专题07 三角恒等变换及三角函数的图象和性质（期末真题汇编，河北专用）高一数学上学期

专题07 三角恒等变换及三角函数的图象和性质 4大高频考点概览 考点01 和（差）角公式及三角恒等变换 考点02 三角函数的图象 考点03 三角函数的性质 考点04 三角函数与其他知识的交汇问题 地 城 考点01 和（差）角公式及三角恒等变换 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)（   ） A．1 B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则（ ） A． B． C． D． 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知． (1)求的值； (2)求的值． 4．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 地 城 考点02 三角函数的图象 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)如图，函数（，，）的部分图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．将图象向右平移后得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 2．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数，则（   ） A．将的图象向右平移个单位可得到图象 B．函数的最小正周期为 C．函数在上的零点个数有6个 D．动直线与函数和的图象分别交于M，N两点，则的最大值为1 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 4．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市唐县)已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象． 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 7．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知函数的部分图象，如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 地 城 考点03 三角函数的性质 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上是增函数 D．存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点 二、多选题 3．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 4．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设函数，，已知图象过点，且在区间上单调递减，则下面结论正确的是（   ） A． B．最大值为2 C． D．在内有两个零点 三、非选择题 7．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数 . （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 9．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数在区间上的最大值为4. (1)求常数的值； (2)当时，写出图象的对称中心及满足时，的取值集合. 10．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若，求的值域. 地 城 考点03 三角函数与其他知识的交汇 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数，若对任意的，函数恰有3个零点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．若函数在上的两个零点为，，则 D．若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 3．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上有1个零点 D．对于任意的，关于的方程总有奇数个根 二、非选择题 4．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    5．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”.例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为.下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④.使得. 其中所有正确结论的编号是 . 6．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)已知． (1)求的最小正周期； (2)若，试求函数的单调递减区间； (3)若恒成立，试求实数m的取值范围． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 9．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为. (1)若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离. (2)已知，若. ①求； ②若动点满足，求围成封闭图形的面积. 10．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)设函数. (1)若， （i）求的值；（ii）若，求的值. (2)已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式及的最大值. 11．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，求： (1)的最小正周期及单调递增区间； (2)时，恒成立，求实数的范围． 12．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角恒等变换及三角函数的图象及性质 4大高频考点概览 考点01 和（差）角公式及三角恒等变换 考点02 三角函数的图象 考点03 三角函数的性质 考点04 三角函数与其他知识的交汇问题 地 城 考点01 和（差）角公式及三角恒等变换 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用两角和余弦公式化简计算即可. 【详解】.故选：C 2．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数值确定角的范围，再根据同角三角函数关系式和差角公式计算即可. 【详解】因为，所以．因为，所以． 因为，所以．所以，所以，则．故选：A. 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二倍角公式与弦化切即可求得结果. （2）由，利用正弦的差角公式即可求得结果. 【详解】（1） ．同理． （2） ． 4．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)已知锐角的终边与单位圆相交于点. (1)求实数及的值； (2)求的值； (3)若，且，求的值. 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解； （2）由锐角的终边上点的坐标求得，结合余弦两角和公式和倍角公式即可计算得解； （3）由和角的范围，求得，再巧妙地把所求转化为，然后借助正弦两角差公式即可计算得解. 【详解】（1）由于点在单位圆上，且是锐角，可得，，则，； （2）因为锐角的终边与单位圆相交于点，所以，， 可得，， 所以. （3）因为为锐角，所以，又，所以， 因为，所以， 所以. 地 城 考点02 三角函数的图象 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)如图，函数（，，）的部分图象，则（   ） A．的最小正周期为 B．将图象向右平移后得到函数的图象 C．在区间上单调递增 D．直线是图象的一条对称轴 【答案】ACD 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析判断. 【详解】观察函数图象知，，函数的最小正周期，解得，由，得，而，则，，对于A，的最小正周期为，A正确；对于B，，B错误； 对于C，当时，，而正弦函数在上单调递增， 因此在区间上单调递增，C正确；对于D，，直线是图象的一条对称轴，D正确.故选：ACD 2．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数，则（   ） A．将的图象向右平移个单位可得到图象 B．函数的最小正周期为 C．函数在上的零点个数有6个 D．动直线与函数和的图象分别交于M，N两点，则的最大值为1 【答案】ACD 【分析】对于A，由平移变换求出 解析式即可判断；对于B，化简的解析式即可由周期公式得解；对于C，求出并化简结合函数在上的零点个数即可判断；对于D，由选项C及题意，即可判断. 【详解】对于A，将的图象向右平移个单位可得到，故A正确； 对于B，，故函数最小正周期为，故B错误； 对于C，， 时，，因为函数在上的零点个数有6个依次为，所以函数在上的零点个数有6个，故C正确； 对于D，由选项C及题意可得，所以动直线与函数和的图象分别交于M，N两点，则的最大值为1，故D正确.故选：ACD. 二、非选择题 3．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数在上有最大值，无最小值，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，求出的范围，结合正弦函数的图象，依题意得到不等式组,解之即得. 【详解】因，设，当时，，作出在上的图象如图. 要使区间上有最大值，无最小值，需使,解得，，即的取值范围为. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市唐县)已知函数（，）的图象向右平移个单位长度后，所得函数在上至少存在两个最值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得图象平移后的函数解析式，根据所得函数在区间上最值点的情况以及对进行分类讨论来求得的取值范围. 【详解】将的图象向右平移个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为，则当，即时，在上至少存在两个最值点，满足题意；当时，，所以（），解得（）．当时，解集为，不符合题意；当时，解得；当时，解得． 综上，实数的取值范围是． 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数． (1)求的单调递减区间； (2)用“五点法”画出在一个周期内的图象． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用整体法，结合正弦函数的单调性即可求解，（2）根据五点法作图即可求解. 【详解】（1）令，解得， 则的单调递减区间是． （2） 0 0 4 0 0    6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设，函数的最小正周期为，且. (1)求和的值； (2)在给定坐标系中作出函数在上的图象； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1)， (2)图象见解析 (3) 【分析】（1）利用最小正周期可求再利用求解即可； （2）先列表，再描点，最后连线画出图象即可； （3）由（1）得，原不等式化为，再由余弦函数的图象和性质解不等式即可. 【详解】（1）∵函数的最小正周期，∴． ∵， 则，因为，∴． （2）由（1）知，列表如下： 0 0 2 0 －2 0 在上的图象如图所示： （3）∵，即， ∴， 则，即． ∴的取值范围是。 7．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知函数的部分图象，如图所示． (1)求函数的解析式； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦型函数的图像求三角函数的解析式，根据最大值求出A，由最小正周期求出，并确定． （2）根据平移后得到新的正弦型函数解析式，由函数解析式求出函数值域． 【详解】（1）由图象可知函数的最大值为，最小正周期， 可得，，所以．将代入， 可得，由，则，解得，所以． （2）将函数的图象向右平移个单位后， 可得的图象， 再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到函数的图象．由，可得， 又函数在上单调递增，在单调递减， ，， 函数在的值域． 地 城 考点03 三角函数的性质 一、单选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数，的最小正周期，若函数在上单调，且关于直线对称，则符合要求的的所有值的和是（ ） A． B．2 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据最小正周期求法及得，结合函数的区间单调性及对称轴有值为和和，再验证是否符合题设，即可得答案. 【详解】函数的最小正周期且，得，由于在上单调，该区间长度小于等于半个周期，即，得，综上，，又关于直线对称，所以，解得，，在的范围内，满足条件的值为和和，验证可知，这两个值均满足函数在上单调，因此，符合要求的所有值的和为选：D 2．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)设函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，则下列结论中正确的是（　　） A． B．点是函数的一个对称中心 C．在上是增函数 D．存在直线经过点且与函数的图象有无数多个交点 【答案】D 【分析】根据f（x）≥f（）对一切x∈R恒成立，那么x=取得最小值．结合周期判断各选项即可． 【详解】函数f（x）=asinx+bcosx= 周期T=2π． 由题意x=取得最小值，a，b∈R，ab≠0，∴f（）=0不正确；x=取得最小值，那么+=就是相邻的对称中心，∴点（,0）不是函数f（x）的一个对称中心；因为x=取得最小值，根据正弦函数的性质可知，f（x）在是减函数． 故选D． 二、多选题 3．(24-25学年·高一上期末·邢台市四县联考)已知函数，则（    ） A．的最大值为2 B．函数的图象关于点对称 C．直线是函数图象的一条对称轴 D．函数在区间上单调递增 【答案】AB 【分析】先用辅助角公式将函数变形为，结合正弦型函数的性质逐项判断正确与否即可. 【详解】函数， 对于选项A，，A正确；对于选项B和C，将代入函数的解析式，得，函数的图象关于点对称，B正确，C错误；对于选项D，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，D不正确；故选：AB. 4．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数，则关于的说法正确的有（    ） A．最小正周期为 B．图象关于直线对称 C．图象关于点对称 D．向左平移个单位长度得到的图象 【答案】AC 【分析】由的性质及图形变换判断即可. 【详解】由可知周期为，故A正确；函数的对称轴：由，可得，故B错误；函数的对称中心：由，得， 当时，，故对称中心为，故C正确；函数向左平移个单位长度得，故D错误，故选：AC 5．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（   ） A． B． C．的图象关于直线对称 D．的图象关于直线对称 【答案】BD 【分析】根据函数图象左右平移的规律可得A错误，B正确；根据可得选项C错误；根据可得选项D正确. 【详解】由题意可得，则A错误，B正确． 由得选项C错误.由得选项D正确.故选：BD. 6．(24-25学年·高一上期末·河北省定州市二中)设函数，，已知图象过点，且在区间上单调递减，则下面结论正确的是（   ） A． B．最大值为2 C． D．在内有两个零点 【答案】ABC 【分析】根据函数所过的点可得，再由函数区间的单调性有，进而可得，最后结合正弦型函数性质判断最值、零点个数，即可判断各项正误. 【详解】由题设，又，则，A对，所以，若，则，所以在上单调递减，则，所以且，则有，C对；当，此时函数最大值为2，B对；若，则，而，所以在内可能一个或两个零点，D错.故选：ABC 三、非选择题 7．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 8．(24-25学年·高一上期末·河北省邯郸市)已知函数 . （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1）；单调递增区间为：；（2）最大值；最小值. 【分析】（1）先将函数化简整理，得到，由得到最小正周期；根据正弦函数的对称轴，即可列式，求出对称轴； （2）先由，得到，根据正弦函数的性质，即可得出结果. 【详解】（1）因为 ，所以最小正周期为：； 由得， 即单调递增区间是：； （2）因为，所以，因此， 当即时，取最小值； 当即时，取最大值； 9．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)已知函数在区间上的最大值为4. (1)求常数的值； (2)当时，写出图象的对称中心及满足时，的取值集合. 【答案】(1). (2)对称中心为，或 【分析】（1）利用辅助角公式和二倍角余弦公式化简函数，再根据正弦函数性质求得最值，列式求解即可. （2）代入正弦函数对称中心结论求解对称中心，将方程化为，根据正弦函数性质解方程即可. 【详解】（1）. 当时，，的最大值为.即. （2）由（1）得， 令，则，即对称中心为 令.即， 可得或，即或， 所以的取值集合为或. 10．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若，求的值域. 【答案】(1)，. (2). 【分析】（1）化简，结合复合函数单调性求解即可. （2）由题知，由整体思想进而可得的值域. 【详解】（1）， 令，，解得，. 所以的单调递减区间为，. （2）因为，所以， 当时，即时，取得最大值，最大值为； 当时，即时，取得最小值，最小值为. 所以的值域为. 地 城 考点03 三角函数与其他知识的交汇 一、多选题 1．(24-25学年·高一上期末·河北省沧州市)已知函数，若对任意的，函数恰有3个零点，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】需要分析函数的性质，再结合的取值范围来确定的取值范围. 【详解】由，得，由，得，则，解得．故选：AB. 2．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)亚马逊大潮是世界潮涌之最，当潮涌出现时，其景、其情、其声，真是“壮观天下无”，在客观现实世界中，潮汐的周期性变化现象，我们通常需要借助于三角函数这一重要数学模型来研究．已知函数的图象关于直线对称，则下列选项正确的是（    ） A． B．函数的一个对称中心为 C．若函数在上的两个零点为，，则 D．若将函数图象上的所有点向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则m的最小值为 【答案】ABD 【分析】利用整体法结合正弦函数的性质可判断ABC的正误，求出平移后图象对应的解析式后根据图象的对称性可求参数的值，故可判断D的正误. 【详解】图象关于直线对称，故，，故，而，故，故A正确；所以，，函数的一个对称中心为，故B正确； 令，故，故，令，故，故， 故两个零点分别为，，故，故C错误；由题可知平移后函数为，则的最小值为，故D正确．故选：ABD． 3．(24-25学年·高一上期末·河北省保定市)函数，，已知为函数的一个对称中心，为的一条对称轴，且函数在上单调递减，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线为函数图象的一条对称轴 C．函数在区间上有1个零点 D．对于任意的，关于的方程总有奇数个根 【答案】BCD 【分析】利用对称中心和对称轴求解满足的关系式，再利用周期性确定的范围，最后通过讨论可确定的取值，再利用正弦型函数的性质即可判断其它选项. 【详解】由为函数的一个对称中心，所以有，，由为的一条对称轴，所以有，，上两式相减得：， 设函数的周期为，因为函数在上单调递减，，所以， 又因为，所以有，则有，即或，此时或， 当时，由为的一条对称轴，且函数在上单调递减， 所以，则，所以有，，由于，此时无解；当时，由，则，所以有，，由于，此时；所以满足题意，故A错误；此时有，由，故B正确；当时，，此时由，得，故C正确；由，可知函数关于点对称，所以过这个对称中心的直线与函数的图象至少有一个交点点，再根据函数是关于这个点的中心对称图象，所以除这个对称中心之外的交点是成对出现的，即肯定是有奇数个交点，故D正确； 故选：BCD. 二、非选择题 4．(24-25学年高一上期末·河北省承德市)如图，已知是半径为的扇形，，是弧上的动点，过点作，垂足为，某地区欲建一个风景区，该风景区由和矩形组成，且，则该风景区面积的最大值为 .    【答案】/ 【分析】设线段长，写出矩形的面积，由三角函数得到，然后写出的面积，从而表示出该风景区面积的表达式，由换元法将表达式化简为二次函数，由二次函数的对称轴求出最大值. 【详解】设，则，， 则，则，设该风景区面积为，则，令，则，即 函数对称轴，即当时，面积取最大值，此时. 5．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)科技的发展改变了世界，造福了人类，我们生活中处处享受着科技带来的“红利”.例如主动降噪耳机让我们在嘈杂的环境中享受一丝宁静，它的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的声波来抵消噪声（如图所示）.已知某噪声声波曲线为，且经过点，降噪芯片生成的降噪反向声波曲线为.下述四个结论： ①函数是奇函数； ②函数在区间上单调递减； ③对于，都有； ④.使得. 其中所有正确结论的编号是 . 【答案】①③ 【分析】由经过可求出的解析式，利用图象平移得到解析式，进而可以得到的解析式，就可判断①；求出相位的取值范围，再结合正弦曲线即可判断②；求的值，可判断③，利用，分、、三种情况求的化简式可判断④. 【详解】因为经过，所以， 即，解得， 又，所以，则. 对于①，令函数的周期为T，则 由图可知，将噪声声波曲线向左平移，即可得到降噪反向声波曲线， 所以; 所以， 所以函数是奇函数，故①对； 对于②，因为，当时，， 所以在时单调递增，故②错； 对于③， ，所以恒为0，故③对； 对于④，当时，， 当时，， 当时， ，故④错误； 故答案为：①③ 6．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)函数的值域为. (1)求； (2)若关于的不等式的解集为，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，利用正弦函数的性质求解； （2）不等式可化为，根据得到，再由求解. 【详解】（1）解：， ，，故 （2）不等式可化为 ，方程两根为，且不等式解集， ，即，则有. 7．(24-25学年·高一上期末·河北省廊坊市)已知． (1)求的最小正周期； (2)若，试求函数的单调递减区间； (3)若恒成立，试求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）将函数转化为，利用周期公式求解； （2）由（1）得到，再利用正弦函数的性质求解； （3）将恒成立，转化为求解. 【详解】（1）∵， ∴的周期． （2）由（1），知，， 由，，解得，， ∴函数的单调递减区间，． （3）∵， ∴当时，， ∵恒成立，等价于， ∴，即，解得， ∴实数的取值范围为． 8．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄市)近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划在如图所示的扇形区域OMN内修建矩形水池ABCD，矩形一边AB在OM上，点在圆弧MN上，点在边ON上，且，米，设. (1)求扇形OMN的面积； (2)若，求矩形ABCD的面积； (3)若矩形ABCD的面积为，当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值. 【答案】(1)平方米. (2)平方米. (3)，最大值为. 【分析】（1）由扇形面积公式可得； （2）根据，求得和的长度，即可求得矩形的面积； （3）利用直角三角形利用半径与分别表示出，进而可得矩形面积表达式，利用辅助角公式将化简变形，结合角的范围求最大值可得. 【详解】（1）由题意，，扇形半径即米， 则扇形OMN的面积为平方米. （2）因为，在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积. 所以当时，矩形ABCD的面积平方米. （3）在中，，， 在中，，则， 所以. 则矩形ABCD的面积 ， 所以，其中.由于， 则当时，即时，. 所以当时，取得最大值，最大值为. 9．(24-25学年·高一上期末·河北省石家庄二中)人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，人脸识别中检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二维空间有两个点，则曼哈顿距离为，余弦相似度为，余弦距离为. (1)若，求AB之间的曼哈顿距离和余弦距离. (2)已知，若. ①求； ②若动点满足，求围成封闭图形的面积. 【答案】(1)，余弦距离为. (2)①；②200 【分析】（1）利用曼哈顿距离和余弦距离的公式求解； （2）①先利用余弦相似度求得，，再利用曼哈顿距离求解；②由求得动点围成的封闭图形是正方形求解. 【详解】（1）； 故余弦距离为. （2）①因为； 所以； 因为，所以； ； 因为，则，；         ； ，即； ②，则，所以动点围成的封闭图形是正方形，如图所示： 其边长为，故围成的面积为200. 10．(24-25学年·高一上期末·河北省张家口市)设函数. (1)若， （i）求的值；（ii）若，求的值. (2)已知当时，.设函数的最小值为，求的表达式及的最大值. 【答案】(1)（i）；（ii） (2)，的最大值为 【分析】（1）（i）令，即可得到，从而求出的值，再根据平方关系计算可得；（ii）由（i）知，即可求出、，从而得解； （2）令，，分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解. 【详解】（1）（i）令，则， 因为，所以，解得，所以； （ii）由（i）知，所以或， 又，所以，则，所以； （2）令，则， 所以， 令，， 当，即当时，函数在上单调递增， 所以，由，则，所以； 当，即当时，， 因为，所以； 当，即当时，函数在上单调递减， 所以，因为，所以，所以； 综上可得，且的最大值为. 11．(24-25学年·高一上期末·河北省辛集市)已知，求： (1)的最小正周期及单调递增区间； (2)时，恒成立，求实数的范围． 【答案】(1)最小正周期，单调递增区间为，；(2) 【分析】（1）先根据二倍角公式以及辅助角公式化简的解析式，再根据最小正周期及单调递增区间的公式求解出结果； （2）先求出在上的最小值，从而可知的最小值，再将问题转化为“”，由此求解出的取值范围. 【详解】（1）， 的最小正周期，由，， 可得，，函数的单调递增区间为，． （2），， 在上单调递增，在上单调递减，且， ，，当即，，要使恒成立，则，即，可得，故实数的范围是． 12．(24-25学年·高一上期末·河北省唐山市)某公园计划在一个扇形草坪内建设矩形花园，为了充分利用这块草坪，要求该矩形的四个顶点都落在边界上.经过测量，在扇形中，，，记，共设计了两个方案： 方案一:如图1，点在半径上，点在半径上，是扇形弧上的动点，此时矩形的面积记为； 方案二:如图2，点分别在半径和上，点，在扇形弧上，，记此时矩形的面积为. (1)分别用表示两个方案中矩形的面积,； (2)分别求出,的最大值，并比较二者最大值的大小. 【答案】(1)，，，. (2)，，. 【分析】（1）结合图形，按照方案一和二，分别将用的三角函数表示，即得和的表达式； （2）利用三角恒等变换公式和方法将分别化成正弦型函数，利用正弦函数的性质求其最大值，通过作差法比较大小即得. 【详解】（1）如图1，在中，，，    所以，. 在中，，. 则，. 如图2，过点作于点，过点作的垂线，交弧于点，    在中，，，所以，. 由扇形和矩形的对称性可得，， 则在中， ，则， ，. 则，. （2）由，得，. 方案一： 当时，即时，取最大值，最大值为. 方案二： 所以当时，即时，取最大值，最大值为. 因为，所以. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $