专题04 数列（期末真题汇编，山东专用）高二数学上学期

专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 通项公式与数列求和 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（   ） A．750 B．800 C．850 D．832 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．104 C．112 D．120 4．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高二上·山东滨州·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教十伟列亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3整除余2（如）且被5整除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．32 B．47 C．62 D．77 10．（22-23高二上·山东威海·期末）若是等差数列的前n项和，，则（    ） A．10 B．18 C．20 D．24 11．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．54 B．27 C．18 D．9 二、多选题 12．（24-25高二上·山东青岛·期末）等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（   ） A． B． C． D．的最大值为30 13．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 14．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（    ） A．直线与直线的斜率相等 B． C． D． 15．（23-24高二上·山东威海·期末）记为数列的前项和，若，，则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 16．（23-24高二上·山东济南·期末）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 三、填空题 17．（24-25高二上·山东滨州·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为 ． 19．（23-24高二上·山东威海·期末）已知数列，对都有，且，则 . 20．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知为等差数列的前项和，且满足，则 ． 21．（22-23高二上·山东聊城·期末）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则 ． 22．（22-23高二上·山东威海·期末） ． 四、解答题 23．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和. 24．（23-24高二上·山东烟台·期末）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）. (1)试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小； (2)问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？ 参考数据：，，，，. 25．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 26．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 27．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. (2)若数列公差为，当取最小值时，求的值. 28．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 29．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 30．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 31．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 32．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 33．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知递增等差数列满足，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 34．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 35．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 36．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项． (1)求，的通项公式； (2)记，求证：． 37．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前12项和． 38．（22-23高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 39．（22-23高二上·山东威海·期末）已知等比数列的各项均为正数，，10，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 地 城 考点02 等比数列 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 5．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ） A．244 B．243 C．242 D．241 6．（23-24高二上·山东菏泽·期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 7．（23-24高二上·山东威海·期末）一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 8．（23-24高二上·山东济南·期末）已知正项等比数列中，，则等于（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的前项和为 C．的前项积为 D． 12．（23-24高二上·山东威海·期末）记为数列的前项和，若，，则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 三、填空题 13．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 14．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 16．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 四、解答题 17．（24-25高二上·山东青岛·期末）记数列的前n项和为． (1)证明：数列是等比数列； (2)数列满足：其中且． （i）求，并证； （ii）求． 18．（23-24高二上·山东烟台·期末）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）. (1)试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小； (2)问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？ 参考数据：，，，，. 19．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 20．（23-24高二上·山东菏泽·期末）“天眼”探空､神舟飞天､高铁奔驰､北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹.为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费.设经过n年之后，该项目资金为亿元. (1)写出的值，并求出数列的通项公式. (2)求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标.（取） 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 22．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 23．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 24．（23-24高二上·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 25．（23-24高二上·山东济南·期末）设数列，其前n项和为，，为单调递增的等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和． 26．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 27．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 28．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知数列的前n项和为，且． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和． 29．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式及. 30．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 地 城 考点03 通项公式与数列求和 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 二、多选题 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 3．（22-23高二上·山东威海·期末）费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：，．1732年，数学家欧拉算出不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立．现设，，为数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 4．（22-23高二上·山东滨州·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．， D． 三、填空题 5．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知数列的前n项和，则 ． 6．（24-25高二上·山东临沂·期末）若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 8．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则 ；使得不等式成立的的最小值为 ． 四、解答题 10．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 12．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. (2)若数列公差为，当取最小值时，求的值. 14．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 15．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 16．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 17．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 18．（23-24高二上·山东济南·期末）设数列，其前n项和为，，为单调递增的等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和． 19．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 3大高频考点概览 考点01 等差数列 考点02 等比数列 考点03 通项公式与数列求和 地 城 考点01 等差数列 一、单选题 1．（24-25高二上·山东临沂·期末）在等差数列中，若，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等差数列的通项公式列式化简求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 则，所以. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列1，3，5，7，9，…，99和2，5，8，11，…，101，将这两个等差数列的公共项，按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（   ） A．750 B．800 C．850 D．832 【答案】B 【分析】先分别写出两个数列的通项公式，然后找出公共项的规律，确定新数列的首项、公差等，最后利用数列求和公式求出新数列的和. 【详解】数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为. 数列是首项，公差的等差数列， 其通项公式为.   设，即，化简可得. 因为、为正整数，所以必须是的倍数，设（）. 将代入的通项公式，可得，所以新数列的通项公式为. 当时，，所以新数列首项为.新数列的公差. 令，即，，，因为为正整数，所以最大取16，即新数列有16项. 根据等差数列求和公式，这里，，. 则. 故选：B. 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．52 B．104 C．112 D．120 【答案】A 【分析】根据等差数列求和公式和下标和性质即可得到答案. 【详解】. 故选：A. 4．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知是、的等差中项，直线，点为圆上任意一点，则点到直线距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差中项的性质可得直线所过定点，利用圆上点到定点的距离最大值，可得答案. 【详解】因为是、的等差中项，则，整理可得，则， 直线的方程可化为， 由可得，所以，直线过定点， 由圆，则圆心为，半径为， 当时，圆心到直线的距离取最大值， 圆心到直线所过定点的距离为， 圆上任意一点到直线的距离最大值为. 故选：C. 5．（23-24高二上·山东青岛·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二除以余，五五数之剩三除以余，七七数之剩二除以余，问物几何现有这样一个相关的问题：已知正整数满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可分析出数列是首项为2，公差为3的等差数列，利用等差数列的前项和公式化简，结合对勾函数的单调性可知最小值． 【详解】解：被3除余2的正整数按照从小到大的顺序所构成的数列是一个首项为2，公差为3的等差数列， 所以， 所以， 由对勾函数的性质可得： 函数在上单调递减，在上单调递增，又为正整数， 所以最小值为， 故选：B 6．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案. 【详解】依题意，是等差数列，且，，成等比数列， 所以， ， 由于，所以. 故选：A 7．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列性质得，再由已知，令，代入求值即可. 【详解】由都是等差数列，设公差分别为， 则， ， 则， 故不妨令， 所以， . 故选：B. 8．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列片段和的性质可求得的值. 【详解】因为，，由等差数列的性质可知、、成等差数列， 所以，,所以，. 故选：B. 9．（23-24高二上·山东滨州·期末）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教十伟列亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3整除余2（如）且被5整除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．32 B．47 C．62 D．77 【答案】B 【分析】将问题转化为是15的倍数，再利用数列通项公式即可求得结果. 【详解】根据题意可知既是3的倍数，又是5的倍数，即是15的倍数， 可得，即； 所以. 故选：B 10．（22-23高二上·山东威海·期末）若是等差数列的前n项和，，则（    ） A．10 B．18 C．20 D．24 【答案】B 【分析】先利用等差数列的下角标性质求出，再利用等差数列求和公式求即可. 【详解】由等差数列的下角标性质得， ， . 故选：B. 11．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A．54 B．27 C．18 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列通项公式可得，再利用等差数列的前项和公式即可得解. 【详解】， . 故选：B. 二、多选题 12．（24-25高二上·山东青岛·期末）等差数列中，公差为d，为其前n项和，，则（   ） A． B． C． D．的最大值为30 【答案】AD 【分析】根据等差数列的通项公式和求和公式，即可判断. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.，故C错误； D.因为数列的公差为，所以数列单调递减，且，所以的最大值为，故D正确. 故选：AD 13．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 【答案】BC 【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，等差数列中，若，即， 则有， 变形可得， 对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，故D错误. 故选：BC. 14．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，是互不相同的正整数，且，若在平面直角坐标系中有点，则下列选项成立的有（    ） A．直线与直线的斜率相等 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用等差数列通项的性质与前项和公式，验证各选项的结论. 【详解】设等差数列的公差为，是互不相同的正整数，且， 则有，， 直线的斜率，直线的斜率，A选项正确； ， ， 已知条件中不能得到，B选项错误； ，， ，C选项正确； ，D选项正确. 故选：ACD 15．（23-24高二上·山东威海·期末）记为数列的前项和，若，，则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 【答案】AB 【分析】根据数列递推式，可得时，，采用两式相减的方法可推出，结合等比数列定义，可判断A；继而求出，可得，根据等差数列定义判断B；继而求出的表达式，可得，即可求出以及的通项公式，结合等比数列以及等差数列定义，即可判断C，D. 【详解】由题意知，， 故时，，则，即， 由，，得，， 故，故为等比数列，A正确； 由以上分析知，则， 故为以为首项，公差为的等差数列，B正确； 则，即， 则， 即，则， 则不为常数，故不为等比数列，C错误； 由于， 故不为常数， 故不为等差数列，D错误， 故选：AB 16．（23-24高二上·山东济南·期末）已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列，记为数列的前n项和，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】求得中的一些元素，结合等差数列的定义、通项公式、求和公式，对选项逐一判断即可. 【详解】由题意可得：, 可得， 则 对于选项A:易得，故A正确； 对于选项B:易得，故B正确； 对于选项C:由，可得，故C错误； 对于选项D:易得数列每隔四个一组求和，可构成等差数列，其首项为，公差为， 由， ，则，此时有，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：关键是通过找到，由此借助等差数列的相关知识，进而求解即可. 三、填空题 17．（24-25高二上·山东滨州·期末）定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列是由正数组成的等方差数列，且方公差为1，，则数列的前项和 . 【答案】 【分析】根据定义可得为等差数列，即可得，进而根据裂项相消法求和即可得解. 【详解】由题意可知：，又，故为等差数列， 故，故， 故， 故数列的前项和， 故答案为： 18．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为 ． 【答案】16 【分析】利用等差数列前项和公式和,结合二次函数的性质即可求解． 【详解】等差数列首项，公差， ． 则前项和的最大值为16． 故答案为：16． 19．（23-24高二上·山东威海·期末）已知数列，对都有，且，则 . 【答案】 【分析】分析题意，构造等差数列，求其前项和即可. 【详解】令，可得， 故是以1为首项，1为公差的等差数列，则，故， ，，， 故是以2为首项，2为公差的等差数列， 设前项和为，则. 故答案为： 20．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知为等差数列的前项和，且满足，则 ． 【答案】 【分析】 求出的值，即可得出的值. 【详解】在等差数列中，, ∴，解得：. 故答案为：. 21．（22-23高二上·山东聊城·期末）记公差不为0的等差数列的前n项和为，若，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质，结合等差数列的通项公式与前项和公式化简可得关于的方程，解之即可. 【详解】因为是公差不为0的等差数列，设公差为， 所以，， 又， 所以，即 则， 所以，又， 所以，则． 故答案为：6 22．（22-23高二上·山东威海·期末） ． 【答案】 【分析】直接用等差数列求和公式计算即可. 【详解】明显数列为等差数列， . 故答案为：. 四、解答题 23．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.数列的前项和为，满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的基本量，结合成等比数列列方程求出公差，从而得出等差数列，由消去推出，然后利用构造法求通项； （2）根据分组求和结合等差数列等比数列求和公式求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，，成等比数列， 所以，即， 又，可得， 解得或（舍），所以. 当时，，解得. 因为，① 当时，，② ①②化简得， 即，又， 所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，所以， 所以. （2）由已知可得. 又 . . 所以 . 所以. 24．（23-24高二上·山东烟台·期末）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）. (1)试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小； (2)问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？ 参考数据：，，，，. 【答案】(1)A品牌化妆品的前10年总利润更大 (2)第7年 【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前n项和公式，即可求解； （2）先求出，再结合作差法，即可求解. 【详解】（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列. B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列. 设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，， 则（万元）， （万元），故， 所以A品牌化妆品的前10年总利润更大. （2），， 所以， 则，， 由参考数据，，， 令，得到. 令，得到， 知，，所以. 故第7年时两种化妆品在同一年的利润差额最大. 25．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意结合等差数列通项公式列式求，即可得通项公式； （2）由（1）可知：，利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，则， 整理得，且，即． 又因为，则， 解得，所以． （2）由（1）可知：， 则， ． 两式相减得 ， 所以． 26．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 27．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. (2)若数列公差为，当取最小值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）利用得到，再结合，得到，证明出结论； （2）裂项相消法求和得到方程，求出，进而得到，由单调性得到当时，取最小值. 【详解】（1）对于， 两式相减，得， 递推可得：， 两式相减：得， 所以 所以， 即为等差数列. （2）因为公差为，所以， 故 ， 整理得，解得或（舍去）， 即，则， 由对勾函数性质可知，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 当时，；当时，， 由于，故当时，取最小值. 28．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，由求出，再由等差数列的性质求出的通项公式； （2）由（1）求出，再由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意知，时，， 因为符合上式，所以， 又，，所以，解得． 因为是等差数列，所以公差，， 所以的通项公式. （2）由（1）知，，所以． 所以 ，① ，② ①－②得 ， 所以， 所以的前n项和． 29．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数列递推式求数列的通项公式，结合累乘法求解； （2）分，两种情况，利用等差数列的求和公式求解. 【详解】（1）由， 得（）， 两式相减得， 即（）， 所以当时，， 经检验也符合上式， 故； （2）由题意， 记，则数列的前项和， 所以，当时，， 当时，， 综上， 30．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得. （2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求出的最小值即可. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，， 又，即，而，解得，则， 所以数列为等比数列，； 由，，得， 因此数列是以为首项、1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，即， 则， 于是， 两式相减得，， 因此， 又，即， 于是，而，当且仅当时等号成立，则， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 31．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量转化已知条件，求得首项和公差，即可求得通项公式； （2）根据（1）中所求，利用等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得； 由，令，可得，即； 解方程可得：，所以. （2）因为，由（1）得，所以，又， 故是首项为3，公比为9的等比数列， 所以的前项和. 32．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本量法求解即可； （2）由（1）得，再根据等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以，解得或（舍）， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， ， 所以为等差数列，所以． 所以的前n项和． 33．（23-24高二上·山东泰安·期末）已知递增等差数列满足，且成等比数列，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列性质，设出等差数列基本量列方程求解即可； （2）利用裂项相消法数列求和. 【详解】（1）设的公差为， 成等比数列，， 即，， 或， 单调递增，， （2）由（1）可知，，则， 则， ． 34．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前n项和求出，再结合指数运算律计算即可； （2）应用裂项相消结合指数运算律即可求和. 【详解】（1）由题意知，， 解得， 所以， 所以. （2）， ， 所以 . 35．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，代入等差数列通项公式即可求解； （2）由，代入求和即可. 【详解】（1）由已知，得，解得，故 （2）由（1）得， 所以， 得． 36．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知数列的前n项和为，是等差数列，且，，是，的等差中项． (1)求，的通项公式； (2)记，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用可得到时，，然后求出，即可求出的通项公式，设等差数列的公差为d，利用等差中项可得到，求出即可求解； （2）利用错位相减法求出，即可求证 【详解】（1）因为，所以当时，得， 两式作差得，当时，，即时，． 又，，得，解得，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 设等差数列的公差为d，因为是，的等差中项，所以， 又，所以，解得， 所以， 故，． （2）由（1）知，① ，② ①②，得． 所以． 所以，即． 37．（22-23高二上·山东滨州·期末）已知数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，数列的前n项和为，且，，． (1)求数列，的通项公式； (2)令，求数列的前12项和． 【答案】(1)， (2)2796 【分析】（1）由数列是等差数列，是各项均为正数的等比数列，设出公差和公比，根据题意列出方程组求解即可； （2）根据题意写出数列通项公式，用分组求和法，结合等差等比求和公式求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为d，数列的公比为， 由题意可得，，即， 所以， 因为，所以， 所以，． （2）由（1）可得， 所以的所有奇数项组成以1为首项，4为公差的等差数列； 所有偶数项组成以2为首项，4为公比的等比数列． 所以， ． 38．（22-23高二上·山东威海·期末）设为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． (1)求，； (2)求证：数列为等差数列； (3)求数列的通项公式． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接令中的，可得答案； （2）通过得到，两式相除整理后可证明数列为等差数列； （3）当时，通过可得数列的通项公式，注意验证时是否符合. 【详解】（1）由，且， 当时，，得， 当时，，得； （2）对于①， 当时，②， ①②得， 即，， 又， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列； （3）由（2）得， ， 当时，， 又时，，不符合， . 39．（22-23高二上·山东威海·期末）已知等比数列的各项均为正数，，10，成等差数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据等比数列的通项公式列方程求解即可； （2）由（1）得，利用错位相减法可求数列的前n项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，且， 由已知得，，即， 解得，负值舍去， 数列的通项公式； （2）由（1）得， ， ， 两式相减得， . 地 城 考点02 等比数列 一、单选题 1．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知在等比数列中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的通项公式求解即可得答案. 【详解】因为是等比数列，所以，所以, 所以，解得， 故选：A. 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知数列为等比数列，若，，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出等比数列公比，进而求出. 【详解】设等比数列公比为，，而，，则，解得， 所以. 故选：B 3．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知等比数列中，，，则（    ） A．2 B．﹣2 C． D．4 【答案】A 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解. 【详解】解：∵等比数列中，，， 所以，解得. 又，可得与同号， 故. 故选：A. 4．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列满足，若，则（    ）． A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得是公比为的等比数列，由等比数列的通项公式求解即可, 【详解】由可得， 所以，则是公比为的等比数列， 所以，所以. 故选：B. 5．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等比数列的前项和为且成等差数列，则为（    ） A．244 B．243 C．242 D．241 【答案】A 【分析】首先根据条件求公比，再代入等比数列的前项和公式，即可求解. 【详解】由题意可知，且， 设等比数列的公比为， 则，得， . 故选：A 6．（23-24高二上·山东菏泽·期末）欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互素的正整数的个数.例如.则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】C 【分析】根据题意，由特殊值，即可判断ABD，再根据等比数列的定义，以及欧拉函数，即可判断C. 【详解】因为，，，所以，故A错误； 且，故B错误； 因为所有偶数与不互素，所有奇数与互素，所以，， 所以，即数列是等比数列，故C正确； ，，所以，故D错误. 故选：C 7．（23-24高二上·山东威海·期末）一个边长为的正方形被等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（1）；再将剩余的每个正方形都等分成个相等的正方形，将中间的一个正方形挖掉如图（2），如此继续操作下去，到第次操作结束时，挖掉的所有正方形的面积之和为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 构造第次新挖掉的面积为数列，结合等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】设第次新挖掉的面积为，则第次新挖掉的面积为， 根据题意可得，，又， 故数列是首项为，公比为的等比数列； 设第次操作后，挖掉的面积之和为， 故. 故选：A. 8．（23-24高二上·山东济南·期末）已知正项等比数列中，，则等于（    ） A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质计算即可. 【详解】由题意易知， 又各项为正数，所以. 故选：B 9．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等差数列的公差，且，，成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案. 【详解】依题意，是等差数列，且，，成等比数列， 所以， ， 由于，所以. 故选：A 二、多选题 10．（24-25高二上·山东滨州·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则下列结论正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】由，即可求出公比，逐项验证即可. 【详解】设等比数列的公比为，则，所以，故A正确； 所以，则，， 显然，所以数列不是等比数列，故B错误； ，，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 11．（23-24高二上·山东青岛·期末）在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的前项和为 C．的前项积为 D． 【答案】AB 【分析】对A，根据等比数列的基本量关系，结合等比数列的定义判断即可；对B，由A可得，再根据等差数列求和公式求解即可；对C，根据求解即可；对D，代入求解即可. 【详解】对A，设等比数列的公比为，则，得， 所以，所以， 所以， 所以数列的公比为，故A正确 对B，因为，所以的前项和为 ，故B正确； 对C，的前项积为，故C错误 对D，因为， 所以的前项和为，故D错误． 故选：AB 12．（23-24高二上·山东威海·期末）记为数列的前项和，若，，则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 【答案】AB 【分析】根据数列递推式，可得时，，采用两式相减的方法可推出，结合等比数列定义，可判断A；继而求出，可得，根据等差数列定义判断B；继而求出的表达式，可得，即可求出以及的通项公式，结合等比数列以及等差数列定义，即可判断C，D. 【详解】由题意知，， 故时，，则，即， 由，，得，， 故，故为等比数列，A正确； 由以上分析知，则， 故为以为首项，公差为的等差数列，B正确； 则，即， 则， 即，则， 则不为常数，故不为等比数列，C错误； 由于， 故不为常数， 故不为等差数列，D错误， 故选：AB 三、填空题 13．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前n项和，且，，则的值为 . 【答案】120 【分析】根据题意，设等比数列的公比为，由，求出的值，进而计算可得答案． 【详解】根据题意，设等比数列的公比为q， 若，则有，即，解可得或0（舍）， 则， 故答案为：120. 14．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知为等比数列的前项和，且，则的值为 ． 【答案】4 【分析】由已知可得，可求得. 【详解】因为为等比数列的前项和，，若公比为， 所以为等比数列，所以， 所以，所以，解得或， 又，所以. 故答案为：. 15．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 【答案】 . 【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得，从而利用构造法求得；再利用裂项相消求和法求得，从而得解. 【详解】依题意，设，，，又， 又，， 所以，解得， 则，即有， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则； 所以， 则数列的前n项和. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察，发现其可以裂项展开，从而得解. 16．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知等比数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】121 【分析】求出公比和首项，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】设公比为，故，解得， 所以， 故. 故答案为：121 四、解答题 17．（24-25高二上·山东青岛·期末）记数列的前n项和为． (1)证明：数列是等比数列； (2)数列满足：其中且． （i）求，并证； （ii）求． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i），证明见解析；（ii） 【分析】（1）利用的关系，结合等比数列的定义，即可证明数列是等比数列； （2）（i）由（1）可得，利用递推关系可求，先证明构成等差数列，求出，再证明即可证明； （ii）记的和为，可得，再利用错位相减法可得答案. 【详解】（1）因为①，②， 两式相减得：，即； 又因为，所以， 所以数列是首项为1，公比为2的等此数列 （2）（ⅰ）由（1）可得，则 对于且， 当时，；当时，， 所以构成等差数列，其公差为，首项为，共有项． 所以 因为，得， 所以， 所以； （ii）记的和为， 所以 所以， 两式相减得： 综上 18．（23-24高二上·山东烟台·期末）网上创业成为越来越多大学生的就业选择.李红大学毕业后在网上经营了一家化妆品店，计划销售A，B两种品牌化妆品.据市场调研，销售A品牌化妆品第一年的利润为3.8万元，预计以后每年利润比上一年增加0.5万元；销售B品牌化妆品第一年的利润为4万元，预计以后每年利润的增长率为8%.设，分别为销售A，B两种品牌的化妆品第n年的利润（单位：万元）. (1)试比较销售A，B两种品牌化妆品前10年总利润的大小； (2)问：第几年销售A品牌化妆品较销售B品牌化妆品在同一年的利润差最大？ 参考数据：，，，，. 【答案】(1)A品牌化妆品的前10年总利润更大 (2)第7年 【分析】（1）根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，以及等比数列的前n项和公式，即可求解； （2）先求出，再结合作差法，即可求解. 【详解】（1）A品牌化妆品年销售利润构成首项为3.8、公差为0.5的等差数列. B品牌化妆品年销售利润构成首项为4、公比为1.08的等比数列. 设销售A、B品牌化妆品前n年总利润分别为，， 则（万元）， （万元），故， 所以A品牌化妆品的前10年总利润更大. （2），， 所以， 则，， 由参考数据，，， 令，得到. 令，得到， 知，，所以. 故第7年时两种化妆品在同一年的利润差额最大. 19．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 20．（23-24高二上·山东菏泽·期末）“天眼”探空､神舟飞天､高铁奔驰､北斗组网等，我国创造了一个又一个科技工程奇迹.为了顺应我国科技发展战略，某高科技公司决定启动一项高科技项目，启动资金为2000亿元，为保持每年可获利20%，每年年底需从利润中取出200亿元作为研发经费.设经过n年之后，该项目资金为亿元. (1)写出的值，并求出数列的通项公式. (2)求至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻一番（即为原来的2倍）的目标.（取） 【答案】(1)，； (2)5年. 【分析】（1）根据题意，容易求得；结合已知条件，求得之间的递推关系，构造等比数列，即可求得； （2）令，结合对数运算以及参考数据，即可求得结果. 【详解】（1）由题意知， 而且. 可知 又因为，所以可知，从而可知为等比数列. 因此 所以. （2）令，可得，因此， 所以，因此. 即至少要经过5年，项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标. 21．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可证明． 【详解】（1）由， 当时，则， 可得，则； 当时，则，可得； 综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 可得． 所以． 22．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的基本量转化已知条件，求得首项和公差，即可求得通项公式； （2）根据（1）中所求，利用等比数列的前项和公式，即可求得结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得； 由，令，可得，即； 解方程可得：，所以. （2）因为，由（1）得，所以，又， 故是首项为3，公比为9的等比数列， 所以的前项和. 23．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知等比数列中，，，，成等差数列． (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据基本量法求解即可； （2）由（1）得，再根据等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为q， 因为，，成等差数列，所以， 又，所以，解得或（舍）， 所以的通项公式为． （2）由（1）得， ， 所以为等差数列，所以． 所以的前n项和． 24．（23-24高二上·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 【答案】(1)， (2)在第年甲企业兼并收购乙企业 【分析】（1） 根据前n项和公式求通项结合累加计算即可； （2）根据数列的单调性判断即可. 【详解】（1）当时， ， 所以， 由题意知，， 所以 ， 相加得，               当时也满足上式，所以. （2）当时，，，可得， 因此当或时，不可能出现兼并收购的情况， 当时，，，所以， 由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业， 如果出现兼并收购的情况，必满足， 由，化简得， 令， 当时，，所以满足， ， 当时，，即， 所以， 当时，，即， ， 综上可知，当时，， 所以在第年甲企业兼并收购乙企业. 25．（23-24高二上·山东济南·期末）设数列，其前n项和为，，为单调递增的等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系即可求解，根据等比数列基本量的计算即可求解， （2）利用列举法即可逐一求解的前100项，即可求和得解. 【详解】（1）对于数列，因为①， 所以，，② 得 由①式，当时，得，也满足， 所以． 因为数列为等比数列，由等比数列的性质得，得， 设数列的公比为，又因为，， 所以即，解得或， 又因为为单调递增的等比数列，所以， 所以 （2）由于，，，，，， 所以，对应的区间为，，则，即有2个1； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有6个2； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有18个3； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有54个4； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有20个5； 所以 26．（23-24高二上·山东威海·期末）已知等比数列的前项和为，公比，. (1)设，求； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列前n项和求出，再结合指数运算律计算即可； （2）应用裂项相消结合指数运算律即可求和. 【详解】（1）由题意知，， 解得， 所以， 所以. （2）， ， 所以 . 27．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系求出数列的递推关系，再利用等比数列的通项公式求解； （2）由题意，得，利用错位相减法求和. 【详解】（1）当时，，即， 因为， 所以时，， 所以，， 所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. （2）由（1）， 所以， 所以 ① ② ①-②得 所以. 28．（23-24高二上·山东济宁·期末）已知数列的前n项和为，且． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)在和之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明，并求通项公式即可. （2）分析题意求出新数列，再用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，① 当时，，所以． 当时，，② 由①－②得，即， 所以，又， 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以，故． （2）因为，所以， 解得，所以． 所以， ， 两式相减得． ． 所以． 29．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知数列的前项和为，且满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)求的通项公式及. 【答案】(1)证明详见解析 (2)， 【分析】（1）利用凑配法，结合等比数列的定义证得数列为等比数列. （2）由（1）求得，利用分组求和法求得. 【详解】（1）依题意，， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得，所以， 所以 . 30．（22-23高二上·山东聊城·期末）已知各项均为正数的等比数列满足，． (1)求的通项公式； (2)令，将数列与中的项合并在一起，按从小到大的顺序重新排列构成新数列，求的前50项的和． 【答案】(1) (2)3181． 【分析】（1）设等比数列的公比为q，然后根据题意列出等式，进行联立即可得到，，即可求解； （2）先得到的前50项是由的前5项与的前45项组成，然后利用分组求和法即可求解 【详解】（1）设等比数列的公比为q，由题意得， 因为等比数列中，，所以，又，解得， 所以，即的通项公式为． （2）由（1）知， 因为，， 所以的前50项是由的前5项与的前45项组成， 记的前50项的和为，则 ． 所以的前50项的和为3181． 地 城 考点03 通项公式与数列求和 一、单选题 1．（23-24高二上·山东烟台·期末）三角形数由古希腊毕达哥拉斯学派提出，是由一列点等距排列表示的数，其前五个数如图所示.记三角形数构成的数列为，则使数列的前n项和的最小正整数n为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】由题意可得，则，然后累加求和即可. 【详解】由题意可得， 则， 则， 又， 则， 则， 则使数列的前n项和的最小正整数n为7 故选：C. 二、多选题 2．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且满足，则（    ） A． B． C．为递减数列 D． 【答案】AD 【分析】令，计算可判断A；当，可得，两式相减可求得通项公式判断B；由，可判断C；利用错位相减法可求得可判断D. 【详解】当时，，故A正确； 当时，，又， 两式相减得，所以， 当时，适合上式，所以，故B错误； 所以， 所以，当时，，所以从第二项起是递减数列，故C错误； ， 所以， 两式相减得 所以，故D正确. 故选：AD. 3．（22-23高二上·山东威海·期末）费马数是以数学家费马命名的一组自然数，具有形式：，．1732年，数学家欧拉算出不是质数，从而宣告费马数都是质数的猜想不成立．现设，，为数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】由题知，，进而讨论AB即可得判断；再根据求和，并讨论其最大值即判断CD. 【详解】对A，由题知，，， 所以，，，即，故A选项正确； 对B，，即，故B选项错误； 所以，， 对C， ，故C选项正确； 对D，当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以，当为偶数时，为单调递减数列， 所以，的最大值为，故D选项正确. 故选：ACD 4．（22-23高二上·山东滨州·期末）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，…设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（    ）      A． B． C．， D． 【答案】ACD 【分析】根据每层球数变化规律可直接求解得到AB正误；利用累加法可求得C正确；采用裂项相消法可求得D正确. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，由每层球数变化规律可知：，B错误； 对于C，当时，； 当时，满足，； ，C正确； 对于D，， ，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高二上·山东青岛·期末）已知数列的前n项和，则 ． 【答案】 【分析】首先求数列的通项公式，再利用裂项相消法求和. 【详解】当时，， 当时，，当时，， 所以， ， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·山东临沂·期末）若数列满足（其中，，为常数，），则称是以为周期，以为周期公差的“类周期性等差数列”.若“类周期性等差数列”的前4项为1，1，2，2，周期为4，周期公差为2，则的前16项和为 . 【答案】72 【分析】根据给定的定义，求出以数列首项开始的每4项为一组的和，再求出前4 组和的和即可. 【详解】依题意，， ， ， ， 所以的前16项和为. 故答案为：72 7．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知数列满足：；；，，其中，.数列的通项公式 ，令，则数列的前n项和 . 【答案】 . 【分析】利用比例的性质与待定系数法，解方程可得，从而利用构造法求得；再利用裂项相消求和法求得，从而得解. 【详解】依题意，设，，，又， 又，， 所以，解得， 则，即有， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以，则； 所以， 则数列的前n项和. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题第2问解决的关键是观察，发现其可以裂项展开，从而得解. 8．（23-24高二上·山东滨州·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】利用累加法计算出数列的通项公式，等式右边求和为裂项相消. 【详解】由题意可知：，，，， 将上述个式子相加可得：，则，所以 故答案为： 9．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的通项公式，记为在区间内项的个数，则 ；使得不等式成立的的最小值为 ． 【答案】 12 【分析】根据题意可得，对分奇偶数讨论计算的值；由题设得不等式，再按为奇数和偶数，求出的最小值． 【详解】依题意，令，得， 当为奇数时，可以被整除，于是， 当为偶数时，不能被整除，则， 所以； 当为奇数时，为偶数，， 即，而，则，即，又为奇数，则的最小值为， 当为偶数时，为奇数，， 而，则，即，因此的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：由条件建立不等式，再按是奇数、偶数分类求解是解决本题的关键. 四、解答题 10．（24-25高二上·山东泰安·期末）已知数列的前项和，设． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由结合对数运算即可求得答案； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）∵ 当时， 当时，     当时，符合上式， ∴ ∴； （2）设 由（1）知     ∴ ∴ ∴. 11．（24-25高二上·山东烟台·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)令，数列的前项和为，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由； (3)记，证明：． 【答案】(1) (2)存在；或 (3)证明见解析 【分析】（1）利用的关系可得，利用累乘法可求数列的通项公式； （2）利用裂项相消法可求得，假设存在正整数，使得成等差数列，可得，求解即可； （3）当时，可得，利用放缩法可证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式相减得，即． 累乘得． 经检验也符合上式，所以． （2）因为，所以， 所以， 假设存在正整数，使得成等差数列，则，即，即， 显然是18的正约数，又因为，所以，所以或18， 当，即时，， 当，即时，． 所以，存在正整数，使得成等差数列， 此时或． （3）由题意知，， 当时，，不等式成立． 当，因为 ， 所以 ． 因为，所以， 所以时，， 综上，． 【点睛】方法点睛：证明数列不等式的常用方法之一：放缩法，即是从不等式的一边着手， 用不等式的传递性等性质， 舍去(或添上) 一些正项或者负项， 扩大或缩小分式的分子、 分母， 逐渐适当地有效放大或缩小到所要求的目标，注意放缩时要适度， 否则就不能同向传递．在数列求和型不等式证明中， 一般来说有先放缩再求和或先求和再放缩两种形式。若数列易于求和， 则选择先求和后再放缩； 若数列不易求和， 要考虑先放缩后再求和的证明方法 ． 12．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知等差数列满足，的前项和为. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可求解公差和首项，即可求解， （2）根据裂项相消法以及等比求和公式分别求解，即可由分组求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由可得，解得， 故， （2）， 故， 由于， ， 其中分别为前项中奇数项的和以及偶数项的和， 故 13．（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. (2)若数列公差为，当取最小值时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）利用得到，再结合，得到，证明出结论； （2）裂项相消法求和得到方程，求出，进而得到，由单调性得到当时，取最小值. 【详解】（1）对于， 两式相减，得， 递推可得：， 两式相减：得， 所以 所以， 即为等差数列. （2）因为公差为，所以， 故 ， 整理得，解得或（舍去）， 即，则， 由对勾函数性质可知，当时，数列单调递减，当时，数列单调递增， 当时，；当时，， 由于，故当时，取最小值. 14．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知数列与等差数列满足，，数列的前n项和． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）时，由求出，再由等差数列的性质求出的通项公式； （2）由（1）求出，再由错位相减法求解即可. 【详解】（1）由题意知，时，， 因为符合上式，所以， 又，，所以，解得． 因为是等差数列，所以公差，， 所以的通项公式. （2）由（1）知，，所以． 所以 ，① ，② ①－②得 ， 所以， 所以的前n项和． 15．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式 (2)设，记数列的前项和为，证明． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，即可得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出数列的通项公式； （2）由（1）可得，利用裂项相消法求和，即可证明． 【详解】（1）由， 当时，则， 可得，则； 当时，则，可得； 综上所述：可得，可知是首项为，公比为的等比数列， 所以的通项公式为. （2）由（1）可知：， 可得． 所以． 16．（23-24高二上·山东烟台·期末）设数列，的前n项和分别为，，，，且，（）. (1)求的通项公式，并证明：是等差数列； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，结合求出的通项，再利用等差数列的定义推理即得. （2）利用错位相减法求和得，，由给定不等式得，，再求出的最小值即可. 【详解】（1）数列中，，当时，，两式相减得，， 又，即，而，解得，则， 所以数列为等比数列，； 由，，得， 因此数列是以为首项、1为公差的等差数列. （2）由（1）得，，即， 则， 于是， 两式相减得，， 因此， 又，即， 于是，而，当且仅当时等号成立，则， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：涉及数列不等式恒成立问题，可以变形不等式，分离参数，借助函数思想求解即可. 17．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列，满足，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，代入等差数列通项公式即可求解； （2）由，代入求和即可. 【详解】（1）由已知，得，解得，故 （2）由（1）得， 所以， 得． 18．（23-24高二上·山东济南·期末）设数列，其前n项和为，，为单调递增的等比数列，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记为在区间中的项的个数，求数列的前100项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系即可求解，根据等比数列基本量的计算即可求解， （2）利用列举法即可逐一求解的前100项，即可求和得解. 【详解】（1）对于数列，因为①， 所以，，② 得 由①式，当时，得，也满足， 所以． 因为数列为等比数列，由等比数列的性质得，得， 设数列的公比为，又因为，， 所以即，解得或， 又因为为单调递增的等比数列，所以， 所以 （2）由于，，，，，， 所以，对应的区间为，，则，即有2个1； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有6个2； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有18个3； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有54个4； ，，…,对应的区间为，，…,，则，即有20个5； 所以 19．（23-24高二上·山东临沂·期末）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求解即可； （2）利用裂项相消法求出数列的前项和为，分离参数可得，再利用基本不等式求出的最大值即可. 【详解】（1）由， 当时，，解得， 当时，， 两式相减得， 即， 又因，所以， 所以数列的奇数项和偶数项都是以为公差的等差数列， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 综上可得； （2）， 所以， 因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 即， 因为， 当且仅当，即时，取等号， 所以， 所以. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $