专题03 圆锥曲线的方程及几何性质（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线的方程及其几何性质 5大高频考点概览 考点01 圆锥曲线的方程问题 考点02 圆锥曲线的定义及其几何性质 考点03 圆锥曲线的焦点三角形 考点04 圆锥曲线的离心率问题 考点05 与圆锥曲线有关的最值问题 地 城 考点01 圆锥曲线的方程 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为 . 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 地 城 考点02 圆锥曲线的定义及其几何性质 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 8．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)抛物线与圆交于、两点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、非选择题 10．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 11．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为 . 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 13．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，为轴上一点，且，则 . 地 城 考点03 圆锥曲线的焦点三角形问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线l：与双曲线C的右支交于点P，若的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 二、多选题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 5．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（    ） A． B．存在点使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的面积为 三、非选择题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 地 城 考点04 椭圆、双曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知椭圆与双曲线具有相同焦点，记左、右焦点分别为，，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为P，若为焦距，设双曲线E的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 13．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知为坐标原点，直线过双曲线的右焦点，且与该双曲线的两条渐近线分别交于两点，都在轴的右侧.若，且的面积为，则该双曲线的离心率为 . 14．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是 . 15．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知椭圆的左，右顶点分别为，抛物线与交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为 ． 地 城 考点04 与圆锥曲线有关的最值问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．8   3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 二、非选择题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为 ． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，． (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围． (2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上．（ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知双曲线的离心率为，其虚轴长为1， (1)求双曲线C的方程; (2)直线与双曲线C的右支交于M、N两点， ①求实数m的取值范围; ②若直线也与双曲线C的右支交于E、F两点，且与l垂直，求四边形EMFN面积的最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程及其几何性质 5大高频考点概览 考点01 圆锥曲线的方程问题 考点02 圆锥曲线的定义及其几何性质 考点03 圆锥曲线的焦点三角形 考点04 圆锥曲线的离心率问题 考点05 与圆锥曲线有关的最值问题 地 城 考点01 圆锥曲线的方程 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得，所以椭圆的方程为.故选：A 2．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)如图，在直角中，.若以所在的直线为轴，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则以为焦点，且过点的双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意确定即可求解； 【详解】由题意可知：，即，可得：,由结合双曲线的定义可得：,即，则，所以双曲线方程为：，故选：B 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将抛物线方程化为标准形式，再由标准方程判断焦点位置，并求焦点坐标. 【详解】因为，所以，所以抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线焦点坐标为，故选：D. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)若椭圆的两焦点为和，且椭圆过点，则椭圆方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意设出椭圆的标准方程，列出方程组求解出，，进而即可得出结果 【详解】根据题意可设椭圆的标准方程为：，. 则，解得：，，所以椭圆的方程为.故选：B. 二、多选题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知分别为椭圆的左，右焦点，点为直线与椭圆的一个公共点，满足，且，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用椭圆定义结合，可求出；又直线，可得直线的方程为，联立求出P点坐标，代入椭圆方程可求出，即得答案. 【详解】由题意知P在椭圆上，则， 故，即， 又，故，则，结合，得；又直线，故直线的方程为， 联立，解得，即，代入，得， 结合，整理得，解得，故椭圆的方程为，故选：B 三、非选择题 6．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合焦点在上的双曲线方程特征写出结论. 【详解】依题设，设双曲线方程为，且，即，所以双曲线方程为. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得，因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 地 城 考点02 圆锥曲线的定义及其几何性质 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程，结合渐近线方程，可得答案. 【详解】由方程，则，所以渐近线.故选：C. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)抛物线的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用抛物线的方程求解焦点坐标即可. 【详解】因为抛物线的焦点在轴上，且，所以，所以抛物线的焦点坐标为.故选：D. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C. 【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线方程的特征，得到准线方程. 【详解】的准线方程为.故选：A 5．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用方程表示椭圆的特征，列式求出的范围. 【详解】方程表示椭圆，则，解得或，所以实数的取值范围是.故选：D 6．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由准线方程概念即可求解； 【详解】由抛物线可得准线方程为：，故选：B 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)椭圆=1的焦距为4，则m的值可能是（　　） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】AD 【分析】由椭圆的标准方程中即可求解. 【详解】因为椭圆的焦距为，则，当焦点在轴上时，， 由，即，解得；当焦点在轴上时，， 由，即，解得. 故或.故选：AD. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的方程求准线方程即可. 【详解】将抛物线方程转化为，则抛物线的准线方程为. 故选：C. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)抛物线与圆交于、两点，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】联立抛物线与圆的方程求出坐标，利用建立方程求解即可. 【详解】设，联立，消y得， 由抛物线和圆都关于x轴对称，所以，所以，所以，所以.故选：B 二、非选择题 10．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知双曲线C：的两个焦点为，，双曲线C上有一点P，若，则 ． 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义求解即可. 【详解】双曲线C：的实半轴，半焦距，而，则，所以.故答案为：18 11．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)抛物线上与焦点的距离等于的点的纵坐标为 . 【答案】 【分析】首先求出准线方程，根据焦半径公式计算可得. 【详解】抛物线的准线为，设所求点的纵坐标为，则，解得. 故答案为： 12．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)唐山市科技馆以“探索、创新、梦想、共享”为主题向社会大众免费开放，其中有一个“声聚焦装置”，通过两个大的抛物镜，演示声音的反射和聚焦过程.如图（1）所示：这两个抛物镜与轴截面的交线为抛物线，两个抛物镜相距.小红站在其中一个金属圆环处说话，小明在另一个金属圆环处就会听到相应的声音.如图（2），已知抛物镜的口径（直径）为，深度为，则金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为（    ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设抛物线方程为，由在抛物线上求解. 【详解】建立如图所示平面直角坐标系： 则设抛物线方程为：，因为在抛物线上，所以，解得，则，即金属圆环（抛物线焦点）到抛物镜底部（抛物线顶点）的距离大致为，故选：A 13．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知为抛物线的焦点，为抛物线上一点，为轴上一点，且，则 . 【答案】 【分析】设抛物线准线与轴交点为，作于，于，由得出，由，得，可求出的值，进而可得出的值，进而可求得的值. 【详解】易知抛物线的焦点 的坐标为，准线方程为，如图， 设抛物线准线与轴交点为，作于，于，则，则，由，得，又，，所以，解得，，又，所以故答案为： 地 城 考点03 圆锥曲线的焦点三角形问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)点是椭圆上一点，点分别是椭圆的左、右焦点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，记， ，，中，由余弦定理得，又， ，.故选：B. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，焦距为2c，直线l：与双曲线C的右支交于点P，若的内切圆半径为，则双曲线C的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，由题意，根据双曲线的定义和内切圆的性质可得，设，则内切圆的圆心为，利用点到直线的距离公式建立关于的方程，解得，结合渐近线的概念即可求解. 【详解】因为左焦点，所以直线过点， 由双曲线的定义知，设内切圆与各边的切点为， 则，所以，设， 则，解得.又内切圆的半径为，所以内切圆的圆心为， 因为直线过点，设圆心到直线的距离为，则，解得， 又，所以，所以双曲线的渐近线方程为.故选：B 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，用半焦距c表示，再结合双曲线定义求出，进而求得答案. 【详解】依题意，，双曲线的半焦距， 由，得，则，而， 于是，即，解得，而点是线段中点， 所以点到直线的距离为.故选：C    二、多选题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．离心率 B．面积的最大值为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．的最小值为0 【答案】CD 【分析】求出离心率可判断A；计算面积的最大值可判断B；求出圆的方程，再判断圆心到直线的距离与半径的关系可判断C；设进行数量积的坐标运算结合可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：由椭圆可知，，，，所以左、右焦点分别为，，离心率，故选项A错误；对于B：，当点与椭圆的上下顶点重合时，面积的最大，所以面积的最大值为，故选项B错误；对于C：以线段为直径的圆的圆心，半径为1，由圆心到直线的距离，所以以线段为直径的圆与直线相切，故选项C正确；对于D：设，，，则的最小值为，故选项D正确；故选：CD． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知椭圆的左，右焦点分别为为上一点，则（    ） A． B．存在点使得 C．内切圆半径的最大值为 D．的取值范围为 【答案】ACD 【分析】设，求出根据的范围利用配方法可判断A；假设存在点使得，利用椭圆定义、勾股定理可判断B；设内切圆半径为，根据三角形面积相等、的范围，求出取得最大值可判断C；设，求出，根据的范围可判断D. 【详解】，，，对于A，设，则，，且，所以，故A正确； 对于B，假设存在点使得，由题意可得，整理可得，因为，方程无解，故不存在点使得，故B错误； 对于C，设内切圆半径为，由， 即，若能构成三角形，则，显然当取得最大值时，取得最大值为，故C正确；对于D，设，则，，且，，所以，因为，所以，故D正确.故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解决焦点三角形问题要注意应用三个方面的知识：①圆锥曲线的定义；②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知曲线的两个焦点为，，为曲线上不与，共线的点，则下列说法正确的是（   ） A．若是椭圆，则 B．若是双曲线，则 C．若，则的周长为8 D．若，则的离心率为 【答案】BCD 【分析】对于A由于的大小范围不确定故不能判断焦点位置，对于B若是双曲线，则的焦点在轴上即可求解，对于C若，则是椭圆，则的周长为，对于D若，则是双曲线即可求解. 【详解】对于A：若是椭圆，则，其焦点可能在轴上，所以A错误； 对于B：若是双曲线，则的焦点在轴上，因为，所以，故B正确； 对于C：若，则是椭圆.因为，，，所以的周长为，故C正确； 对于D:若，则是双曲线.因为，，，所以离心率为，故D正确. 故选：BCD. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知是双曲线的两个焦点，若p是双曲线左支上的一个点，下列说法正确的是（    ） A． B．渐近线方程为 C．若，则的面积为16 D．若，则的面积为 【答案】ACD 【分析】AB由题可直接计算离心率与渐近线； C由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积； D由双曲线定义，双曲线方程结合余弦定理，可得，即可得的面积. 【详解】对于A，由题可得，则，故A正确；对于B，双曲线的渐近线方程为：，故B错误；对于C，由题，由图结合双曲线定义可得， 则. 则，则，得，故C正确；对于D，因，则， 则，得，则，故D正确.故选：ACD 三、非选择题 8．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点，若，则 . 【答案】 【分析】设出直线方程与抛物线方程联立，借助弦长公式求出，再利用余弦定理求得答案. 【详解】设直线，点， 由消去得，所以， 所以， 解得，方程，解得， 于是，由余弦定理得.故答案为： 【点睛】结论点睛：直线l：上两点间的距离； 直线l：上两点间的距离. 9．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点、，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为. (1)求这两条曲线的方程； (2)求曲线以点为中点的弦所在直线的方程； (3)若为两条曲线的交点，求的余弦值. 【答案】(1)，；(2)；(3) 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，进而可求得、的值，由此可得出两曲线的方程； （2）利用点差法可求得曲线以点为中点的弦所在直线的方程，然后再将所求直线方程与曲线的方程联立，计算即可结论； （3）设，，利用椭圆和双曲线的定义可求出、的值，再利用余弦定理可求得的余弦值. 【详解】（1）设椭圆方程为，双曲线方程为，.则，解得，，则，， 因此，椭圆方程为，双曲线方程为. （2）曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，则，， 若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 因为，这两个等式作差可得， 所以，，可得， 所以，直线的方程为，即， 检验：联立可得，则，合乎题意， 因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为. （3）不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点， 设，，由椭圆和双曲线的定义可得，解得， 所以，. 地 城 考点04 椭圆、双曲线的离心率问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)设椭圆的左，右焦点分别为，过作垂直于轴的直线交于两点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出可得答案. 【详解】若，则，所以，可得，所以椭圆的离心率为. 故选：C. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知，分别是椭圆C：的左、右焦点，点P是C上一点，若，则C的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合离心率公式即可求得范围. 【详解】由题可知，所以．又因为，所以，， 所以C的离心率的取值范围是，故选：D． 3．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的离心率求出，进而求出双曲线的渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为2，得，解得，而双曲线的渐近线方程为，所以所求方程为.故选：C 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)若双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据双曲线的离心率公式求出的值，再利用双曲线渐近线方程的公式得出渐近线方程. 【详解】已知离心率，由离心率公式可得（这是因为，两边同时除以得到，再开方就得到）.所以，平方可移项得到. 可得. 对于双曲线（，），其渐近线方程为.已经求得，将其代入渐近线方程，可得渐近线方程为.故选：A 5．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，右顶点为A，上顶点为B，P为线段AB上一点，直线与直线交于点Q，若，且，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用得，即轴，进而求得，再利用勾股定理得转化为，解方程可得答案. 【详解】由，得为的中点，又坐标原点为的中点，则，于是轴，，则，因此，即，整理得，则，而，所以. 故选：A 6．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知分别是椭圆的左，右焦点，过作垂直于轴的直线交于两点，若直线与直线互相垂直，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再由直线与直线互相垂直可知，所以，解方程即可得出答案. 【详解】令可得，则，所以，所以，因为直线与直线互相垂直，所以，所以在中，，所以，所以，所以，所以或（舍去），所以的离心率为.故选：C. 【点晴】方法点晴，通过勾股定理将空间几何问题转化为平面几何问题，即由得到，从而得到点的轨迹，再利用几何关系即可求解. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知椭圆与双曲线具有相同焦点，记左、右焦点分别为，，是它们的一个交点，且，记椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】首先根据椭圆和双曲线的定义分别得出关于与的等式，再结合利用勾股定理得到，与的关系，进而得出，最后通过对进行变形，利用基本不等式求出最小值. 【详解】设，，不妨设.由椭圆的定义可知，即 ①； 由双曲线的定义可知，即 ②. 因为，根据勾股定理可得. 椭圆与双曲线具有相同焦点，设半焦距为，则，所以 ③. 对①式平方可得 ④；对②式平方可得 ⑤. 用④-⑤可得：，即 ⑥. 将⑥代入③可得：，化简得. 椭圆的离心率，则，；双曲线的离心率，则，. 由，两边同时除以可得，即. 将进行变形，. 根据基本不等式有，当且仅当时等号成立. 所以.故选：C. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知O为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与E的右支交于点P，Q设与的内切圆圆心分别是M，N，直线OM，ON的斜率分别是，则，则双曲线E的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据内切圆的性质确定圆心的坐标，进而得出，结合等量关系可得答案. 【详解】设的内切圆和三边分别相切于点,则， 又，所以，所以.设直线l的倾斜角为，则由内切圆的性质可得，，所以； 同理可得，所以； 因为，所以，解得.故选：C.    9．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)设，分别是双曲线的左、右焦点，过点作双曲线E的一条渐近线的垂线，垂足为P，若为焦距，设双曲线E的离心率为e，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出渐近线方程再结合点到直线距离公式得出进而求出，再应用两点间距离公式化简得出离心率即可. 【详解】由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点， 到渐近线的距离，由渐近线的对称性，设渐近线为①，则直线方程为：②，由①②可得，，则，左焦点， 所以，因为，所以，得，所以，则C的离心率为故选: 10．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市)已知是椭圆的左焦点，为坐标原点，若上存在一点，使得是以为底边的等腰三角形，则的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令是的右焦点，根据题设知，存在点使得，由，即可求解. 【详解】令是的右焦点，由题可知，得到，所以存在点使得，设为椭圆的上顶点，所以，得到的离心率， 所以，又，所以，故选：A. 二、非选择题 11．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)已知双曲线：的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线于交、两点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【详解】如图所示，    由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=． 设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．又tan θ=， ∴，解得a2=3b2，∴e=． 12．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知为坐标原点，椭圆：（）的右焦点为，点在上，且为等边三角形，则的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】借助等边三角形的性质可得点的坐标，由知，，最后将点的坐标代入椭圆方程，结合，计算即可得解. 【详解】如图，假设在第一象限，由题意，， 因为为等边三角形，，所以，， 即，代入椭圆方程得，，即， 又因为，所以，即，所以， 即，解得，，或， 因为，所以，所以， 因为，所以离心率为.故答案为：. 13．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知为坐标原点，直线过双曲线的右焦点，且与该双曲线的两条渐近线分别交于两点，都在轴的右侧.若，且的面积为，则该双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】作图，设，根据几何关系可得，结合面积可得，进而可得，再根据二倍角的正切公式求解即可. 【详解】如图，设，则，. 又，即，故.又，解得，故.又，整理可得， 即，因为，故.则该双曲线的离心率. 故答案为： 14．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知，是双曲线的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率是 . 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离，建立关于的齐次式，即可求出离心率. 【详解】如图，以为圆心，为半径的圆与双曲线的渐近线交于两点， ，，所以， 点到直线的距离为， 可得，，所以，可得. 15．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知椭圆的左，右顶点分别为，抛物线与交于两点，为坐标原点，若，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】设，由对称性得，由直线斜率的定义可得,，进而可得，又，得，进而可得. 【详解】 由题意可知，设，由对称性可知， 则，，， ， 由得，化简得，即又， 得，即，故，故答案为： 地 城 考点05 与圆锥曲线有关的最值问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)在双曲线的两支上各取一点，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C．14 D．18 【答案】A 【分析】当为双曲线的两顶点时，取得最小,最小值等于双曲线的实轴长. 【详解】由得，即，所以.故选：A. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)过圆内一点作互相垂直的两条直线AB，CD，与圆分别交于A，B，C，D四点，则的最大值是（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】设，，用表示，再结合基本不等式的知识即可得最大值. 【详解】过点O分别作AB，CD的垂线，垂足为M，N，则四边形OMPN为矩形， 所以．设，，则，， 所以，，所以． 因为 （当且仅当时取得最大值），所以的最大值为，故选：A．    3．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)已知抛物线的准线为，直线，动点在上运动，记点到直线与的距离分别为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由抛物线的定义可知，设于点N，，当三点共线且M在中间时，取得最小值，再结合点到直线的距离公式计算可得. 【详解】设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可知. 设于点，则.当三点共线，且在中间时，取得最小值.由抛物线，得，所以的最小值为. 故选：B. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省辛集市)已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点，双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为，所以延长时，与双曲线没有交点，，设延长，交双曲线上支于，依题意，是双曲线上支上的动点，根据双曲线的定义可知，，当在点时等号成立，则，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故选：A 二、非选择题 5．(24-25学年·高二上期末·河北省张家口)已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为 ． 【答案】 【分析】先设，根据点到直线距离公式得到到的距离，再结合二次函数的性质可求出结果. 【详解】因为为抛物线上的动点，所以可设，则到的距离为：，则时，，此时. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知抛物线上的点P的纵坐标为，点P到焦点F和原点O的距离相等． (1)求抛物线的方程． (2)若AB，CD是抛物线的两条不同的弦，且满足． （ⅰ）求证：直线AB，CD过同一个定点Q； （ⅱ）过原点O作AB，CD的垂线，垂足分别为M，N，求四边形OMQN面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）2 【分析】（1）由题意得，代入抛物线方程即可求得p值，则抛物线方程可得； （2）（i）设直线AB的方程为，联立直线方程与抛物线方程，求得t值即可得直线AB过的定点，同理得CD过的定点即可得证； （ii）先确定O，M，Q，N四点在以OQ为直径的圆上，结合图象即可直接求得四边形OMQN面积的最大值. 【详解】（1）原点，焦点，因为，所以点P在线段OF的垂直平分线上，故， 代入抛物线方程可得．又，所以，所以抛物线方程为． （2）（ⅰ）证明：设直线AB的方程为，，，与联立可得，且，，由韦达定理可得．又，即，所以，解得，所以直线AB：经过定点，同理，直线CD也经过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知，，所以O，M，Q，N四点在以OQ为直径的圆上，圆心即焦点． 当MN经过圆心F且与OQ垂直时，四边形OMQN的面积最大， 此时四边形OMQN的面积为2，即四边形OMQN面积的最大值为2． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知椭圆的左，右焦点分别为，，，离心率. (1)求椭圆C的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求四边形EPFQ面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）利用弦长公式表示面积，再利用换元，转化为函数问题求最值. 【详解】（1）由，即，又，即，，，故椭圆C的方程为. （2）设四边形EPFQ面积为S，当直线PQ与直线EF有一条斜率为0时，另一条斜率不存在，不妨设直线PQ斜率不存在，此时直线EF与x轴重合，，且PQ方程为，将与联立，求得两交点为，，，故. 当直线PQ与直线EF有一条斜率为可设直线PQ的方程为， ，，联立方程，得且恒成立， ，， 同理可得， 令，则，， 令，则， 在上单调递增，在上单调递减，，故. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省邯郸市)已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，左、右焦点分别为，，且焦点到渐近线的距离为．点P是双曲线上不同于A，B的任意一点，过点作的平分线的垂线（垂足为M）交直线于点Q，（O为坐标原点）．过右焦点的直线交双曲线的右支于C，D两点，记，的内切圆的圆心分别为，． (1)求双曲线的标准方程，并求出直线CD的倾斜角的取值范围． (2)（ⅰ）证明：，在一条定直线上．（ⅱ）求，到右顶点B的距离之差的取值范围． 【答案】(1)，；(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离和焦点距离求出双曲线的值，得到标准方程，通过直线与双曲线方程联立，结合韦达定理和判别式求解直线斜率的范围，进而得到倾斜角的范围. （2）（ⅰ）利用双曲线定义和内切圆性质，证明的横坐标均为，即它们在直线上；（ⅱ）由于的横坐标与右顶点相同，应用图形特征得出最后结合角的范围计算求解. 【详解】（1）焦点，到渐近线的距离均为b，故． 由角平分线的性质可知，在中，OM是中位线，则有． 又，即．又，，，所以，，所以双曲线的标准方程为．知，渐近线的倾斜角分别为，， 当CD是通径时，其倾斜角； 当CD不是通径时，可设其方程为，代入双曲线方程，整理可得，． 由，可得，所以或， 综上所述，． （2）（ⅰ）设C在第一象限内，内切圆与，，的切点分别为R，S，T， 则，，，所以． 因此，切点T是右顶点B，所以圆心在直线上； 同理，圆心也在直线上，从而在直线上．    （ⅱ）解：连接，，，，由（1）知，都垂直于， 且，平分，．知，． 当时，到右顶点B的距离之差为0． 当时，在，中，因为，所以，， 则，，所以． 因为，所以． 又，且，即或，所以或． 综上所述，，到右顶点B的距离之差的取值范围是． 8．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知双曲线的离心率为，其虚轴长为1， (1)求双曲线C的方程; (2)直线与双曲线C的右支交于M、N两点， ①求实数m的取值范围; ②若直线也与双曲线C的右支交于E、F两点，且与l垂直，求四边形EMFN面积的最小值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据题意列等式即可求解； （2）①根据题意联立方程组，由直线与双曲线C的右支交于M、N两点，得，即可求解； ②根据题意联立方程组，求得四边形的两条对角线的长度，根据四边形的两条对角线互相垂直，其面积为两条对角线乘积的一半，列式得，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）由题意可得，得，故双曲线C的方程为： （2）①设,联立， 直线与双曲线右支有两个交点，，得 ②由①可得，， ， 因为与l垂直，所以，同理可得， ，由可知，，且， ，， ， ，当且仅当，即时取到等号， 四边形EMFN面积的最小值为 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $