专题05 幂函数与函数的应用（期末真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05幂函数与函数的应用 ☆7大高频考点概览 考点01幂函数的定义 考点02幂函数的定义域 考点03幂函数的值域 考点04幂函数的图象及应用 考点05幂函数的性质 考点06二次函数模型解决实际问题 考点07分段函数与分式函数模型的应用 考点01 幂函数的定义 一、 单选题 1.(2425高一上安微安庆期末)幂函数f八=(2m+刚r为增函数，则4=（) A.4 B.2 C.2 D.4 2. (24-25高一上：安徽合肥期末)已知幂函数（闭=r(a是常数）的图象经过点2,4刊，那么-2)- () A.4 B.-4 C.4 D.. 3.(24-25高-上安徽毫州期未)已知函数)=(n-2加+)×，则“n=2”是fy为幂函数”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高一上安徽芜湖期末)幂函数fd过点8,2,8=f,则不等式82a-<ga+2的 解集为() A.3+o B.（-0,3) 1/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.(24-25高一上安徽期末)已知幂函数/()=(m+2) 的图象经过点4,2），则m-n=（) A.-3 B.-2 C.-2 6。(24-25高一上安徽宣城期末)幂函数fx=(m2-m-1刂x-2m-2 在(0，+0)上递减，则实数m=() A.-2 B.-1 C.2 D.2或-1 二、多选题 2425高上安数煎山期末)已知点8，在系商数的图象上，则 A.偶函数 B.奇函数 (0,+0) 0,+0) C.在 上单调递减 D.在 上单调递增 三、填空题 。一2425高一上安徽合肥期末)暴函数y=的图象经过点24，则15)的值为 (11 9.(24-25高一上安徽蚌埠期末)若幂函数fx)的图象过点2’8， 则f(3)= 10.(2425高一上安微安庆期末)已知点P48到在幂弱数儿的图象上，则15等于一 1，(24-25高一上安徽期末)已知幂函数=（一m+1x“的图像关于”轴对称，则m= 12.(24-25高一上安微合肥期末)若器函数=-m-3m+3列x,且在xe0+四)上是增函数， 则实数m=一· 四、解答题 2/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 13.(2425商-上安微章阳期末)已知馨商数0-兮-2m)的国象过点（心。 (1)求实数n的值： 2设函数8)=f心)+[广，用单调性的定义证明：80在从+W)上单调递增。 14.(24-25高一上安徽六安期未)已知函数f)=(2m+mx为幂函数，且在区间0，+切上单调递增， 令8)=f(-(3a+fx+3 ①求函数的解析式 2当a=1时，求函数8在区间14上的值域： 3)若存在∈，4 使得8()≤0 成立，求实数a的取值范围. 考点02 幂函数的定义域 一、单选题 √2 1.(24-25高一上安徽·期末)己知幂函数f(x)=x“的图象过点2， 则下列说法中正确的是() A.f的定义域为R B. f八x 0,+00 的值域为 C.f八为偶函数 D. 为减函数 √2 2.(24-25高一上·安徽合肥·期末)己知幂函数f八x)=x“的图象过点 则下列说法中正确的是 x|x≠0} A.定义域为 B.值域为R C.偶函数 D.减函数 考点03 幂函数的值域 一、单选题 3/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1 1.(2425高一上安微阶段练习)已知幂函数f例的图像过点24，则《) A. f(x) 为减函数 f(x) 0,+o0) B. 的值域为 c.f() 为奇函数 D.f() 的定义域为R 2.(24-25高一上全国·专题练习)在下列函数中，定义域和值域不同的是() A.y=x3 B.y=x2 C.y=x3 D.少= 3.(24-25高一上安徽毫州期中)当a121,2,3} J时，函数y=xa的值域为R的a值有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(24-25高一上安微涂州期中)已知幂函数)=的图象经过点2，刊，则下列命题中不正确的是 () A.函数图象过点(-1，) B.当r∈l,2时，函数（取值范围是0,4 c.fw+f-)=0 D.函数单调减区间为∞，0) 二、多选题 5.(24-25高一上·安徽滁州·期中)对幂函数f(x)=x2,下列结论正确的是（) A.f的定义域是r≠0，x∈R B.f的值域是(0，+o C.f八的图象只在第一象限 D.(在0，+w)上递减 6.（24-25高一上·安徽开学考试)已知幂函数/的图像经过点2，V ,则下列命题正确的是(） 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 f(x) A. 为偶函数 B. f(x) (0,+0) 的值域是 C.若0<x<x2,则 f<(色到 2 D g(x)=f(x+1)-f(x)(0,+o) 是 上的减函数 目目 考点04 幂函数的图象及应用 一、单选题 1.（2425高-上安徽毫州期末)图中G,C,G分别为幂函数)=，y=,”=在第一象限 内的图象，则4,2，依次可以是() Cn A.2,3,-1 B。-1,3, c.2,-1,3 D.-1,2,3 1 2.(24-25高一上安徽滁州期末)在同一坐标系内，函数y=x(a≠0)和y=ar+。的图象可能是() 5/13 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 3.(24-25高一上·安徽·期末)幂函数y=x及直线y=x,y=1,=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦 限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧（如右图所示），那么幂函数y=x2的图象经过的“卦限”是 y=x ⑥ ⑤ -y=1 1 ① -y=x 1 A.④⑦ B.④⑧ C.③⑧ D.①⑤ 二、多选题 4.(24-25高一上·安徽铜陵期未)已知幂函数f(0= ,则下列结论正确的是() A,函数'=) (0,0),(1,1) 的图象都经过点 y=f(x) B.函数 的图象不经过第四象限 0,则函数在0，+w C.若> 在 上单调递增 D若0=2，则对任血实数石，有上儿生 目目 考点05 幂函数的性质 一、单选题 1.(24-25高一上·安徽蚌埠·期末)下列既是奇函数，又是增函数的是() 6/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.=+}B.f八到=x C.f(x)=x D.f(x)=x2 2.(2425高一上安藏宿州期末)已知函数(=，不等式1-+1仙>0 的解集为() A.(-0,2 B.(2,+o C.(-∞， D.(L+%) .(2425高-上安微合肥期末)已知函数-(m-m-列x是幂函数，对任意名，。0+四， 20若：bR:且b0,则7@+0的值) 且x≠x2,满足x一x2 A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 4.(24-25高一上·安徽期中)幂函数f(0=(m2-m-)x2- 在区间0，+)上单调递增，且a+b>0 则fa+fb) 的值() A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 5.(2425高一上安徽池州期末)已知琴函数f)=a-0r的图象过点2,8)，且6-2)<1-2) 则b的取值范围是() A.(0) B (1,2) C.(∞，) D.,+o) ,b∈R 6.(24-25高一上·安徽宣城期末)已知 ,且a>6 ,则下列不等式中正确的是() 1 1 A.a2b2 B.ab<b2 C.a+1b+1 D.d'b 7.(24-25高一上安徽合肥期未)已知a=2,b=35,c=256,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 二、多选题 8。(2425高一上安散芜潮期末)下图为幂函数”=/川的大致图象，则八刊的解折式可能为() 7/13 耐学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A.f()=xi B.f(x)=x C.f刘=x D.f(x)=x 三、填空题 9.(24-25高一上安徽期末)已知幂函数的图象经过点(243，，那么f)的解析式为一：不等式 f(x)≤3 的解集为一 10.(24-25高一上安徽六安·期末)安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年， 六安二中迎来百年校庆一一百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航2023年12月29日在海峰堂举行了 盛大的百年校庆庆典活动，若口是定义在R上的奇函数，对于任意给定的不等正实数X,,不等式 1923 1923 [f(x)-f(x) 71923 <0 122 f(x-2 x29-x39 恒成立，且f4=0设8（刘 x+2 为“海峰函数”，则满足“海 峰函数”8()2 的x的取值范围是一 1.(2425高一上~安徽蚌埠期末)写出一个具有性质①2③的幂函数八 ①f是奇函数：②在0，)上单调递增：③2)>3 12.(24-25高一上·安徽芜湖期末)已知幂函数f=(m-5m+7列x 是偶函数，则m= 8/13 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1B.(24-25高一上安徽淮南期末)若幂函数f(d=(m-2m-2x ”在区间0，+∞)上单调递减，则 1m= 14。.(24-25高一上安徽马鞍山期末)已知幂函数y=(m-2m-2) 在0，+o)上单调递增，则实数 m= 15.(24-25高一安徽宜城期末)若幂函数f()=(2m-6m+5到x- m,且在r∈(0，+0上是增函数， 则实数m=一· 16.(24-25高一上·安徽合肥期末)已知幂函数f(x)=x2,若fa+1)<f10-2a,则a的取值范围是一. 考点06 二次函数模型解决实际问题 一、解答题 1,(24-25高一上·安徽省六校联考·期末)己知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量x(x>0, 单位：Lmin)来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数y(单位：m/℃)与冷却液流量x满足关系 式y=-2x+12 同时，为了确保光刻精度，热膨张系数'必须满足不等式之2r-6x+7。 (1)要使y满足光刻精度要求，求x的取值范围： (2)在满足光刻精度要求的条件下，求y的最小值和最大值 2.(24-25高一上·安徽合肥市168中学·期末)环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选 择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速8Okh，经多次测试得到该汽车每小时耗电量M (单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的数据如下表所示： v(km/h) 0 20 40 80 M(Wh) 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的函数模型为： M(v)-+bv+cv. 40 (1)当0≤v≤80时，求出该函数模型的函数解析式： (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶100km,国道上行驶30km,若高速路上 该汽车每小时耗电量N(单位：Wh)与速度v(单位：kmh)的关系满足 9/13 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 N(v)=2v2-10v+200(80≤v≤120) ,则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 3.(24-25高一上·安徽省蚌埠市田家炳实验中学期末)某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时 t+20,0<t<25,t∈W 间1（天）的函数关系是P -t+100,25≤t≤30，t∈N,该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数 关系是2=-1+400<1≤30，t∈NW. 求这种商品的日销售金额’的最大值，并指出日销售金额最大的一天 是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量） 4.(24-25高一上·安徽省芜湖一中·期末)某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备， 预计使用该设备后，前x∈N)年的支出成本为10-2万元，每年的销售收入98万元使用若干年后 对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 总盈利额 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额= 年度 )达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. ()设前x年的总盈利额为少（不含设备处理收益），写出方案一中y与x的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由。 目目 考点07 分段函数与分式函数模型的应用 一、单选题 1.(24-25高一上·安徽省定远重点中学期末)根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位： 不<4 分钟)为)= ,x≥A4,C为常数).已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15 NA 分钟，那么c和A的值分别是 A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 10/13 专题05 幂函数与函数的应用 7大高频考点概览 考点01幂函数的定义 考点02 幂函数的定义域 考点03 幂函数的值域 考点04 幂函数的图象及应用 考点05 幂函数的性质 考点06 二次函数模型解决实际问题 考点07 分段函数与分式函数模型的应用 地 城 考点01 幂函数的定义 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽安庆·期末）幂函数为增函数，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义和单调性确定的值，再代入求值即可. 【详解】由题意知，解得：或，即或， 因为增函数，则，于是. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数 (α是常数)的图象经过点，那么（    ） A．4 B．-4 C． D．- 【答案】A 【分析】首先代入函数解析式求出，即可得到函数解析式，再代入求出函数值即可； 【详解】因为幂函数（是常数）的图象经过点， 所以，解得， 所以， 所以； 故选：A 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数，则“”是“为幂函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由为幂函数，可得或，然后根据逻辑命题判断即可. 【详解】函数为幂函数， 所以或， 则“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）幂函数过点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，代入点解出，再由单调性和偶函数的性质解不等式即可. 【详解】设， 由题意可得，解得， 所以在上单调递增，且，为偶函数， 所以， 解得，所以不等式的解集为. 故选：C 5．（24-25高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求解即可》 【详解】依题意可得, 所以, 又的图象经过点, 所以, 解得, 所以. 故选：D. 6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）幂函数在上递减，则实数（   ） A． B． C．2 D．2或 【答案】C 【分析】根据条件，利用幂函数的定义及性质，即可求解. 【详解】因为为幂函数，则， 即，解得或， 当时，在上递减，所以满足题意， 当时，在上递增，所以不满足题意， 综上，实数， 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知点在幂函数的图象上，则（   ） A．偶函数 B．奇函数 C．在上单调递减 D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】代入点的坐标求解，即可根据奇偶性的定义判断AB，根据基本函数的单调性判断CD. 【详解】设幂函数，代入可得， 故，因此， 对于A，由于函数的定义域为，关于原点对称， 且，故为奇函数， 且在上单调递减,故AD错误，BC正确. 故选：BC. 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）幂函数的图象经过点，则的值为 ． 【答案】25 【分析】设出幂函数，代入点求出解析式，再由解析式求函数值即可. 【详解】设， 因为图象经过点， 所以，解得， 所以，故. 故答案为：25 9．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）若幂函数的图象过点，则 . 【答案】27 【分析】代入已知点坐标求出幂函数解析式即可求, 【详解】设代入，即，所以，所以. 故答案为：27. 10．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知点在幂函数的图象上，则等于 . 【答案】 【分析】根据幂函数，可设，由在上求n，进而可求. 【详解】由题意，可设，又在上， ∴，即， ∴， 故答案为：. 11．（24-25高一上·安徽·期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则 . 【答案】1 【分析】由幂函数和偶函数的性质求解即可. 【详解】由于函数是幂函数，所以，解得或. 当时，，是奇函数，图象不关于轴对称； 当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1. 故答案为：. 12．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，判断在上是增函数即可． 【详解】若幂函数在区间上是增函数， 则由解得：或， 时，，是增函数， 时，，在上是减函数（不合题意，舍去）， 故答案为：2． 四、解答题 13．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求实数的值； (2)设函数，用单调性的定义证明：在上单调递增． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用幂函数的定义求出并验证，进而求出值. （2）由（1）求出，再利用增函数的定义推理论证. 【详解】（1）由是幂函数，得，解得， 当时，的图象不过点，不满足题意； 当时，的图象过点，所以. （2）由（1）知，，则， 任取，且， 则 由，得，则， ，， ， 因此，即， 所以在上单调递增. 14．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数为幂函数，且在区间上单调递增，令． (1)求函数的解析式； (2)当时，求函数在区间上的值域； (3)若存在，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性可得出关于的等式与不等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）令，求出函数在区间上的值域即可； （3）令，可得，不等式转化为，由参变量分离法可得，其中，结合基本不等式可求得的取值范围. 【详解】（1）因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得， 故. （2）当时，可得， 令，因为，所以，即可得， 所以，函数在区间上单调递减， 当时，，当时，. 所以函数在区间上的值域为. （3）令，因为，所以， 因为，即转化为， 由参变量分离法可得，其中，所以，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以， 综上可知，实数的取值范围为. 地 城 考点02 幂函数的定义域 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．为偶函数 D．为减函数 【答案】C 【分析】首先求出幂函数解析式，再根据幂函数的性质一一判断即可. 【详解】解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又 在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误； 故选：C 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（ ） A．定义域为 B．值域为 C．偶函数 D．减函数 【答案】A 【分析】结合幂函数性质逐项判断即可得. 【详解】因为幂函数的图象过点，所以， 所以，所以， 对A、B：因为，定义域为，值域为， 故A正确、B错误； 对C：，且定义域为，故为奇函数，故C错误； 对D：在区间，上单调递减， 由可知在定义域上不是减函数，故D错误. 故选：A. 地 城 考点03 幂函数的值域 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽·阶段练习）已知幂函数的图像过点，则（    ） A．为减函数 B．的值域为 C．为奇函数 D．的定义域为R 【答案】B 【分析】先求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质判断即可. 【详解】解：设，将代入，得，解得， 故，易知在上单调递增，在上单调递减，且值域为，故A选项错误，B选项正确； 的定义域为，且，为偶函数， C，D选项错误； 故选：B． 2．（24-25高一上全国·专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，定义域、值域相同； 由可知，,，定义域、值域相同； 由可知，，，定义域、值域不相同. 故选：D 3．（24-25高一上·安徽亳州·期中）当α∈时，函数y＝xα的值域为R的α值有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质可得. 【详解】解：， 的值域为； 的值域为； 的值域为； 的值域为； 的值域为； 所以使函数满足值域为的有个； 故选： 【点睛】本题考查幂函数的性质，属于基础题. 4．（24-25高一上·安徽滁州·期中）已知幂函数的图象经过点，则下列命题中不正确的是（    ） A．函数图象过点 B．当时，函数取值范围是 C． D．函数单调减区间为 【答案】C 【分析】根据题意计算出的值，然后根据幂函数的性质对四个选项进行判断，从而得到答案. 【详解】因为幂函数的图象经过点， 所以，解得 所以幂函数， 所以函数图像过，故A选项正确， 单调递减，单调递增， 所以当时，函数取值范围是 故B选项正确， 为偶函数，故C选项错误， 在上单调减区，故D选项正确. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的图像和性质，属于简单题. 二、多选题 5．（24-25高一上·安徽滁州·期中）对幂函数，下列结论正确的是（    ） A．的定义域是 B．的值域是 C．的图象只在第一象限 D．在上递减 【答案】BCD 【分析】根据幂函数的图象和性质，可判断答案. 【详解】对幂函数，的定义域是，因此A不正确 的值域是，B正确 的图象只在第一象限，C正确 在上递减，D正确 故选: ． 6．（24-25高一上·安徽·开学考试）已知幂函数的图像经过点，则下列命题正确的是（    ） A．为偶函数 B．的值域是 C．若，则 D．是上的减函数 【答案】CD 【分析】根据幂函数的定义，运用代入法，结合幂函数的性质逐一判断即可. 【详解】由函数是幂函数，设，又的图像经过点， 所以，∴，即． 对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以 ，所以，故C正确； D：，由函数单调性的性质可知中：函数是上的减函数，故D正确， 故选：CD 【点睛】关键点睛：本题考查幂函数的定义及性质，运用不等式的性质，结合函数单调性的性质进行判断是解题的关键. 地 城 考点04 幂函数的图象及应用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）图中，，分别为幂函数，，在第一象限内的图象，则，，依次可以是（    ） A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象，结合幂函数的性质判断参数的大小关系，即可得答案. 【详解】由题图知：，，， 所以，，依次可以是，，3． 故选：D 2．（24-25高一上·安徽滁州·期末）在同一坐标系内，函数和的图象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的图象与性质，分和讨论，利用排除法，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，若时，函数在递增，此时递增，排除D；纵轴上截距为正数，排除C，即时，不合题意； 若时，函数在递减，又由递减可排除A，故选B. 【点睛】本题主要考查了幂函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记幂函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 3．（24-25高一上·安徽·期末）幂函数y=x-1及直线y=x,y=1,x=1将平面直角坐标系的第一象限分成八个“卦限”：①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧（如右图所示），那么幂函数的图象经过的“卦限”是 A．④⑦ B．④⑧ C．③⑧ D．①⑤ 【答案】D 【分析】根据幂函数图象的特征可知，经过①⑤“卦限”. 【详解】幂函数，当时，图象经过且为“上凸”函数， 故选D. 【点睛】本题主要考查幂函数的图象特征，熟记指数对函数图象的影响，是求解本题的关键. 二、多选题 4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知幂函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象都经过点 B．函数的图象不经过第四象限 C．若，则函数在上单调递增 D．若，则对任意实数，有 【答案】BCD 【分析】A选项，举出反例；B选项，时，，B正确；C选项，根据幂函数性质得到C正确；D选项，作差法比较出大小. 【详解】A选项，当时，，不经过原点，A错误； B选项，当时，，故图象不经过第四象限，B正确； C选项，若，则函数在上单调递增，C正确； D选项，，， ， 故 ，当且仅当时，等号成立， 故，D正确. 故选：BCD 地 城 考点05 幂函数的性质 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）下列既是奇函数，又是增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于ABD：举例说明单调性即可得判断；对于C：根据幂函数性质分析判断. 【详解】对于选项A：因为，可知函数不为增函数，故A错误； 对于选项B：因为，可知函数不为增函数，故B错误； 对于选项C：由幂函数性质可知既是奇函数，又是增函数，故C正确； 对于选项D：因为，可知函数不为增函数，故D错误； 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合的单调性和奇偶性求得正确答案. 【详解】是在上单调递增的奇函数， 所以， 所以， 所以不等式的解集是. 故选：A 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数是幂函数，对任意，，且，满足，若，，且，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【解析】利用幂函数的定义求出m，利用函数的单调性和奇偶性即可求解． 【详解】∵函数是幂函数， ∴，解得：m= -2或m=3． ∵对任意，，且，满足， ∴函数为增函数， ∴， ∴m=3（m= -2舍去） ∴为增函数． 对任意，，且， 则，∴ ∴． 故选：A 【点睛】(1)由幂函数的定义求参数的值要严格按照解析式，x前的系数为1； (2)函数的单调性和奇偶性是函数常用性质，通常一起应用． 4．（24-25高一上·安徽·期中）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（   ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据题意求出函数解析式，再由奇偶性与单调性判断即可． 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或. 当时，；当时，. 因为函数在上是单调递增函数，故. 又，所以，所以，则. 故选：A. 5．（24-25高一上·安徽池州·期末）已知幂函数的图象过点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先根据题意得幂函数解析式为，再根据函数的单调性解不等式即可得答案. 【详解】解：因为幂函数的图像过点， 所以，所以，所以， 由于函数在上单调递增， 所以，解得：． 故的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查幂函数的定义，根据幂函数的单调性解不等式，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据幂函数的系数为待定系数求得解析式，进而根据单调性解不等式. 6．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知，且，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据特值法可判断ABC，构造函数可判断D. 【详解】对于A：若满足，则不满足，故A错误； 对于B：若满足，则不满足，故B错误； 对于C：若满足，则不满足，故C错误； 对于D：令，易知函数在R上增函数， 因为，所以，则，故D正确. 故选：D. 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分数指数幂和根式的互换，进而即可判断，，的大小． 【详解】由，，， 所以． 故选：A． 二、多选题 8．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案. 【详解】对于A、C，，，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确； 对于B、D，，，显然为偶函数，故B、D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．（24-25高一上·安徽·期末）已知幂函数的图象经过点，那么的解析式为 ；不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用幂函数过的点求出的解析式，再利用单调性解不等式即可. 【详解】设幂函数，依题意，，即，因此，解得， 所以函数的解析式为； 显然函数在上单调递减，且， 于是不等式为：，解得，即或， 所以不等式的解集为. 故答案为：； 10．（24-25高一上·安徽六安·期末）安徽省六安第二中学始建于1923年，悠悠历史翻开新篇：2023年，六安二中迎来百年校庆——百年二中，桃李芬芳；海峰传人，扬帆起航.2023年12月29日在海峰堂举行了盛大的百年校庆庆典活动，若是定义在上的奇函数，对于任意给定的不等正实数，，不等式恒成立，且，设为“海峰函数”，则满足“海峰函数”的的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据给定的恒成立的不等式，结合幂函数性质可得函数在的单调性，再借助奇函数性质求解不等式即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，， 则，即， 由，得，即， 又因为函数在上单调递增，因此， 所以函数在上单调递减， 而函数是上的奇函数，则函数在上单调递减，且， 由及，得， 因此或， 对于，可得： 当时，，，此时不等式组无解； 当时，，，不等式组的解为； 当时，，，则有，解得，即； 因此不等式组的解为； 对于，由，得，则，不等式组无解； 所以“海峰函数”的x的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可. 11．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）写出一个具有性质①②③的幂函数 ． ①是奇函数；②在上单调递增；③． 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用幂函数的图象和性质，判断满足性质①②③的幂函数. 【详解】由幂函数的性质可知，同时满足性质①②③. 故答案为：（答案不唯一） 12．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知幂函数是偶函数，则 . 【答案】3 【分析】先根据函数是幂函数，求得m，再验证是否为偶函数即可. 【详解】因为函数是幂函数， 所以，即， 解得或， 当时，是奇函数，不符合题意； 当时，是偶函数， 符合题意； 故， 故答案为：3. 13．（24-25高一上·安徽淮南·期末）若幂函数在区间上单调递减，则 . 【答案】 【分析】根据幂函数的定义求出值，再根据在上单调递减求值即可. 【详解】因为为幂函数，所以；解得或， 又因为在上递减，所以，故. 故答案为： 14．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知幂函数在上单调递增，则实数 . 【答案】3 【分析】根据给定条件，利用幂函数的定义及性质求出. 【详解】幂函数在上单调递增，则，解得， 所以实数. 故答案为：3 15．（24-25高一上·安徽宣城·期末）若幂函数，且在上是增函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】先根据幂函数的定义列方程求的值，再验证是否满足题意. 【详解】由幂函数的解析式可得，即，解得或， 当时，在上是减函数，不符合题意； 当时，在上是增函数，符合题意. 综上可知，. 故答案为：2. 16．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数，若，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】由幂函数在上单调递增可得，从而解得． 【详解】解：幂函数在上单调递增， 又， ， ，即 故答案为：． 【点睛】本题考查了幂函数的性质的应用，属于基础题． 地 城 考点06 二次函数模型解决实际问题 一、解答题 1．（24-25高一上·安徽省六校联考·期末）已知某型号光刻机的温度控制系统通过调节冷却液流量，单位：来控制温度，实验发现，光刻胶的热膨胀系数（单位：）与冷却液流量满足关系式，同时，为了确保光刻精度，热膨胀系数必须满足不等式． (1)要使满足光刻精度要求，求的取值范围； (2)在满足光刻精度要求的条件下，求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)的最小值为11，最大值为27 【分析】（1）根据题意列不等式，解一元二次不等式即可求解； （2），根据一元二次函数性质求得最值即可. 【详解】（1）根据题意得，化简得， 即，解得， 又，所以，所以的取值范围为； （2），该函数的图象是一条开口向上的抛物线， 其最小值在顶点处取得，即当时，取得最小值，为； 当时，取得最大值，为； 综上，的最小值为11，最大值为27. 2．（24-25高一上·安徽合肥市168中学·期末）环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择，某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速，经多次测试得到该汽车每小时耗电量（单位：Wh）与速度（单位：km/h）的数据如下表所示： 0 20 40 80 0 2400 4400 12000 国道上该汽车每小时耗电量与速度的函数模型为：. (1)当时，求出该函数模型的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从地行驶到地，其中高速上行驶，国道上行驶，若高速路上该汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1) (2)在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为，总耗电量最少，最少为 【分析】（1）代入表格中数据，通过解方程即可求出对应函数表达式； （2）对高速路段和国道路段分别求出耗电量和速度的关系式，结合对勾函数和二次函数的性质分别求出最小值即可． 【详解】（1）， 由表中数据可得， 解得， ． （2）高速路段长，所用时间为， 则所耗电量为， 由对勾函数的性质可知，在上单调递增， ， 国道路段，所用时间为， 则所耗电量为， ，当时，， 当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从地行驶到地的总耗电量最少，最少为． 3．（24-25高一上·安徽省蚌埠市田家炳实验中学·期末）某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是，该商品的日销售量（件）与时间（天）的函数关系是．求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天？（注：日销售金额=日销售价格×日销售量） 【答案】元；第25天 【分析】分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式，根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值取较大者即可解答． 【详解】∵日销售金额， ∴ . 当，，时，（元）； 当，，时．（元）； ∵，∴第25天日销售金额最大，（元）． 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查分类讨论的思想、二次函数求最值得方法以及问题转化的能力，属于中档题． 4．（24-25高一上·安徽省芜湖一中·期末）某公司为了提高生产效率，决定投入160万元买一套生产设备，预计使用该设备后，前年的支出成本为万元，每年的销售收入98万元.使用若干年后对该设备处理的方案有两种： 方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理； 方案二：当年平均盈利额（注：年平均盈利额）达到最大值时，该设备以30万元的价格处理. (1)设前年的总盈利额为（不含设备处理收益），写出方案一中与的函数关系式 (2)哪种方案较为合理？并说明理由. 【答案】(1) (2)方案二合理，理由见解析 【分析】（1）利用已知条件即可写出与的函数关系式； （2）分别写出两种方案的总利润以及所需要的时间，即可得出结论. 【详解】（1）根据题意可得， 则方案一中与的函数关系式为：； （2）方案一：， 当时，总盈利额取得最大值90万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 方案二：由（1）可得年平均利润额为 ， 当且仅当即时等号成立， 即当时，年平均盈利额最大为20万元，此时总盈利额万元， 此时处理掉设备，则总利润为万元； 综上，两种方案获利都是110万元，但方案一需要5年，而方案二仅需要4年， 故方案二合理. 地 城 考点07 分段函数与分式函数模型的应用 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽省定远重点中学·期末）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)＝(A，c为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是 A．75,25 B．75,16 C．60,25 D．60,16 【答案】D 【详解】由题意可得：f（A）==15，所以c=15而f（4）==30， 可得出=30故=4，可得A=16 从而c=15=60 故答案为D 二、解答题 2．（24-25高一上·安徽省亳州市第二完全中学·期末）某公司生产一类电子芯片，且该芯片的年产量不超过35万件，每万件电子芯片的计划售价为16万元．已知生产此类电子芯片的成本分为固定成本与流动成本两个部分，其中固定成本为30万元/年，每生产万件电子芯片需要投入的流动成本为（单位：万元），当年产量不超过14万件时，；当年产量超过14万件时，．假设该公司每年生产的芯片都能够被销售完． (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)如果你作为公司的决策人，为使公司获得的年利润最大，每年应生产多少万件该芯片？ 【答案】(1) (2)公司获得的年利润最大，每年应生产9万件该芯片 【分析】（1）分和两种情况，分别求出函数解析式； （2）结合二次函数及基本不等式求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）根据题意得， 当时，， 当时，， 故 （2）当时，，且当时，单调递增，当时，单调递减， 此时． 当时，，当且仅当时，等号成立． 因为，故当时，取得最大值24， 即为使公司获得的年利润最大，每年应生产万件该芯片． 3．（24-25高一上·安徽省黄山市屯溪第一中学·期末）某地为打造“生态水果庄园”，对某种果树进行调研.经调研发现，施用肥料千克时，这种果树的单株产量（单位：千克），单株施用肥料及其它成本的总投入为元.已知这种水果的市场售价大约为10元/千克，且销路畅通供不应求.记该果树的单株利润为（单位：元）． (1)求的解析式； (2)当施用肥料为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元 【分析】（1）根据可得的解析式. （2）利用二次函数的性质及基本不等式可求的最大值. 【详解】（1）由已知得，， ∵， ∴， 整理得，. （2）当时，，对称轴为直线， ∴. 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故， ∵，∴的最大值为390， ∴当施用肥料为3千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是390元． 4．（24-25高一上·安徽省滁州市定远县育才学校·期末）如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 (1)要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ (2)求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 【答案】(1) (2)，最小面积为48平方米 【分析】（1）先表达出AMPN的面积表达式，时解出不等式，即可知AN的取值范围. （2）令，将式子化成对勾函数后求最值. 【详解】（1）解：设的长为米（） 是矩形 由，得 ，解得或 即的取值范围为 （2）令，（），则 当且仅当，即时，等号成立，此时，最小面积为48平方米 5．（24-25高一上·安徽省六安市汇文中学·期末）某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米. (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围. 【答案】(1)米 (2) 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【详解】（1）设甲工程队的总造价为 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； （2）由题意可得，对任意的恒成立， 则，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 6．（24-25高一上·安徽黄山·期末）某文具店销售笔记本，根据销售数据，日均销量与售价存在分段规律．该文具店每日的固定成本为20元，每本笔记本的进价为2元．设笔记本的售价为每本元，日均销量为本．当时，；当时，． (1)写出该文具店的日均利润（元）的解析式．（利润=销售收入-成本） (2)当笔记本的售价定为每本多少元时，该文具店的日均利润最大？最大日均利润是多少？ 【答案】(1) (2)当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 【分析】（1）依题意,当时，当时，根据利润与售价的关系即可求得解析式； （2）根据相应解析式利用二次函数与基本不等式得最值，比较可得结论． 【详解】（1）当时， 当时， 综上， （2）当时，， 图象的对称轴为， 所以在上单调递增，最大值在处取到，为220； 当时， ， 当且仅当，即时，等号成立，且； 因为，所以当笔记本的售价定为每本7元时，该文具店的日均利润最大，为230元． 7．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂.经市场调研，生产需投入年固定成本为万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足万件时，（万元），在年产量不小于万件时，（万元），每件产品的售价为元，且该厂生产的产品当年能全部售完. (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元 【分析】（1）根据年利润的定义，分别考虑时年利润的表达式，由此可知结果； （2）当时，利用二次函数性质分析的最大值；当时，利用基本不等式求出的最大值，由此可知结果. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以. （2）当时，， 因为，所以； 当时，， 当且仅当，即时取等号，所以； 综上所述，当年产量万件时，该厂所获利润最大，最大利润为万元. 8．（24-25高一上·安徽省宣城市·期末）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： (1)写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） (2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【详解】（1）当时，； 当时，， 故； （2）当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $