专题03 函数及其性质（期末真题汇编，山东专用）高一数学上学期

专题03 函数及其性质 4大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数的对称性 考点04 函数的周期性 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数在上的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 3．（24-25高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 5．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·山东济南·期末）已知定义在上的函数则（   ） A． B．不存在单调区间 C． D．在定义域内的任意区间上都不存在最大值 10．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 11．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 12．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 13．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 三、填空题 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则 .. 15．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 16．（24-25高一上·山东济南·期末）已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式 ． 17．（23-24高一上·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 ． ①的定义域为；②；③当时，． 18．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 19．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 20．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 21．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 22．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 四、解答题 23．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数． (1)解关于的方程：； (2)记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 24．（24-25高一上·山东济南·期末）是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． (1)求的“不动点”； (2)记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 25．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. (1)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； (2)若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； (3)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 26．（24-25高一上·山东德州·期末）低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 1800 5600 21600 若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示. (1)请求出函数的表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）. （i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由； （ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）. 27．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，． (1)若，求的最小值； (2)令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围． 28．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 29．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 31．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 32．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 33．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 34．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)当时，时，求的取值范围； (2)对任意，且，有，求的取值范围； (3)，的最小值为，求的最大值. 35．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数. (1)若为单调函数，求的取值范围； (2)设函数，记的最大值为. （i）当时，求的最小值； （ii）证明：对. 36．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）为奇函数，且． (1)求实数m的值； (2)若对于函数，用将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．判断函数是否为上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． 37．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 38．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 39．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数是奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·山东德州·期末）设，用表示不小于的最小整数，如．已知函数，下列叙述不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数是奇函数 D．函数的值域是 3．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   7．（24-25高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 9．（22-23高一上·山东潍坊·期末）定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 10．（22-23高一上·山东济南·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（山东省潍坊市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在上的最小值为2，则在上的（   ） A．最小值为2 B．最大值为 C．最小值为6 D．最大值为 二、多选题 14．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 15．（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 17．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．的值域为 D．，且，恒成立 18．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 19．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 三、填空题 22．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 23．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 24．（24-25高一上·山东济南·期末）已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式 ． 25．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 四、解答题 26．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 27．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 28．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数（t，，且）为偶函数． (1)求t和k的值； (2)讨论函数的零点个数． 29．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数为奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若（且）在区间上为增函数，求实数a的取值范围． 30．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值，判断的单调性并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式. 31．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中是自然对数的底，…． (1)当时，求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 32．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是偶函数，且当时，函数的图像与函数（且）的图像都恒过同一个定点． (1)求和的值； (2)设函数，若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 33．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和. (1)求和的解析式； (2)解不等式. 34．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 35．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 36．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 37．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 39．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 40．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 41．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 42．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 43．（20-21高一上·山东枣庄·期末）已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 44．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） (1)求实数k的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 45．（23-24高一上·山东聊城·期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 46．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． (1)设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； (2)若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； (3)若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 47．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）为奇函数，且． (1)求实数m的值； (2)若对于函数，用将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．判断函数是否为上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． 48．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 地 城 考点03 函数的对称性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（22-23高一下·山东青岛·期末考试）已知函数，函数与的图象关于y轴对称，则（    ） A．存在实数a，使函数的图象存在对称中心 B．对任意实数a，函数值域均为R C．存在实数a和k，使函数不存在零点 D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减 5．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 7．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 三、填空题 8．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 四、解答题 10．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 地 城 考点04 函数的周期性 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济南·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 二、多选题 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 5．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 6．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 7．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 三、填空题 8．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数及其性质 4大高频考点概览 考点01 函数的单调性 考点02 函数的奇偶性 考点03 函数的对称性 考点04 函数的周期性 地 城 考点01 函数的单调性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数在上的零点所在的区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断函数的单调性，然后根据零点存在性定理逐个分析判断. 【详解】因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 对于A，因为，所以在上无零点，所以A错误； 对于B，因为，所以在上无零点，所以B错误； 对于C，因为，所以在上有唯一零点，所以C正确； 对于D，因为，所以在上无零点，所以D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键. 3．（24-25高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为， 因即不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为， 且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误； 对于D，因的定义域为， 函数在上先增后减，在上先减后增， 故不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：A. 4．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 5．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 6．（23-24高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、二次函数、反比例函数的性质判定即可． 【详解】因为底数，所以，都是单调递增函数，不合题意； 当时，单调递增，不合题意； 反比例函数，且，所以当时单调递减， 故选：B． 7．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得在单调递增，结合对称性可得函数的单调性，进而根据基本函数的单调性结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由，，，可得，故在单调递增， 由于是定义域为的偶函数，故的图象关于对称，故在 单调递减， 由于函数单调递增，故由可得， 函数单调递增，故，可得， 由于函数在单调递增，，，故，则， 所以，故，即， 故选：D 【点睛】函数零点的估计，往往需要结合零点存在定理和函数的单调性来进行判断，后者需结合基本初等函数的性质来处理，另外取点时注意以函数值容易计算为主旨. 8．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增， 若，则有，即，解得. 所以的取值范围为. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高一上·山东济南·期末）已知定义在上的函数则（   ） A． B．不存在单调区间 C． D．在定义域内的任意区间上都不存在最大值 【答案】ABD 【分析】分析的各种情况，得到各种情况下的答案，应用赋值法结合单调性定义等得到选项答案. 【详解】对于A，已知当是互质的正整数时，. 对于，此时，，且和互质， 根据函数定义可得，所以选项 A 正确. 对于B，若是存在，是单调增区间， 当是互质的正整数时，， 是无理数，使得，故不是单调增区间； 若是存在，是单调减区间， 当是互质的正整数时，，是无理数，使得，故不是单调减区间； 即不存在单调区间，所以选项 B 正确. 对于C，分情况讨论的值：当时，，，所以， 当的无理数时，，则， 当是互质的正整数时，， 若，情况不存在. 若，， 若时，当为正整数时，若为整数可写成，则， 不存在，使得，选项 C 错误. 对于D，在任意区间，存在最大值， 则存在有理数（是互质的正整数）， 在区间内，总能找到形如（是互质的正整数）的有理数， ，所以不存在最大值. 所以在定义域内的任意区间上都不存在最大值，选项D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是对当是互质的正整数时，的应用. 10．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 11．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性及单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】因为，易知定义域为，定义域关于原点对称， 又，即为奇函数，所以选项A正确， 对于选项B，因为定义域为，当时，， 当时，，而，所以选项B错误， 因为在定义域上单调递增，在区间上单调递增， 所以的增区间为， 又易知，当时，的值域为，当时，的值域为， 所以对，方程有两个根，即选项C和D均正确， 故选：ACD. 12．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】令，可判断A；用偶函数定义判断B；用周期函数的定义判断C；用单调性定义判断D. 【详解】A：令，满足， 但，在上不是增函数，A错误； B：令，则， 所以，所以是偶函数，B正确； C：若，，， 则， 即，则是周期函数，C正确； ，因为在上单调递减，所以， 所以， 则， ，即在上单调递减， D正确. 故选：BCD 13．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题. 三、填空题 14．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数是定义在上的增函数，当时，.若，其中，则 .. 【答案】9 【分析】根据题意，用列举法一一验证即可. 【详解】由题意，成立，否则若，则，即， 矛盾，故， 可知，所以，所以， 若，得，所以，矛盾； 若，得，所以，这与是上的增函数矛盾； 所以， ，得，，得， ，可得. 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用反证法证明成立. 15．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 16．（24-25高一上·山东济南·期末）已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇数，是偶数） 【分析】通过分析幂函数需要满足的两条性质具体分析. 【详解】幂函数，对于条件①是偶函数且在上单调递减， 而条件②说明函数为偶函数， 根据幂函数性质，当时，幂函数在上单调递减。 又因为是偶函数，对于幂函数， 若（互质），当为偶数时，函数是偶函数, 若写出具体函数解析式, 可以令（满足，是奇数，是偶数）, 此时幂函数,对于，满足②. 对求导，， 在时，，在单调递减，所以满足①， 所以答案为：. 17．（23-24高一上·山东青岛·期末）写出一个同时满足下列①②③的函数的解析式 ． ①的定义域为；②；③当时，． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由函数满足的条件，分析函数类型得解析式. 【详解】取，其定义域为，， 满足，且当时，，满足所有条件， 故答案为：；（答案不唯一） 18．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 19．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】令，分析可知为定义在上奇函数，且在上单调递减，根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令 因为，即，可知函数的定义域为， 且， 所以为上的奇函数， 因为， 且在内单调递增， 则在内单调递增，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减， 综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减， 由，则， 可得， 则，解得：， 所以不等式的解集是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：1.构建函数，并判断的单调性和奇偶性； 2.根据奇偶性和单调性解不等式. 20．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，结合题意分析可知在上单调递增，结合二次函数性质分析求解. 【详解】因为，， 令，由可知，可得， 又因为函数在上是单调递增函数， 可知在上单调递增， 则，解得：， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 21．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的偶函数，在上单调递增，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用偶函数的性质结合对数函数的图象与性质计算即可. 【详解】由题意可知， 又在上单调递增，则时，， 则， 根据对数函数的性质可知. 故答案为： 22．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 【答案】/ 【分析】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为， 所以由， 设，定义域为， 因为， 所以由， 所以有，或， 即，或， 所以函数是正实数集上的减函数， 因为为奇函数， 所以有， 因此函数是偶函数， ， ， ， 因为函数是偶函数， 所以， 因为， 函数是正实数集上的减函数， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，结合所比较数的形式构造函数是解题的关键. 四、解答题 23．（24-25高一上·山东济南·期末）已知函数． (1)解关于的方程：； (2)记函数． （ⅰ）判断在上的单调性，并用定义证明； （ⅱ）若，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）在单调递减，证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）先根据已知方程求出的范围，再利用对数的运算性质求解即得. （2）（ⅰ）利用函数的单调性定义法推理证明其单调性即可；（ⅱ）因，都有，可推得，由（ⅰ）利用在单调递减，可得使得 成立，从而转化成求在上的最小值即可. 【详解】（1）因， 由，可得， 又， 则有，解得（不合题意，舍去）或， 故原方程的解为． （2）（ⅰ）在单调递减. 证明如下：，且， 所以， 因，则有， 故有，可得，即， 故在单调递减． （ⅱ）若，都有， 则有， 由（ⅰ）可得，在单调递减，则， 所以， 即， 故可得． 即使得 成立， 所以，即求在的最大值， 由二次函数的性质可得，当时，， 故得，即的取值范围为． 24．（24-25高一上·山东济南·期末）是定义在上的函数．若满足，则称为的“不动点”．已知函数． (1)求的“不动点”； (2)记．若，则称为的一个周期，为的一个“周期点”．若是的“周期点”，那么的所有周期中的最小值称为的最小周期．如果的最小周期是，则称是的一个“-周期点”．特殊的，的“1-周期点”即为的“不动点”． （ⅰ）判断的“周期点”个数，并说明理由； （ⅱ）若．证明：当时，不存在“周期点”． 【答案】(1) (2)（ⅰ）共有0个，理由见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用不动点定义计算求解即可； （2）（ⅰ）应用周期点的定义计算即可判断；（ⅱ）结合正弦函数的单调性应用周期点的定义即可证明. 【详解】（1）由题意， 解得．故的不动点为； （2）（ⅰ）的“2-周期点”共有0个． 理由如下： ，故， 等号成立当且仅当． 若是的“2-周期点”， 满足 从而等号必须成立，故． 而由（1）知，是的不动点，即“周期点”．矛盾． 故不存在“2-周期点” （ⅱ）注意到单调递增， ，若为的“-周期点”， 则且，．（否则为的不动点．） 若，则由单调递增可知，， 而，故． 类似地，对于任意， 与矛盾，则不存在的“周期点”． 同理可证不存在的“-周期点”． 故对于不存在“-周期点”． 【点睛】关键点点睛：解题及证明的关键点是对新定义的理解及灵活应用. 25．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数的定义域为，若，满足成立，则称函数是“任意漂移函数”；若，满足成立，则称函数是“存在漂移函数”. (1)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求出的值； (2)若函数是定义在的“任意漂移函数”，且，，解关于的不等式； (3)若函数是定义在的“存在漂移函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由漂移函数的定义列出方程求解即可； （2）先确定在是单调递增函数，再通过赋值令，，得到，由单调性即可求解； （3）由新定义得到，化简得在有解，再构造函数，通过，，讨论即可； 【详解】（1）函数是“存在漂移函数”， 则在有解， 即，化简得， 令，则，即，解得 （2），设，则，得 ， 即， 所以在是单调递增函数 令，得，解得 不等式可转化为， 从而 解得或， 所以不等式的解是 （3）由函数为“存在漂移函数” 则满足， 即 化简得，整理得 即在有解 令 ①当时，在无解，不合题意； ②当时，对称轴，与轴的交点为在轴的上半轴， 因此在无解，不合题意； ③当时，对称轴，需， 解得，又，则 综上所述：实数的取值范围是 【点睛】关键点点睛：第三问由函数为“存在漂移函数”得到在有解，构造函数，转换成二次函数的零点存在问题. 26．（24-25高一上·山东德州·期末）低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户，电动汽车正成为人们购车的热门选择.新能源电动汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速.经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量（单位：wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 1800 5600 21600 若该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，可用表示. (1)请求出函数的表达式； (2)现有一辆同型号纯电动汽车从甲地出发经高速公路（最低限速，最高限速）匀速行驶到距离为的乙地，已知该电动车在高速公路上行驶时每小时耗电量（单位：wh），出发前汽车电池存量为35000wh，汽车到达乙地后至少要保留的保障电量（假设该电动汽车从静止加速到速度为的过程中消耗的电量与行驶的路程都忽略不计）. （i）若出发前和行驶路途中都不充电，该电动汽车能否到达乙地？请说明理由； （ii）已知该高速公路上服务区有功率为的充电桩（充电量充电功率充电时间），求该电动汽车从甲地到达乙地所用时间的最小值（若不需充电，即求行驶时间的最小值；若需要充电，即求行驶时间与充电时间之和的最小值）. 【答案】(1) (2)（i）该车若不充电不能到达乙地，理由见解析；（ii）4.33小时. 【分析】（1）由题意将和代入函数中，解方程组可求出，从而可求出函数的表达式； （2）（i）设耗电量为，根据题意求出，然后利用函数单调性的定义判断出函数在区间单调递增，从而可求出其最小值，与电池存量减去保障电量比较大小可得结论；（ii）设行驶时间与充电时间分别为，，总和为，则有，解得，然后表示出，利用基本不等式可求出其最小值. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 故； （2） ， 设耗电量为，则 ； （i）任取， ， 由，，，，则有， 即， 所以函数在区间单调递增， 所以， 即最小耗电量大于电池存量减去保障电量，所以该车若不充电不能到达乙地； （ii）由（i）知该车需要充电，设行驶时间与充电时间分别为，，总和为， 若能到达乙地，则初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量， 即， 所以， 解得 所以总时间 当且仅当，即时取等号， 所以，该汽车到达乙地的最少用时约为4.33小时. 【点睛】关键点点睛：此题考查利用函数模型解决实际问题，考查函数单调性的判断，考查基本不等式的应用，第（2）问解题的关键是根据已知的函数模型表示出总耗电量，再根据初始电量+充电电量消耗电量≥保障电量，列不等式，考查计算能力和理解能力，属于较难题. 27．（23-24高一上·山东日照·期末）已知函数，． (1)若，求的最小值； (2)令，，若对于定义域内任意的，，当时，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用换元法，将问题转化为二次函数的最值问题，从而得解； （2）利用换元法，将问题转化为二次函数的性质问题，从而得解. 【详解】（1）因为，， 则由得，所以定义域为， 而， 设，则在上单调递增，故， 则，开口向上，对称轴为， 所以当时，． （2），， 则， 设，，， 令，则开口向上， 原问题转化为对于任意，，都有， 所以在上单调递增， ①当时，即，在上单调递增， 同时满足，解得， 此时，故，满足题意，所以； ②当时，即，在上单调递减， 应满足，解得， 此时，故，满足题意，所以； ③当时，不单调，不成立，舍去． 综上，的取值范围为或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问，构造函数，采用换元法，构造成二次函数，结合二次函数图象分析. 28．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1，增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可； （2）利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可. 【详解】（1）函数为奇函数，所以， 即， 则，即，则，得； 所以， 函数在上为增函数， 证明如下： 设，则 ，所以，且，， ，即， 函数在上为增函数； （2）不等式恒成立， ， 函数为奇函数， ， 函数在上单调递增，则， 即恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，需满足，即，解得； 综上，实数的取值范围为． 29．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【详解】（1）解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； （2）证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； （3）∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 30．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并用单调性的定义证明； (2)若对，都有成立，求实数的取值范围； (3)是否存在正实数，使得在上的取值范围是？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）直接由指数函数单调性，单调性的定义证明即可. （2）将原问题转换为不等式对恒成立.通过换元法以及对勾函数性质即可得解. （3）由函数单调性以及换元法转换为一元二次方程根的分布问题即可得解. 【详解】（1）在上单调递增. 任取，且， 那么， ， 因为，所以，可得，又， 所以，即， 所以在上单调递增. （2）因为，所以， 所以， 由第（1）问知在上单调递增，所以， 所以，即对恒成立. 令，，只需， 令，则，， 因为在上单调递增， 所以当时，，所以. （3）由第（1）问知，在上单调递增， 所以 所以为方程的两个实数根， 即方程有两个不等的实数根， 令，即方程有两个不等的正根， 所以即， 且，解得且， 所以存在实数满足题意，且. 【点睛】关键点睛：第二问关键是分离参数，第三问关键是换元转换为一元二次方程根的分布问题，由此即可顺利得解. 31．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 32．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 33．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知 (1)写出函数的单调区间； (2)当函数有两个零点时，求的取值范围； (3)求的解析式. 【答案】(1)单调递增区间为，； (2) (3) 【分析】（1）根据的解析式及指对数函数性质可得答案； （2）时有一解求出的范围；时有一解求出的范围可得答案； （3）根据定义域求出即可. 【详解】（1）函数的单调递增区间为，； （2）当函数有两个零点时，即有两根. 由在区间，递增， 所以，（）有一解，即； ，（）有一解，即； 综上，所以当函数有两个零点时； （3）时，，又， 所以，即. 34．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知. (1)当时，时，求的取值范围； (2)对任意，且，有，求的取值范围； (3)，的最小值为，求的最大值. 【答案】(1)或 (2) (3)1 【分析】（1）将看成整体，解一个一元二次不等式即得； （2）利用参变分离法将不等式恒成立问题转化为求对应函数的最小值问题求解； （3）将绝对值分类讨论得到分段函数，分别就参数的范围进行讨论，得到，求其最大值即得. 【详解】（1）由，可得， 解得或， 所以或； （2）由，时恒成立则，令. 则当时，由可得：，即得：（时取等号）， 当时，，可得：即得：.（时取等号） 故，因在上递减，在上递增， 而时；时，，即， 故. （3）由（）. 可得：， ①当时，在单调递增，所以此时无最值； ②当时，由，. 所以在上单调递增，上单调递减,此时，. ③当时.，，. 所以在上单调递减，在上单调递增，此时，， 综上，，因时，， 故最大值为1. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查不等式恒成立问题和含参的分段函数的最小值问题. 解决关键在于对恒成立问题常通过参变分离法，将其转化成求对应函数的最值问题，对于含参的分段函数的最值问题，常常需要就参数进行分类讨论解决. 35．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数. (1)若为单调函数，求的取值范围； (2)设函数，记的最大值为. （i）当时，求的最小值； （ii）证明：对. 【答案】(1)或 (2)（i）2;（ii）证明见解析 【分析】（1）利用对称轴与区间的关系，即可求得的取值范围； （2）对于（i）表示出再根据的大小讨论即可；对于（ii）先讨论对称轴与区间的关系并表示出，再对表达式中的绝对值大小进行讨论. 【详解】（1）由，可得的对称轴， 要使为单调函数，则或， 解得或. （2）（i）当时，， 则 当时，， 当且仅当时，等号成立； 当时，； 所以的最小值为2. （ii）下面根据对称轴对进行讨论： 当时，， ①若，显然， ②若，则. 当时，，则， ①若，显然， ②若，则. 当时，， 则. ①若，显然 ②若，记，则， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 当时，易知恒成立， 下面再讨论与的大小关系： 当时，， 当时，， ， 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于对二次函数的对称轴与区间的关系进行讨论，同时对中的绝对值问题进行讨论. 36．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）为奇函数，且． (1)求实数m的值； (2)若对于函数，用将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．判断函数是否为上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是上的有界变差函数，当时，M的最小值为；当时，M的最小值为22． 【分析】（1）根据奇函数定义运算求解； （2）先证明为偶函数，分和两种情况讨论，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算求解. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以当时，， 化简得，所以，代回检验符合题意． （2）是上的有界变差函数．证明如下： 因为，， 所以为偶函数， （i）当时， 当时，单调递减， 所以，即在上单调递减， 又为偶函数，所以在上单调递增． 对区间任意划分， 若存在，满足， 则 故若存在常数M，使得，则， 否则必定存在，使得， 下证当时，此时也恒成立， 证明： ， ， 综上，当，M的最小值为． （ii）当时， 当时，单调递增， 所以，即在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 对区间任意划分， 若存在，满足， 则 ， 故若存在常数M，使得，则， 否则必定存在，使得， 下证当时，此时也恒成立， 证明： ， ， 综上，当，M的最小值为． 综上所述，当时，M的最小值为；当时，M的最小值为22． 【点睛】思路点睛：本题第二问属于函数新定义问题，首先证明为偶函数，分和两种情况讨论，根据单调性将区间划分，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算证明. 37．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数． (1)求函数的定义域； (2)试判断的单调性，并说明理由； (3)定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”．若函数存在“完美区间”，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）由函数解析式直接求定义域； （2）法一：利用复合函数单调性判定； 法二：定义法证明单调性； （3）由题意可知方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数的值域即可. 【详解】（1）要使函数的表达式有意义，须使，解得， 所以函数的定义域是． （2）在上单调递增． 理由如下：法一： 因为， 又在上为增函数，在上为减函数， 在上为增函数，在上为增函数， 故在上单调递增． 法二： 因为， 对任意，，且，可知，则 ， 又， 可知，所以， 即．故在上单调递增， （3）由（2）可知在上单调递增， 设区间是函数的“完美区间”．则，． 可知方程在上至少存在两个不同的实数解， 即在上至少存在两个不同的实数解， 所以与在上至少存在两个不同的交点． 令，则， 所以， 当且仅当时，取等号． 又在上单调递减，在上单调递增， 且当时，；当时，． 所以．故实数b的取值范围为． 【点睛】思路点睛：第三问由题意，可将问题转化为方程在上至少存在两个不同的实数解，即在上至少存在两个不同的实数解，所以与在上至少存在两个不同的交点．接下来利用换元法求出函数的值域即可. 38．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数，． (1)写出的单调区间，并用单调性的定义证明； (2)若，解关于的不等式； (3)证明：恰有两个零点m，，且． 【答案】(1)单调递增区间为，，无减区间；证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，再对函数解析式进行化简，判断单调性，根据两个不同区间，分别运用函数的单调性定义进行推导即得； （2）结合（1）的结论，考虑，尝试得到函数在上的另一个零点，经计算得到，从而作出函数的简图即得不等式的解集； （3）根据（1）的结论，在上寻得，使，再构造满足的值，推理得到，利用零点存在定理确定在存在零点；同法，在上存在另一个零点；最后受（2）的启发推算出，利用函数在上递增，判断，借助于基本不等式即得. 【详解】（1）由题知，， 因为， 所以在上和上单调递增，理由如下： ①，，且， 由． 因，则，，又， 故，即在上单调递增， ②，，，同理可得：，即在上单调递增， 所以在上和上单调递增，即函数的单调增区间为，，无减区间. （2）    由（1）知：在上和上单调递增，又因为． 如图，要使，只需使或，故不等式的解集为：． （3）由（1）知：在上和上单调递增， 又因为，且， 取满足，则， 所以在上有唯一零点， 又因为，且，取满足， 则， 所以在上有唯一零点，则， 又因为， 因在上单调递增，且，，则必有，即， 故． 【点睛】关键点点睛：本题重点考查与函数的零点有关的问题. 在解决（2）时，条件容易误导用来求值，实则是抛砖引玉，用来推理，从而得到两个零点，结合单调性数形结合易得的解集； 在解决（3）时，要说明分别在和上函数各有一个零点，难度非同小可，需尝试代入适合的值,得到，再构造满足的值，使，从而得到确定的唯一零点，同法得到另一个零点，运用（2）的结论推得才可证明. 39．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判判单调性，再利用单调函数的定义推理证明. （2）利用（1）的结论，脱去法则求解不等式即得. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 即，于是，解得，则， 函数在上单调递增，证明如下： ，且，则， ，由，得，，， 于是，即， 所以函数在上是单调递增函数. （2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数，且为增函数， 则恒成立，即恒成立， 亦即恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 地 城 考点02 函数的奇偶性 一、单选题 1．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数是奇函数，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用奇函数的性质求出a值作答. 【详解】函数是奇函数，，则，又当时，， 即有，解得， 所以. 故选：D 2．（22-23高一上·山东德州·期末）设，用表示不小于的最小整数，如．已知函数，下列叙述不正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数的值域是 C．函数是奇函数 D．函数的值域是 【答案】C 【分析】根据定义，函数的奇偶性及函数值域的求解方法对选项逐一分析即可. 【详解】由题意得函数的定义域为关于原点对称， 因为， 所以， 且， 所以，所以为奇函数，故A正确； 令， 解得：，由， 所以， 所以函数的值域是，故B正确； 因为，函数的值域是， 所以的值域为，故D正确； 由， ， 所以，所以不是奇函数，故C不正确； 故选：C. 3．（22-23高一下·山东青岛·开学考试）函数在的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性，结合特殊值检验即可解决. 【详解】由题知，，关于原点对称， 因为， 所以为偶函数，故C，D错误； 又当时，易知， 所以，故B错误； 故选：A 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）定义在上的函数，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性解不等式. 【详解】定义在上的函数，函数为偶函数且在上单调递增， 若，则有，即，解得. 所以的取值范围为. 故选：D 5．（23-24高一上·山东聊城·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由解析式判断出函数的奇偶性，再带入特殊点逐一排除即可. 【详解】由函数可知定义域为,且定义域关于原点对称. 因为， 所以函数为奇函数，故排除选项B; 因为，故排除选项A; 因为，故排除选项D. 故选：C. 6．（23-24高一上·山东临沂·期末）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用函数的奇偶性及特殊位置可判定选项. 【详解】易知，即为奇函数， 其函数图象关于原点中心对称，可排除C、D； 显然当时，恒成立，可排除B，即A正确. 故选：A 7．（24-25高一上·山东济南·期末）下列函数在定义域上既是增函数又是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，根据解析式特征判断其单调性，利用奇偶性定义判断其奇偶性即可逐一判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 显然为增函数，且因可得函数为奇函数，故A正确； 对于B，，定义域为， 因即不是奇函数，故B错误； 对于C，的定义域为， 且在每一个区间上为增函数，但不能说函数在定义域上递增，故C错误； 对于D，因的定义域为， 函数在上先增后减，在上先减后增， 故不是定义域上的增函数，故D错误. 故选：A. 8．（24-25高一上·山东泰安·期末）函数的部分图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断函数的奇偶性，根据奇偶性排除一些选项，然后通过分析函数在特殊点（如附近）的取值情况进一步确定函数图象． 【详解】，其定义域为，对于任意， ， 所以函数是奇函数，图象关于原点对称，故排除A选项， 当时，，，，所以，则， 当时，，，，所以，则，故排除C选项， 当时，，所以排除选项D． 故选：B． 9．（22-23高一上·山东潍坊·期末）定义在上的奇函数满足：对任意的，，有，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据单调性定义和奇函数性质可确定的单调性，结合可得不等式的解集. 【详解】对任意的，，有， 在上单调递增，又定义域为，， 在上单调递增，且，； 则当或时，， 即不等式的解集为. 故选：B. 10．（22-23高一上·山东济南·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，推出是周期函数，周期为，利用周期得，根据推出，再利用单位圆可求出结果. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 又因为，所以，， 所以是周期函数，周期为， 所以， 因为，所以，即，， 根据单位圆中的三角函数线可得：，， 故选：D 11．（山东省潍坊市2023-2024学年高一上学期1月期末考试数学试题）已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析出的单调性，且得到时，，时，的结论，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】对于任意的，当时，都有成立， 所以在严格增，又是定义在上的奇函数， 所以在上严格增，且，所以时，，时，， 或，即或， 所以， 故选：D. 12．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键. 13．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在上的最小值为2，则在上的（   ） A．最小值为2 B．最大值为 C．最小值为6 D．最大值为 【答案】D 【分析】整理函数解析式后令，验证得到函数为奇函数，由对称性得到在的最大值，然后得到在上的最大值. 【详解】， 令， ∵，即为奇函数， 当时，，∴， ∴当时，， ∴. 故选：D. 二、多选题 14．（22-23高一上·山东滨州·期末）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，逐一判断各选项中函数的奇偶性及在上的单调性作答. 【详解】对于A，函数定义域为R，是非奇非偶函数，A不是； 对于B，函数的定义域为，是偶函数， 当时，在上单调递增，B是； 对于C，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，C是； 对于D，函数定义域为R，是偶函数，当时，在上单调递增，D是. 故选：BCD 15．（22-23高一上·山东潍坊·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】A选项不满足单调性；D不满足奇偶性，B、C选项均为偶函数且在上单调递减正确. 【详解】在上单调递增，A选项错误； ，故为偶函数，当时为单调递减函数，B选项正确； ，故为偶函数，当时为单调递减函数，C选项正确； 是奇函数，D选项错误. 故选：BC 16．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（    ） A． B． C．是偶函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求，进而可求函数解析式，根据解析式分析相关的性质. 【详解】函数的图象过原点，则，即， 函数的图象无限接近直线但又不与该直线相交，故是图象的一条渐近线， 则， ，A选项正确，B选项错误； 函数，定义域为R， ，是偶函数，C选项正确； 时，，所以在上单调递减，D选项错误； 故选：AC 17．（22-23高一上·山东泰安·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．是偶函数 C．的值域为 D．，且，恒成立 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合函数的奇偶性以及单调性的定义，以及指数函数的性质，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】函数的定义域为，，故A正确； 因为，故B错误； 由于，则，，所以， 即函数的值域为，故C正确； 由于在定义域上为增函数，故在定义域上为增函数， 即有时，， 将式子中的换为， 可得当时，， 故D正确. 故选:ACD 18．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数，则（    ） A．为奇函数 B．为增函数 C．的值域为 D．对，方程有两个根 【答案】ACD 【分析】利用函数的奇偶性及单调性，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】因为，易知定义域为，定义域关于原点对称， 又，即为奇函数，所以选项A正确， 对于选项B，因为定义域为，当时，， 当时，，而，所以选项B错误， 因为在定义域上单调递增，在区间上单调递增， 所以的增区间为， 又易知，当时，的值域为，当时，的值域为， 所以对，方程有两个根，即选项C和D均正确， 故选：ACD. 19．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】令，可判断A；用偶函数定义判断B；用周期函数的定义判断C；用单调性定义判断D. 【详解】A：令，满足， 但，在上不是增函数，A错误； B：令，则， 所以，所以是偶函数，B正确； C：若，，， 则， 即，则是周期函数，C正确； ，因为在上单调递减，所以， 所以， 则， ，即在上单调递减， D正确. 故选：BCD 20．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数，则（   ） A．是奇函数 B．当时， C．，使 D．在上单调递增 【答案】ABD 【分析】利用奇偶函数的定义即可判断A；求出即可判断B；利用对勾函数的性质推出的单调性，结合反证法和函数的单调性解不等式即可判断C；由结合选项C，利用奇偶性判断函数的单调性即可判断D. 【详解】A：的定义域为R，且， 所以为奇函数，故A正确； B：当时，，故B正确； C：， 又在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减. 若，则， 由，得，即， 这与矛盾，所以不存在，故C错误； D：因为为R上的奇函数，所以. 由选项C知，在上单调递增. 当时，，所以在上单调递增，故D正确. 故选：ABD 21．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得， 因为，则， 令，，可得，则，A对； 对于B选项，令可得， 所以，，故函数为偶函数， 令可得， 即，故， 因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对； 对于C选项，因为， 因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错； 对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数， 因为，， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 三、填空题 22．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：1. 23．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知定义在上的函数为奇函数，且对任意正实数都有，若实数满足，，则的大小关系为 . 【答案】/ 【分析】对已知不等式进行变形，利用构造新函数法、奇函数的性质，结合新函数的单调性、指数函数的单调性、对数函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为， 所以由， 设，定义域为， 因为， 所以由， 所以有，或， 即，或， 所以函数是正实数集上的减函数， 因为为奇函数， 所以有， 因此函数是偶函数， ， ， ， 因为函数是偶函数， 所以， 因为， 函数是正实数集上的减函数， 所以， 故答案为： 【点睛】关键点睛：根据不等式的形式，结合所比较数的形式构造函数是解题的关键. 24．（24-25高一上·山东济南·期末）已知幂函数．给定条件： ①且； ②． 写出一个同时满足①②条件的函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一，，其中，且是奇数，是偶数） 【分析】通过分析幂函数需要满足的两条性质具体分析. 【详解】幂函数，对于条件①是偶函数且在上单调递减， 而条件②说明函数为偶函数， 根据幂函数性质，当时，幂函数在上单调递减。 又因为是偶函数，对于幂函数， 若（互质），当为偶数时，函数是偶函数, 若写出具体函数解析式, 可以令（满足，是奇数，是偶数）, 此时幂函数,对于，满足②. 对求导，， 在时，，在单调递减，所以满足①， 所以答案为：. 25．（23-24高一上·山东济宁·期末）若函数，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】令，分析可知为定义在上奇函数，且在上单调递减，根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】令 因为，即，可知函数的定义域为， 且， 所以为上的奇函数， 因为， 且在内单调递增， 则在内单调递增，可知在内单调递减， 又因为在定义域内单调递增，则在内单调递减， 由奇函数可知在内单调递减，所以在上单调递减， 综上所述：为定义在上奇函数，且在上单调递减， 由，则， 可得， 则，解得：， 所以不等式的解集是. 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：1.构建函数，并判断的单调性和奇偶性； 2.根据奇偶性和单调性解不等式. 四、解答题 26．（23-24高一上·山东日照·期末）已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若在上是单调函数，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据函数为幂函数得，从而求出代入解析式检验，进而可求出的解析式； （2）求出的对称轴，然后由在上是单调函数，得或，从而可求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意，解得或3， 若是偶函数，代入检验可得，故； （2），对称轴是， 若在上是单调函数，则或，解得或． 所以实数的取值范围为或． 27．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且时，． (1)求的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的奇偶性求出当时的解析式，进而求解； （2）根据指数函数的单调性判断在的单调性，结合函数奇偶性与单调性解不等式即可. 【详解】（1）由题意知，当时，， 所以，又， 所以， 得的解析式为. （2）当时，， 又函数在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，得， 则，解得， 即不等式的解集为. 28．（22-23高一上·山东烟台·期末）已知函数（t，，且）为偶函数． (1)求t和k的值； (2)讨论函数的零点个数． 【答案】(1) (2)讨论见解析 【分析】（1）根据偶函数定义列式，化简即可找出t和k的值； （2）将零点问题转化为与两个函数的交点问题，再利用的单调性及其值域求解. 【详解】（1）解：因为为偶函数，所以， 即， 化简得， 即， 化简得， 当时，，即， 则； （2）由（1）知：，即， 当时，令，，， 当且仅当，即时，等号成立， 人去，且， 则， 因为，所以； 又因为，所以， 则，即， 所以在上单调递增， 根据复合函数同增异减性质可知在单调递增， 因为为偶函数，所以在单调递减，则. 当时，没有零点； 当时，有一个零点； 当时，有两个零点. 29．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数为奇函数，且， (1)求函数的解析式； (2)若（且）在区间上为增函数，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的性质，求出，即可求函数的解析式； （2）根据复合函数单调性之间的关系，然后再利用分类讨论，即可求出结果． 【详解】（1）由条件幂函数，在上为增函数， 得到 ，解得 ， 又因为，所以或 又因为是奇函数， 当时，，满足为奇函数； 当时，，不满足为奇函数； 所以 （2）由（1）知：且在区间上为增函数． 令，； ①当时，为增函数，只需在区间上为增函数． 即：，解得：，所以； ②当时，为减函数，只需在区间上为减函数． 即：，解得：，此时无解； 综上可知：的取值范围为：． 30．（22-23高一上·山东滨州·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数a的值，判断的单调性并用函数单调性的定义证明； (2)解不等式. 【答案】(1)，函数在上是增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据函数为奇函数可得，求出，再利用定义法判断函数的单调性即可； （2）方法一：利用函数的单调性及，解不等式即可. 方法二：将代入函数解析式，化简，再根据指数函数和对数函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为的定义域是，且为奇函数， 所以，得， 当时，， 所以符合题意， 函数在上是增函数， 证明：任取，且， 则， 因为在上是增函数，且， 所以，                                         因为， 所以，即，                      所以在上是增函数； （2）方法一： 由（1）知在上是增函数，且， 所以由，得，                                 所以，                                               所以原不等式的解集为. 方法二： 由，得，                           因为，所以原不等式化为，                             即，所以， 所以，                                                        所以原不等式的解集为. 31．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，其中是自然对数的底，…． (1)当时，求函数的解析式； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数为奇函数，结合时，的解析式求出当时的解析式即可； （2）利用函数的奇偶性及单调性等价出不等式组解出不等式组即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，， 当时，则， 由时，函数， 所以， 即， 所以当时， （2）当时，不等式化为： 成立， 当时，由， 所以时，由在上单调递增， 故在上单调递增， 由函数为奇函数， 所以当时，由在上单调递增， 所以在上单调递增， 故有：， 综上所述：不等式的解集为：. 32．（22-23高一上·山东德州·期末）已知函数是偶函数，且当时，函数的图像与函数（且）的图像都恒过同一个定点． (1)求和的值； (2)设函数，若方程有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出恒过的点，代入当时中，求出，然后，利用函数奇偶性建立方程求解； （2）由题意方程有且只有一个实数解等价出关于的方程有且只有一个实数解，令，则问题转化为关于方程只有一个正实数解，对最高次系数进行讨论分析即可. 【详解】（1）因为函数（且）的图像恒过定点， 当时，函数图像与图像过同一定点， 所以， 又函数为偶函数， 所以， 即， 即 所以，对恒成立， 所以， 故. （2）由题意方程有且只有一个实数解等价于： 即方程有且只有一个实数解， 化简得：有唯一的实数解， 令，则问题转化为方程：只有一个正实数解， 则： ①当时，方程化为不合题意， ②当时，为一元二次方程， （i）若两正根相等则：， 解得：或， 当时，代入方程得： 不满足题意， 当时，代入方程得： 满足题意， （ii）若方程有一正根一负根时，由韦达定理有两根之积小于0： 即满足题意， 综上所述，实数的取值范围是：. 33．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数的定义域为可以表示为一个偶函数和一个奇函数之和. (1)求和的解析式； (2)解不等式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，为偶函数，为奇函数，可得，两式联立可得答案； （2）利用在定义域内单调递增，且，转化为解不等式可得答案. 【详解】（1）设，① 时，为偶函数，为奇函数， 且， ，② 两式联立解得； （2）在定义域内单调递增，且， 由题意可得， 可得，解得或， 所以不等式解集为. 34．（23-24高一上·山东威海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求在上的解析式； (2)解方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由奇函数的性质即可求解. （2）由题意首先有，进一步通过换元法以及指对互换解方程即可. 【详解】（1）因为是奇函数， ①当时，， ②当时，，， 所以， 所以. （2）由题意知，， 得， 令，则，即， 解得或， 即或， 解得或. 35．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数，，且为奇函数. (1)求实数，判断函数的单调性，并根据函数单调性的定义证明你的判断； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判判单调性，再利用单调函数的定义推理证明. （2）利用（1）的结论，脱去法则求解不等式即得. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 即，于是，解得，则， 函数在上单调递增，证明如下： ，且，则， ，由，得，，， 于是，即， 所以函数在上是单调递增函数. （2）由（1）知，函数是定义在上的奇函数，且为增函数， 则恒成立，即恒成立， 亦即恒成立，因此，解得， 所以的取值范围是. 36．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 37．（24-25高一上·山东泰安·期末）已知奇函数的定义域为R，当时，. (1)求的解析式； (2)证明:在上单调递减； (3)若对任意的，不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由时，，得到，再利用为奇函数求解； （2）利用函数单调性的定义证明； （3）利用函数为奇函数，转化为恒成立，再利用（2）在R上单调递减求解. 【详解】（1）解：当时，， ， ∵为奇函数， ∴， ∴； （2）证明：任取，，且， ， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴在上单调递减； （3）∵恒成立， ∴恒成立， 又∵为奇函数， ∴恒成立， 由（2）知在上单调递减，且为奇函数， ∴在R上单调递减， ∴恒成立， ∴恒成立， 令， 当时，取得最小值， ∴. 38．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知函数为奇函数． (1)求，判断的单调性，并用定义证明； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)1，增函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）先根据奇函数的定义计算参数，再由函数的单调性定义证明即可； （2）利用函数的奇偶性及单调性脱去函数符号，结合一元二次不等式恒成立讨论计算即可. 【详解】（1）函数为奇函数，所以， 即， 则，即，则，得； 所以， 函数在上为增函数， 证明如下： 设，则 ，所以，且，， ，即， 函数在上为增函数； （2）不等式恒成立， ， 函数为奇函数， ， 函数在上单调递增，则， 即恒成立， 当时，不等式恒成立，满足题意； 当时，需满足，即，解得； 综上，实数的取值范围为． 39．（23-24高一上·山东济南·期末）已知函数为偶函数. (1)求实数的值； (2)解不等式. 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）由偶函数的定义得恒等式，由此即可得解. （2）由对数函数、指数函数单调性等价变形即可求解. 【详解】（1）设的定义域为， 因为为偶函数，所以，都有， 即对都成立， 等价于对都成立， 整理得都成立， 所以，解得. 所以的值为1. （2）由题意， 移项得， 所以， 所以， 整理得，即， 解得， 所以不等式的解集为. 40．（24-25高一上·山东枣庄·期末）设（为实常数） (1)若是奇函数，求与的值； (2)若定义域不为且是奇函数时，求函数的值域． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）根据得到方程，化简得到，从而得到方程组，求出与的值； （2）在（1）基础上，得到．进而求出值域. 【详解】（1）是奇函数时，． 即对定义域内任意实数都成立， 即． 对定义域内任意实数都成立，所以，所以或； （2）当时，，定义域为，不符合题意； 当时，． 当时，因为，故，则．所以； 当时，． 综上所述：函数的值域为． 41．（24-25高一上·山东潍坊·期末）设函数. (1)当时，证明：为偶函数； (2)当时，解不等式； (3)若，且关于的方程在上有实数解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）把代入，求出，再利用偶函数定义推理得证. （2）根据对数函数的单调性结合定义域列出不等式组即可求解. （3）分离常数后利用复合函数的单调性求得函数的最值即可求解. 【详解】（1）当时，函数，则， 函数定义域为， ， 所以函数是偶函数. （2）当时，，不等式， 则，由得或，由得，因此， 所以原不等式的解集为. （3）当时，，方程， 即，函数，在上都单调递增， 因此函数在上单调递增， 则当时，；当时，， 所以实数的取值范围是． 42．（24-25高一上·山东德州·期末）已知函数是定义在的奇函数. (1)若集合，，求； (2)设，且在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得可求出，然后再验证即可求出的解析式，再解不等式求出集合，从而可求出； （2）令，则将转化为，，然后分和两种情况结合二次函数的性质求出其最小值，然后列方程可求得结果. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数， 所以，可得， 当时，， 所以，， 所以为奇函数，所以； 由，得，即， 因为，所以， 所以，即； . 所以 （2）令，因为和在上递增， 所以在上递增， 所以时，， 可化为 ，， 当时，在上为减函数，在上为增函数， 所以或, 又，所以合题意. 当时，在上为增函数, ，解得不合题意，舍去, 综上可知. 43．（20-21高一上·山东枣庄·期末）已知函数， . （1）证明：为偶函数； （2）若函数的图象与直线没有公共点，求 a的取值范围； （3）若函数，是否存在 m，使最小值为0.若存在，求出m的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）证明函数的奇偶性，用定义证明； （2）根据函数的图象与直线没有公共点，用分离参数法； （3）复合函数问题，用换元法，令，讨论即可. 【详解】解：（1）证明：因为，又 ， 即， 所以为偶函数. （2）原题意等价于方程无解， 即方程无解. 令， 因为， 显然， 于是，即函数的值域是. 因此当时满足题意. 所以a的取值范围是. （3）由题意，. 令，则. 则，. ①当时，， ，解得； ②当时， ，解得（舍去）； ③当时， ，解得（舍去）. 综上，存在，使得最小值为0. 【点睛】方法点睛： （1）对函数奇偶性的证明用定义：或； （2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法. 44．（22-23高一上·山东济南·期末）已知函数是奇函数.（e是自然对数的底） (1)求实数k的值； (2)若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围； (3)设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，再检验的奇偶性； （2）若，将关于x的不等式恒成立，转化为恒成立，利用基本不等式得，从而可得； （3）化简，设，得，且，根据题意得恒成立，根据基本不等式得，由求出的最大值即为的最大值. 【详解】（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以， 即，解得.经检验，此时是奇函数 所以. （2）由（1）知， 由时，恒成立，得， 因为，所以， 设， 因为，当且仅当时，等号成立，又，所以， 故， 所以. （3）由题意得： 不妨设， 以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且， 以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立， 因为，仅当a=b时前一个等号成立， 所以，即，于是n的最大值为. 45．（23-24高一上·山东聊城·期末）若存在实数、使得，则称函数为函数，的“函数”． (1)若函数为函数、的“函数”，其中为奇函数，为偶函数，求函数、的解析式； (2)设函数，，是否存在实数、使得函数为函数、的“函数”，且同时满足：①是偶函数；②的值域为．若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 注：为自然对数的底数． 【答案】(1)， (2)存在，， 【分析】（1）根据题意以及函数的奇偶性可得出关于、的等式组，即可解得函数、的解析式； （2）假设存在实数、满足题设要求，根据偶函数的定义结合对数的运算性质可得出，再由函数的值域结合基本不等式可求出的值，进而可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为为、的“函数”， 所以①，所以． 因为为奇函数，为偶函数，所以，， 所以②， 联立①②得，，． （2）解：假设存在实数、使得函数为函数、的“函数”． 则． ①因为是偶函数﹐所以． 即， 则， 整理得． 因为对恒成立，所以． ②． 因为，当且仅当取等号， 所以， 由于的值域为，所以，则， 又，所以． 综上，存在，满足要求． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 46．（24-25高一上·山东聊城·期末）已知函数在区间上有意义，若存在，且，使成立，则称为上的“可分函数”，为在上的“可分点”． (1)设，证明：定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”； (2)若存在，使为函数在上的“可分点”，求实数的取值范围； (3)若，判断函数是否为上的“可分函数”？若是，判断满足条件的的个数；若不是，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)是，只有1个. 【分析】（1）利用奇函数的性质，结合“可分函数”的定义推理得证. （2）利用给定的“可分点”及定义，建立方程并换元，转化为有不等于1的正根求解. （3）利用“可分函数”的定义，构造函数，结合零点存在性定理推理判断. 【详解】（1）由函数是上的奇函数，得，，， 当，且时，， 因此函数是区间上的“可分函数”， 所以定义域为的奇函数一定是上的“可分函数”. （2）由为函数在上的“可分点”，得， 即，则， 令，由，得且，于是有不等于1的正根， 当时，，解得，此时方程另一根为，不符合题意； 当时，，符合题意，因此； 当且时，而，则，即， 解得或，因此或或； 当时，，而当时，，且时，， 有不等于1的正根，符合题意，因此， 所以实数的取值范围是. （3）令，由， 得， 当时，函数单调递减，在上单调递减， 则函数在上单调递增，又单调递增， 因此在上单调递增，， 则存在唯一，使得，即存在唯一，使， 所以函数是上的“可分函数”，且满足条件的只有1个. 【点睛】思路点睛：本题第2问，利用“可分函数”的定义，构建方程并换元，将问题转化为二次型方程有不为1的正根求解. 47．（23-24高一上·山东潍坊·期末）已知函数（且）为奇函数，且． (1)求实数m的值； (2)若对于函数，用将区间任意划分成n个小区间，若存在常数，使得和式对任意的划分恒成立，则称函数为上的有界变差函数．判断函数是否为上的有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是上的有界变差函数，当时，M的最小值为；当时，M的最小值为22． 【分析】（1）根据奇函数定义运算求解； （2）先证明为偶函数，分和两种情况讨论，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算求解. 【详解】（1）因为为奇函数， 所以当时，， 化简得，所以，代回检验符合题意． （2）是上的有界变差函数．证明如下： 因为，， 所以为偶函数， （i）当时， 当时，单调递减， 所以，即在上单调递减， 又为偶函数，所以在上单调递增． 对区间任意划分， 若存在，满足， 则 故若存在常数M，使得，则， 否则必定存在，使得， 下证当时，此时也恒成立， 证明： ， ， 综上，当，M的最小值为． （ii）当时， 当时，单调递增， 所以，即在上单调递增， 又为偶函数，所以在上单调递减， 对区间任意划分， 若存在，满足， 则 ， 故若存在常数M，使得，则， 否则必定存在，使得， 下证当时，此时也恒成立， 证明： ， ， 综上，当，M的最小值为． 综上所述，当时，M的最小值为；当时，M的最小值为22． 【点睛】思路点睛：本题第二问属于函数新定义问题，首先证明为偶函数，分和两种情况讨论，根据单调性将区间划分，根据有界变差函数的定义，结合绝对值不等式性质运算证明. 48．（24-25高一上·山东日照·期末）已知函数（，）是奇函数. (1)求实数的值，并判断函数在上的单调性（不需要证明）； (2)当时，函数的值域是，求实数与的值： (3)当时，设函数，若存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求的最大值. 【答案】(1)，在上单调递增. (2)，. (3). 【分析】（1）根据奇函数定义列式求出，分和讨论，利用复合函数单调性判断； （2）分析所给区间是函数定义域的子集，从而得出的范围，确定函数的增减性，再由单调性求其值域即可； （3）先分析二次函数在上单调递减，利用函数单调性得到，即可分析出关系式． 【详解】（1）由已知条件得对定义域中的均成立， 所以，即， 整理得，对定义域中的均成立，即，所以， 当时，无意义，故舍去，当时，为奇函数，故. 所以， 当时，在上单调递减，则在上单调递减， 当时，在上单调递减，则在上单调递增. （2）由（1）得，故函数的定义域为， ①若，则，所以函数在区间上为增函数， 要使的值域为，则，无解； ②若，则，所以函数在区间上为减函数， 要使的值域为，则，解得，， 综上，，. （3）由题可得：， 则函数的对称轴为， 因为，所以，故函数在上单调递减， 要使得时恒成立，则， 由，得； 又，即，所以， 即，所以， 故，所以. 又因为，故，解得， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减. 地 城 考点03 函数的对称性 一、单选题 1．（24-25高一上·山东潍坊·期末）已知函数，则（   ） A．的定义域为 B．在区间上单调递减 C．的图象关于点对称 D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域判断A；根据对数型复合函数的单调性判断B；根据判断C；根据函数的对称性及单调性判断D. 【详解】对于A，函数有意义，则，解得且， 因此函数的定义域为，故A错误； 对于B，当时，， 函数在区间上单调递增， 且，又在区间上单调递增， 因此在区间上单调递增，故B错误； 对于C，， 因此函数的图象关于点对称，故C正确； 对于D，，则， 即，因此，故D错误. 故选：C 2．（23-24高一上·山东菏泽·期末）定义在上的函数满足，当时，，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，函数的图象关于直线对称，函数在上单调递增，由对称性得出，，结合函数在上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在上的函数满足，则函数的图象关于直线对称， 当时，，则函数在上单调递增， 因为，， 且，则，即， 故选：A. 3．（23-24高一上·山东滨州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，对任意，，，都有.实数，，满足，，（），则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可得在单调递增，结合对称性可得函数的单调性，进而根据基本函数的单调性结合零点存在性定理即可求解. 【详解】由，，，可得，故在单调递增， 由于是定义域为的偶函数，故的图象关于对称，故在 单调递减， 由于函数单调递增，故由可得， 函数单调递增，故，可得， 由于函数在单调递增，，，故，则， 所以，故，即， 故选：D 【点睛】函数零点的估计，往往需要结合零点存在定理和函数的单调性来进行判断，后者需结合基本初等函数的性质来处理，另外取点时注意以函数值容易计算为主旨. 二、多选题 4．（22-23高一下·山东青岛·期末考试）已知函数，函数与的图象关于y轴对称，则（    ） A．存在实数a，使函数的图象存在对称中心 B．对任意实数a，函数值域均为R C．存在实数a和k，使函数不存在零点 D．对于任意给定的正实数m，总存在实数a，使函数在区间上单调递减 【答案】ACD 【分析】由与的图象关于y轴对称，可得，进而可得解析式，借助解析式画出图象，根据图象对选项逐一判断即可. 【详解】与的图象关于y轴对称，则， 又，则， 对于A，a=0时, 图象如下： 函数为奇函数，故A正确； 对于B，如下图所示，函数的值域不为R，故B不正确； 对于C，如上图所示，存在直线与函数的图象无交点，即函数不存在零点，故C正确； 对于D，由图象可知，当时，函数在上单调递减，故D正确． 故答案为；ACD. 5．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 【答案】ABD 【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且满足． 所以， 令得，所以．故A正确． 因为…①，所以…② ①－②得：，所以的最小正周期为2．故B正确． ．故C不正确． 由得， 所以图象关于中心对称．故D正确． 故选：ABD． 6．（22-23高一上·山东菏泽·期末）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．点为函数图象的一个对称中心 B．的取值范围为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于直线对称 【答案】AB 【分析】运用函数的对称性的性质、单调性的定义，结合特例法、二倍角的正弦公式、降幂公式逐一判断即可. 【详解】选项A：因为 ， 所以点为函数图象的一个对称中心，因此本选项正确； 选项B：因为， 所以，即的取值范围为，所以本选项正确； 选项C：因为， 所以的一个单调递增区间为不正确，因此本选项说法不正确； 选项D：当时，， 因为， 所以此时函数不关于直线对称，因此本选项不正确， 故选：AB 【点睛】关键点睛：运用特例法、函数对称性的性质，结合降幂公式是解题的关键. 7．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题. 三、填空题 8．（24-25高一上·山东济南·期末）函数所有零点之和为 ． 【答案】2 【分析】分析函数的对称性和单调性，再求出所有零点和. 【详解】函数的定义域为R，， 函数的图象关于直线，当时，， 令，任取， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数在上单调递增， 则函数在上单调递增，， 于是函数在上有唯一零点，由对称性知，函数在上有唯一零点， 所以函数所有零点之和为2. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：分析函数的对称性及单调性是求解问题的关键. 9．（23-24高一上·山东聊城·期末）定义在R上的函数满足为偶函数，且在上单调递减，若，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求出的单调性及对称性，然后根据单调性、对称性将转化为的关系，再根据恒成立思想采用分离参数的方法求解出. 【详解】定义在R上的函数满足为偶函数，所以关于对称， 因为在上单调递减，所以在上单调递增， 所以越靠近对称轴函数值越小， 所以由得， 由于，所以， 可得，即时恒成立， 可得， 由于在时单调递增，， 在时单调递减，， 所以恒成立，则实数a的取值范围 故答案为：. 【点睛】结论点睛：对称性的常用结论如下 （1）若函数满足或或，则的一条对称轴为； （2）若函数满足或或，则的一个对称中心. 四、解答题 10．（23-24高一上·山东聊城·期末）已知函数． (1)判断函数在上的单调性，并根据定义证明你的判断； (2)函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是为奇函数．依据上述结论，证明：的图象关于点成中心对称图形． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用单调性得定义证明即可； （2）构造，只需证明为奇函数即可. 【详解】（1）函数在上单调递减．证明如下： 任取，且， ． 因为，且， 所以，， 所以，即， 故函数在上单调递减． （2）证明：设， 则． 因为函数定义域为， 且， 所以为奇函数． 故的图象关于点成中心对称图形． 地 城 考点04 函数的周期性 一、单选题 1．（22-23高一上·山东济南·期末）设函数是定义在R上的奇函数，满足，若，，则实数t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据为奇函数，推出是周期函数，周期为，利用周期得，根据推出，再利用单位圆可求出结果. 【详解】因为为奇函数，所以，所以， 又因为，所以，， 所以是周期函数，周期为， 所以， 因为，所以，即，， 根据单位圆中的三角函数线可得：，， 故选：D 2．（24-25高一上·山东德州·期末）定义不超过的最大整数称为的整数部分，记作，为的小数部分，记作，称为小数函数，下列说法正确的是（    ） A． B．小数函数在定义域内单调递增 C．为奇函数 D．的所有零点之和为 【答案】D 【分析】根据题意，依次分析各选项是否正确，综合可得出答案. 【详解】对于A，根据题意，，，当时，，，所以，故A错误； 对于B，，，所以，小数函数在定义域内不是单调递增，故B错误； 对于C，由，因为，，所以，所以不是奇函数，故C错误； 对于D，的零点，即方程的根 显然不是方程的根； 当，方程化为，作出两函数与的图像如图： 由图知，两函数的交点除之外，其余的交点关于中心对称，则函数的所有零点之和为，故D正确. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的新定义、函数图像及其性质和函数零点的求解，为函数的综合问题.考查运算求解能力、转化与化归能力和数形结合思想，把函数零点问题转化为两个函数图像的交点问题是关键. 3．（23-24高一上·山东临沂·期末）已知定义在R上的函数满足，，则（    ） A．-2 B．-1 C．0 D．1 【答案】C 【分析】应用赋值法可求出特殊点的函数值以及函数的周期，进而求出. 【详解】因为，由， 令，则， 即，得， 两式相加得，则有，即， 则有，所以函数的一个周期为6， 令，则，得， 令，则，得， 又，得，， ，， 所以， 由周期性得. 故选：C 二、多选题 4．（23-24高一上·山东青岛·期末）已知函数定义域为R，则（    ） A．若，，则在上单调递增 B．若，，，则是偶函数 C．若，，，则是周期函数 D．若，，，，则函数在上单调递减 【答案】BCD 【分析】令，可判断A；用偶函数定义判断B；用周期函数的定义判断C；用单调性定义判断D. 【详解】A：令，满足， 但，在上不是增函数，A错误； B：令，则， 所以，所以是偶函数，B正确； C：若，，， 则， 即，则是周期函数，C正确； ，因为在上单调递减，所以， 所以， 则， ，即在上单调递减， D正确. 故选：BCD 5．（23-24高一上·山东菏泽·期末）已知函数对任意实数、都满足，且，以下结论正确的有（    ） A． B．是偶函数 C．是奇函数 D． 【答案】ABD 【分析】令可求得的值，令，可求得的值，可判断A选项；推导出为偶函数，且，可判断B选项；由结合函数的奇偶性可判断C选项；利用函数的周期性可判断D选项. 【详解】对于A选项，令可得， 因为，则， 令，，可得，则，A对； 对于B选项，令可得， 所以，，故函数为偶函数， 令可得， 即，故， 因为函数为偶函数，则函数为偶函数，B对； 对于C选项，因为， 因为函数为偶函数，则函数也为偶函数，C错； 对于D选项，由B选项可知，函数是周期为的周期函数， 因为，， 所以，，D对. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用定义法判断函数的奇偶性，步骤如下： （1）一是看定义域是否关于原点对称，如果定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数； （2）若函数的定义域关于原点对称，接下来就是判断与之间的关系； （3）下结论. 6．（23-24高一上·山东济宁·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且满足．若，则下列说法中正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D．的图象关于中心对称 【答案】ABD 【分析】利用抽象函数的奇偶性，对称性，周期性求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，且满足． 所以， 令得，所以．故A正确． 因为…①，所以…② ①－②得：，所以的最小正周期为2．故B正确． ．故C不正确． 由得， 所以图象关于中心对称．故D正确． 故选：ABD． 7．（23-24高一上·山东威海·期末）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（    ） A． B．在上单调递增 C． D．在上的实数根之和为 【答案】ACD 【分析】根据函数的奇偶性结合已知条件可用赋值法求得，判断A；结合题意推出函数的周期以及对称轴，结合当时，，可作出函数的图象，即可判断B；利用函数的奇偶性可判断C；将在上的实数根问题转化为函数的图象的交点的横坐标问题，数形结合，即可判断D. 【详解】对于A，由于函数是定义在上的奇函数，故， 由，令，则， 则，A正确； 对于B，由，得，即， 故，即8为函数的一个周期， 由，可知函数的图象关于直线对称， 又当时，，故可作出函数的图象如图： 由图象可知在上单调递减，B错误； 对于C，由于函数是定义在上的奇函数，且满足， 故，C正确； 对于D，当时，显然不满足，故的根即的根， 也即函数的图象的交点的横坐标， 作出的图象如图： 由于均为奇函数，因此结合图象可知，二者在上图象的交点也两两关于原点对称， 因此交点的横坐标之和等于0，即在上的实数根之和为0，D正确， 故选：ACD 【点睛】关键点睛：本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，综合性较强，解答本题的关键在于要根据函数的奇偶性结合已知条件，推出函数的周期性以及对称性，从而可作出函数图象，数形结合，解决问题. 三、填空题 8．（23-24高一上·山东济南·期末）定义域为的奇函数满足，且当时，，则的值为 . 【答案】1 【分析】由奇函数的性质以及周期性代入即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：1. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $