圆柱截面曲线的探究（数学实验）教学设计-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学教学设计聚焦圆柱截面曲线探究，从生活情境（苹果、建筑材料截面）导入，通过切割火腿动手实验初步感知截面类型，再手动验证椭圆定义，最后教师演示丹德林双球模型论证，构建直观到理性的学习支架。 特色在于实物操作（火腿切割）、直观验证（颜色笔描轨迹）、历史模型（丹德林双球）与GeoGebra动态演示结合，培养数学眼光（观察截面现象）、数学思维（双球模型推理）、数学语言（实验报告与方程书写），提升学生空间想象与探究能力，为教师提供可操作的探究式教学方案。

圆柱截面曲线的探究实验教学设计 课程基本信息 学科 数学 年级 高三 学期 秋 季 课题 圆柱截面曲线的探究 设计理念 本节课设计为一场“数学发现之旅”。遵遵循“学生为主体，教师为主导”的教学理念，循“生活情境→动手实验→提出猜想→模型验证→严密论证”的完整探究路径。从生活实物到数学抽象，从直观感知到逻辑推理的过程，引导学生主动建构知识，发展空间想象能力、动手操作能力和严谨的逻辑推理能力。利用椭圆的定义验证截面为椭圆到引用丹德林双球模型，将学生对椭圆截面的直观认识，上升到用椭圆的几何定义（到两定点距离之和为定值）进行严格证明的高度，实现从感性到理性的飞跃，深刻体会数学的内在统一美。 实验教学重难点 重点：利用椭圆的定义和简单几何性质验证曲线为椭圆 难点：①验证截面曲线为椭圆 ②dandelion双球实验验证截面曲线为椭圆 实验教学目标 1. 知识目标 ·直观感知圆柱可能产生的截面形状。 ·理解并掌握用平面截圆柱所得截面的三种基本类型：矩形、圆、椭圆。 ·能够利用椭圆的定义和简单的几何性质解决简单的实际问题。 ·理解dandelion双球实验验证圆柱截面为椭圆。 2. 素养目标 ·经历“猜想-验证-分析-归纳”的完整探究过程。 ·通过小组合作，动手切割实物模型，获得直接的感性经验；增强团队协作意识和交流表达能力 ·培养敢于猜想、勇于实践、严谨求实的科学态度。 实验设计与创新点 1.实验采取对圆柱型火腿进行切割，更直观感受圆柱截面曲线的图形形状； 2.在实验利用椭圆定义验证的过程中，利用不同颜色的笔，去描出椭圆的轨迹，更直观感受与截面的图形重合； 3.类比于圆柱的探究截面的方法，提供了证明圆锥被平面所截得为椭圆的证明方法。 实验教学流程 ( 切圆柱形火腿，初步体会圆柱截面 手动验证圆柱的一种截面为椭圆，并写出其方程 教师演示：圆柱型的dandelion双球实验 教师演示：圆锥型的dandelion双球实验 ) 实验教学准备 学生分组准备（6-7人一组）： 1. 实验材料： 圆柱形火腿、棉线、图钉、塑料刀、直尺。 2. 绘图与记录： 实验记录单、笔、白纸。 3. 3D几何软件（如GeoGebra）制作的圆柱丹德林双球模型，用于动态演示。 教学过程 一、生活中的截面 日常生活中，几何体的截面随处可见，例如：切开苹果（图1），建筑材料的加工（图2）等，观察第二张图，该建筑材料类似于用平面去截圆柱所得，发现其有的截面为圆，有的截面为椭圆，今天我们就来研究圆柱的截面问题。 二、初步体会圆柱的截面 （一）动手操作：用小刀去切圆柱形状的火腿，初步体会截面的形状； （二）实物展示：在透明且密封的圆柱形容器中装有大约一半有颜色的水，通过将圆柱竖直、水平、倾斜放置，模拟圆柱被平面所截的平面，观察水面形状，即为圆形、矩形、椭圆形状。 结论： 截面与圆柱底面的位置关系 截面的形状 平行 垂直 倾斜（相交但是不垂直） 三、验证圆柱的一种截面为椭圆 通过实验发现，当截面与圆柱的底面形成一定的角度时，其截面与椭圆类似，那到底是不是椭圆，需要严谨的去判断。 （一）回顾椭圆的定义 定义 方程 画法 椭圆：是平面内的两个定点，是一个常数，且 ，则平面内满足的动点的轨迹称为椭圆，其中，两个定点 称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距． 在平的画板上取两个定点和，在这两个点上都钉上一个图钉，将一条长度为2且大于的细绳的两端固定在两个图钉上，用笔尖把细绳拉紧，并使笔尖在画板上慢慢移动一周，则画出的图形是一个椭圆． （二）验证截面为椭圆 1.手动实验 实验器材 已经被倾斜切割的圆柱形管道若干，A4纸，大头笔，图钉，没有延展性的细线，直尺，计算器，可定图钉的画板 实验步骤 步骤1：将一个截面印在A4纸上，描出边界（近似椭圆），剪掉外围空白部分； 步骤2：所得图形进行上下、左右对折，找出其长轴，短轴，利用公式，计算出焦点位置； 长轴 短轴 焦距 步骤3：剪一段长为的细线，将两端用图钉固定在两个焦点位置，用笔尖拉动细线，观察笔尖的轨迹是否在图形边界上运动。 步骤4：若满足为椭圆，通过合理建立直角坐标系，写出其标准方程 4、 Dandelin双球实验 历史上，法国人Dandelin还用个巧妙的方法进行验证，即Dandelion双球实验，我们跟着前人的脚步，来进行验证该截面为椭圆。 实验器材：Dandelion双球实验器材、GGB软件 步骤分解 老师操作 步骤1：介绍双球模型：当平面以任意角度斜截圆柱时，我们在圆柱内部放置两个半径等于圆柱底面半径的球，并让这两个球与平面分别相切，记切为点和; 步骤2：任取截口曲线上的一点，根据之前阐述的基本事实，从点向上方球面引出的切线与长度____。同样地，与长度_____。因此，无论点在截口曲线上如何移动，其到两个切点的距离之和+始终等于+，即定值_____（为两个球与圆柱公共部分沿母线方向的距离，且只要平面、球、圆柱的相对位置不变，就保持不变）。根据椭圆的定义，截口曲线即为以、为焦点的椭圆。 相同方法，验证圆锥的一种截面也是椭圆 思考：以下图形是平面截圆柱所得，你能求出该椭圆的长轴，短轴吗？ 五、课程总结及课后作业 （1） 课程总结 本节课时怎么来研究圆柱的截面的？怎样验证几何图形是椭圆？ 圆柱截面曲线是椭圆的相关知识，本节课包括实物展示、实验探究（如实验一和Dandelin双球实验）以及数学证明。这个过程旨在通过将三维空间问题转化为二维平面问题，来帮助理解椭圆的本质——即平面上任意一点到两定点的距离之和为定值。 （2） 课后实践作业 在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，例如行星运行轨道、椭圆的盘子；利用今天学习的方法，去判断家里面的盘子形状是否为椭圆，写出你的实验报告。 板书设计 圆柱截面曲线的探究实验 1.圆柱型管道截面为椭圆的证明： 2.Dandelion双球实验。 教学反思 1. 起点：直观感受 内容：让学生切圆柱形火腿，先观察圆柱被斜截后得到的截面是椭圆。 目的：建立第一印象，激发兴趣和疑问（“它看起来是椭圆，但怎么证明呢？”）。 2. 初步验证：实验一 内容：用简单的方法验证截面曲线满足椭圆的定义（即到两焦点的距离之和为常数）。 目的：让学生亲手操作，获得初步的、感性的确认，增强信心，为接下来的理论探究做铺垫。 3. 原理揭示：实验二 (Dandelin双球实验) 内容：通过精巧的Dandelin双球模型，解释为什么截面曲线必然是椭圆。 目的：这是本节课的核心与高潮。它将一个抽象的几何问题转化为直观的、可操作的模型，完美地揭示了现象背后的数学本质。这个实验本身就是逻辑推理的直观化体现。 4. 能力升华：三阶段教学法 GGB直观演示：利用现代技术（如GeoGebra）实现动态可视化，克服传统教具的局限，让抽象的几何关系“活”起来。 操作探究：学生动手或动脑参与探究过程，从被动的接受者变为主动的发现者。 证明结论：将实验观察到的现象，用严谨的数学语言进行逻辑论证，完成从感性认识到理性认识的飞跃。 、 学科网（北京）股份有限公司 $