专题04 直线与圆锥曲线的位置关系（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题04 直线与圆锥曲线的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆锥曲线相交的弦长及双斜率问题 考点02 圆锥曲线的中点弦问题 考点03 圆锥曲线的焦点弦问题 考点04 圆锥曲线的定值定点问题 地 城 考点01 直线与圆锥曲线相交的弦长及双斜率问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【答案】D 【分析】根据题意得到，求得点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，根据圆内切于椭圆，得到点是椭圆内的点，即可求解. 【详解】因为直线和圆没有交点，可得，即，所以点是以原点为圆心，为半径的圆及其内部的点，又因为椭圆，可得，所以圆内切于椭圆，即点是椭圆内的点，所以点的一条直线与椭圆的公共点的个数为.故选：D. 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 【答案】ABC 【分析】根据焦点坐标求出判断A，根据抛物线定义判断B，C，应用已知联立方程求出点的坐标计算判断三角形的面积判断D. 【详解】因为是抛物线的焦点，所以，即得，A选项正确； 设在上，所以，所以，B选项正确； 因为以M为圆心且过F的圆半径为等于M与C的准线的距离，所以以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C选项正确；当时,，且，， 所以,或舍 所以的面积为，D选项错误.故选：ABC. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线是的一条渐近线 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 【答案】ACD 【分析】根据给定条件求直线的斜率，再由确定直线斜率判断A；首先求出点，并设，根据给定条件，得到双曲线参数的齐次方程判断B、C、D. 【详解】根据题意，设直线，又直线与圆相切于点，所以，又，则，而，得， 所以直线是的一条渐近线，A对； 联立，得，联立，得，若且，则，即，所以，可得，即渐近线方程为，B错； 若且，故，即，化简得，则的离心率为，C对； 若，则，设，故，得， 故，代入，得，所以，则离心率为，D对； 故选：ACD 二、非选择题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 【答案】4 【分析】根据题意有，联立抛物线求交点纵坐标，即可得弦长. 【详解】由题设，抛物线焦点为，即，令，则，故.故答案为：4 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 【答案】(1)或；(2) 【分析】（1）根据抛物线过定点，分情况确定抛物线方程； （2）联立直线与抛物线，结合韦达定理与圆过原点可得参数值. 【详解】（1）当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，过点，即，解得，即此时抛物线方程为；当抛物线焦点在轴上时，设抛物线方程为，过点，即，解得，即此时抛物线方程为； （2） 由（1）得当抛物线焦点在轴上时，抛物线方程为，设，， 联立直线与抛物线，得，则，解得， 且，，， 又以为直径的圆经过原点，即，，解得. 【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系； (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 【答案】（1）1；（2）y＝x＋7． 【分析】（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率k＝＝，代入即可求得斜率； （2）由（1）中直线AB的斜率，根据导数的几何意义求得M点坐标，设直线AB的方程为y＝x＋m，与抛物线联立，求得根，结合弦长公式求得AB，由知，|AB|＝2|MN|，从而求得参数m. 【详解】解：（1）设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1． （2）由y＝，得y′＝．设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1)． 设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|． 将y＝x＋m代入y＝得x2－4x－4m＝0． 当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1，2＝2±2．从而|AB|＝|x1－x2|＝． 由题设知|AB|＝2|MN|，即＝2(m＋1)，解得m＝7．所以直线AB的方程为y＝x＋7． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）将点坐标代入方程，又轴，得，联立即可. （2）由题可设设直线的方程为，，根据题意，故 ，联立方程直线与曲线方程，消去后用韦达定理，可得，，将其带入弦长公式可解，故而得到直线的方程. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又为的右焦点，轴，则，故，所以，因此的方程为. （2）设直线的方程为，，因为斜率大于的直线与的右支交于两点， 所以，即，故，联立方程， 消去得，则，， 所以， 解得，即，故直线的方程为. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为、，点为上第二象限内一动点． (1)若，求直线截所成的弦长； (2)设直线与交于点，与交于点，证明：轴． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据椭圆方程可得各顶点坐标，将代入椭圆方程解可得点坐标，写出直线的方程并与椭圆方程联立，解出另一交点坐标为即可求出弦长； （2）由（1）可知直线、、、的方程，联立直线、的方程，可得点坐标，同理可得点，又在椭圆上，所以，化简整理可得、的横坐标相同，所以轴． 【详解】（1）由椭圆方程知，，所以，即，,,,, 因为在椭圆上，将，代入方程解得，即，如下图所示： 所以直线的方程为，联立方程， 消去得，又，所以是该方程的一个实数根， 则另一交点满足，解得， 易知在第四象限，则，即 因此直线截所成的弦长为. （2）由（1）知直线的斜率一定存在，其方程为， 直线的方程为，直线方程为，直线的方程为. 联立直线与直线的方程，解得， 同理联立直线与直线的方程，解得. 若要证明轴，即证明点、的横坐标相同即可， 只需证明，即证， ，即证， 即证，亦即证，而由于点P在已知椭圆上，可知这是正确的， 所以轴得证． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. (1)求拋物线的标准方程； (2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，联立，解出，代入抛物线方程，解出，即可得到拋物线的标准方程； （2）设直线的方程为，则直线的方程为，联立，消元得，由韦达定理，可得即，同理，可得，进而得，即可求出直线的斜率. 【详解】（1） 设，则，解得，即， 将代入抛物线，解得，拋物线的标准方程为：. （2）由题意直线的斜率存在、非零且互为相反数，设的斜率为， 则直线的方程为， 则直线的方程为，设点， 联立，得，由韦达定理，， 即，同理，故， 所以，故， 综上所述，直线的斜率为. 10．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意求出得椭圆方程； （2）根据新定义列方程组求解； （3）由（2）求得，设 ,求出方程，与椭圆方程联立方程组，消去后，利用是此方程的解得出，然后可得，同理得，由得出的关系式，用坐标法判断得出三点共线． 【详解】（1）由题，，即，又，所以，， 所以椭圆方程为： （2）设“相伴点对”的坐标为， 根据定义：点的坐标满足所以或 于是有两个点满足，且点的坐标为． （3）由（2），，所以， 设 ,,,直线方程为， 由，得， 其中， 又，代入整理得， ，，所以， ， 同理，， 由得，由， ，所以，所以三点共线． 【点睛】方法点睛：涉及到直线与椭圆的交点问题可设出交点坐标，如题中，解决三点共线问题，可用坐标法证明两个向量共线，从而在证明平行的坐标表示中需要得出两点坐标关系，于是我们利用直线与椭圆相交解方程组的方程把的坐标用坐标表示，而利用得出所要关系式，完成证明． 11．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)点的轨迹是圆，该圆的方程为 【分析】(1)根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程； (2)写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰一个公共点； (3)解法一：利用设直线方程联立椭圆方程的方法，根据判别式等于0，即可求解. 解法二：利用椭圆定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到 ，从而得到点的轨迹和轨迹方程. 【详解】（1）因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆C的离心率为，得，所以椭圆方程为. （2）由，得直线斜率为，中点坐标为， 所以线段的垂直平分线方程为， 联立垂直平分线方程和椭圆方程得，， ，所以直线与椭圆相切，线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； （3）解法一：设， 当时，的垂直平分线方程为，此时或； 当时，的垂直平分线方程为， 联立，得， 即 因为线段的垂直平分线与C恰有一个公共点， 故， 即，则， 即， ，即， ，而，也满足该式， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即. 解法二：设线段的垂直平分线与C恰有一个公共点为P， 则当点P不在长轴时，线段的垂直平分线即为点P处的切线，也为的角平分线，      作的角平分线，根据椭圆的光学性质得， ，则，故， 所以三点共线，所以， 所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆， 当P在椭圆长轴上时，M点为或也满足， 故点的轨迹是圆，该圆的方程为. 【点睛】方法点睛：判断直线与椭圆公共点的个数问题的方法是： (1)首先根据题意得到直线和椭圆方程； (2)联立直线和椭圆方程，消元得到一元二次方程； (3)计算，根据，判断直线与椭圆公共点的个数. 地 城 考点02 圆锥曲线的中点弦问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断点在椭圆内，利用点差法求出直线的斜率即可得其方程. 【详解】椭圆，由，得点在椭圆内，设，则， 两式相减得，而，因此， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.故选：A 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，利用题设条件得出利用点差法得到 ，代入结论整理得直线的斜率，即可求出直线的方程. 【详解】设点，因点为线段的中点，则（*） 又在椭圆上，则 ①， ② ， 由，可得， 将（*）代入，化简得，即，可知直线的斜率为， 故直线的方程为：，即. 故选：B. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设，，利用点差法即可求出直线的斜率，即可求得直线AB的方程，然后与椭圆方程联立方程组，求得有，，结合两点间距离公式即可得解. 【详解】设，，因为为AB的中点，所以，， 又A，B两点在椭圆上，则，，两式相减，得， 所以，所以， 所以，即有直线AB的方程为，即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4，即有，，则故选：D. 二、多选题 4．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用点差法解方程求出，设点，得，计算并消元，将其整理成，结合，即可求得的取值范围即可. 【详解】如图， 设，因点在椭圆上，则有：， 两式相减，化简得：， 依题意，，代入上式，解得：，即椭圆方程为：. 设点，则，即， 则， 因，则，故.故选：BCD. 三、非选择题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 【答案】/0.4 【分析】利用点差法得，再代入M点坐标即可得答案. 【详解】易知，，设椭圆中心为O， 不妨设坐标为，则， 两式作差可得：，设，OM的斜率， 则，解得．故答案为：. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意以及抛物线的定义，可得答案； （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由题意知动点到点的距离等于到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的方程为. （2）设，，则，两式相减得，整理可得. 因为线段的中点坐标为，所以，所以直线的斜率， 故直线的方程为，即. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 【答案】(1)；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用抛物线的定义求出轨迹方程. （2）利用点差法，求得直线斜率，根据点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离， 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以的方程为. （2）设，，由线段的中点坐标为，得， 则，两式相减得，整理得， 因此直线的斜率，其方程为，即，所以直线的方程为.    8．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，.则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、， 则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①是，；② 【分析】（1）联立方程组，利用分别用点的横坐标表示，，联立直线与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）①联立两切线方程可得交点坐标，利用韦达定理化简可得点在定直线上； ②由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，再求取值范围即可. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率存在，设直线与抛物线交于不同的两点，， 由于焦点，设直线的方程为， 联立，消去得，，且，则 设，，则过点的切线方程为， 联立方程组，得。则，解得，同理，，所以互相垂直． （2）①当时，设直线的方程为， 联立，消去得，，且，则 直线与交于点，设， 抛物线在点A处的切线方程为，即， 同理，在点B处的切线方程为. 联立，解得， 将式代入化简得，则点在定直线上. ②线段AB的中点为， 由（1）可得，，， 则.， 又 将式代入得，，则， 由，则. 的取值范围为. 地 城 考点03 圆锥曲线的焦点弦问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值. 【详解】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，从而得到，所以直线的倾斜角为或，根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为， 分别与两条渐近线和联立，求得， 所以，故选B. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知抛物线的焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B，F三点共线 B．l的斜率为 C． D．圆E的半径是4 【答案】B 【分析】如图，连接DE，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接AF，FB，利用抛物线的几何性质可得A，B，F三点共线，结合直角三角形DAB边的关系可计算得到直线的倾斜角，从而利用直线方程和抛物线方程联立求出交点的坐标后可求，故可判断各项的正误. 【详解】如图，连接DE，则DE为圆E的半径， 对于A，过A作准线的垂线，垂足为S，过B作准线的垂线，垂足为T，连接AF，FB，则，故A，B，F三点共线，故A正确； 对于B，因为AB为直径，故，而，故，而为等腰三角形，故，故，所以即直线l的倾斜角为，故其斜率为，故B错误；. 对于C，设，由可得， 所以，故，故，故C正确； 对于D，由得，所以圆E的直径是8即其半径为4，故D正确．故选：B． 二、多选题 3．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（    ） A． B．可以是直角三角形三条边的长 C．双曲线的离心率 D．点到双曲线渐近线的距离为 【答案】ABC 【分析】由题意可得，，，由恰好成等差数列可得，可判断AB；再由，又因为求出可判断C；由点到双曲线渐近线的距离为可判断D. 【详解】对于A，由点是椭圆的焦点，所以，又因为抛物线和双曲线的焦点，所以，，故A正确； 对于B，令可得，所以，所以椭圆的通径为，所以， 令可得，则，所以，所以， 因为，所以，令，可得，所以，因为椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，所以，所以，即，， 因为所以可以是直角三角形三条边的长，故B正确； 对于C，因为，又因为，所以，因为，解得：， ，故C正确； 对于D，点到双曲线渐近线的距离为， 又因为，，所以，故D错误. 故选：ABC. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为 B．弦的最大值为4 C．存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据焦点与离心率求出椭圆方程为：，再根据椭圆性质，直线与椭圆的位置关系对选项逐一判断即可． 【详解】由题知椭圆焦点在轴上，又直线过点，所以，即， 又，椭圆方程为：. 对于A，椭圆短轴长为，故A正确； 对于B，联立，消去整理得：恒成立， 设，则， ，因为，故，无最大值，故B不正确； 对于C，若为直径的圆恰好过点，则，即，即， 即解得：，故存在实数，使得以为直径的圆恰好过点，C正确； 对于D，若，即，故，解得：，所以D正确.故选：ACD． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 【答案】ABD 【分析】把直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得，，，再结合抛物线的定义，可求的值，可判断A的真假；进而可得点的坐标，求值斜率，判断B的真假；利用两点间的距离公式可求，判断C的真假；根据可判断D的真假. 【详解】如图：    设，，联立可得，所以，， 故． 对A：因为，，所以，则，解得或． 因为，所以，故A正确； 对B：因为，．又，所以，，则，故B成立； 对C：因为，故C错误；对D：因为，故D正确. 故选：ABD 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知椭圆的短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，是线段的中点，射线与椭圆于点． (1)求椭圆方程； (2)是否存在正数，使四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）由条件列出的等式，求解即可； （2）设，设，，联立椭圆方程，由韦达定理结合求得坐标，由其在椭圆上代入求解即可； 【详解】（1）由题可得，解得：，所以椭圆方程为 （2） 存在，理由如下：由题意可得，设，， 设存在正数，使四边形是平行四边形，则， 联立，化简得， 则，所以， 则，因为，所以， 由点在椭圆上，所以，化简可得，即，由，所以， 所以存在正数，使四边形是平行四边形，直线的方程为． 地 城 考点04 圆锥曲线的定点、定值问题 一、非选择题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则 . 【答案】20 【分析】根据双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，然后将圆的方程和双曲线的方程联立，利用两点间的距离和韦达定理求解. 【详解】双曲线和圆都关于轴对称，不妨设，，所以.联立，得，则， 故 . 2．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）是，定点. 【分析】（1）由题意求出，，再根据即可求出的标准方程； （2）（i）分别联立，与双曲线的方程，由即可求出的取值范围； （ii）先取出的坐标，由，化简即可得出答案. 【详解】（1）由焦距得，又，得.则的标准方程为. （2）（i）联立方程得， 若，不符合题意. 若，则， 设，则.因为，所以. 依题设，，同理得，则，则的取值范围是. （ii）设，因为弦的中点为，则 得，同理.假设过定点，依据对称性，点必在轴上，设， 则.由得， 化简得，得，则恒过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)； (2)过定点，. 【分析】（1）根据已知条件代入求得，由此求得椭圆的方程. （2）设出直线的方程并与椭圆的方程联立，化简写出根与系数关系，结合直线的方程求得定点坐标. 【详解】（1）依题意，，由点在椭圆上，得，解得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，，则，由消去整理得， 则，直线的方程为， 由椭圆的对称性知，若存在符合条件的定点，则该定点一定在轴上， 令，得 ，所以直线过定点. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）设，由题意直接求出即可； （2）设出直线的方程，直曲联立，表示出韦达定理，利用向量的坐标表示出向量的数量积进而求出，得到直线所过定点，再结合直径所对应的圆周角为直角可得； 【详解】（1）设，由题意可得，所以抛物线的方程为. （2）    设直线的方程为，，联立，消去可得， ，，，解得， 所以直线的方程为，所以直线恒过定点，设为，因为，所以点D在以为直径的圆上（不含原点），所以平面内存在定点，使垂足点D到N点的距离为定值1. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B； 步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合； 步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T. (1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程； (2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，根据双曲线定义求出方程即可； （2）直曲联立，借助韦达定理，运用斜率公式计算求解即可； （3）直曲联立，借助韦达定理和数量积坐标运算公式计算即可. 【详解】（1）以所在直线为x轴，以为x轴的正方向，以的中点为原点建立平面直角坐标系，则，，由折纸方法知，，则， 根据双曲线的定义，曲线T是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线，设其方程为，则，，所以，.故曲线T的方程为. （2）易知直线l的斜率存在，设直线l的方程为，且，， 联立方程组，整理得， 由，可得，可得， 联立方程组，整理得， ，则，， 因为，，所以， 又因为， 代入可得，由于，则， 由于点M在点N的左侧，故， 所以，代入可得， 又因为，则，所以为定值，定值为3. （3）假设存在点，使恒成立，由已知得， 当直线n的斜率存在时，设直线n的方程为，，， 联立，得， ，且，则，， ，，则 ， 若恒成立，则恒成立，即，解得， 当直线n的斜率不存在时，直线n的方程为， 此时，解得，不妨取，， 则，，又，解得或， 综上所述，，所以存在点，使恒成立. 【点睛】关键点点睛：第二，三问，设直线、交点坐标，并联立双曲线方程，借助韦达定理，结合斜率公式和向量数量积公式计算即可得到定值. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. (1)求椭圆的方程； (2)分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据，其面积为 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 即可得结果； （2）设，可得直线，直线方程与椭圆方程联立，根据韦达定理，以及斜率公式将直线的斜率用 表示，消去 即可得结果. 【详解】（1）椭圆的中心为原点，焦点均在轴上， ，其面积为.设椭圆， 则，  解得，所以的方程为； （2） 设则即，直线得 直线与直线联立得 因为即代入上式得。 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若， 证明：直线l过四个定点中的一个． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求出，即可得解； （2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论. 【详解】（1）设C的焦距为2c，则，即，，， 由双曲线的定义，得， 即，所以，故C的方程为； （2）设，，，直线l的方程为， 联立，整理得， 由题意，得，则，则，， ， 设MN的中点为，则，， 所以线段MN的垂直平分线的方程为， 令，得，即，所以， 由题意，得，即，从而， 当，即时，解得或； 当，即时，解得或， 所以直线l的方程为，或，或，或， 故直线l过四个定点中的一个． 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中直线过定点问题通法，是先设出直线方程（或），通过韦达定理和已知条件若能求出为定值可得直线恒过定点，若得到和的一次函数关系式，代入直线方程即可得到直线恒过定点. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当直线的斜率为零时，直接计算出的值；当直线不与轴重合时，设直线的方程为，、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得，解得，所以椭圆的方程为. （2）由题可知，. 在中，由勾股定理得， 则，即，所以，故的面积是. （3）当的斜率为时，； 当不与轴重合时，设直线的方程为，、， 联立得，所以，， 由韦达定理可得，. ，故为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据左右顶点的距离得到，然后根据点在曲线上列方程得到，即可得到双曲线方程； （2）联立直线和双曲线方程，利用韦达定理和弦长公式计算； （3）联立直线和双曲线方程，利用斜率公式和韦达定理计算即可证明. 【详解】（1）    解：由，可得，解得，点是上一点，所以，解得， 所以的方程为． （2）解：的方程为，联立即， 设，，则，， 所以弦长． （3）证明：设，，，易知，， 直线与双曲线联立得，所以 所以 ，故是定值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 直线与圆锥曲线的位置关系 4大高频考点概览 考点01 直线与圆锥曲线相交的弦长及双斜率问题 考点02 圆锥曲线的中点弦问题 考点03 圆锥曲线的焦点弦问题 考点04 圆锥曲线的定值定点问题 地 城 考点01 直线与圆锥曲线相交的弦长及双斜率问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知是抛物线的焦点，M是C上的点，O为坐标原点．则（   ） A． B． C．以M为圆心且过F的圆与C的准线相切 D．当时，的面积为 3．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线及其渐近线在第二象限的交点分别为，则下列说法正确的是（    ） A．直线是的一条渐近线 B．若，则的渐近线方程为 C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为 二、非选择题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的直线与抛物线交于、两点，则 . 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点. (1)求拋物线的标准方程； (2)若抛物线的焦点在轴上且与直线交于、两点（、两点异于原点），以为直径的圆经过原点，求的值. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4． （1）求直线AB的斜率； （2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知双曲线的右焦点为，点在上，且轴． (1)求的方程； (2)过且斜率大于的直线与的右支交于，两点，若，求的一般方程. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知椭圆的右焦点为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为、，点为上第二象限内一动点． (1)若，求直线截所成的弦长； (2)设直线与交于点，与交于点，证明：轴． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知抛物线与双曲线在第一象限内的交点到原点的距离为. (1)求拋物线的标准方程； (2)设直线与抛物线交于两点，且直线的倾斜角互补，求直线的斜率. 10．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)若椭圆上的两个不同的点满足0，则称为该椭圆的一组“相伴点对”，记作.已知椭圆的焦距为，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若，证明椭圆上存在两个点满足“相伴点对”，并求点的坐标； (3)设（2）中的两个点分别是，若直线与直线的斜率之积为，直线与椭圆交于两点，点，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，证明：三点共线. 11．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为， (1)求C的方程； (2)已知点，证明：线段的垂直平分线与C恰有一个公共点； (3)设M是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程． 地 城 考点02 圆锥曲线的中点弦问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，且P为线段的中点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知椭圆与直线交于两点，若点为线段的中点，则直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 二、多选题 4．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知点，若斜率为1的直线与椭圆交于两点，且线段的中点坐标为，点在椭圆上，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)若椭圆的一条弦AB的中点为，则直线AB的斜率为 ． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知动点到点的距离比它到直线的距离小2，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知动点M到点的距离比它到直线的距离小2，记动点M的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点坐标为，求直线l的方程． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，其斜率分别为，交点为． (1)当直线过焦点时，证明：互相垂直． (2)当时，设弦的中点为． ①点是否在一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． ②求的最大值． 地 城 考点03 圆锥曲线的焦点弦问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形，则|MN|= A． B．3 C． D．4 2．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知抛物线的焦点为F，直线与C交于点A，B（A在第一象限），以AB为直径的圆E与C的准线相切于点D.若，则下列说法不正确的是（    ） A．A，B，F三点共线 B．l的斜率为 C． D．圆E的半径是4 二、多选题 3．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)圆锥曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于椭圆的长轴（双曲线的实轴，抛物线的对称轴）的焦点弦称为通径．若点是椭圆，抛物线和双曲线的焦点，且椭圆，抛物线和双曲线的通径长恰好成等差数列，则（    ） A． B．可以是直角三角形三条边的长 C．双曲线的离心率 D．点到双曲线渐近线的距离为 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知直线经过椭圆的一个焦点，且与交于不同的两点，椭圆的离心率为，则下列结论正确的有（   ） A．椭圆的短轴长为 B．弦的最大值为4 C．存在实数，使得以为直径的圆恰好过点 D．若，则 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)设抛物线的焦点为，直线与抛物线相交于，两点，与轴相交于点，，，则（   ） A．的值为4 B． C． D．的面积与的面积之比为4 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知椭圆的短轴长与焦距相等，且椭圆过点，斜率为的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点，是线段的中点，射线与椭圆于点． (1)求椭圆方程； (2)是否存在正数，使四边形是平行四边形？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由 地 城 考点04 圆锥曲线的定点、定值问题 一、非选择题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知为坐标原点，双曲线与圆相交于四个点，则 . 2．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知双曲线的焦距为4，焦点到渐近线的距离为1. (1)求的标准方程； (2)过的右焦点作两条互相垂直的直线与的右支交于点，弦的中点为与的右支交于点，弦的中点为. （i）设，求的取值范围； （ii）判断：直线是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知椭圆C：上一点到两焦点的距离之和为． (1)求椭圆C的方程． (2)不经过点的直线l与x轴垂直，与椭圆C交于A，B两点，若直线BQ与椭圆C的另一交点为D，则直线AD是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)经过抛物线：上一点（除坐标原点外），作垂直于轴的直线与轴交于点．若． (1)求抛物线的方程； (2)若直线与抛物线交于A，B两点，且，过坐标原点O，作交于点D，问平面内是否存在定点N，使垂足点D到N点的距离为定值，若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明理由． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张纸片，按如下步骤折纸： 步骤1：在纸上画一个圆A，并在圆外取一定点B； 步骤2：把纸片折叠，使得点B折叠后与圆A上某一点重合； 步骤.3：把纸片展开，并得到一条折痕； 步骤4：不断重复步骤2和3，得到越来越多的折痕. 你会发现，当折痕足够密时，这些折痕会呈现出一个双曲线的轮廓.若取一张足够大的纸，画一个半径为2的圆A，并在圆外取一定点B，，按照上述方法折纸，点B折叠后与圆A上的点W重合，折痕与直线交于点E，E的轨迹为曲线T. (1)以所在直线为x轴建立适当的坐标系，求曲线T的方程； (2)设曲线T的左、右顶点分别为E，H，点P在曲线T上，过点P作曲线T的切线l与圆交于M，N两点（点M在点N的左侧），记，的斜率分别为，，证明：为定值； (3)F是T的右焦点，若直线n过点F，与曲线T交于C，D两点，是否存在x轴上的点，使得直线n绕点F无论怎么转动，都有成立?若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)古希腊数学家阿基米德得到：椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为原点，焦点均在轴上，，其面积为. (1)求椭圆的方程； (2)分别是椭圆的左，右顶点，分别是椭圆的上、下顶点，设为第二象限内椭圆上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点，判断直线的斜率是否为定值，若是求出这个值；若不是，说明理由. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点． (1)求C的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若， 证明：直线l过四个定点中的一个． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知和为椭圆上两点. (1)求椭圆的方程； (2)若点在椭圆上，、是椭圆的两焦点，且，求的面积； (3)过点的直线与椭圆交于、两点，证明：为定值. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知，分别是双曲线的左，右顶点，，点是上一点．过点的直线与双曲线的右支交于，两点． (1)求的方程； (2)若的斜率为1，求； (3)若直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $