专题18.1分式及其基本性质（知识点总结+9大题型+解题技巧）易错点重难点培优同步讲义2025-2026学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦“分式及其基本性质”核心内容，系统梳理分式的定义、有意义与无意义的条件、值为0的条件、基本性质、约分通分、值的变化规律及新定义问题等知识点。以“定义辨析—性质应用—综合拓展”为学习支架，从基础的分式判断到提升的约分通分，再到培优的新定义问题，构建从概念理解到实际解题的完整学习脉络。 该资料以发展数学核心素养为导向，每个题型配套核心知识点总结、高频考点梳理、易错点警示及解题技巧拆解，如分式判断的“三步法”口诀培养抽象能力，新定义问题（如“赋整分式”）发展创新意识。例题与变式题精选各地期中、中考真题，结合行程问题等实际情境，引导学生用数学眼光观察现实世界。分层设计满足不同学习需求，课中辅助教师突破重难点，课后同步练习帮助学生查漏补缺，强化知识应用与推理意识。

18.1分式及其基本性质 【题型1】分式的判断 1.核心知识点总结 分式定义：形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫分式。 区分关键：分母含字母（是常数，不是字母），与分子无关。 2.高频考点梳理 直接判断整式与分式的个数（如2024山东潍坊期中题）。 结合整式组合分式（如选择两个整式构造分式）。 实际情境中列分式（如销售额、行程问题中的数量关系）。 3.易错点警示 误将、归为分式（是常数，分母无字母）。 化简后判断分式（如是分式，不能先约分为再判断）。 4.解题技巧拆解 三步判断法：①看形式是否为；②、是否为整式；③中是否含字母（不含字母则为整式）。 口诀：“分母有字母，整式来构成，分式才成立”。 【例题1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是分式，故A符合题意； B、是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C、分母不含字母，不是分式，故C不符合题意； D、分母不含有字母，不是分式，故D不符合题意， 故选：A． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数式，，，，中，分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义，解题的关键是明确“分母中含有字母的代数式是分式”这一判定依据． 根据分式的定义，逐一判断每个代数式的分母是否含有字母，从而确定分式的个数． 【详解】分式的定义是分母中含有字母的代数式， 对于：分母含有字母，是分式；对于：分母是数字2，不是分式； 对于：分母是常数，不是分式；对于：分母含有字母，是分式； 对于：分母含有字母，是分式． 综上，分式有3个． 故选：C． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【答案】 ①④⑤ ②③⑥ 【分析】本题主要考查了分式的定义．根据分式的定义解答即可． 【详解】解：分式为，，；整式为，，． 故答案为：①④⑤；②③⑥ 【变式题1-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【答案】 ①③⑤⑥ ②④⑦ 【分析】本题考查了分式和整式，掌握分式和整式的定义是解题关键．根据分母中是否含有字母这一核心特征进行判断即可．注意是常数，不属于字母． 【详解】解：①，是分式； ②是整式； ③是分式； ④是整式； ⑤是分式； ⑥是分式； ⑦是整式； 即分式有①③⑤⑥，整式有②④⑦， 故答案为：①③⑤⑥，②④⑦． 【题型2】分式有意义/无意义的条件 1.核心知识点总结 有意义：分母（与分子无关）。 无意义：分母。 2.高频考点梳理 单一字母分母(如，求的取值范围)。 含平方、绝对值的分母(如，2024安徽中考题)。 多项式分母(如，需所有因式不为0)。 3.易错点警示 化简后讨论(如不能先约分为，再判断)。 忽略隐含条件(如分母为，需考虑)。 4.解题技巧拆解 直接令分母≠0(无意义则令分母=0)，解不等式/方程。 多项式分母：先因式分解，再令每个因式≠0，取公共解。 【例题2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】此题考查的是分式的值不存在的条件，分式不存在的条件中特别需要注意的是分母是0，这是经常考查的知识点． 分式的值不存在的条件是：分母为0，即，从而解决问题． 【详解】解：根据题意得： 解得：． 故选：A． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 【答案】 2 【分析】本题考查分式无意义以及为0的条件，掌握分式无意义以及为0的条件是解题的关键． 分式无意义：分母为0；分式是值为0：分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：要使无意义，则，解得； 要使的值为0，则，解得； 故答案为：；． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】此题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为零得，然后求解即可，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 【详解】解：由题意得，， 解得， 故答案为：． 【变式题2-3】．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【题型3】分式值为0的条件 1.核心知识点总结 充要条件：(二者缺一不可)。 2.高频考点梳理 分子为一次式(如，求的值)。 分子含绝对值、平方(如，2024甘南州中考题)。 分子分母含公因式(如，无满足条件的)。 3.易错点警示 只考虑分子=0，忽略分母≠0(如，不能只取，需排除)。 化简后求分子=0(如，不能先约分为，再取时需验分母)。 4.解题技巧拆解 两步法：①解得候选值；②将候选值代入，排除使的解。 【例题3】．（25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 【答案】7 【分析】分式的值为零需满足分子为零且分母不为零．本题考查分式值为零的条件，涉及的知识点是分式有意义的条件及绝对值方程的求解．解题中用到的方法是“双条件验证法”，同时验证分子为零和分母不为零．解题关键是不能忽略分母不为零的限制条件．易错点是只考虑分子为零，忘记排除使分母为零的情况． 【详解】由分子，得，解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，符合条件． 故答案为7． 【变式题3-1】．（24-25八年级下·江西吉安·月考）若分式的值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，利用分式值为零则有，然后求解即可，熟知分式值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的值为0，则多项式的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了分式值为的条件与多项式求值，理解分式值为的条件是解题的关键． 先根据分式值为的条件，求出的值，再将的值代入多项式计算． 【详解】解：分式的值为， 则分子，且分母， 由， 得， 由，即， 得且， ∴， 将代入多项式， 得． 故答案为：36． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查分式的值和分式无意义的条件，解题的关键是根据分式的值求出字母的值及分式有意义的条件． （1）根据分式无意义的条件求解即可； （2）先根据时分式的值为0求出a的值，再根据分式的值为3求出x的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵时分式无意义，即， ∴， 故答案为：1． （2）解：当时，分式的值为0， ， 解得， ∴原分式为 ， 当分式的值为3时，即， 解得, 经检验，是该分式方程的解， ∴． 【题型4】分式基本性质的应用 1.核心知识点总结 基本性质：(是不为0的整式)。 符号法则：分子、分母、分式本身的符号，同时改变两处，值不变(如)。 2.高频考点梳理 系数化为整数(如)。 分子分母同乘/除整式(如)。 符号变形(如)。 3.易错点警示 系数化为整数时漏乘常数项(如，需同乘10，不能只乘含字母项)。 符号变形时多项式漏加括号(如不能变形为，应改为)。 4.解题技巧拆解 系数化为整数：①小数分母→同乘10的正整数次幂；②分数分母→同乘所有分母的最小公倍数。 符号变形：“先定整体符号，再变分子/分母符号”，多项式加括号再变号。 【例题4】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质，正确计算是解题的关键． 将x和y分别扩大3倍后代入分式，化简后与原分式相同，故分式的值不变． 【详解】解：∵新分式为，与原分式相等， ∴分式的值不变． 故选：A． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的基本性质，通过代入扩大后的值并化简，比较是否与原式一致即可，熟练掌握分式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，与原分式相同，即分式的值保持不变，符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：A． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质：判断分式变形是否正确．根据分式的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式的基本性质，分子和分母同时乘以同一个不为零的整式，分式的值不变．变形中乘以了，因此需满足． 【详解】解：∵左边分式变形为右边分式是通过分子和分母同时乘以得到的， ∴根据分式的基本性质，必须保证，即， 故选：D． 【题型5】分式的约分与最简分式(提升) 1.核心知识点总结 约分：约去分子分母的公因式(依据分式基本性质)。 最简分式：分子分母无公因式(含因式分解后无公因式)。 2.高频考点梳理 单项式约分(如)。 多项式约分(如，先因式分解再约分)。 判断最简分式(如是最简分式)。 3.易错点警示 公因式找不全(如，公因式是，不是)。 约分后仍有公因式(如约分为，不能停留在)。 4.解题技巧拆解 约分步骤：①分子分母分别因式分解(多项式必分解)；②找出公因式(系数取最大公因数，字母取最低次幂)；③约去公因式，验证是否为最简分式。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）代数式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了因式分解、约分等知识点，掌握分式的约分是解题的关键． 先对分子约分，然后再运用分式的基本性质约分即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）化简分式： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简． 通过约去分子和分母的公因式进行化简即可． 【详解】解：原分式为， 分子和分母的公因式为， 约分后得． 故答案为：． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查最简分式、分式的值不为0以及分母的条件．根据题意，分子应为非零常数，分母为含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式． 【详解】解：分式中，分子2为非零常数，因此分式的值不可能为0， 分母是含有字母m的一次二项式，且分子与分母无公因式，为最简分式． 故答案为：（答案不唯一）． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的约分，根据分式的基本性质进行约分即可． （1）找到分子和分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）把分母和分子因式分解，找到分子和分母的最大公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． 【题型6】分式的通分与最简公分母(提升) 1.核心知识点总结 通分：将异分母分式化为与原分式相等的同分母分式(依据基本性质)。 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积(单项式分母：系数最小公倍数×字母最高次幂；多项式分母：先分解再取最高次幂)。 2.高频考点梳理 单项式通分(如与，最简公分母)。 多项式通分(如与)。 确定最简公分母(如与，最简公分母)。 3.易错点警示 多项式分母未因式分解(如与，需先分解)。 最简公分母取错(如与，最简公分母是，不是)。 4.解题技巧拆解 通分步骤：①分母因式分解(多项式必做)；②求最简公分母；③分子分母同乘“最简公分母÷原分母”的整式，保持分式值不变。 【例题6】．（25-26八年级上·山东·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键 （1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可； （2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可． 【详解】（1）解：最简公分母是， ， ； （2）解：最简公分母是， ， ， ． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分式与的最简公分母是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了最简公分母的确定方法． 取各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积即可． 【详解】解：分母和中， 系数4和6的最小公倍数为12， 字母的最高次幂为， 字母的最高次幂为， 故最简公分母为． 故答案为：． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式的通分． 根据分式的基本性质可知小强的错误是把分母去掉了，根据分式的基本性质通分即可． 【详解】解：小强的错误是把分母去掉了，不符合分式的基本性质． 改正如下： ，的最简公分母是， ，． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1），各分母中系数，的最小公倍数是 ，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是 ； （2），，中，因为各分母分解因式分别为 ， ， ，所以最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键．确定最简公分母的方法是：取各分母系数的最小公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． （1）直接根据最简公分母的定义确定即可； （2）先用提公因式、平方差公式和完全平方公式对分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义确定即可． 【详解】解：（1），各分母中系数，的最小公倍数是，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是； 故答案为：，； （2），，中，因为各分母分解因式分别为，，，所以最简公分母是． 故答案为：，，，． 【题型7】分式值的变化规律(提升) 1.核心知识点总结 字母扩大/缩小倍：分子分母分别扩大/缩小的相应次数，分式值变化由分子分母扩大倍数的比值决定。 2.高频考点梳理 、扩大倍后分式值的变化(如，、扩大3倍值不变，2024山东菏泽期末题)。 字母取值变化对分式值的影响(如，、扩大3倍值扩大3倍)。 3.易错点警示 分子分母扩大倍数计算错误(如，扩大3倍分子扩大27倍，扩大3倍分母扩大9倍，值扩大3倍)。 局部扩大误判(如，扩大3倍分子局部扩大，值变化)。 4.解题技巧拆解 代入法：设原字母为、，扩大后为、，代入分式化简，与原分式比较。 倍数分析法：分子扩大倍，分母扩大倍，分式值扩大倍(则值不变)。 【例题7】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：分别用和去代换原分式中的x和y，得， 化简后的结果和原式相同，则分式的值不变． 故答案为：A． 【变式题7-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）；括号内应填写： ． （2）；括号内应填写： ． （3）；括号内应填写： ． 【答案】 【分析】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． （1）利用分式的基本性质，分子乘以，分母也需乘以，得到分母为； （2）化简右边分式，分子为，分母为，与左边分母一致，故分子为； （3）将右边分母因式分解为，分子需乘以，得到． 【详解】（1），故答案为：． （2），左边分式分母为，故分子为，故答案为：． （3）， 故答案为：． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【答案】(1)， (2)将变为原来的倍 (3)变为原来的倍 【分析】本题考查分式的值； （1）把x，y的值代入计算解答即可； （2）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题； （3）用，代换x，y，计算分式的值，然后计较解题． 【详解】（1）解：当，时，， 当，时，； 故答案为：，； （2）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍； （3）解：当x，y的取值都扩大为原来的k倍，， ∴分式的值将变为原来的倍． 【变式题7-3】．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【答案】(1)， (2)不同意，理由见解析 (3)2 【分析】本题主要考查了分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中给出的例子即可写出答案； （2）根据表格中的数据可得当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小，据此可得结论； （3）将分式转换成形式，利用随着的增大，逐渐增大，逐渐减小，趋近与0，进而得出结论． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：不同意，理由如下： 根据表格可知，当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 当时，随着x的增大，的值逐渐减小， 但是当时，，当时，，此时并不满足随着x的增大，的值逐渐减小， ∴不同意小茗同学的观点； （3）解：∵， ∴当x大于2时，随着x的增大，逐渐增大，则逐渐减小， ∴当x的值越大，的值越大，即此时值越小， ∴当x的值无限大时，分式的值无限趋近于一个数，这个数是2． 【题型8】分式值的正负/整数问题(提升) 1.核心知识点总结 值为正：分子分母同号(或)。 值为负：分子分母异号(或)。 值为整数：分母是分子的因数(且分母≠0)。 2.高频考点梳理 求字母取值范围(如的值为负)。 求整数的值(如的值为整数)。 非负/非正值问题(如的值是非负数，求的范围)。 3.易错点警示 忽略分母≠0(如的值为正整数，需是6的正因数且)。 因数枚举不全(如为整数，可取，不能漏负因数)。 4.解题技巧拆解 正负值：列不等式组(分类讨论同号/异号)，解后验分母≠0。 整数值：①约分简化分式(如)；②枚举分母的所有因数(正+负)；③求并排除使分母为0的解。 【例题8】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】的整数值为，，， 【分析】本题考查了分式的变形（将分式化为整式与分式的和）以及整数的性质（整数的约数特征）；解题的关键是通过凑分母倍数的方式将分式拆分为整式与简单分式的和，再根据“整式与分式的和为整数，则该分式必为整数”确定分母的取值． 先将分式的分子凑成分母的倍数，即，进而拆分为；因分式的值为整数，且是整数，故需为整数，即是的整数因数（，）；分别求解对应的值，得到的整数值（注意，避免分母为0）． 【详解】解： ∵分式的值为整数，且是整数， ∴必须为整数，即是的整数约数． 的整数约数为，，分情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得. 综上，的整数值为，，，， 答：的整数值为，，，. 【变式题8-1】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题考查分式有意义的条件以及分式的值，熟练掌握知识点是解题关键； （1）根据分式有意义的条件“分母不为0”列出方程解方程即可得到d的值，再通过分式的值为0时，分子为0，列出方程即可得到c的值； （2）把的值代入分式，然后利用分式的值为正整数进行分情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，分式无意义， ， 解得， 当时，此分式的值为0， ， 解得， （2）把，代入得 因为分式的值为正整数，所以是的正因数，的正因数有、、．当时，；当时，；当时，． 整数的值可能为，，． 【变式题8-2】．（25-26七年级下·全国·单元测试）小明叫小刚写一个含有字母的分式，要求不论取何数，该分式都有意义，且分式的值为负．小刚一共写出了下面四组，让小明选出正确的一组，你认为小明应该选（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是分式有意义的条件、利用分式的基本性质判断分式的值的变化，解题关键是熟练掌握分式有意义的条件． 根据分式有意义的条件及分式的值为负判断各个选项即可． 【详解】解：、当时，分式无意义，故本选项错误； 、无论取何值，分母都大于，且分子小于，则分式的值为负，故本选项正确； 、无论取何值，分式都有意义，但分式的值为正，故本选项错误； 、当时，分式无意义，故本选项错误． 故选：． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【答案】(1)，不等式组无解， (2) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）分别求出两个不等式组的解集，即可解答； （2）先根据有理数的除法法则得出③或④，分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：解不等式组①，得， 解不等式组②，得不等式组无解， 故当x满足时，分式的值为正． 故答案为：；不等式组无解；； （2）解：∵分式的值为负， ∴分子、分母异号， 原式可转化为③或④， 解不等式组③： 由，得，由，得， ∴不等式组③无解； 解不等式组④： 由，得，由，得， ∴不等式组④的解集为． 综上所述，若分式的值为负，则x的取值范围为． 【题型9】新定义分式问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义类型：巧分式(约分后为整式)、和谐分式(可因式分解且为最简分式)、伴随分式(如的伴随分式为)。 2.高频考点梳理 巧分式(如约分后为，求、，2025江苏宿迁期末题)。 和谐分式判断(如是和谐分式，2025陕西延安期末题)。 伴随分式循环规律(如，求)。 3.易错点警示 误解新定义(如巧分式需“约分后为整式”，不是“本身为整式”)。 循环规律找错(如伴随分式需计算前3项找周期)。 4.解题技巧拆解 步骤：①紧扣定义转化为常规问题(如巧分式→分子能被分母整除，用多项式除法)；②结合约分、因式分解求解；③循环规律需计算前3-4项，确定周期后求序号对应的分式。 【例题9】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的拆分． 根据“赋整分式”的定义，将分子化为分母的倍数与常数的和，然后进行分式拆分即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式题9-1】．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【答案】(1)具有“单位差”，理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，分式的约分． （1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出∴，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． （3） 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【答案】(1)①③④是“和谐分式” (2) (3)的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数 【分析】本题主要考查分式的新定义； （1）根据和谐分式的定义逐一判断即可； （2）根据和谐分式的定义计算求解即可； （3）根据题意得到当为整数时，的值也要为整数，得到当或时，分式的值为整数，计算求解即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④， ①③④是“和谐分式”． 故答案为：①③④． （2）解： ， ． 故答案为：． （3）解：的值为整数， 当为整数时，的值也要为整数， 当或时，分式的值为整数， 或或或， 即当的值为4或2或14或时，“和谐分式”的值为整数． 【变式题9-3】．（23-24八年级上·广西南宁·月考）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ② ， 又是整式， 是“巧分式”． 同步练习 一、单选题 1．下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 【答案】C 【分析】本题考查分式的定义、分式的基本性质、分式值为0的条件和最简分式的概念．根据分式的定义判断A；根据分式的基本性质判断B；根据分式值为0的条件判断C；根据最简分式的定义判断D． 【详解】解：A． ∵ 分母π是常数，不是字母， ∴ 是整式，不是分式，故A错误． B． ∵ x，y都扩大3倍后，分式变为，值扩大3倍，故B错误． C． ∵ 分式值为0， ∴ 分子且分母． 由得，由得， ∴ ，故C正确． D． ∵ （），可约分， ∴ 不是最简分式，故D错误． 因此，正确的是C． 故选：C． 2．已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质成为解题的关键．等式基本性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个数或整式，等式仍然成立；等式基本性质2：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数或整式，等式仍然成立．根据等式的性质逐项判定即可． 【详解】解：因为， A．根据等式性质2，两边同时乘以3可得：，故选项A正确，不符合题意； B． 根据等式性质1，两边同时加a可得，故选项B正确，不符合题意； C．根据等式性质2，在 的两边同时乘以 得 ，又因 ，两边再同时除以 得 ，该变形成立，故选项C正确，不符合题意； D． 当时，成立；但当时，分母为零，无意义，∴不一定成立．故选项D错误，符合题意； 故选：D． 3．下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简分式的定义，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，通过检查各选项的分子和分母是否有公因式，能否约分，即可判断． 【详解】解： A：，不是最简分式； B：，不是最简分式； C：，不是最简分式； D：，是最简分式， 故选：D． 4．使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件. 分式有意义的条件是分母不为零，因此需确保分母. 【详解】解：∵分式有意义， ∴分母， 即， ∴. 故的取值范围是 . 故选：B. 5．下列四种说法中，错误的个数是（    ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义、分式的化简与求值，根据分式的定义（分母中含字母）判断①；通过因式分解验证②；代入求值判断③；通过通分比较判断④． 【详解】解：① ∵ 分式定义是分母中含字母，而 的分母是常数 ，不是字母， ∴ 不是分式，故①错误； ② ∵ ，， ∴ 等式成立，故②正确； ③ 当 时，分子 ，分母 ，分式无意义， ∴ 值不是零，故③错误； ④ 左边通分：，右边为 ， ∵ ， ∴ 等式不成立，故④错误； 综上，错误的有①、③、④，共3个． 故选：B． 二、填空题 6．有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题是开放性试题，考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件及求分式的值的方法． 根据分式的值为0的条件，由甲的叙述可知此分式的分子一定不等于0；根据分式有意义的条件，由乙的叙述可知此分式的分母当时该分式没有意义． 【详解】解：由题意，可知所求分式可以是：． 故答案为：（答案不唯一）． 7．要使分式的值为0，则与应满足的条件是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分式的值为零的条件计算即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 8．若分式的值为0，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握定义是解题关键．根据分式的值为0的条件，分子等于0且分母不等于0． 【详解】解：分式的值为0，则分子， 解得或． 当时，分母，分式无意义； 当时，分母，满足条件． 故答案为：． 9．分式，，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，解题关键是掌握最简公分母并能熟练运用求解． 根据最简公分母的求法，需将各分母因式分解后，取所有不同因式的最高次幂的乘积． 【详解】解：分式、、的分母分别为、、． 其中可因式分解为， 因此所有分母的因式为和， 最简公分母为， 故答案为：． 10．把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的通分． 先将各分式的分母因式分解，确定最简公分母为，再通分得到各分式的分子，最后将分子相加并化简． 【详解】解：各分母分解因式： ， ， ， 可知最简公分母为． 的分子通分后为， 的分子通分后为， 的分子通分后为， 分子之和为： ． 故答案为：． 三、解答题 11．通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 【答案】(1)， (2)， (3)，， 【分析】本题考查了分式的通分． （1）找出最简公分母，进而通分即可； （2）找出最简公分母，进而通分即可； （3）找出最简公分母，进而通分即可． 【详解】（1）解：最简公分母是，，； （2）解：最简公分母是，，； （3）解：最简公分母是，，，． 12．若有意义，求应满足的条件． 【答案】且 【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂有意义的条件，涉及知识点：零指数幂（底数不为 0）、负整数指数幂（底数不为 0）．解题方法是分别根据零指数幂和负整数指数幂的限制条件列不等式，求解公共解集；解题关键是牢记两种幂的底数不为 0 的要求，易错点是遗漏其中一个条件．解题思路：分别分析零指数幂和负整数指数幂的底数限制，列不等式组求解． 【详解】解：由题意得且，且． 13．已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，平方根，掌握二次根式和分式有意义的条件是解题的关键． （1）根据被开方数大于等于和分母不为解出的值，然后求出的值； （2）代入x，y的值求出代数式的值，再利用平方根的定义解题． 【详解】（1）解：因为有意义， ∴， 解得：， ∴ （2）， ∴的平方根为． 14．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】(1) (2) (3)或0 【分析】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题目给出的定义是解决问题的关键． （1）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （2）逆用同分母分式加减法法则，仿照例题求解即可； （3）先把分式化为真分式，再根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】（1）解： ， 答案为：； （2）解： ； （3）解：． 分式的值为整数，且为整数， ， 或0． 15．阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 【答案】(1) (2)4，5，6，9 (3)；0；2 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，分式的值，能得出方程组的解是解（3）的关键． （1）先移项，在把x的系数化为1，可得，再根据、为正整数，即可求解； （2）根据为自然数，x为正整数，可得取6或3或2或1，即可求解； （3）先求出方程组的解为，再根据方程组的解是正整数，可得或4或2或1，从而得到k取或0或2或3，再判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得： ， ∵、为正整数， ∴是3的倍数，且， ∴， ∴， ∴方程的正整数解为； 故答案为：； （2）解：∵为自然数，x为正整数， ∴取6或3或2或1， ∴x可取4或5或6或9． 故答案为：4，5，6，9； （3）解：解方程组得：， ∵方程组的解是正整数， ∴8是的倍数， ∴或4或2或1， ∴k取或0或2或3， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，整数的值为；0；2． 学科网（北京）股份有限公司 $ 18.1分式及其基本性质 【题型1】分式的判断 1.核心知识点总结 分式定义：形如（、是整式，且中含有字母，）的式子叫分式。 区分关键：分母含字母（是常数，不是字母），与分子无关。 2.高频考点梳理 直接判断整式与分式的个数（如2024山东潍坊期中题）。 结合整式组合分式（如选择两个整式构造分式）。 实际情境中列分式（如销售额、行程问题中的数量关系）。 3.易错点警示 误将、归为分式（是常数，分母无字母）。 化简后判断分式（如是分式，不能先约分为再判断）。 4.解题技巧拆解 三步判断法：①看形式是否为；②、是否为整式；③中是否含字母（不含字母则为整式）。 口诀：“分母有字母，整式来构成，分式才成立”。 【例题1】．（25-26八年级上·湖南永州·期中）下列各式中是分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·云南昆明·期中）在代数式，，，，中，分式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式题1-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是分式的有 ，是整式的有 （请填写序号） 【变式题1-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦．其中是分式的有 ，是整式的有 ．（请填写序号） 【题型2】分式有意义/无意义的条件 1.核心知识点总结 有意义：分母（与分子无关）。 无意义：分母。 2.高频考点梳理 单一字母分母(如，求的取值范围)。 含平方、绝对值的分母(如，2024安徽中考题)。 多项式分母(如，需所有因式不为0)。 3.易错点警示 化简后讨论(如不能先约分为，再判断)。 忽略隐含条件(如分母为，需考虑)。 4.解题技巧拆解 直接令分母≠0(无意义则令分母=0)，解不等式/方程。 多项式分母：先因式分解，再令每个因式≠0，取公共解。 【例题2】．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若分式的值不存在，则x的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式题2-1】．（25-26八年级上·广东广州·期中）已知分式，当x 时，分式无意义；当x 时，分式的值为0． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·山东淄博·期中）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【变式题2-3】．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【题型3】分式值为0的条件 1.核心知识点总结 充要条件：(二者缺一不可)。 2.高频考点梳理 分子为一次式(如，求的值)。 分子含绝对值、平方(如，2024甘南州中考题)。 分子分母含公因式(如，无满足条件的)。 3.易错点警示 只考虑分子=0，忽略分母≠0(如，不能只取，需排除)。 化简后求分子=0(如，不能先约分为，再取时需验分母)。 4.解题技巧拆解 两步法：①解得候选值；②将候选值代入，排除使的解。 【例题3】．（25-26八年级上·山东东营·期中）使分式的值为零，则的取值是 ． 【变式题3-1】．（24-25八年级下·江西吉安·月考）若分式的值为，则的值为 ． 【变式题3-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的值为0，则多项式的值为 ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知分式满足表格中的信息，其中，，均为常数． 的取值 分数的值 无意义 (1)原分式中的值是　　　； (2)求出，的值． 【题型4】分式基本性质的应用 1.核心知识点总结 基本性质：(是不为0的整式)。 符号法则：分子、分母、分式本身的符号，同时改变两处，值不变(如)。 2.高频考点梳理 系数化为整数(如)。 分子分母同乘/除整式(如)。 符号变形(如)。 3.易错点警示 系数化为整数时漏乘常数项(如，需同乘10，不能只乘含字母项)。 符号变形时多项式漏加括号(如不能变形为，应改为)。 4.解题技巧拆解 系数化为整数：①小数分母→同乘10的正整数次幂；②分数分母→同乘所有分母的最小公倍数。 符号变形：“先定整体符号，再变分子/分母符号”，多项式加括号再变号。 【例题】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）如果把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的3倍 D．扩大为原来的6倍 【变式题4-1】．（25-26八年级上·山东泰安·期中）若a、b的值均扩大为原来的4倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-2】．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）下列各式的变形，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式题4-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使式子从左到右变形成立，应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【题型5】分式的约分与最简分式(提升) 1.核心知识点总结 约分：约去分子分母的公因式(依据分式基本性质)。 最简分式：分子分母无公因式(含因式分解后无公因式)。 2.高频考点梳理 单项式约分(如)。 多项式约分(如，先因式分解再约分)。 判断最简分式(如是最简分式)。 3.易错点警示 公因式找不全(如，公因式是，不是)。 约分后仍有公因式(如约分为，不能停留在)。 4.解题技巧拆解 约分步骤：①分子分母分别因式分解(多项式必分解)；②找出公因式(系数取最大公因数，字母取最低次幂)；③约去公因式，验证是否为最简分式。 【例题5】．（25-26八年级上·湖南·阶段练习）代数式化简的结果是 ． 【变式题5-1】．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）化简分式： ． 【变式题5-2】．（25-26八年级上·河北邢台·期中）请你写出一个最简分式，使其同时满足以下两个条件： ①分式的值不可能为0； ②分母是含有字母m的一次二项式． 这个分式可以是 ． 【变式题5-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）约分： (1)； (2)． 【题型6】分式的通分与最简公分母(提升) 1.核心知识点总结 通分：将异分母分式化为与原分式相等的同分母分式(依据基本性质)。 最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积(单项式分母：系数最小公倍数×字母最高次幂；多项式分母：先分解再取最高次幂)。 2.高频考点梳理 单项式通分(如与，最简公分母)。 多项式通分(如与)。 确定最简公分母(如与，最简公分母)。 3.易错点警示 多项式分母未因式分解(如与，需先分解)。 最简公分母取错(如与，最简公分母是，不是)。 4.解题技巧拆解 通分步骤：①分母因式分解(多项式必做)；②求最简公分母；③分子分母同乘“最简公分母÷原分母”的整式，保持分式值不变。 【例题6】．（25-26八年级上·山东·课后作业）通分： (1)，； (2)，，． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）分式与的最简公分母是 ． 【变式题6-2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）小强的一道作业题：“对下列分式通分：，．”他的解答如下，请你指出他的错误，并改正． 解：． ． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1），各分母中系数，的最小公倍数是 ，分母中各字母因式的最高次幂分别是和，所以最简公分母是 ； （2），，中，因为各分母分解因式分别为 ， ， ，所以最简公分母是 ． 【题型7】分式值的变化规律(提升) 1.核心知识点总结 字母扩大/缩小倍：分子分母分别扩大/缩小的相应次数，分式值变化由分子分母扩大倍数的比值决定。 2.高频考点梳理 、扩大倍后分式值的变化(如，、扩大3倍值不变，2024山东菏泽期末题)。 字母取值变化对分式值的影响(如，、扩大3倍值扩大3倍)。 3.易错点警示 分子分母扩大倍数计算错误(如，扩大3倍分子扩大27倍，扩大3倍分母扩大9倍，值扩大3倍)。 局部扩大误判(如，扩大3倍分子局部扩大，值变化)。 4.解题技巧拆解 代入法：设原字母为、，扩大后为、，代入分式化简，与原分式比较。 倍数分析法：分子扩大倍，分母扩大倍，分式值扩大倍(则值不变)。 【例题7】．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍 【变式题7-1】．（2025八年级上·全国·专题练习）（1）；括号内应填写： ． （2）；括号内应填写： ． （3）；括号内应填写： ． 【变式题7-2】．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助完成相关问题： (1)①当，时，分式的值为__________； ②当，时，分式的值为__________； (2)当分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍时，分式的值如何变化？为什么？ (3)若分式中x，y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么？ 【变式题7-3】．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）阅读理解 材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母，求出整数部分，再把剩余的部分写成一个真分数． 例如：． 类似地，我们可以将分式写成一个整数与一个新分式的和． 例如：． 材料2：为了研究字母x和分式的变化关系，小明制作了如下表格： x … 0 1 2 3 … … 无意义 6 3 2 … 请根据上述材料完成下列问题： (1)把下列分式写成一个整数与一个新分式的和的形式；___________，_________； (2)小茗同学认为：随着x的增大，分式的值在减小，你同意他的观点吗？请说明理由； (3)当x大于2时，随着x的增大，分式的值无限趋近于一个数，这个数是_________． 【题型8】分式值的正负/整数问题(培优) 1.核心知识点总结 值为正：分子分母同号(或)。 值为负：分子分母异号(或)。 值为整数：分母是分子的因数(且分母≠0)。 2.高频考点梳理 求字母取值范围(如的值为负)。 求整数的值(如的值为整数)。 非负/非正值问题(如的值是非负数，求的范围)。 3.易错点警示 忽略分母≠0(如的值为正整数，需是6的正因数且)。 因数枚举不全(如为整数，可取，不能漏负因数)。 4.解题技巧拆解 正负值：列不等式组(分类讨论同号/异号)，解后验分母≠0。 整数值：①约分简化分式(如)；②枚举分母的所有因数(正+负)；③求并排除使分母为0的解。 【例题8】．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式和的形式，例如：； 根据以上思路，解决问题：若分式的值为整数，求的整数值． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·河北唐山·期中）已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0． (1)直接写出的值． (2)在（1）的条件下，当分式的值为正整数时，求整数的值． 【变式题8-2】．（25-26七年级下·全国·单元测试）小明叫小刚写一个含有字母的分式，要求不论取何数，该分式都有意义，且分式的值为负．小刚一共写出了下面四组，让小明选出正确的一组，你认为小明应该选（   ） A． B． C． D． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的材料：当x满足什么条件时，分式的值为正？ 根据有理数的除法法则：同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，瑶瑶的解题思路如下．原式可转化为下面两个不等式组： ①或②， 解不等式组①，得_________， 解不等式组②，得_________， 故当x满足______时，分式的值为正． 解答问题： (1)请将瑶瑶的解题思路补充完整； (2)若分式的值为负，求x的取值范围． 【题型9】新定义分式问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义类型：巧分式(约分后为整式)、和谐分式(可因式分解且为最简分式)、伴随分式(如的伴随分式为)。 2.高频考点梳理 巧分式(如约分后为，求、，2025江苏宿迁期末题)。 和谐分式判断(如是和谐分式，2025陕西延安期末题)。 伴随分式循环规律(如，求)。 3.易错点警示 误解新定义(如巧分式需“约分后为整式”，不是“本身为整式”)。 循环规律找错(如伴随分式需计算前3项找周期)。 4.解题技巧拆解 步骤：①紧扣定义转化为常规问题(如巧分式→分子能被分母整除，用多项式除法)；②结合约分、因式分解求解；③循环规律需计算前3-4项，确定周期后求序号对应的分式。 【例题9】．（25-26八年级上·山东烟台·期中）定义：如果一个分式能化成一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“赋整分式”．例如：①；②；将“赋整分式”化为一个整数与一个分子为常数的分式的和的形式是 ． 【变式题9-1】．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【变式题9-2】．（24-25八年级下·江西鹰潭·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如： ； ， 则和都是“和谐分式”． (1)下列分式中，属于“和谐分式”的是：________（填序号）； ①；②；③；④ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：________； (3)当取什么整数时，“和谐分式”的值为整数？ 【变式题9-3】．（23-24八年级上·广西南宁·月考）我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·山东威海·期中）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式的值为0，则x的值为 D．分式是最简分式 2．（24-25六年级上·上海·月考）已知，下列等式的变形不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）下列分式中，属于最简分式的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河北石家庄·期中）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·山东烟台·期中）下列四种说法中，错误的个数是（    ） ①是分式；②当时，成立；③当时，分式的值是零；④ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东菏泽·期中）有一个分式，两位同学分别说出了它的一些特点，甲：分式的值不可能为0；乙：分式有意义时的取值范围是；请你写出满足上述全部特点的一个分式： ． 7．（25-26八年级上·全国·课后作业）要使分式的值为0，则与应满足的条件是 ． 8．（25-26八年级上·湖南永州·期中）若分式的值为0，则x的值为 ． 9．（25-26八年级上·湖南益阳·期中）分式，，的最简公分母是 ． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）把，，通分后，各分式的分子之和为 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）通分： (1)与； (2)与； (3)，，． 12．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有意义，求应满足的条件． 13．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）已知x，y为实数，且有 (1)试求出x，y的值； (2)请你求出的平方根． 14．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和，例如，． (1)将假分式化为一个整式与一个真分式的和是_________； (2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和； (3)若分式的值为整数，求整数x的值． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读下列材料，解答下面的问题： 我们知道方程有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由，得：（、为正整数）．要使为正整数，则为正整数，可知：为3的倍数，从而，代入．所以的正整数解为． (1)请你直接写出方程的正整数解___________． (2)若为自然数，则求出满足条件的正整数的值__________． (3)关于，的二元一次方程组的解是正整数，求整数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $