专题04 指对幂函数（期末真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题04 指对幂函数 3大高频考点概览 考点01指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 地 城 考点01 指数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东泰安·期末）设，，，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（16-17高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，满足的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·山东菏泽·期末）集合，则（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·山东德州·期末）设，用表示不小于的最小整数，如．已知函数，下列叙述不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数是奇函数 D．函数的值域是 二、多选题 12．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 15．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 16．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 17．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（    ） A．， B．若，则一定有 C．若，则 D．若，，则的最大值为 18．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 20．（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 三、填空题 21．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 22．（24-25高一上·山东日照·期末）已知，则 . 23．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 24．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 25．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 26．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 27．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，则的值为 . 四、解答题 28．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 29．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知集合，，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 30．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 31．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 32．（24-25高一上·山东泰安·期末）计算 (1) (2) 33．（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 34．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 35．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 36．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 37．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 39．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 40．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和. (1)求和的解析式； (2)解不等式. 41．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） (1)求实数k的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 地 城 考点02 对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东日照·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东日照·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 9．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B．1 C． D．3 10．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·山东济南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·山东青岛·期末）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 18．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点 C． D．是偶函数 22．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 23．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 24．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 25．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 三、填空题 26．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 27．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若，则，，大小关系为 . 28．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则 . 29．（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为 ． 30．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 31．（23-24高一上·山东临沂·期末）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计 年以后将会有一半的臭氧消失． 32．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数（，且）恒过的定点是 ． 34．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，则 . 四、解答题 35．（24-25高一上·山东日照·期末）日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明，绿茶用85oC的水泡制，等到茶水温度降至55℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从85℃开始，经过后的温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据：，） 36．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 37．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 38．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数． (1)解关于的方程：； (2)记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 39．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 40．（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 41．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 42．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 43．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 44．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 45．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 46．（23-24高一上·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 47．（23-24高一上·山东济南·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间. 参考数据：. 48．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 6．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点 C． D．是偶函数 15．（23-24高一上·山东淄博·期末）下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 16．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数的最小正周期为 D．若为三角形的一个内角，且，则 17．（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 18．（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列四个命题中，是真命题的有（    ） A．，使为幂函数 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，则为 D．函数在区间上单调递增，则 19．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知点，若这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，则的解析式可以为 ．（写出一个满足条件的的解析式即可） 21．（24-25高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递增，则 . 22．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 23．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 四、解答题 24．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 25．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 26．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． (1)当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； (2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 指对幂函数 3大高频考点概览 考点01指数函数 考点02 对数函数 考点03 幂函数 地 城 考点01 指数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 2．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设，，，则，，的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出指数函数值域化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用并集的定义求解. 【详解】当时，，即， 函数有意义，则，即， 所以. 故选：B 4．（24-25高一上·山东泰安·期末）设，，，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较大小即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以. 故选：A 5．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数（且）的图象过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接由指数式的指数为0求得与的值，则答案可求． 【详解】由，得，则， 所以函数（且）的图象过定点， 故选：B 6．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 7．（16-17高一上·安徽·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域. 【详解】对于函数，有，可得，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 8．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用换底公式结合对数、指数函数单调性即可得解. 【详解】因为， 且，可得， 所以. 故选：B. 9．（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列函数中，满足的单调递增函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式，结合对数、指数的运算性质、二次函数、对数函数、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】因为， 所以选项A中函数不满足，不符合题意； 因为， 所以选项B中函数不满足，不符合题意； 因为， 所以选项C中函数满足， 又因为指数函数是实数集上的增函数，故选项C中函数符合题意； 因为指数函数是实数集上的减函数， 因此选项D中函数不符合题意， 故选：C 10．（22-23高一上·山东菏泽·期末）集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可解出集合B，然后进行交集的运算即可. 【详解】因为集合， . 故选：B. 11．（22-23高一上·山东德州·期末）设，用表示不小于的最小整数，如．已知函数，下列叙述不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数是奇函数 D．函数的值域是 【答案】C 【分析】根据定义，函数的奇偶性及函数值域的求解方法对选项逐一分析即可. 【详解】由题意得函数的定义域为关于原点对称， 因为， 所以， 且， 所以，所以为奇函数，故A正确； 令， 解得：，由， 所以， 所以函数的值域是，故B正确； 因为，函数的值域是， 所以的值域为，故D正确； 由， ， 所以，所以不是奇函数，故C不正确； 故选：C. 二、多选题 12．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数运算可知，，且，，进而计算，结合对数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】根据题意，， ， 对于A，，A正确； 对于B，， 因为，所以等号不成立，即，B错误； 对于C，由， ，，则， 由， 可得，C正确； 对于D，由于，， 所以，， 则，，且， 由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以， 所以，即， 则，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D项，将等价转化为，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键. 14．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数，且，若在上的最大值为，最小值为，且，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D．2 【答案】AC 【分析】由的范围讨论单调性，确定最值即可求解； 【详解】当时，单调递增，此时，， 所以，解得， 当时，单调递减，此时，， 所以，解得， 所以实数的值可以是或， 故选：AC. 15．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 16．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数，假如存在实数，使得对任意的实数恒成立，称满足性质，则下列说法正确的是（    ） A．若满足性质，且，则 B．若，则不满足性质 C．若满足性质，则 D．若满足性质，且时，，则当时， 【答案】ACD 【分析】利用定义直接计算可判定A，利用诱导公式可判定B，利用指数运算法则结合指数函数单调性可判定C，利用定义递推函数关系可判定D. 【详解】对于A，若满足性质，且，则恒成立， 所以，故A正确； 对于B，若，显然， 即，此时满足性质，故B错误； 对于C，若满足性质， 即， 易知，所以，故C正确； 对于D，若满足性质，且时，， 由题意 ， 则当时，，则， 所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】思路点睛：对于函数的新定义问题首先审清题意，然后根据定义结合三角函数、指数函数的性质以及函数的递推关系计算即可. 17．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知指数函数，，（，且，），且，.则下列结论正确的有（    ） A．， B．若，则一定有 C．若，则 D．若，，则的最大值为 【答案】AC 【分析】利用已知条件求出、的值，可判断A选项；利用对数式与指数式的互化可判断B选项；由指数式与对数式的互化、换底公式可判断C选项；利用二次函数的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为指数函数，，（，且，）， 则，可得，由可得，则， 所以，，，A对； 对于B选项，由，可得，可得出，即， 当时，则，此时，， 当时，则，则，则.B错； 对于C选项，由，可得， 设，则，所以，，，， 所以，，C对； 对于D选项，， 因为，令，令，其中， 则函数在上为减函数，在上为增函数， 当时，；当时，， 所以，的最大值为，D错. 故选：AC. 18．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质. 【详解】函数的图象过原点，则，即， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线， 则， ，A选项正确，B选项错误； 函数，定义域为R， ，是偶函数，C选项正确； 时，，所以在上单调递减，D选项错误； 故选：AC 19．（23-24高一上·山东聊城·期末）若实数、满足，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用指数函数的单调性可得出，利用特殊值法可判断A选项；利用作差法可判断B选项；利用对数函数的单调性可判断C选项；利用中间值可判断D选项. 【详解】因为函数为上的增函数，由，可得， 对于A选项，当时，，A错； 对于B选项，因为，则， 所以，，B对； 对于C选项，因为，则，可得， 所以，， 因为对数函数为上的减函数，故，C对； 对于D选项，，D错. 故选：BC. 20．（23-24高一上·山东济宁·期末）计算机病毒就是一个程序，对计算机的正常使用进行破坏，它有独特的复制能力，可以很快地蔓延，又常常难以根除．现有一种专门占据内存的计算机病毒，该病毒占据内存y（单位：KB）与计算机开机后使用的时间t（单位：min）的关系式为，则下列说法中正确的是（    ） A．在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB B．计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存都相等 C．计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1 D．计算机开机后，该计算机病毒占据内存到6KB，9KB，18KB所经过的时间分别是，，，则 【答案】ACD 【分析】根据题意结合增长率公式与指数式的运算，即可判断出答案． 【详解】对于选项A：令，可得， 所以在计算机开机后使用5分钟时，该计算机病毒占据内存会超过90KB，故A正确； 对于选项B：因为不是定值， 可知计算机开机后，该计算机病毒每分钟增加的内存不相等，故B错误； 对于选项C：因为， 所以计算机开机后，该计算机病毒每分钟的增长率为1，故C正确； 对于选项D：由题意可得：，可得， 则，即，故D正确； 故选：ACD. 三、填空题 21．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 22．（24-25高一上·山东日照·期末）已知，则 . 【答案】2 【分析】根据指数幂的运算得解. 【详解】由，即，则，得. 故答案为：2. 23．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 24．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知定义在上的函数满足以下两个条件：①对任意恒有；②在上单调递减．请写出一个满足上述条件的函数 ．（答案不唯一） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据函数满足的条件，结合指数函数的性质，即可写出一个满足题中条件的函数. 【详解】根据题意知函数满足以下两个条件：①对任意恒有； ②在上单调递减， 则在上单调递减， 且，即满足， 故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 25．（23-24高一上·山东威海·期末）已知，，则 . 【答案】3 【分析】根据指数式和对数式化简得到，结合换底公式和指数，对数运算法则得到答案. 【详解】因为，，所以， 故. 故答案为：3 26．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 【答案】/ 【分析】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为， 所以由， 设，定义域为， 因为， 所以由， 所以有，或， 即，或， 所以函数是正实数集上的减函数， 因为为奇函数， 所以有， 因此函数是偶函数， ， ， ， 因为函数是偶函数， 所以， 因为， 函数是正实数集上的减函数， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，结合所比较数的形式构造函数是解题的关键. 27．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数，则的值为 . 【答案】5 【分析】利用分段函数解析式代入求值即可. 【详解】函数，，. 故答案为：5 四、解答题 28．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）根据得到方程，化简得到，从而得到方程组，求出与的值； （2）在（1）基础上，得到．进而求出值域. 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 29．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知集合，，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求解集合，再由并集概念即可求解； （2）由条件得到，构造不等式求解； 【详解】（1） 时， ∴ （2） ∵“”是“”的必要条件 ∴ ∴ ∴ 30．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 （2）令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 31．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果. （2）因为，则，再利用集合的包含关系即可求得结果. 【详解】（1）当时，集合，即， 由得或，所以， 所以，故. （2）若，则， 又，， 所以或，解得：或 故实数的取值范围为. 32．（24-25高一上·山东泰安·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)-3 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由对数的运算性质求解即可； 【详解】（1） （2） 33．（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】(1)选择模型①，，2028年 (2)（i）选择模型②，；（ii）2027年 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【详解】（1）由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. （2）（i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 34．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 35．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解. （2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解. 【详解】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 36．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 【答案】（1）1（2）4 【分析】（1）由对数运算性质运算即可求解. （2）由分数指数幂与根式互换结合条件即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）， ， 所以， 所以原式. 37．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【详解】（1）在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. （3）由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先证明在为凹函数，再利用琴生不等式求解； （2）证明在为凹函数再结合琴生不等式得证； （3）分离参数，求函数最值得解. 【详解】（1）记函数，首先证明其凹凸性： ,则 所以在为凹函数. 由琴生不等式，得， 即 所以，当时，W的最小值为. （2）设,因为故 要证只需证 由琴生不等式，只需证在为凹函数. 设， 下证，即证， 即证, 化简得. 即证 式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证. （3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，    可得在时恒成立． 因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以． 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来. 39．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数的图象恒过定点，代入可得答案； （2）由得或，根据对数的运算性质可得答案． 【详解】（1）令得，所以函数的图象恒过定点， 所以，解得， 所以； （2）由，得， 所以或， 当时，由单调性知，，不符合题意； 当时，， 所以． 40．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和. (1)求和的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，为偶函数，为奇函数，可得，两式联立可得答案； （2）利用在定义域内单调递增，且，转化为解不等式可得答案. 【详解】（1）设，① 时，为偶函数，为奇函数， 且， ，② 两式联立解得； （2）在定义域内单调递增，且， 由题意可得， 可得，解得或， 所以不等式解集为. 41．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） (1)求实数k的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. （2）由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. （3）由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 地 城 考点02 对数函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东日照·期末）设函数，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和讨论求解. 【详解】当时，由，可得，即，解得， 当时，由，可得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：B. 2．（24-25高一上·山东日照·期末）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数有意义满足的条件即可求解. 【详解】由已知可得，所以且， 所以函数的定义域是. 故选：. 3．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出指数函数值域化简集合A，求出函数定义域化简集合B，再利用并集的定义求解. 【详解】当时，，即， 函数有意义，则，即， 所以. 故选：B 5．（24-25高一上·山东济宁·期末）（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】利用对数的运算性质可直接求得答案. 【详解】， 故选：D. 6．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据幂函数的定义求出的值，确定函数的表达式，再分析函数的单调性，最后根据函数单调性比较、、的大小. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义，即. 解得或. 当时，，其定义域为，不满足定义域为，舍去. 当时，，定义域为，符合题意. 所以，. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴. 所以在上单调递减，在上单调递增. 已知，，. 因为是偶函数，所以. ，则. 因为，. 根据函数在上单调递增，可得，即. 故选：D. 7．（24-25高一上·山东济宁·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数的定义域可直接求得答案. 【详解】由题意可知，解得， 因此函数的定义域为， 故选：B. 8．（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】由题意可知当时，，代入函数中可求出的值，当时，，代入函数中可求出的值，从而可求出函数解析式，然后将代入函数求出即可. 【详解】由题意可知当时，，所以，得， 所以， 当时，，则， 所以，得， 所以，，得， 所以， 当时，， 得，所以， ，得， 所以所求时间的最小整数值为8. 故选：C 9．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】利用指数函数与对数函数的互换及其性质即可求得结果. 【详解】因为，所以，则， 故, 故选:B 10．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，再求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质可得答案. 【详解】由，得，则， 所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得， 所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限， 故选：A 11．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先证明若，则，由此结合可得，进一步通过作差比较即可求解. 【详解】若，则，即， 而， 又因为， 所以， 又， 所以， 所以. 故选：B. 12．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同时取对数可判定关系，利用换底公式结合糖水不等式可判定关系. 【详解】由，可知，所以， 易知， 先证糖水不等式：若，则， 证明如下：作差得，得证. 所以有，即， 所以. 故选：A 【点睛】方法点睛：比较大小问题，常用到结论：为定义域上增函数；糖水不等式：，则；还有作差法，作商法，基本不等式，函数单调性等等，可以适当做专题总结. 13．（23-24高一上·山东济南·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数定义域以及分式型函数的定义域即可得解. 【详解】由题意，解得或， 所以函数的定义域为. 故选：B. 14．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接判断的范围，再比较大小. 【详解】利用对数函数的性质可得,, 利用诱导公式可得 所以. 故选：D 15．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别将与1,2比较大小即可得解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据真数大于0求定义域. 【详解】， 所以，解得，所以定义域为. 故选：C 17．（23-24高一上·山东青岛·期末）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解出对数不等式，由充分条件和必要条件的定义判断结论. 【详解】不等式等价于， 时一定满足，充分性成立；时不一定能满足，必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：B 18．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数，若，且 ，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，作出图像分析时，有，化简，从而得到答案. 【详解】由题可得：，作出的图像如下： 由，且，则，，即，解得：， 所以 由，则， 所以，故当，即时，取最小值为. 故选：B 19．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象恒过定点，则函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质即可求解定点的坐标，根据复合函数的单调性即可求解. 【详解】 对于函数（且， 令，求得，，可得它的图象恒过定点， 所以． 对于函数，则， ，或，故函数的定义域为或． 函数的单调递增区间，即在定义域内的增区间， 由二次函数的性质可得，在定义域内的增区间为， 故选：C 二、多选题 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用对数运算可知，，且，，进而计算，结合对数函数单调性判断A；利用基本不等式判断B；作差法判断C；利用指数函数和幂函数单调性判断D. 【详解】根据题意，， ， 对于A，，A正确； 对于B，， 因为，所以等号不成立，即，B错误； 对于C，由， ，，则， 由， 可得，C正确； 对于D，由于，， 所以，， 则，，且， 由于为减函数，所以， 由于为增函数，所以， 所以，即， 则，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：对于D项，将等价转化为，进而利用指数函数和幂函数的单调性判断是关键. 21．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点 C． D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】作出函数的图象，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】作出函数的图象如图所示， 由图可知，的值域为，A正确， 的图象与直线有两个交点，B正确， 不是偶函数，D错误， 由解析式计算，C正确. 故选：ABC 22．（24-25高一上·山东·期末）下列计算正确的有（   ） A． B． C．若，，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D. 【详解】，A选项错误； ，B选项正确； 若，，则，C选项正确； 若，则，所以，D选项正确. 故选：BCD. 23．（23-24高一上·山东日照·期末）对，表示不超过的最大整数，如，，，通常把，叫做取整函数，也称之为高斯（Gaussian）函数．下列说法正确的是（    ） A．， B．， C．，若，则 D．，使成立 【答案】BCD 【分析】举出反例可判断A，举例可判断B，设，则，，求出的范围可判断C；根据取值特征可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设，则 ，故B正确； 对于C，设，则，，则，所以，故C正确； 对于D，时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由， 可得时，成立，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是对新定义的理解. 24．（23-24高一上·山东枣庄·期末）以下运算中正确的有（   ） A．若，则 B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数与对数的运算性质和换底公式逐一判定即可． 【详解】对于A：，故A正确； 对于B： ，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误， 故选：AC． 25．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知，若，则所有可能的值是（    ） A．－1 B． C．1 D． 【答案】BD 【分析】利用函数的解析式，结合指数、对数运算可求得结果. 【详解】由已知可得 或或， 解得，或. 故选：BD 三、填空题 26．（24-25高一上·山东潍坊·期末） . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数、对数运算胶对数换底公式计算得解. 【详解】. 故答案为： 27．（24-25高一上·山东潍坊·期末）若，则，，大小关系为 . 【答案】 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】由，得当时，，当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得，， 因此为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图得，所以. 故答案为： 28．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】由对数式与指数式的互化可得出，再利用对数的运算性质以及换底公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 所以， . 故答案为：. 29．（23-24高一上·山东日照·期末）如图所示，直线与对数函数的图象交于，两点，经过的线段垂直于轴，垂足为．若四边形是平行四边形，且周长为16，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】先利用平行四边形以及平行关系，得到E和B点的坐标，再利用四边形周长，求出a即可. 【详解】设，，由题意，轴， 从而，而OABC是平行四边形，从而， 故，又E为AC中点，从而有， 而EBO三点共线，即，即 解得，即，所以，， 从而，， 从而四边形周长，故 故答案为：. 30．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由已知可得对任意的，，可得出，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的，，则，解得. 所以，实数的取值范围是. 故答案为：. 31．（23-24高一上·山东临沂·期末）冰箱，空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧含量呈指数函数型变化，在氟化物排放量维持某种水平时，具有关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，，试估计 年以后将会有一半的臭氧消失． 【答案】276 【分析】由，解得，从而可求解. 【详解】由题意得，得， 即，解得. 故答案为：. 32．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知实数a，b满足，则 . 【答案】2 【分析】原等式可分别变形为，，可构造函数，结合函数单调性可得，结合已知条件即可得解. 【详解】由得，，即， 由得，， 令，则在定义域内单调递增， 有，， 故，即，所以. 故答案为：2. 33．（23-24高一上·山东济宁·期末）函数（，且）恒过的定点是 ． 【答案】 【分析】根据对数函数性质结合指数幂运算求解. 【详解】令，解得，此时， 所以函数（，且）恒过的定点是. 故答案为：. 34．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，则 . 【答案】1 【分析】根据函数的解析式，可得，计算即可. 【详解】因为函数， 所以. 故答案为：1. 四、解答题 35．（24-25高一上·山东日照·期末）日照绿茶是山东“南茶北引”的硕果之一，因其独特的生长环境和气候条件，具有汤色黄绿明亮、栗香浓郁、回味甘醇的特点.冲泡绿茶时，需要注意水温以确保茶汤的色香味达到最佳状态.经验表明，绿茶用85oC的水泡制，等到茶水温度降至55℃时再饮用，可以产生最佳口感.某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1min测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的如下数据： 时间/min 0 1 2 3 4 5 6 水温/℃ 85.00 79.00 73.60 68.74 64.37 60.43 56.89 这组数据可以用下图表示： 设茶水温度从85℃开始，经过后的温度为y℃，为了刻画茶水温度随时间变化的规律，现给出以下三种函数模型：①（，）；②（，，）；③（，，）. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型（不需要说明理由），并利用前三组的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的绿茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）.（参考数据：，） 【答案】(1)选择②， (2)6.5min 【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式. （2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案. 【详解】（1）根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢， 选择②（，，）作为函数模型. 将表中前三组的数据代入，得，解得， 所以函数模型的解析式为：. （2）由（1）中函数模型，得，得， ，. 所以刚泡好的绿茶大约放置6.5min能达到最佳饮用口感. 36．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 37．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】(1)，在上单调递增. (2)，. (3). 【分析】（1）根据奇函数定义列式求出，分和讨论，利用复合函数单调性判断； （2）分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出的范围，确定函数的增减性，再由单调性求其值域即可； （3）先分析二次函数在上单调递减，利用函数单调性得到，即可分析出关系式． 【详解】（1）由已知条件得对定义域中的均成立， 所以，即， 整理得，对定义域中的均成立，即，所以， 当时，无意义，故舍去，当时，为奇函数，故. 所以， 当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递减，则在上单调递增. （2）由（1）得，故函数的定义域为， ①若，则，所以函数在区间上为增函数， 要使的值域为，则，无解； ②若，则，所以函数在区间上为减函数， 要使的值域为，则，解得，， 综上，，. （3）由题可得：， 则函数的对称轴为， 因为，所以，故函数在上单调递减， 要使得时恒成立，则， 由，得； 又，即，所以， 即，所以， 故，所以. 又因为，故，解得， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减. 38．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数． (1)解关于的方程：； (2)记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）在单调递减，证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）先根据已知方程求出的范围，再利用对数的运算性质求解即得. （2）（ⅰ）利用函数的单调性定义法推理证明其单调性即可；（ⅱ）因，都有，可推得，由（ⅰ）利用在单调递减，可得使得 成立，从而转化成求在上的最小值即可. 【详解】（1）因， 由，可得， 又， 则有，解得（不合题意，舍去）或， 故原方程的解为． （2）（ⅰ）在单调递减. 证明如下：，且， 所以， 因，则有， 故有，可得，即， 故在单调递减． （ⅱ）若，都有， 则有， 由（ⅰ）可得，在单调递减，则， 所以， 即， 故可得． 即使得 成立， 所以，即求在的最大值， 由二次函数的性质可得，当时，， 故得，即的取值范围为． 39．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知全集，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合A，集合B，再利用集合的交并补运算即可得到结果. （2）因为，则，再利用集合的包含关系即可求得结果. 【详解】（1）当时，集合，即， 由得或，所以， 所以，故. （2）若，则， 又，， 所以或，解得：或 故实数的取值范围为. 40．（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表： 第年 1 2 3 4 观看人次（十万） 35 40 58 67 为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③. (1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）； (2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万） （i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式； （ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.） 【答案】(1)选择模型①，，2028年 (2)（i）选择模型②，；（ii）2027年 【分析】（1）选择模型①，将点的坐标代入解析式，求出解析式，将代入求值即可下结论； （2）（i）选择模型②，利用待定系数法求出解析式即可；（ii）由题意建立不等式，结合对数的运算性质计算即可下结论. 【详解】（1）由题意，选择模型①， 将，分别代入①式可得： ，解得，， 所以，也满足该式. 当时，， 即按该模型预测，该视频号2028年的观看人次达到80.5（单位：十万人）， 所以2028年该视频号观看人次能超过80（单位：十万人）. （2）（i）由题意，选择模型②， 将，分别代入②式可得：，解得，， 所以，，均满足该式. （ii）该视频号观看人次超过200（单位：十万人）， 即不等式，所以， 不等式两边同时取常用对数得，， 所以， 即按（i）中求得的函数模型变化，估计最快到2027年， 该视频号运营团队能被评为“优秀文化传播集体”. 41．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解. （2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解. 【详解】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 42．（23-24高一上·山东临沂·期末）（1）计算： （2）已知，求的值. 【答案】（1）1（2）4 【分析】（1）由对数运算性质运算即可求解. （2）由分数指数幂与根式互换结合条件即可求解. 【详解】（1）原式 . （2）， ， 所以， 所以原式. 43．（23-24高一上·山东临沂·期末）临沂一中校本部19、20班数学小组在探究函数的性质时，发现通过函数的单调性、奇偶性和周期性，还无法准确地描述出函数的图象，例如函数和，虽然它们都是增函数，但是图像上却有很大的差异. 通过观察图像和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念. 已知定义：设连续函数f（x）的定义域为，如果对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则为凸函数. 对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若f（x）是区间上的凹函数，则对任意的,有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）. 小组成员通过询问数学竞赛的同学对他们研究的建议，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题，关键是构造函数.小组成员选择了反比例型函数和对数函数，研究函数的凹凸性. (1)设，求W=的最小值. (2)设为大于或等于1的实数，证明（提示：可设） (3)若a>1，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）先证明在为凹函数，再利用琴生不等式求解； （2）证明在为凹函数再结合琴生不等式得证； （3）分离参数，求函数最值得解. 【详解】（1）记函数，首先证明其凹凸性： ,则 所以在为凹函数. 由琴生不等式，得， 即 所以，当时，W的最小值为. （2）设,因为故 要证只需证 由琴生不等式，只需证在为凹函数. 设， 下证，即证， 即证, 化简得. 即证 式显然成立，所以成立，在为凹函数，则得证. （3）当时，不等式恒成立，即，因为,即恒成立，    可得在时恒成立． 因为，所以，，所以． 由，及，可得，所以． 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质应用，解决问题关键是将凹凸性和琴生不等式联系起来. 44．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）的图象恒过定点A，且点A在函数的图象上． (1)求函数的解析式； (2)若存在互不相等的实数m，n使，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数的图象恒过定点，代入可得答案； （2）由得或，根据对数的运算性质可得答案． 【详解】（1）令得，所以函数的图象恒过定点， 所以，解得， 所以； （2）由，得， 所以或， 当时，由单调性知，，不符合题意； 当时，， 所以． 45．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数有两个零点，求的取值范围； (3)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，求出，从而可求解的解集； （2）由题意可知有两个不相等的实根，化简可得，从而得，令，即在上只有两解，从而可求解； （3）当，求出在区间上的最大小值的和对恒成立，令，，从而可得，利用二次函数的性质从而可求解. 【详解】（1），则， ，，，即， ． 故不等式的解集为； （2）函数有两个零点，即方程有两个不相等的实根， ，， ，令，则， 即方程在上只有两解，令，， 则． 当时，直线和函数的图象只有两个公共点， 即函数只有两个零点， 实数的范围是； （3），函数在上单调递增， 即函数在定义域内单调递增， 函数在区间上的最小值为，最大值为， ， 对恒成立． 令，， 对，恒成立， 在上单调递增， ， 解得，又， ． 实数的取值范围是． 46．（23-24高一上·山东临沂·期末）计算: (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数与对数的运算法则计算即可； （2）利用对数的运算性质计算即可. 【详解】（1） ； （2） 47．（23-24高一上·山东济南·期末）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明：某种红茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用可以产生最佳口感，现在室温下，某实验小组为探究刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据： 时间 0 1 2 3 4 5 水温 95.00 88.00 81.70 76.05 70.93 66.30 设茶水温度从开始，经过后的温度为，现给出以下三种函数模型： ①； ②； ③. (1)从上述三种函数模型中选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前的数据求出相应的解析式； (2)根据（1）中所求的函数模型，求刚泡好的红茶达到最佳饮用口感的放置时间. 参考数据：. 【答案】(1)应选择模型②，理由见解析， (2) 【分析】（1）根据题中描述的函数模型特点选择相应的函数模型，待定系数即可求解. （2）由指对互换、对数运算性质解方程即可求解. 【详解】（1）选择②作为函数模型. 对于模型①，当时，函数无意义，故而排除； 对于模型③，由表中数据可知当自变量增大时，函数值减小，故而排除； 对于模型②，所给函数单调递减，且符合茶水温度不低于室温的要求； 故应选择模型②. 将前的数据带入，得，解得， 所以所求函数解析式为. （2）由（1）中模型可得，即，所以， 即 所以刚泡好的红茶放置能达到最佳饮用口感. 48．（23-24高一上·山东威海·期末）某科研团队在某地区种植一定面积的藤蔓植物进行研究，发现其蔓延速度越来越快. 已知经过个月其覆盖面积为，经过个月其覆盖面积为.现该植物覆盖面积（单位：）与经过时间个月的关系有函数模型与可供选择.（参考数据：，，，.） (1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式； (2)求至少经过几个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 【答案】(1)更合适，， (2)至少经过个月 【分析】（1）根据增长速度变换情况选择解析式，待定系数即可得解. （2）当时，，根据指数对数运算解不等式即可得解. 【详解】（1）因为的增长速度越来越快，， 的增长速度越来越慢，所以依题意应选择， 由题意知，所以， 所以，. （2）当时，， 所以藤蔓植物原先种植面积为， 设经过个月藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 所以， 可得， 所以 ， 所以至少经过个月该藤蔓植物的覆盖面积能超过原先种植面积的倍. 地 城 考点03 幂函数 一、单选题 1．（24-25高一上·山东德州·期末）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用幂函数的性质和对数函数的性质进行比较即可. 【详解】， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 因为在上递增，且， 所以，所以，即， 所以. 故选：D 2．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知集合，则下列是从集合到集合的函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：定义域为，不满足函数的特性：任意性，故A错误； 对于选项B：值域为，当取集合A中元素0时，集合B中没有元素与之对应，不满足任意性；故选项B错误； 对于选项C：值域为实数集R，当取集合A中元素为负值时，集合B中没有元素与之对应，故选项C错误； 对于选项D：满足函数的定义，故选项D正确； 故选：D 3．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知幂函数的定义域为，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据幂函数的定义求出的值，确定函数的表达式，再分析函数的单调性，最后根据函数单调性比较、、的大小. 【详解】因为是幂函数，根据幂函数的定义，即. 解得或. 当时，，其定义域为，不满足定义域为，舍去. 当时，，定义域为，符合题意. 所以，. 对于函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为轴. 所以在上单调递减，在上单调递增. 已知，，. 因为是偶函数，所以. ，则. 因为，. 根据函数在上单调递增，可得，即. 故选：D. 4．（24-25高一上·山东济南·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用指数函数及对数函数的单调性结合边界值1比较大小即可. 【详解】因为单调递增，单调递增， 所以， 则. 故选：D. 5．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数（且）恒过定点，则过点的幂函数经过（   ） A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】A 【分析】先根据对数函数的性质求出点的坐标，再求出幂函数的解析式，然后根据幂函数的性质可得答案. 【详解】由，得，则， 所以函数（且）恒过定点， 设过点的幂函数为，则，得， 所以过点的幂函数为， 此幂函数的图象只经过第一、二象限， 故选：A 6．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数则的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】结合幂函数知识，画出的图象，将该图象沿轴对称即可. 【详解】结合题意可得：当时，易知为幂函数，在单调递增； 当时，易知为幂函数，在单调递增. 故函数,图象如图所示: 要得到，只需将的图象沿轴对称即可得到. 故选：C. 7．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由为幂函数，可求出，即得到，再利用零点存在定理从而可求解. 【详解】由为幂函数，所以，得，所以， 对A：当时，，，故A错误； 对B：，，故B错误； 对C：，，故C正确； 对D：，，故D错误； 故选：C. 8．（23-24高一上·山东济宁·期末）设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以0和1为中间值比较即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：A. 9．（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数的性质判定即可． 【详解】因为底数，所以，都是单调递增函数，不合题意； 当时，单调递增，不合题意； 反比例函数，且，所以当时单调递减， 故选：B． 10．（22-23高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递减，设，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的单调性以及定义，可得其函数解析式，利用对数函数和指数函数的单调性，比较大小，结合幂函数的奇偶性和单调性，可得答案. 【详解】由题意，可得，解得，则，显然该函数为偶函数， 由函数在其定义域上单调递增，则， 由函数在其定义域上单调递增，则， 故，即， 由函数在上单调递减，则. 故选：C. 11．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数为幂函数，若函数，则的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数的定义求出，再根据零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数为幂函数，所以，得， 所以，， 因为，，， ，且在上为增函数， 所以在上有唯一零点. 故选：C 12．（23-24高一上·山东滨州·期末）若函数（，且）的图象如图所示，则下列函数与图象对应正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数经过点，求出，并代入选项，借助基本初等函数逐一判断即可. 【详解】从函数（，且）的图象可知：该函数经过， 所以，即，解得， 对于选项A: ，由指数函数可知在定义域上单调递减，故选项A错误； 对于选项B: ，当时，则， 由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项B错误； 对于选项C: 该函数为，可看成的图象关于轴对称，对称后在单调递增，故选项C错误； 对于选项D: ，由幂函数可知在上单调递增且图象靠近轴，故选项D正确. 故选：D. 二、多选题 13．（24-25高一上·山东济宁·期末）已知，，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用作差法可判断A选项；利用对数函数的单调性可判断B选项；利用特殊值法可判断C选项；利用指数函数和幂函数的单调性可判断D选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，则，A对； 对于B选项，因为，则，且对数函数为增函数， 所以，，B对； 对于C选项，取，，则，C错； 对于D选项，因为，则， 因为指数函数为减函数，幂函数在上为增函数， 所以，，D对. 故选：ABD. 14．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列选项正确的是（   ） A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点 C． D．是偶函数 【答案】ABC 【分析】作出函数的图象，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】作出函数的图象如图所示， 由图可知，的值域为，A正确， 的图象与直线有两个交点，B正确， 不是偶函数，D错误， 由解析式计算，C正确. 故选：ABC 15．（23-24高一上·山东淄博·期末）下列结论成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项AC，特值法可排除；选项B，由不等式的性质可得；选项C，由幂函数性质可得. 【详解】选项A，当时，，但，故A错误； 选项B，由知，，所以，故B正确； 选项C，当时，， 则，此时，故C错误； 选项D，由幂函数在上是增函数， 由，得，即，故D正确. 故选：BD. 16．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列说法中正确的是（    ） A．幂函数的图象都过点 B．函数与是同一函数 C．函数的最小正周期为 D．若为三角形的一个内角，且，则 【答案】ACD 【分析】根据幂函数性质判断A；根据函数的三要素判断B；求出函数的周期判断C；根据三角形内角范围结合正切函数性质判断D. 【详解】由幂函数的性质可知幂函数的图象都过点，A正确； 函数的定义域是R，的定义域为， 二者定义域不同，故不是同一函数，B错误； 函数的最小正周期为，C正确； 为三角形的一个内角，且，即，故，D正确， 故选：ACD 17．（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在上单调递减正确. 【详解】在上单调递增，A选项错误； ，故为偶函数，当时为单调递减函数，B选项正确； ，故为偶函数，当时为单调递减函数，C选项正确； 是奇函数，D选项错误. 故选：BC 18．（22-23高一上·山东菏泽·期末）下列四个命题中，是真命题的有（    ） A．，使为幂函数 B．“”是“”的必要不充分条件 C．命题，则为 D．函数在区间上单调递增，则 【答案】AC 【分析】对于A，由幂函数的定义分析判断，对于B，根据充分条件和必要条件的定义分析判断，对于C，将全称命题否定为特称命题即可，对于D，根据二次函数的性质分析判断 【详解】对于A，若为幂函数，则，解得， 所以，使为幂函数，所以A正确， 对于B，当时，，则， 当时，，则或， 所以“”是“”的充分不必要条件，所以B错误， 对于C，命题，则为，所以C正确， 对于D，因为在区间上单调递增，所以，解得，所以D错误， 故选：AC 19．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的为（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由已知点的坐标先求出函数解析式，然后结合幂函数的性质检验各选项即可判断． 【详解】设幂函数，由于图象经过点， 所以，即， 所以， 故在定义域,上单调递增，B正确； 为非奇非偶函数，A不符合题意； 当，解得，故C正确； 当时， ， 故，即成立，D正确． 故选：BD 三、填空题 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知点，若这两点中有且只有一点在幂函数的图象上，则的解析式可以为 ．（写出一个满足条件的的解析式即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意，由常见幂函数的图象与性质即可求解. 【详解】由点，且这两点中有且只有一点在幂函数的图象上， 可取幂函数， 验证如下：点不在函数图象上，点在函数图象上，且函数为幂函数，满足题意. 故答案为：（答案不唯一） 21．（24-25高一上·山东德州·期末）已知幂函数在上单调递增，则 . 【答案】8 【分析】由题意可得，且，则可求出的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求出. 【详解】因为为幂函数， 所以，得， ，解得或， 因为幂函数在上单调递增， 所以，得，所以， 所以，所以. 故答案为：8 22．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知幂函数的图象通过点，则 ． 【答案】/0.5 【分析】由幂函数的定义，结合函数过求得函数解析式，进而可得的值. 【详解】设幂函数的解析式为 ∵幂函数过点 ∴ ∴ ∴该函数的解析式为， ∴. 故答案为： 23．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 【答案】/ 【分析】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为， 所以由， 设，定义域为， 因为， 所以由， 所以有，或， 即，或， 所以函数是正实数集上的减函数， 因为为奇函数， 所以有， 因此函数是偶函数， ， ， ， 因为函数是偶函数， 所以， 因为， 函数是正实数集上的减函数， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，结合所比较数的形式构造函数是解题的关键. 四、解答题 24．（24-25高一上·山东日照·期末）已知幂函数的图象过点. (1)求函数的解析式； (2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入解析式求出，得解； （2）问题转化为恒成立，令，求出的最小值得解. 【详解】（1）由题意可得，，. （2）由（1）可得，恒成立，， 令，，， 实数的取值范围为. 25．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 26．（22-23高一上·山东聊城·期末）若在函数的定义域内存在区间，使得在上单调，且函数值的取值范围是（是常数），则称函数具有性质． (1)当时，函数否具有性质?若具有，求出，；若不具有，说明理由； (2)若定义在上的函数具有性质，求的取值范围． 【答案】(1)函数具有性质M， (2)． 【分析】（1）首先求出函数的定义域与单调性，依题意可得，解得即可； （2）首先将写出分段函数，再分和两种情况讨论，结合函数的单调性得到方程组，当时，得到在上有两个不等实根，再构造函数，结合二次函数的性质求出参数的取值范围. 【详解】（1）解：因为在上单调递增， 所以在上的函数值的取值范围是，即， 显然，所以， 故函数具有性质． （2）解：， 因为在上单调递减，在上单调递增， 而，故， 而，故，故或. 当时，单调递减， ∴，得，整理得， ∵与矛盾，∴当时，不合题意． 当时，在单调递增， ∴，知在上有两个不等实根， 即在上有两个不等实根， 令，， 由，，，知， 综上可得的取值范围是． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $