线有2条 【答案】AC 【分析】根据抛物线的弦长、定义、直线和抛物线的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】抛物线方程为，所以，焦点，准线方程. A选项，若，则，A选项正确. B选项，点在抛物线内， 根据抛物线的定义可知的最小值是到准线的距离， 即最小值是，所以B选项错误. C选项，设直线的方程为， 由消去并化简得， 所以， 则， 所以， 所以C选项正确. D选项，直线和直线都过，且与抛物线有一个公共点， 当过的直线斜率存在时，设直线方程为， 由消去并化简得， 由，解得， 所以直线与抛物线有一个公共点， 所以满足条件的直线有条，D选项错误. 故选：AC 【点睛】思路点睛：求解直线和抛物线位置关系有关问题，可设出直线的方程，然后将直线方程和抛物线方程联立，化简后写出根与系数关系、判别式等等，再结合抛物线的定义来对问题进行求解. 9．（23-24高二上·山东菏泽·期末）在平面直角坐标系中，某菱形的一组对边所在的直线方程为：，另一组对边.则下列命题正确的有（    ） A． B．与距离相等的点的轨迹方程为 C．该菱形一定有内切圆和外接圆 D．若直线经过抛物线的焦点，则 【答案】AB 【分析】根据菱形的性质，结合平行线间距离公式进行求解即可判断A，设点的坐标利用点到直线距离列等式求解判断B，根据菱形有外接圆时为正方形判断C，根据焦点坐标求p判断D. 【详解】对于A，因为菱形四条边都相等，所以每边上的高也相等，且菱形对边平行， 直线和之间的距离为：， 和之间的距离为：， 于是有：，解得，正确； 对于B，设与距离相等的点为，则，所以， 即，所以所求点的轨迹方程为，正确； 对于C，若该菱形有外接圆，则菱形两条对角线的交点和外接圆的圆心重合， 此时菱形的两条对角线与圆的直径重合，故两对角线长相等， 则对角线相等的菱形必然为正方形，则， 而，所以，矛盾，故该菱形没有外接圆，错误； 对于D，直线经过点，即的焦点为，所以，错误； 故选：AB 10．（22-23高二上·山东聊城·期末）在棱长为的正方体中，M，N，P均为侧面内的动点，且满足，点N在线段上，点P到点的距离与到平面的距离相等，则（    ） A． B．平面平面 C．直线AM与所成的角为定值 D．MP的最小值为2 【答案】ACD 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对于A，由点N在线段可得，可得到即可判断；对于B，计算出平面与平面的法向量即可求解；对于C，由M为侧面内的动点且可得，计算出即可；对于D，由C选项可得的轨迹是以为圆心，半径为3的圆上（且在侧面内），在平面内过P点作，垂足为，可得到点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线，通过图形即可得到MP的最小值 【详解】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，，，，，， 对于A，因为点N在线段上，所以， 所以，所以， 所以，故，所以，故A正确； 对于B，因为点N在线段上，所以平面为平面， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 因为，所以平面与平面不垂直，故B错误； 对于C，因为M为侧面内的动点，， 所以设，则， 所以，所以直线AM与所成的角为定值，故C正确； 对于D，由C选项可得即，所以的轨迹是以为圆心，半径为3的圆上（且在侧面内）， 在平面内过P点作，垂足为， 易得平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以点P到平面的距离为的长度，即到的距离， 所以点P到点的距离与到平面的距离相等，等价于点P到点的距离与到的距离相等，满足抛物线的定义， 所以点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线， 以线段的四等分点（靠近）为坐标原点，以为轴的正方向进行平面直角坐标系， 由可得，直线为， 则点P的轨迹为， 所以，由图可得当与点重合时，，故，故D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：这道题的关键之处是D选项中能看出点P到平面的距离即到的距离，得到点P的轨迹为以为焦点，准线为直线的抛物线，然后建立平面直角坐标系进行求解 11．（23-24高二上·山东日照·期末）已知点是抛物线：上的一点，直线交抛物线于，，交轴于，交轴于，则下列结论正确的是（    ） A．的准线方程为 B．在点处的切线方程为 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】对于A，将点代入方程得，由此即可判断；对于B，直接设直线方程（含参），联立抛物线，由即可验算；对于C，设直线方程为，由韦达定理、基本不等式即可验算；设直线方程为，由韦达定理、数量积验算即可. 【详解】对于A，将代入抛物线方程得，所以抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，由题意在点处的切线斜率存在且不为0，所以设为， 联立抛物线方程得，，所以， 解得，所以在点处的切线方程为，故B错误；    对于C，若，直线斜率不为0，所以设直线方程为， 联立抛物线方程得，，显然， 所以，又， 所以，等号成立当且仅当，故C正确；    对于D，若，直线斜率不为0，所以设直线方程为， 联立抛物线方程得，， 或，， 所以， ， ， 所以，故D正确.    故选：ACD. 12．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．点到直线的距离的最小值为 C．点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D．若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用抛物线的定义可把相关距离进行转化再求最值；与圆有关的切线问题可转化为点到圆心的距离问题，即可求解. 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）为坐标原点，以为准线，为焦点的抛物线的方程为：.过的直线交于两点，于于为线段的中点.下列选项正确的有（    ） A．面积的最小值为4 B． C．直线与轴交于点，过点作的垂线与轴交于点，则 D．，当且仅当轴时取等号 【答案】BC 【分析】设直线的方程为，与抛物线方程联立，可得，， 对A，，而，得解；对B，易得，又，可判断；对C，设直线的方程求出点的横坐标，同理求出点的横坐标，结合，，计算可得可判断；对D，计算，，从而可判断. 【详解】根据题意，，准线， 设直线的方程为，，， 联立，消去整理得， ，，， ，当且仅当时等号成立， ，故A错误； 又，，， ，， ，又，，故B正确； 易知，则直线的斜率为，所以直线的方程为， 令，解得， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 令，求得，又，， ，所以，故C正确； ， ， ，即恒成立，故D错误. 故选：BC. 【点睛】思路点睛：本题考查直线与抛物线的位置关系，综合性强难度大. 选项A，由于，所以只要求出的最小值即可判断；选项B，由三角形面积公式结合抛物线定义可得，又，即可判断；选项C，设出直线与直线的方程求出，结合，，化简计算得可判断；选项D，利用韦达定理分别计算，可判断. 三、填空题 14．（22-23高二上·山东德州·期末）如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为 米． 【答案】4.5/ 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为， 将代入，得，所以． 设，代入，得． 所以拱桥到水面的距离为． 故答案为：4.5. 15．（22-23高二上·山东潍坊·期末）过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，且交该抛物线于，两点，点在轴左侧，则 . 【答案】/ 【分析】点斜式设出直线的方程，联立抛物线方程，求出，两点的纵坐标，利用抛物线的定义得出，即可得出结论. 【详解】由题知，设直线的方程为：， ，，联立可得 ，， ，从而， . 故答案为： 16．（23-24高二上·山东潍坊·期末）已知抛物线，F为抛物线的焦点，且P是该抛物线上一点，点，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】作邮抛物线的准线，把转化为到准线的距离，由三点共线得最小值． 【详解】由题意抛物线的准线的方程是， 过作于，则，所以 当且仅当三点共线时，取得最小值， 所以的最小值是8. 故答案为：8. 17．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的准线与圆相切，请写出一个抛物线的标准方程为 ． 【答案】（任意一个均可以） 【分析】解题时写出切线方程，再求出抛物线方程即可． 【详解】与圆相切且与坐标轴平行或垂直的直线有， 对应的抛物线方程有： 故答案为：（任意一个均可以） 18．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 19．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知抛物线，过其焦点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点（在第一象限），若，则抛物线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用抛物线定义化斜为直，转化已知条件到中，建立关于的方程求解即可. 【详解】 抛物线，则焦点，准线. 过点作准线，垂足为，作轴，垂足为，准线与轴交点为. 由抛物线定义可知，又， 在中，， 则有，得，解得， 故所求抛物线的方程为. 故答案为：. 20．（23-24高二上·山东滨州·期末）斜率为的直线过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，点在轴的上方，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为为坐标原点，则 . 【答案】3 【分析】根据题意得直线的方程，联立方程组，求出和点坐标，即可得解. 【详解】根据题意，抛物线的焦点， 则直线，设， 联立方程组，得， 解得，，则， 所以. 故答案为：3. 21．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，则的取值范围是 ，的最小值为 ． 【答案】 5 【分析】利用焦半径公式表示，利用抛物线上点的范围求解第一空，利用焦半径公式结合基本不等式求解第二空即可得到答案. 【详解】 ①由题意得，，设，，， 则，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，解得， ∴. ②∵，∴， ∵，∴，即， ∵，当且仅当时等号成立， ∴，即， ∴，即的最小值为. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线综合问题，解题关键是合理运用焦半径公式结合基本不等式，然后找到取等条件，得到所要求的最值即可． 四、解答题 22．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知抛物线C：上一点M到其焦点的距离为3，到y轴的距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)若不过原点O的直线l：与抛物线C交于A，B两点，且，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）点M到准线的距离为3，从而得到方程，求出，得到抛物线方程； （2）联立直线与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据根的判别式得到不等式，求出，根据向量垂直得到方程，求出. 【详解】（1）由题意知，点M到准线的距离为3， 所以，解得． 故C的方程为； （2）设，，由得， 所以，， ，． 因为，所以， 即，解得或0． 又直线l不过原点O，所以． 又满足要求，所以． 23．（23-24高二上·山东潍坊·期末）如图，已知抛物线的焦点为F，点M在其准线上，，直线MF的倾斜角为，且与C交于A，B两点，O为坐标原点 (1)求C的方程； (2)求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）记准线与x轴交点为K，为等腰直角三角形，得，从而求得得抛物线方程； （2）直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，然后求得弦长，再求得到直线的距离后可得三角形面积． 【详解】（1）因为直线的倾斜角为，记准线与x轴交点为K，易知为等腰直角三角形，且， 所以焦点到准线的距离为2，即， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）可得，， 因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即的方程为， 联立可得， 所以 所以， 又点到直线AB的距离， 所以的面积. 24．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知点，，中恰有两个点在抛物线上． (1)求的标准方程 (2)若点，在上，且，证明：直线过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据点的坐标可得抛物线也关于轴对称，将点代入抛物线方程即可求解； （2）设直线的方程为，与抛物线方程联立结合韦达定理可得，即可求定点坐标． 【详解】（1）因为点，关于轴对称，抛物线也关于轴对称， 所以点，在上， 将点代入抛物线得，，即， 所以抛物线的方程为：； （2）由题意可知，直线的斜率一定存在，则设直线的方程为， 由消得：， 由韦达定理得， 所以直线，显然恒过定点．    25．（24-25高二上·山东淄博·期末）已知动点到直线的距离与到点距离相等，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线交于两点，且(为坐标原点)的面积为 32， 求的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由抛物线的定义即可求出抛物线方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程消去，然后利用韦达定理结合面积公式即可求解. 【详解】（1）由已知有：动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以曲线 的方程为. （2）设，显然直线的斜率不为0，可设直线， 联立， 则，， 所以， 原点到直线的距离为：， 所以，解得， 所以直线的方程为：或. 26．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知抛物线：（），是的焦点，为上的一动点，且的最小值为1. (1)求的方程； (2)直线（不过坐标原点）交于、两点，且满足，证明过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点为 【分析】（1）由抛物线中的最小值为1，所以，即，即可得到方程. （2）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到，由得到，即可求得结果. 【详解】（1）因为的最小值为1，故，即，所以抛物线方程为 （2）显然直线的斜率存在，设方程为，则, 即，设，由韦达定理得，则， 因为，所以，解得（舍），，故的方程为：，故恒过点. 27．（24-25高二上·山东东营·期末）如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后. (1)水面的宽为多少? (2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以顶点O为坐标原点建立坐标系，设方程为，令，求解即可； （2）设为抛物线上动点，求水面中心到抛物线上的点距离d求解即可. 【详解】（1）以顶点O为坐标原点建立如图所示坐标系，设方程为， 因为在抛物线上，代入得，所以抛物线方程为， 令，解得， 所以水面的宽为. （2）设为抛物线上动点， 则水面中心到抛物线上的点距离为： ， 可知当时，， 故此时水面中心到抛物线上的点距离的最小值为. 28．（22-23高二上·山东德州·期末）已知抛物线经过点，为抛物线的焦点，且． (1)求抛物线的标准方程； (2)过点的直线与抛物线相交于，两点，求面积的最小值（为坐标原点） 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点坐标代入抛物线方程求出，再根据焦半径公式计算可得； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据面积公式计算可得. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线经过点，， 可得，即， 又，可得， 解得，， 故抛物线的标准方程为. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为， 由，解得，此时，所以的面积． 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由得，． 设，，由根与系数的关系得，， 所以 ， 综上所述，面积的最小值为． 29．（22-23高二上·山东潍坊·期末）已知O为坐标原点，过抛物线C：焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，且. (1)求直线AB的斜率； (2)若的面积为，求抛物线C的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用抛物线的定义得到点的横坐标，代入抛物线方程得到点的坐标，然后根据坐标求直线的斜率即可； （2）设直线的方程为，然后与抛物线方程联立，利用韦达定理和三角形面积公式列方程得到，解方程即可得到抛物线方程. 【详解】（1）设， 因为，所以A到准线的距离为2p， 即，所以， 代入抛物线方程可得，即， 又因为，所以直线AB的斜率为. （2）由（1）知，直线AB的斜率为， 设直线AB的方程为，则，由得， ，， 所以，，， 由题意知， 即，解得，， 因为，所以， 所以该抛物线方程为. 30．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知直线经过抛物线C：的焦点F，且与C交于A，B两点． (1)求C的方程； (2)求圆心在x轴上，且过A，B两点的圆的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程即可求解作答. （2）根据给定条件，求出线段AB的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径作答. 【详解】（1）依题意，抛物线C的焦点在直线上，则，解得， 所以C的方程为． （2）由（1）知，抛物线C的准线方程为，设，，AB的中点为， 由消去y得，则，有，，即， 因此线段AB的中垂线方程为，即， 令，得，设所求圆的圆心为E，则， 又AB过C的焦点F，则有， 设所求圆的半径为r，则， 故所求圆的方程为． 31．（23-24高二上·山东东营·期末）已知拋物线的焦点为为抛物线上一点，. (1)求抛物线的标准方程； (2)过点作互相垂直的两条直线交抛物线于四点，求四边形的面积最小值 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）利用抛物线的定义直接求抛物线的方程； （2）过焦点作两条相互垂直的直线，设，，联立直线与抛物线方程组成方程组，利用抛物线焦半径公式可得弦长，进而可得推出四边形的面积的表达式，利用基本不等式求四边形面积的最小值． 【详解】（1）由，可得， 又在抛物线上，所以， 联立解得， 故抛物线方程为 （2）由（1）知： 设，， 由得：， ， 设所以， ， 同理：， 四边形的面积：， （当且仅当即：时等号成立） 四边形的面积的最小值为32． 32．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知动点到直线的距离比到点的距离大，点的轨迹为曲线，曲线是中心在原点，以为焦点的椭圆，且长轴长为． (1)求曲线、的方程； (2)经过点的直线与曲线相交于、两点，与曲线相交于、两点，若，求直线的方程． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）分析可知，曲线为抛物线，确定该抛物线的焦点坐标与准线方程，可得出曲线的方程，求出、的值，结合焦点位置可得出椭圆的方程； （2）分析可知，直线的斜率存在，设直线的方程为，将该直线的方程分别与曲线、的方程联立，列出韦达定理，结合韦达定理以及弦长公式可得出关于的方程，解出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：由题意知，点到直线的距离等于， 所以，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故曲线的方程为. 因为椭圆的长轴长，为椭圆的一个焦点，则，， 所以，，所以，曲线的方程为. （2）解：若直线的斜率不存在，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意， 所以，直线的斜率必存在，则直线的方程为 由，整理得，则， 设、，则，， 所以，，则， 由，整理得， 则， 设、，则，， 所以， ， 因为，即，可得，解得， 所以，直线的方程为. 33．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，F，其中在抛物线的准线l上，过F的动直线m交于A，B两点，交于M，N两点，且当轴时，． (1)求的方程； (2)若于点H，判断坐标原点О是否在直线MH上，并说明理由． 【答案】(1) (2)坐标原点О在直线MH上，理由见解析 【分析】（1）利用弦长可得点的坐标，代入方程可得答案； （2）设出直线方程，利用韦达定理及斜率相等可得结论. 【详解】（1）因为的准线l的方程为，在l上， 所以，． 又轴时，，所以点在上， 所以，解得． 所以的方程为． （2）坐标原点О在直线MH上． 由题意直线的斜率不为0，设直线， 联立，消去x，得，， 设，，则， 因为于点H，所以， 所以，， 因为， 所以M，O，H三点共线，即坐标原点О在直线MH上．    34．（23-24高二上·山东济南·期末）已知抛物线的准线方程为，直线l与抛物线交于两点，O为坐标原点． (1)若为等腰直角三角形，求的面积； (2)若，证明：直线l过定点P，并求出定点P的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）先根据准线方程求得抛物线方程，再由抛物线及等腰直角三角形的对称性得，，从而求得坐标计算面积即可； （2）设直线l方程及坐标，与抛物线方程联立，由垂直关系及韦达定理计算即可. 【详解】（1）因为抛物线的准线为，可得抛物线的方程为：， 又为等腰直角三角形， 根据抛物线及等腰直角三角形的对称性可知：，， 且两点关于横轴对称，则直线． 于是得，则，所以． （2）设直线，，， 联立， 得，，且， 又因为，则，即． 由，得，，， 即，解得或（舍去）． 当时，满足．此时，直线l的方程． 则l过定点． 35．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意得，设圆心，由已知有，求解即可得出答案； （2）直线的斜率存在，设，，方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点， 圆的圆心设为，半径， 则， 又，可得. （2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为， ，， 由，可得， 所以，， 因为线段的中点为， 所以， 即，所以， 所以， 所以. 法二：设，， 由，可得， 即， 因为线段的中点为， 所以，， 所以， 由，由，可得：，所以，所以， 所以. 36．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知抛物线的焦点为，直线交抛物线于点，且． (1)求抛物线C的标准方程； (2)过点的直线与抛物线交于两点，且，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点，根据焦半径公式求得，将点的坐标代入抛物线方程即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，结合坐标关系利用韦达定理求出，再结合焦半径公式求解焦点弦弦长即可. 【详解】（1）设点，则，所以． 将代入得，解得， 所以抛物线C的标准方程为； （2）抛物线的焦点，设直线的方程为， 因为，所以，所以． 联立，得，， 所以，即， 又，所以，解得． 所以． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $