专题06 与数列有关的综合性问题（期末真题汇编，河北专用）高二数学上学期

专题06 与数列有关的综合性问题 9大高频考点概览 考点01 数列中的奇数项、偶数项问题 考点02 数列中的新定义问题 考点03 数列与不等式交汇 考点04 数列在实际问题中的应用 考点05 数列中的最值问题 地 城 考点01 数列中的奇数项、偶数项问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式，依次计算并探讨其周期，进而求出. 【详解】依题意，， 因此数列从第3项起是周期数列，周期为3，所以.故选：B 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知数列满足，，，成等比数列，为其前n项和，则的前10项和 . 【答案】171 【分析】分奇偶讨论，结合等差等比定义以及求和公式求解即可. 【详解】因为，则，因为，，成等比数列，所以，即，解得，即，当时，，不符合题意，所以，所以，，，且当n为偶数时，数列为等比数列，公比为2，当n为奇数时，数列为等差数列，公差为1，所以故答案为： 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)设为正项数列的前项和，若，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1)（）；(2) 【分析】（1）利用，得，两式作差，整理得是等差数列即可求解； （2）利用裂项相消和分组求和求解. 【详解】（1）由已知得：， 当时，，． 当时，得，． ，，数列是以2为首项2为公差的等差数列，（）。 （2）由已知得：，． ． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)设是公比大于0的等比数列，是等差数列.其中：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列、等比数列的知识来求得正确答案. （2）利用分组求和法、裂项求和法、错位相减求和法来求得. （3）先求得，然后令，由的值，可得数列的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围； 【详解】（1）设的公比为，的公差为， 则，，， 两式相加得，解得，负根舍去，，所以. （2）依题意， 设，， 两式相减得 ，所以. 设， 所以. （3）依题意，， ，则， 集合，设，， 所以当时，，当时，. 计算可得，，，，，因为集合有4个元素，. 地 城 考点02 数列中的新定义问题 一、多选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（    ） A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意可判断A中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D. 【详解】对A，序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误；对B，不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为， 将元素n冒泡到最右侧，需交换次次，将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次，， 故共需要，即最大交换次数，故B正确； 对C，只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确； 对D，当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列，使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2，则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置，若元素n+1在新序列的最后一个位置，则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个），若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换，故原序列交换次数为1（这样的序列有个），若元素n+1在新序列的倒数第三个位置，则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个），因此，，所以，显然，所以，故D正确.故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键. 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差d等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有； ④若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】对①：借助等差数列性质可得，结合定义，分及讨论即可得；对②：借助等比数列性质可得，结合定义，分及进行讨论，当时，结合等比数列求和公式分及讨论即可得；对③：借助绝对值不等式放缩可得，即可得存在满足题意；对④：结合③中所得，结合合理放缩可得，再结合等比数列求和公式计算即可得. 【详解】对①：由等差数列的公差为，则有， 若，则对任意的，总存在，使得，与题意不符， 若，则对任意的恒成立，符合要求；综上所述，的公差d等于0，故①正确； 对②：由等比数列的公比为，且各项均为正数，故，， 则，若，则， 此时对任意的，有恒成立，符合要求； 若，则， 若，则， 故对任意的，有恒成立，符合要求； 若，则， 当时，，故不存在符合条件的；综上所述，，故②错误； 对③：由题意可得对任意，有， 又， 故，又，故，即，即有， 则总存在，使得对任意，有，故③正确； 对④：设，由③知：对任意，总存在，使， 则， 则 ，故是“有界变差数列”，故④正确.故答案为：①③④. 【点睛】本题结论④中关键点在于借助③中所得，结合合理放缩得到. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 【答案】 6 【分析】根据的定义求得和，进而是以为首项，为公比的等比数列，结合等比数列前n项和公式计算即可求解. 【详解】由题意知，小于等于9且与9互质的正整数有，共6个，所以；小于等于的正整数有，与不互质的数是2的倍数，即，共个，所以与互质的数有个，即；小于等于的正整数有，与不互质的数是3倍数，即，共个， 所以与互质的数有个，即；所以，故数列是以为首项，为公比的等比数列，则. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列的各项均为正数，其前项和，. (1)求数列的通项公式： (2)设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）利用与的关系，结合等差数列的通项公式，以及已知条件，求解即可； （2）根据（1）中所求，结合对数运算求得的前项和，进而求得优化数，再利用等比数列前项和公式求解即可. 【详解】（1）由知，当时，，，，又，所以； 当时，，整理得：， 因为，所以有，所以数列是首项，公差的等差数列， 数列的通项公式为. （2）由知，， 数列的前项和为 ， 令，则有，， 由，知，，故且， 所以区间内所有“优化数”的和为. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在数列研究中，后一项与前一项的关系往往是人们关注的重点．例如：对于数列1，2，4，7，11，16，…，用其后一项减去前一项可得新数列：1，2，3，4，5，…，进而可利用等差数列的相关知识研究原数列．类比上述过程，一般地，对于数列，记，，，，则称数列为数列的“阶差数列”． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知，设为任意正数．证明：存在，当，，时总有． 【答案】(1)，，， (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列出方程，利用等比数列的定义，即可求解； （2）根据定义利用累加法求出数列通项，借助定义探求满足对恒成立的充要条件，即可求解范围； （3）根据，利用累加法及等比数列求和公式化简，放缩法寻找满足题意的值即可. 【详解】（1）因为，，，所以； 由题意，则，所以； 又因为，所以.综上可知，，，，. （2）若，则. 由 ， 因为，所以，即，故数列递增， 所以要使对恒成立，则必有， 即，所以，解得； 故是对恒成立的必要条件. 下面证明充分性： 若，即，又，即， 又，故成立；由，又递增，故， 故；又，则，故； 故满足对恒成立，即是对恒成立的充分条件. 综上所述，要使对恒成立，则的取值范围为. （3）由题意，当,，时， 所以 ，由，得， 则，要使恒成立，则只需， 解得，又，可取，当时，恒有成立.故对任意正数，存在正整数（如），当，，时总有． 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于准确理解“阶差数列”定义，利用累加法求通项，借助逐级差数列的之间递推关系及差数列的性质解决问题即可. 6．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 【答案】(1)，， (2)， (3) 【分析】（1）由新定义即可求解. （2）通过定义得到经第次扩充后增加的项数为，由求得，再设第次扩充后数列的各项为，再构造等比数列求得. （3）由错位相减法及等差数列求和公式即可求解； 【详解】（1）依题意，由，得，，；则，，；，，. （2）由数列经每一次扩充后是在原数列的相邻两项中增加一项，得经第次扩充后增加的项数为，则，即，而， 因此数列是首项为4，公比为2的等比数列，，所以； 设第次扩充后数列的各项为，则， 由每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和， 得 ，则， 而，，因此是首项为3，公比为3的等比数列，所以. （3）由（2）知，， 则， 令，则， 两式相减得， 因此，所以. 【点睛】关键点点睛：第二问：设经第次扩充后增加的项数为，得到. 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 【答案】(1)为等方差数列，不是等方差数列，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等方差数列的定义，即可判断； （2）根据等差数列及等方差数列的定义即可求解； （3）首先说明是等比数列，再根据等比数列和等差数列求和公式，即可求解． 【详解】（1）因为常数，所以数列为等方差数列，1为公方差； 因为，所以数列不是等方差数列； （2）因为是等差数列，设其公差为d， 则，又是等方差数列，所以， 故，所以， 即，所以，故是常数列； （3）由题意知数列是首项为1，公方差为2的等方差数列， 故，而，所以，是首项为1，公比为3的等比数列， 而新数列中项含前共有项， 令，结合，解得， 故数列中前30项含有的前7项和数列的前23项， 所以数列中前30项的和. 【点睛】解答与数列有关的新定义问题的策略： （1）通过给定的与数列有关的新定义，或约定的一种新运算，或给出的由几个新模型来创设的新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题设所提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. （2）遇到新定义问题，需耐心研究题中信息，分析新定义的特点，搞清新定义的本质，按新定义的要求“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以顺利解决. （3）类比“熟悉数列”的研究方式，用特殊化的方法研究新数列，向“熟悉数列”的性质靠拢. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)定义：若存在，，使得数列（，均为常数）是公差为的等差数列，则称是差比双重数列，也称是差比双重数列，且称为该差比双重数列的系数. (1)若数列是差比双重数列，且，求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且. ①试问是否为差比双重数列？若是，求该差比双重数列的系数；若不是，请说明理由； ②证明：. 【答案】(1) (2)①是，差比双重数列的系数为；②证明见解析. 【分析】（1）利用差比双重数列的定义再结合等差数列通项公式即可求得. （2）①由，可得当，，相减并构造新数列即可求出通项公式. ②由①得，进而得，再利用错位相减法求和即可得证. 【详解】（1）由数列是差比双重数列，得，， 则数列是首项为，公差为1的等差数列，， 所以数列的通项公式. （2）①由，当时，，解得， 当，，两式相减得： 整理得：，于是， 则数列是首项为，公比为的等比数列，因此，， ， 数列是公差为的等差数列，所以是差比双重数列，差比双重数列的系数为. ②由①知，则， ，则， 两式相减得 ，因此，所以. 【点睛】关键点点睛：最后一问解题的关键是将通项公式代入并放缩，再利用错位相减法求和得证. 地 城 考点03 数列与不等式交汇问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以，所以，所以是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以，由恒成立， 得恒成立，令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以.故选：B. 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由已知根据递推关系可得，由此可知，根据裂项相消法即可求解. 【详解】当时，，因为，当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式，所以，所以，当时，，当时，，若对任意恒成立，所以，即实数的取值范围为. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记Sn为等差数列的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求的通项公式； （2）若a1>0，求使得的n的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于和的方程组，求得和的值，利用等差数列的通项公式求得结果； （2）根据题意有，根据，可知，根据，得到关于的不等式，从而求得结果. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 根据题意有，解答，所以， 所以等差数列的通项公式为； （2）由条件，得，即， 因为，所以，并且有，所以有， 由得，整理得， 因为，所以有，即，解得， 所以的取值范围是： 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键. 4．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在各项均为正数的数列中，，， (1)设，求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析. 【分析】（1）变形给定的递推公式，再利用等比数列定义推理得证. （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得. （3）由（2）求出并放缩得，再利用不等式的性质及等比数列前项和公式计算得证. 【详解】（1）在正项数列中，，由， 得，则，， 又，因此，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，，，， 于是， 两式相减得，所以. （3）由（2）知，，当且仅当时取等号， 所以. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)6 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的定义、等比数列的通项公式进行求解即可； （2）对的表达式进行放缩，利用裂项相消法进行求解即可； （3）利用作差比较法，结合数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以当时，， 作差得，两边同时除以得， 又，所以，得，所以，故对， 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，则． 设等比数列的公比为，因为，所以由，或 又因以数列是递增数列，所以． （2）因为，所以 ． （3）由（1）知，即，令，则， ，所以当时，，当时，，当时，， 即有，，又， 故当时，，所以，，又， 所以，当时，，故使得成立的最大整数为6． 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是，之二是利用作差比较法判断数列的单调性. 6．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知是等差数列，是单调递增的正项等比数列，，且是与的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和的值求出；利用等比数列的通项公式和及是与的等差中项求出； （2）利用错位相减求出，然后代入不等式，分离参数，构造函数，再利用函数的单调性可得答案. 【详解】（1）设的公差为，的公比为，因为，所以， 解得，可得，解得，所以；所以， 由是与的等差中项得， 可得，解得，或舍去，所以； （2）由（1）得，可得，， 两式相减得，所以， 由恒成立，得恒成立，即恒成立， 令，则， ， 当时，，得，即， 当时，，得，即， 所以在上单调递增，在上单调递减，且，， 当时，，所以，所以. 地 城 考点04 数列在实际问题中的应用 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 【答案】B 【分析】根据已知有，应用累加法求通项公式，进而求. 【详解】因为， 所以，则.故选：B. 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（    ） A．161 B．162 C．163 D．164 【答案】B 【分析】设有个碳质骨架，由条件列关系式求碳质骨架的个数，此可得结论. 【详解】设有个碳质骨架，，由已知可得， 如果只有个碳质骨架，则骨架总数少于，所以， 所以，且，又解得，所以共有碳质骨架18个，故竹质骨架有162个， 故选：B. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 【答案】A 【详解】由题意得，数列如下： 则该数列的前项和为， 要使，有，此时，所以是第组等比数列的部分和， 设，所以，则，此时， 所以对应满足条件的最小整数，故选A. 二、非选择题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先求数列的前10项的和，再求数列的前10项和； （2）根据，对应系数，再代入求和公式； （3）首先求数列的通项公式，以及数列的通项公式，再根据公共项求数列的通项公式，由数列的形式，利用不等式放缩和裂项相消法求和，即可证明； 【详解】（1）在数列，，，…，中，，，，， 故， 即数列的前10项和为，常数列1的前10项和为10， 故数列前10项和为. （2）数列的通项公式为，在数列中，，，，， 故. （3）数列满足，则，，，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，，由（2）可知，，设数列中的第项等于数列中的第项，即，则是数列中的项. 不是数列中的项，不是数列中的项，是数列中的项，数列是以为首项，为公比的等比数列. ， 故. 地 城 考点05 数列中的最值问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质及前项和公式逐项判断即可. 【详解】由题意，，，则，故B错误；数列的公差，所以数列为递减数列，故A错误；由于时，，时，，所以的最大值为，故C正确；，故D错误.故选：C. 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 【答案】AD 【分析】由条件，结合等差数列求和公式及性质证明，判断A，由结合等差数列通项公式证明公差，判断B，利用求和公式证明当时，，结合，判断C，由时，，时，，结合前项和的定义判断D. 【详解】设数列的公差为，对于A，由，得，又，所以，故A正确；对于B，由A知，则，故B错误；对于C，当时，，当时，，又，所以当时，，且，所以当时，的最大值为8，故C错误；对于D，因为当时，，当时，，所以当取得最大值时，，故D正确.故选：AD. 3．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（    ） A． B．数列是递增数列 C． D．有最大值为 【答案】AC 【分析】利用等差数列通项以及等比中项定义计算可得，可得A正确；由于不明确公差的符号，所以BD错误，由等差数列前n项和公式可得C正确. 【详解】设等差数列的公差为，由是和的等比中项可得， 可得，即，即A正确；对于B， 由A可知，因为不知道的正负，因此公差的符号不确定，所以数列的单调性不确定，即B错误； 对于C，易知，所以C正确，对于D，根据B选项可知数列的单调性不确定，因此不一定有最大值，可得D错误. 故选：AC 三、非选择题 4．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 【答案】 【分析】利用定义法证明数列为等差数列，表示可得结果. 【详解】解法一：由得，当时，， 当时，，∴当取得最小值时，. 解法二：由得，， ∴数列是以为首项，为公差的等差数列， ∴，∴当取得最小值时，. 故答案为：. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 【答案】(1) (2)，的最大值为. 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据题意列出关于的等式，联立可得，即可求解； （2）利用等差的求和公式得到，结合二次函数性质求其最大值. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，所以，解得， 所以，所以； （2）由（1），， 所以当或时，取最大值，最大值为.所以，的最大值为. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 与数列有关的综合性问题 9大高频考点概览 考点01 数列中的奇数项、偶数项问题 考点02 数列中的新定义问题 考点03 数列与不等式交汇 考点04 数列在实际问题中的应用 考点05 数列中的最值问题 地 城 考点01 数列中的奇数项、偶数项问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)已知数列，满足：，，则的值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄市)已知数列满足，，，成等比数列，为其前n项和，则的前10项和 . 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)设为正项数列的前项和，若，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)设是公比大于0的等比数列，是等差数列.其中：，，. (1)求数列，的通项公式； (2)若，求数列的前项和. (3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围. 地 城 考点02 数列中的新定义问题 一、多选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（    ） A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”.给出以下四个结论： ①若等差数列为“有界变差数列”，则的公差d等于0； ②若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ③若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有； ④若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”. 其中所有正确结论的序号是 . 3．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)若正整数m，n的公约数只有1，则称m，n互质．对于正整数n，是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数．函数以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如，则 ．若数列的前n项和为，则 ． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列的各项均为正数，其前项和，. (1)求数列的通项公式： (2)设，若称使数列的前项和为整数的正整数为“优化数”，试求区间内所有“优化数”的和. 5．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在数列研究中，后一项与前一项的关系往往是人们关注的重点．例如：对于数列1，2，4，7，11，16，…，用其后一项减去前一项可得新数列：1，2，3，4，5，…，进而可利用等差数列的相关知识研究原数列．类比上述过程，一般地，对于数列，记，，，，则称数列为数列的“阶差数列”． (1)已知，，求，，，； (2)已知，若，且对恒成立，求的取值范围； (3)已知，设为任意正数．证明：存在，当，，时总有． 6．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列，扩充的次数记为，n次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为．扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，．已知数列． (1)求，，； (2)求，； (3)求数列的前n项和． 7．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)若数列满足（为正整数，为常数），则称数列为等方差数列，为公方差. (1)已知数列，的通项公式分别为：，，判断上述两个数列是否为等方差数列，并说明理由； (2)若数列既是等方差数列，又是等差数列，证明：数列为常数列. (3)若数列是首项为1，公方差为2的等方差数列，在（1）的条件下，在与之间依次插入数列中的项构成新数列：，，，，，，，，，，……，求数列中前30项的和. 8．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)定义：若存在，，使得数列（，均为常数）是公差为的等差数列，则称是差比双重数列，也称是差比双重数列，且称为该差比双重数列的系数. (1)若数列是差比双重数列，且，求的通项公式； (2)设数列的前项和为，且. ①试问是否为差比双重数列？若是，求该差比双重数列的系数；若不是，请说明理由； ②证明：. 地 城 考点03 数列与不等式交汇问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省唐山市)数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、非选择题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省石家庄二中)已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为 . 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)记Sn为等差数列的前n项和，已知S9=－a5． （1）若a3=4，求的通项公式； （2）若a1>0，求使得的n的取值范围． 4．(24-25学年·高二上期末·河北省廊坊市)在各项均为正数的数列中，，， (1)设，求证：是等比数列； (2)求数列的前项和； (3)求证：． 5．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)已知数列的首项为1，其前项和为，等比数列是首项为1的递增数列，若． (1)求数列和的通项公式； (2)证明：； (3)求使得成立的最大整数． 6．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知是等差数列，是单调递增的正项等比数列，，且是与的等差中项. (1)求数列和的通项公式； (2)记数列的前项和为，若关于的不等式恒成立，求的取值范围. 地 城 考点04 数列在实际问题中的应用 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省承德市)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋科学家沈括首创的“隙积术”就与高阶等差级数求和有关.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则（    ） A．210 B．209 C．211 D．207 2．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市枣强中学)由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅礴，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（    ） A．161 B．162 C．163 D．164 3．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市武强中学)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110 二、非选择题 4．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)北宋数学家沈括博学多才，善于观察.据说有一天，他走进一家酒馆，看见一层层垒起的酒坛，不禁想到：“怎么求这些酒坛的总数呢？”，沈括“用刍童（长方台）法求之，常失于数少”，他想堆积的酒坛、棋子等虽然看起来像实体，但中间是有空隙的，应该把他们看成离散的量.经过反复尝试，沈括提出对上底有ab个，下底有cd个，共n层的堆积物（如图），可以用公式求出物体的总数，这就是所谓的“隙积术”，相当于求数列ab，，，…，的和，“隙积术”给出了二阶等差数列的一个求和公式.现已知数列为二阶等差数列，其通项，其前项和为，数列满足，. (1)求数列的前10项和； (2)求； (3)数列和数列的公共项组成一个新的数列，设数列的前项和为，证明. 地 城 考点05 数列中的最值问题 一、单选题 1．(24-25学年·高二上期末·河北省衡水市至臻学校)已知是等差数列的前项和，且，，则（    ） A．数列为递增数列 B． C．的最大值为 D． 二、多选题 2．(24-25学年·高二上期末·河北省沧州市运河区颐和中学)设等差数列的前项和为，公差为，已知，则（    ） A． B． C．当时，的最大值为9 D．当时，取得最大值 3．(24-25学年·高二上期末·河北省保定市)已知等差数列前n项和为，公差为，是和的等比中项，则（    ） A． B．数列是递增数列 C． D．有最大值为 三、非选择题 4．（24-25学年·高二上期末·河北省邢台市)已知数列的前项和为，则当取得最小值时， . 5．(24-25学年·高二上期末·河北省邢台市四县联考)已知等差数列中， ,. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和，并求的最大值. 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $