专题05 等差（比）数列的性质及数列的前n项和（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题05 等差（比）数列的性质及数列的前n项和 4大高频考点概览 考点01 数列的递推公式及通项公式 考点02 等（比）差数列证明及单调性的判断 考点03 等（比）差数列的基本运算 考点04 数列的前n项和问题 地 城 考点01 数列的递推公式及通项公式 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)在数列中，若，，则（   ） A． B．1 C．4 D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（   ） A．45 B． C．55 D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．5 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列满足.若，则（    ） A．3 B． C． D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列满足，．若，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知数列满足，则数列的通项公式 ，的通项公式 ． 地 城 考点02 等（比）差数列类型及单调性的判断 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是公差为1的等差数列 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)数列的前n项和为，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等差数列 C． D．是递增数列 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列的公比为2 B．数列为等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)下列数列中，一定是单调递增数列的是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ） A．数列为等比数列 B．数列为常数列 C． D． 三、非选择题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 地 城 考点03 等（差）比数列的基本运算 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知数列，则该数列的第211项为（    ） A． B．421 C． D．423 2．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 5．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)等比数列的前项和为，，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知的三个内角A，B，C成等差数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．49 C． D．43 10．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)若等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 11．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)在等比数列中，，则的公比为（    ） A．4 B．2 C． D． 二、多选题 13．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)记等差数列的前项和为，公差为，若且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 三、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是 . 15．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在等差数列中，若，则 ． 16．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 17．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 18．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)等比数列的各项为正数，若，则 . 地 城 考点04 数列的前n项和问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（   ） A． B． C．3 D．8 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知正项等差数列满足，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知均为递增等比数列，且.设分别为数列的前项积，若，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和小于 4．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且互不相等，则 C．若，则 D．若，则 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知数列满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 三、非选择题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)设是数列的前项和，且，则 . 8．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为 . 9．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5= ． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)设是数列的前项和，且，则 . 11．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列的前n项和满足，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 13．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知等差数列的公差为整数，其前n项和为，若，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 14．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 15．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求的通项公式; (2)若，且的前n项和为，求 17．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 18．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 19．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)数列的前n项和为，,数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 等差（比）数列的性质及数列的前n项和 4大高频考点概览 考点01 数列的递推公式及通项公式 考点02 等（比）差数列证明及单调性的判断 考点03 等（比）差数列的基本运算 考点04 数列的前n项和问题 地 城 考点01 数列的递推公式及通项公式 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)在数列中，若，，则（   ） A． B．1 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据递推公式赋值可知是以3为周期的周期数列，结合周期性分析求解即可. 【详解】因为，，令，可得；令，可得； 令，可得，可知是以3为周期的周期数列，所以． 故选：C. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（   ） A．45 B． C．55 D． 【答案】B 【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项. 【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根，因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为.故选：B 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由递推数列的性质，代值求解即可. 【详解】.故选：B. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)在数列中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由列举得到是以4为周期的周期数列求解. 【详解】解：由题意得，故是以4为周期的周期数列， 所以.故选：D. 5．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列满足.若，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用和数列递推公式，依次求出数列的项，得出其周期，利用周期性即可求得. 【详解】因，由依次对赋值，可得，， ，，，可见数列的最小正周期为4，故.故选：B. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则，这与矛盾，所以， 对同时除以，所以，则，，……，，上面的式子相加可得：， 所以，所以，故选：D. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知数列满足，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：变形得到，是以6为首项，9为公比的等比数列，分组求和,结合等比数列求和公式求出答案； 方法二：推出是首项为2，公比为3的等比数列，故，分为奇数和偶数两种情况，利用累加法得到数列的通项公式，利用等比数列求和公式求出答案. 【详解】方法一：因为，所以． 因为，所以，所以． 因为，所以是以6为首项，9为公比的等比数列． 所以 ； 方法二：因为当时，，即， 又，所以是首项为2，公比为3的等比数列，故． 由，得，两式相减得． 当为偶数且时，， 以上式子相加得，又，所以． 又满足上式，所以．当为奇数且时，， 以上式子相加得，又，所以， 又满足上式，所以．综上，， 所以．故选：D 二、多选题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列满足，．若，记数列的前n项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】AB选项，为等差数列，且公差为2，从而得到，进而得到；CD选项，裂项相消法求和得到，根据数列的单调性得到. 【详解】AB选项，因为，所以为等差数列，且公差为2，又，故首项为， 所以，即，A正确，B不正确； CD选项，因为， 所以，，且关于单调递增，且，所以，C，D都正确.故选：ACD． 二、非选择题 9．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列满足，当时，，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】由数列的递推关系得是等差数列，再结合等差数列的通项公式求解可得答案. 【详解】因为当时，，两边同时除以得， 则数列是首项为，公差为1的等差数列，所以，即．故答案为：. 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知数列满足，则数列的通项公式 ，的通项公式 ． 【答案】 【分析】由条件可得，，结合等比数列定义及通项公式求，与联立求结论. 【详解】①，②，①＋②得，又，所以． ①－②得，又，所以数列为首项为，公比为的等比数列，所以，即． 地 城 考点02 等（比）差数列类型及单调性的判断 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知正项数列满足，且，则（    ） A．为等差数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】A 【分析】由条件可得，，结合关系可得，可得，由此判断AC，举反例判断BD. 【详解】因为，数列为正项数列，所以，，又， 所以，所以，所以为等差数列，A正确，C错误； 设，则，，，满足条件，，因为，，所以不是等比数列，不是等差数列，B错误，D错误. 故选：A. 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知等差数列的公差，等比数列的公比，则下列选项正确的是（    ） A．若，则单调递增 B．若，则单调递增 C．可能为等差数列 D．可能为等比数列 【答案】AD 【分析】根据等差等比数列的性质分析单调性判断A、B；由等差、等比数列的定义及通项公式分析判断C、D. 【详解】等差数列的单调性只与公差有关，与首项无关，若，则单调递减，若，则单调递增，故A正确.在等比数列中，若时单调递减，故B不正确.设，则，所以，因为，所以不为常数，故C不正确.若，则仍为等比数列，所以D正确.故选：AD 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．数列是等比数列 D．数列是公差为1的等差数列 【答案】BD 【分析】根据等比数列的性质可得，即可求解公比判断A，根据求和即可求解B，根据即可求解C，根据对数的运算性质，结合等差数列的特征即可求解D. 【详解】由可得，结合，故是的两个实数根， 由于单调递增，故，因此，故，A错误； ，故B正确； 对于C，，故，因此不是等比数列，C错误； 对于D，，故是公差为1的等差数列，D正确.故选：BD 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)数列的前n项和为，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为等差数列 C． D．是递增数列 【答案】BD 【分析】根据通项与前项和的关系可判断A的正误，求出通项后可判断BC的正误，根据可判断D的正误. 【详解】A，数列的前n项和为，可得； 时，，上式对也成立，可得，故A错误； B，由，可得为首项为1，公差为6的等差数列，故B正确；C，，，，故C错误；D，因为，所以是递增数列，故D正确.故选：BD 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知等比数列的公比不为1，设的前项和为，若，且，，成等差数列，则下列说法正确的是（   ） A．数列的公比为2 B．数列为等比数列 C．数列是公差为1的等差数列 D． 【答案】BC 【分析】A选项，根据等差中项的性质得到，然后根据等比数列的通项公式列方程，解方程得到公比；B选项，根据等比数列的前项和公式得到，然后利用等比数列的定义判断；C选项，根据等差数列公差的定义计算；D选项，根据等差数列求和公式计算. 【详解】设数列的公比为，由，，成等差数列，得， 整理得，则，故A错；，，所以是等比数列，故B正确；，，所以数列是公差为1的等差数列，故C正确；，故D错. 故选：BC． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)下列数列中，一定是单调递增数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】举反例判断AD，利用与0的关系验证BC. 【详解】因为对于A：，则数列一定不单调递增，不合题意；对于B：，所以数列为单调递增数列；选项C：，所以数列是单调递增数列；选项D：当时，，此时数列不是单调递增数列，不合题意.故选：BC 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知是数列的前项和，且，（），则下列结论正确的是（ ） A．数列为等比数列 B．数列为常数列 C． D． 【答案】AD 【分析】A.由时，，得到判断；B.由时，，得到判断；C.由为等比数列求解判断；D.由，得到，两式相减得到，分奇数项和偶数项求解判断. 【详解】当时，，即，又，故为等比数列，A正确；时，，即，故不为常数列，B错误； 由上知为等比数列，首项为2，公比为3，故，故，，……，，以上20个式子相加得：，C错误； 因为，所以，两式相减得：， 当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符和该式，故，令得：，当时，，，……，，以上式子相加得：，故，而也符号该式，故，令得：，综上：，D正确.故选：AD 三、非选择题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知数列满足，且.数列的前和为，. (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析，；(2) 【分析】（1）由等比数列定义可证明为等比数列，由等比数列通项公式计算可得；（2）根据表达式利用裂项相消求和可得. 【详解】（1）由已知得， 因此为常数，可得数列为等比数列. 即数列为首项为2，公比为2的等比数列；可得，即 （2）由（1）可得，∴的前和为 ； 所以. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知正项数列的前项和为，且满足，． (1)证明数列为等差数列，并求出它的通项公式； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）利用可得，然后整理得，即可证明数列为等差数列，然后求通项即可； （2）利用裂项相消求和即可. 【详解】（1）由可得， 相减可得，所以， 可得，因为为正项数列，所以，， 则，数列为等差数列，且公差为2，故． （2）因为， 所以． 地 城 考点03 等（差）比数列的基本运算 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知数列，则该数列的第211项为（    ） A． B．421 C． D．423 【答案】B 【分析】根据已知数列写出一个通项公式，再求出第211项. 【详解】该数列的通项公式为，所以.故选：B 2．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知，，若为a，c的等差中项，d为a，c的等比中项，则的值为（    ） A．3 B．4 C．2或 D．2或4 【答案】D 【分析】由等差中项和等比中项的性质计算即可； 【详解】由题意可得，，所以的值为2或4. 故选：D. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知数列满足，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期性确定数列的周期，进而可得，利用周期性求. 【详解】因为是周期为4的周期数列，且，所以，则.故选：C 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)若是2和8的等比中项，则实数的值是（   ） A．5 B．或5 C．4 D．或4 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用等比中项的意义求得结果. 【详解】依题意，，所以.故选：D 5．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)记为等比数列的前项和，若，，则（    ） A． B．81 C．50 D．61 【答案】D 【分析】根据等比数列前项和性质，即可求解. 【详解】由题可知，，成等比数列，所以， 即，得，则此等比数列的首项是1，公比是，那么， ，所以.故选：D 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】根据等差数列的基本量的运算求解即可. 【详解】设此等差数列为，公差为，则，故， 所以，故选：C 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)等比数列的前项和为，，则数列的公比（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据等比数列前项和公式计算解方程可得其公比. 【详解】依题意可知公比，所以，解得.故选：C 8．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知的三个内角A，B，C成等差数列，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由A，B，C成等差数列得到，再利用求解； 【详解】解：因为A，B，C成等差数列， 所以．又，解得，所以，故选：C． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)记等比数列的前项和为，若，则（    ） A．7 B．49 C． D．43 【答案】C 【分析】由等比数列的片段和性质有，并设，结合已知求、，即可求值. 【详解】设，则，因为，所以，解得，所以.故选：C 10．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)若等比数列满足，，则公比（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用题中条件列方程计算公比即可. 【详解】因为等比数列满足，，两式相减，得， 又所以.故选：B. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式及前项和公式利用条件，列出关于与的方程组，通过解方程组求数列的公差. 【详解】设等差数列的公差为，则，，联立，解得.故选：C. 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)在等比数列中，，则的公比为（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质，求出即可求解. 【详解】因为数列为等比数列，所以，因为，所以， 因为，所以，即，所以的公比为.故选：B 二、多选题 13．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)记等差数列的前项和为，公差为，若且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由条件结合等差数列通项公式可得，由此可得判断A，结合等差数列求和公式判断B，根据等差数列通项公式判断C，根据求和公式及通项公式判断的符合，判断D. 【详解】对于A，由题意得，由可得， 由，即，可知，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，等价于，又，故C正确； 对于D，，且， 故，故D错误.故选：BC. 三、非选择题 14．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)在2与18中间插入7个数使这9个数成等差数列，则该数列的第5项是 . 【答案】10 【分析】利用等差数列定义及其通项公式计算可得结果. 【详解】设这9个数构成的等差数列为，公差为；则，因此， 解得；所以该数列的第5项是.故答案为：10 15．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)在等差数列中，若，则 ． 【答案】12 【分析】由等差数列的等差中项求出，再利用等差中项即可得到答案. 【详解】由等差中项可知，∴，∴，则， 故答案为：12. 16．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知等比数列的各项均为正数，且，则 . 【答案】10 【分析】利用等比数列的性质以及对数运算求解即可. 【详解】因为数列为正项等比数列，则，即， 所以.故答案为：10. 17．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)若两个等差数列的前项和分别为，满足，则 . 【答案】 【分析】由等差数列的前项和公式结合等差数列的性质求解. 【详解】因为数列均为等差数列，所以.故答案为： 18．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)等比数列的各项为正数，若，则 . 【答案】 【分析】根据对数的运算性质及下标和性质计算可得. 【详解】因为，所以，又， 所以，则，所以.故答案为： 地 城 考点04 数列的前n项和问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（   ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【分析】根据，，成等比数列，列方程可求出公差，再根据等差数列的求和公式可求出结果. 【详解】设等差数列的公差为，因为，，成等比数列，所以，所以，又，所以，整理得，因为，所以，所以数列前6项的和为.故选：A 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、两点间的距离公式，属于基础题. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知正项等差数列满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列求和公式进行化简，可得，进而得解. 【详解】因为为等差数列，所以，， 则，所以，从而，故，故选：C. 二、多选题 3．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知均为递增等比数列，且.设分别为数列的前项积，若，则（    ） A． B． C． D．数列的前项和小于 【答案】BCD 【分析】先构造，前项和为，，前项和为，根据两边取对数构造数列，设首项为，再根据等差数列的性质可得，，，.对A，两边取对数后根据，判断即可；对B，两边取对数后根据通项公式判断即可；对C，根据，判断即可；对D，代入通项公式根据裂项相消求和判断即可. 【详解】因为均为递增等比数列，且，设公比分别为，则. 则当时，为定值，且，， 设，则是首项为，公差为的等差数列，设其前项和为， 同理设，则是首项为，公差为的等差数列，设其前项和为， 则，同理， 由可得，即. 当时，则设首项为，公差为，则首项为，公差为， 又，则， 即，化简得， 故，，则，.故，. ，. 综上有，，，. 对A，若则，即，但，，即，故A错误； 对B，若，则，即，又，，故B正确；对C，，故C正确； 对D， ，故其前项和，故D正确.故选：BCD 4．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)记等差数列和等比数列的前项和分别是和，已知，，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用数列的通项公式与前n项和公式，得到首项和公比、公差的方程，求出数列的首项公比和公差，得到数列的通项公式和前n项和公式，逐项判断即可. 【详解】设等差数列的公差为d，等比数列的首项为q，由，得，，， 由，得方程组，解得， 所以，，所以，故A错误；B正确； ，故C正确；由得或，当时，； 当时，；故D错误.故选：BC 5．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列为无穷等差数列，公差为d，前n项和为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若且互不相等，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】分别利用等差数列的基本公式以及性质计算每一个选项即可； 【详解】选项A,若，得，所以，故选项A正确；选项B，若且互不相等，易知，故选项B正确； 选项C，若，则，此时，故选项C错误；选项D，若，易知，所以 所以，故选项D正确.故选：ABD 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知数列满足，，则下列结论中正确的是（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【分析】利用递推式可求得 的值，可判断A,B;将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断C; 将变为，利用等比数列的求和公式，求得结果，判断D; 【详解】，则 ，又 ，同理 ，故A正确；而 ，故不是等比数列，B错误； ，故C错误； ，故D正确，故选：AD 三、非选择题 7．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)设是数列的前项和，且，则 . 【答案】/ 【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值. 【详解】因为，左右同时乘以，则，又因为，所以是以1为首项以1为公差的等差数列，所以，所以，所以. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)若等比数列的前2项和为96，前4项和为120，则其前6项和为 . 【答案】 【分析】利用等比数列前项和的性质以及等比数列的定义即可求解. 【详解】由于，故. 从而，即，故. 所以.故答案为：. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5= ． 【答案】. 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)设是数列的前项和，且，则 . 【答案】/ 【分析】先根据再化简得出，即可求出通项公式再计算即可求值. 【详解】因为，左右同时乘以，则，又因为， 所以是以1为首项以1为公差的等差数列，所以，所以，所以. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知数列的前n项和满足，数列满足． (1)求数列和的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）与由Sn与an的关系结合对数运算即可得答案； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）当时，．当时，，显然也满足， 所以数列的通项公式为，所以，故数列的通项公式为． 由（1）得，则， 所以，两式相减可得， 所以，故数列的前n项和． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)设数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据已知有，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）由（1）得的通项公式，应用裂项相消法求. 【详解】（1）因为，所以，又， 所以是首项为2，公比为4的等比数列，. （2）因为，所以， 所以. 13．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知等差数列的公差为整数，其前n项和为，若，，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前n项和公式列出不等式组求出公差，进而求出通项公式. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得， 又，则，解得，而， 所以，数列的通项公式为. （2）由（1）知，，， 所以. 14．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据累加法求解即可； （2）根据通项公式，结合等差数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）由，则，，…，又， 累加可得. （2）由（1），则，故 15．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知等差数列的前项和为，，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用等差数列性质公式计算即可. （2）运用分组求和，结合等差等比数列求和公式计算即可. 【详解】（1）设的公差为d，因为，所以， 又，则，故，所以. （2）由（1）可得： 16．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知等差数列的前n项和为，且，， (1)求的通项公式; (2)若，且的前n项和为，求 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）利用等差数列求和公式得到，从而得到通项公式. （2）利用带入，得，进行计算. 【详解】（1）由等差数列求和公式得， ，，； （2）由（1）知：，则， 则 17．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据的关系即可作差求解， （2）利用裂项相消法求和即可得解. 【详解】（1）当时，，当时，， 当时，也符合，所以. （2）由（1）可得， 。 18．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列的通项公式； （2）求得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，可得， 可得①，由可得，整理可得②， 联立①②可得，，所以，. （2）因为，则，所以，， ， 上式下式得， 因此，. 19．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)数列的前n项和为，,数列满足，. （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和Tn. 【答案】（1），  （2） 【详解】（1）由，可得 当时，， 当时，符合上式，所以； 由可得，解得． （2），∴ ① ② ①-②可得 ，∴． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $