专题07 三角函数（期末真题汇编，安徽专用）高一数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07三角函数 ☆7大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02三角函数的概念 考点03诱导公式 考点04三角函数的图象与性质 考点05三角恒等变换 考点06函数f(x)=Asin(ox+p) 考点07三角函数的应用 考点01 任意角和弧度制 一、单选题 1.(24-25高一上·安徽毫州期末)已知扇形0AB的周长为4，当扇形0AB面积最大时，圆心角∠A0B=() A.1 B.2 C.609 D.120° 2.（24-25高一上·安徽芜湖期末)伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑.该钟的时针长约 为28m,则经过2，时针的针尖走过的路程约为() A.0.4πm B.0.6πm C.0.8πm D.0.9πm 3.(24-25高一上·安徽铜陵期末)-2025°的终边在（) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4.(24-25高一上安徽蚌埠·期末)-1630°的终边在() A.第一象限B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5.(24-25高一上，安徽合肥阶段练习)下列说法正确的是() A.第二象限角比第一象限角大 B.60°角与600°角是终边相同角 C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D.将表的分针按慢10分钟，则分针转过的角的弧度数为于 6.(24-25高一上·安微池州期末)实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC是圆弧 形，A是弧BAC的中点，D是弦BC的中点，测得AD=10,BC=60(单位：Cm),设弧AB所对的圆心 角为日（单位：弧度），则弧BAC的长为() 1/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D A.300 B.400 C.1000 D.1200 二、多选题 7.(24-25高一上·安微合肥期末)下列说法正确的是() A.“x>2且y>3”是“x+y>5”的充要条件 B.弧长和面积均为的扇形的半径为2 C.“x>1,2x+1≥5”的否定是“]x>1,2x+1<5” D.函数y=xnx的零点是(1,0) 目目 考点02 三角函数的概念 一、单选题 1. (24-25高一上·安微蚌埠期末)已知角a的终边过点P(-l,√3)，则cosa的值为() A,月 C.3 2 D.-3 2 2.(24-25高-上安微马鞍山期未)“sina=5是“a=的() 2 3 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条 件 3.(24-25高一上安微宣城期末)已知函数f(x)为R上的奇函数，且f(-x)=f(2+x),当x∈[0，]， f)=2”+是，则2019+202的值为<) 3 A.2 B.0 c.2 3 D.4 1 二、多选题 4.(24-25高一上安徽黄山期末)下列说法正确的有（) 入元筑二象限角 B.已知角au的终边过点P(-3,4),则sina+cosa=5 1 C.经过30分钟，钟表的分针转过弧度 2/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D.若圆心角为的扇形的弧长为刀，则该扇形面积为3 三、填空题 5.(24-25高一上安徽黄山期末)已知tana=3,则sina-2cos0 2sina cosa 6.(24-25高一上安微毫州期末)已知a,B∈0，无 ,3sinB-cosa =3,sina +3cosB=2, ”2 o-β=」 7.(24-25高一上，安微蚌埠期末)fx)=sin(πcosx)在区间[0,2π]上的零点的个数是」 8.(24-25高一上安微宿州期末)实数x,y满足1og1sinx+ -0,则2m+4的值为 1P 9.(2425高一上安徽准南期末)在区间)范围内函数)=anx与函数y=si血x的图象交点有 个 四、解答题 10.(24-25高一上·安微铜陵期末)(1)已知角a的终边经过点P(-2,-3),求cosa-sina; (2)已知ina+cosg=3,求sin'a-cos'a, sina-cosa 11.(24-25高一上·安微毫州阶段练习)已知sinx-2cosx=0, (1)求2sin2x-sin xcosx-+cos2x的值； (2)求2sim'r-cosx的值 sinx+2cosx 12.(24-25高一上·安徽铜陵·期末)ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知 √3 acosB=bsinA (1)求角B的大小； (2)若b=3,求ABC面积的最大值 13.(24-25高一上·安徽宣城期末)如图，矩形ABCD中，AB=V5,BC=2,点M,N分别在线段AB,CD(含 端点)上，P为AD的中点，PM⊥PN,设∠APM=Q. P D M 3/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求角a的取值范围： (2)求出△PMN的周长I关于角a的函数解析式f(a),并求aPMN的周长I的最小值及此时oa的值. 目目 考点03 诱导公式 一、单选题 1.2425高-上安微宜城期末)设a(5x+a=ma≠ka+子ke乙则n-cos+a ,sin(a-3π)+cos(π-a) 的值 为() A.m+1 B.m-1 C.-1 D.1 m-1 m+1 2.242s有-上安微阜阳期未)已期as-引nr+引-5，则ar=（) A.5 B.3 C.√2 3 D.② 2 3. (2425高-一上安徽蚌埠期未)已知an0=2,则sn(径+0） +sinecos0=() A.5 c.2 5 4.245高一上安阳期末)若(-且0<则m+) A.22 B.1 c. 3 D.- √2 3 3 3 二、多选题 5.(24-25高一上·安微合肥期末)已知角a的始边为x轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为 p6 33 则() A.tana=√2 B.sin(-a)6 C.cos(r-a)=- 6.(24-25高一上·安徽毫州期末)在△ABC中，下列关系成立的是() A.sin(A+B)=sinC B.cos(+B)=cosC C.taB=tan 2 C D. 2 sin A+B-cosC 2 三、填空题 7.(24-25高一下.安微毫州期末)函数f(x=sin2x+cos2x的最小正周期是 4/18 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 9 sin(a-2025πjcos 。π-0 8. （24-25高一上·安微芜湖期末)化简： 2 cos2024π-a)tanπ+a) 四、解答题 9.(24-25高一上·安微合肥期末)计算： (1)sin- 25 6 3+tan 25π +1051g2-2e5; 4 1 (2)log;27-logs 27-log,2-218-g- 3-1g30. 10.（24-25高一上·安微毫州期末)如图，点P(3,-4是角终边上一点. (1)求sina,cosa,tana; (2)化简并求值 in(π+a)+cos(π-a) tan(-a)cos-π+ai 11.(24-25高一上安徽合肥期末)已知函数fa)=- tan(π+au）sin(2m-oa) (1)化简f(a) 12.(24-25高一上安徽合肥期末)已知cosa=-1并且a是第二象限的角 (1)求sina和tana的值： 2sin(5π-a)-3sin( (2)求 一的值 cos(-a-2π)-cos(a- 21 目目 考点04 三角函数的图象与性质 一、 单选题 1.(24-25高一下，安微蚌埠期末)下列函数中，最小正周期为的偶函数是() 5/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.y=cosx B.y=sin 2x C.y=sinx D.y=tanx 2.(24-25高一上安徽合肥期末)已知a=e1，b=n写，c=sin2025,则a,b,c的大小关系是（） A.a>b>c B.axcxb C.b>cxa D.c>a>b 3.(24-25高一上·安微合肥期末)己知函数gx),h(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且 g(x)+h(x)=cosx+sinx-x,若函数f(x)=3-025+元g(x-2025)-222有唯一零点，则实数元的值为() A.-1或号 B.-2或1 C.-1或2 D.1或号 二、多选题 4.(2425高=二下安徽阜阳期末)已知函数f-}=amx,则以下说法正确的是（） 1+tan?x A.(x)的最小正周期为刀 B.f(x)的值域为[-l,] C.f(x)的对称中心为(kπ，0)k∈Z) D.)的单调递减区同为红，红+keZ 5.(24-2高一上交微芜湖期末)已知)=4c0s@x+p4>0,@>00s0≤到为奇函数，B,C为 f(x)的图象上相邻的两个零点，D为f(x)的图象上位于B,C之间的最高点（或最低点），若BD⊥DC, 且△BCD的面积为子，则() A.f(x)的最小正周期为2 B.f(x)的值域为[-1,1] C的单调篷州K同为24号2+ke2 2 D.f(x)图象的对称中心为点(k,O)k∈Z) 6.(24-25高一上·安微合肥期末)已知函数f(x)=cos2x-sinx,则下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为刀 B.f()关于直线x=对称 C.f(x)的值域为[0,2 D.∫(x)=1在区间[0,2π上恰有7个不同的实数根 6/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25高三上安徽阜阳期末)若将函数f(x=√2sm2x+的图象向左平移”个单位长度，得到函 4 数g(x的图象，则下列说法正确的是() A.g()=2cos2x+ B.x刘在42 ππ 上单调递减 C.若f(x)在[0，a上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是 7π11π 88 D.若()在[0，上的最大值为g0),则实数1的最大值为 6 三、填空题 8.(24-25高一上，安微六安期末)己知函数f(x=2sin(ox+p,其中o>0,0<p<π，且 恒成立，若f(x)在区间 0,9 上恰有3个零点，则ω的取值范围是 四、解答题 9. (24-25高一下·安徽安庆期末)已知函数f(x=3sin(@x+p)(0>0,p<)的周期为4π，且过点 后 (1)求o,9的值； (2)求函数f(x)在[-4π，-π]上的单调递减区间 10.(24-25高一上·安微芜湖·期末)已知函数f(x)=Asin(ox+p(A>0,0<o<5,pkπ)，且 (1)求0的值； (2)求f(x)在区间[0，π]上的单调递减区间； (3)若关于x的方程[f(x)]-2af(x)+a2-1=0在区间[0，π上有且仅有4个不同的实数解，求实数a的取值范 围 1.（2425商一上安微淮北期未)设函数f(y=a2x-到引 (1)求函数f(x)的定义域： (2)求函数f(x)的单调递增区间； (3)求不等式f(x≤V3的解集 7/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(24-25高一上·安微安庆期末)设x,是函数y=f(x的零点，x2是函数y=g(x的零点，若 x-x≤0.5，则称函数y=f(x与函数y=g(x是“零点相近函数 (1)已知f(x)=2-3(x∈R)与函数gx=sinx+1(1<x<2),判断函数y=f(x与函数y=g(x是否为零 点相近函数”，并给出理由； (2)若函数f(x)= n2-小，≤0，。与函数g=x+4-a是零点相近函数”，求实数的取值范围： 2x2-3x-5,x>0, (3)若函数fx=r2-1n2-a-a2+4a-4r>0)与函数g)=cos(x-a-K-a2-1xeR是零点相近函 数”，求实数a的取值范围 考点05 三角恒等变换 一、单选题 1. (24-25高一下.安微蚌埠期末)已知tan +a=2,则sina-cosa=（) 4 sina cosa A.-2 B.2 D.2 2.(24-25高一上·安徽毫州期末)已知角的顶点与原点0重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边 过点P43) 若角B满足cos(a+B)= 12 5'5 13 则cosB的值为() A. 33 56 65 B. 65 D. 65 3.2425高-上安微毫州期末)若tana2，,则sina+n2a=） A.月 B.1 C. 6 D.g 4.(24-25高二下.安微宣城期末)己知V5sina+cosa=2,则tana=() A.3 B.5 D.-5 3 C.-3 3 5. (24-25高二下.安徽阜阳期末)sin40'(tan10°-V5)的值为() A.-1 B月 C.3 2 D.-3 4 二、多选题 6.(2425高一上安徽合肥期末)已知函数(y=Acos(x+p)+B(4>0,0>0,<5)的部分图 象如下图所示，则() 8/18 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A/4 3 16 -2 A.f(x)=3co 4+ B. (怎是八国的一个对称中心 。.八的单调区为+冬。+经]e2 D.若实数，名满足f(x)=f()=弓，则-的最小值为 7.(24-25高一下·安徽宣城期末)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确的是 () A.若A=45°，a=2,b=2√2，则ABC只有一解 B.若AB.BC>0,则ABC为钝角三角形 C.若ABC的外心为O,AB=3,AC=5,则AO.BC=-8 D.若a-b=c.cosB-c.cosA,则ABC的形状是直角三角形 8.(24-25高一下·安徽蚌埠·期末)已知函数f(x)=siox-√3 cos@x-2,o>0在区间(0，π)上恰有两个零点， 则o的可能取值为() A月 25 B.3 C.4 D. 6 三、填空题 9.(2425高-上安微六安期末)1+cos20-sin10×(1 2sin20 tan5 -tan5)=— 48.(2425高-上安徽合肥期未)若r+3y+3w=4,则x-的范围为一 四、解答题 10.（24-25高一上·安徽宣城期末)为推进乡村振兴战略实施，建设美丽宜居乡村，某村准备将一块由一 个半圆和长方形组成的空地进行美化.如图，长方形的边AB为半圆的直径，O为半圆的圆心， AB=2AD=200m,先要将此空地规划出一个等腰三角形区域PMW(PM=PN,底边MN⊥CD,MN交 AB于点E)种植树木，其余的区城种植花卉，设∠M0B=0,0∈0引 9/18 扇学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M B D W (①)当0=严时，求APMN的面积： 6 (2)当O为何值时，△PMN的面积最大 11.（24-25高一上·安微宣城期末)计算下列各式： (101og23-log8+(←π)°-64+0.1253 (②若ina+2cosa=2.求，20+sin2a）的值. 4cosa-sina 1+sin 2a +cos 2a 12.(24-25高一下安徽蚌埠期未)已知f)=sin2x+ sin 2x--2cosx+1 6 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间 π5π 12'12 上的最大值和最小值以及相应的x的取值； (3)若0为锐角， 0π】6 /224,求cos0 13.(24-25高一下·安徽毫州期末)给定常数teR,若存在实数x,,使得fx)=x。,则称x为f(x)的t xπ 倍伸缩点.已知函数gx)=2sin。sin 2(26 ,x∈R ①)若函数8)的：倍伸缩点是求1的值： (2)已知函数h(x=x2-4x+2在区间(0，+0）内存在两个相异的t倍伸缩点 (i)求t的取值范围； (i)取1的最小整数值元，.求方程g时=6+5的解集 2 14.(24-25高一下·安微阜阳·期末)对定义域分别是D,D.的函数y=f(x),y=g(x),规定：函数 fx)gx,x∈Dr且x∈Dg, h(x)=f(x),x∈D,且xED., g(x,xEDr且x∈D. (1I)若f(x)=tanx,g(x)=cosx,写出h(x)的解析式： 10/18 专题07 三角函数 7大高频考点概览 考点01任意角和弧度制 考点02 三角函数的概念 考点03 诱导公式 考点04 三角函数的图象与性质 考点05 三角恒等变换 考点06 函数 考点07 三角函数的应用 地 城 考点01 任意角和弧度制 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 【答案】B 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解； 【详解】设半径，， 所以， 则扇形面积为， 当且仅当时取等号，此时，圆心角（弧度）， 故选：B． 2．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）伊丽莎白塔俗称“大本钟”，是英国伦敦的标志性建筑．该钟的时针长约为2.8m，则经过，时针的针尖走过的路程约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由弧长公式即可求解； 【详解】因为时针每转一周， 故经过，时针的针尖转过的弧度数为， 走过的路程约为． 故选：C 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）的终边在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据题意可得，进而分析象限角即可. 【详解】因为，且为第二象限角， 所以的终边在第二象限. 故选：B. 5．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．第二象限角比第一象限角大 B．角与角是终边相同角 C．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 D．将表的分针拨慢分钟，则分针转过的角的弧度数为 【答案】D 【分析】举反例说明A错误；由终边相同角的概念说明B错误；由三角形的内角的范围说明C错误；求出分针转过的角的弧度数说明D正确． 【详解】对于，是第二象限角，是第一象限角，，故A错误； 对于B，，与终边不同，故B错误； 对于C，三角形的内角是第一象限角或第二象限角或轴正半轴上的角，故C错误； 对于D，分针转一周为分钟，转过的角度为，将分针拨慢是逆时针旋转， 钟表拨慢分钟，则分针所转过的弧度数为，故D正确． 故选:D． 6．（24-25高一上·安徽池州·期末）实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂是圆弧形，A是弧的中点，是弦的中点，测得，（单位：），设弧所对的圆心角为（单位：弧度），则弧的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出弓形所在圆的圆心，连接，，设圆半径为，根据垂径定理求出的值，再根据弧长公式即可得结果. 【详解】如图， 作出弓形所在圆的圆心，连接，， 设圆半径为，则在中，， 解得，故弧的长， 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）下列说法正确的是（   ） A．“且”是“”的充要条件 B．弧长和面积均为的扇形的半径为2 C．“，”的否定是“，” D．函数的零点是 【答案】BC 【分析】对于A，利用充要条件的概念判断即可；对于B，利用扇形的面积公式计算可得半径，即可判断：对于C，全称量词命题的否定为存在量词命题，判断即可；对于D，根据函数的零点不是点，即可判断. 【详解】对于A，当“且”时，“”一定成立， 当“”时，“且”不一定成立，比如， 所以“且”是“”的充分不必要条件，故A错误； 对于B，因为扇形的弧长和面积均为，则扇形面积， 因为弧长，则半径，故B正确； 对于C，“，”的否定是“，”，故C正确； 对于D，函数的零点是1，不是点，故D错误. 故选：BC. 地 城 考点02 三角函数的概念 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知角的终边过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数的定义求解. 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，；反之当时，或， 因此“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数为R上的奇函数，且，当，，则的值为（ ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=0，结合函数的解析式可得a的值，又由)，结合函数的奇偶性可得即函数f(x)是周期为4的周期函数，据此可得f(2019)、f(2020)的值，计算可得答案. 【详解】根据题意,函数为R上的奇函数，则，又由时，则有，解可得:a=-1，则有. 又由，即，则有，即函数是周期为4的周期函数. 则， ， 所以. 故选：A 二、多选题 4．（24-25高一上安徽黄山·期末）下列说法正确的有（   ） A．是第二象限角 B．已知角的终边过点，则 C．经过分钟，钟表的分针转过弧度 D．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 【答案】BD 【分析】根据终边相同的角即可判定A，根据三角函数的定义即可求解B，根据顺时针即可判定C，根据扇形弧长以及面积的计算公式即可求解D. 【详解】对于A，，由于为第三象限的角，故为第三象限的角，A错误， 对于B，角的终边过点，则，故，B正确， 对于C，经过分钟，钟表的分针是顺时针转动，故转过弧度，C错误， 对于D，由于圆心角为的扇形的弧长为，故扇形的半径为，则该扇形面积为，D正确， 故选：BD 三、填空题 5．（24-25高一上·安徽黄山·期末）已知，则 . 【答案】 【分析】由得，代入所求式子可得答案. 【详解】若，则， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知，则 . 【答案】/ 【分析】平方相加可得，即可根据角的范围求解. 【详解】将两式平方, 相加得，即， 因为，所以，所以. 故答案为： 7．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）在区间上的零点的个数是 . 【答案】5 【解析】由，求出的范围，根据正弦函数为零，确定的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】, 时, ,， 当时，的解有， 的解有， 的解有, 故共有5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题. 8．（24-25高一上·安徽宿州·期末）实数x，y满足，则的值为 . 【答案】 【解析】由实数满足可得，从而求出结果 【详解】实数x，y满足， 且， ，， 故答案为： 【点睛】本题考查函数与方程的关系，属于基础题 9．（24-25高一上·安徽淮南·期末）在区间范围内,函数与函数的图象交点有 个. 【答案】1 【解析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数， ∴，解得：， ∴方程只有一解， ∴函数与函数的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力. 四、解答题 10．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案； （2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案. 【详解】（1）由三角函数定义可知 ， 所以； （2），故， 则. 11．（24-25高一上·安徽亳州·阶段练习）已知， （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】（1）由，得到，化简为齐次式，即可求解； （2）由三角函数的基本关系式，联立方程组，求得的值，再结合三角函数的基本关系式，化简得到，代入即可求解. 【详解】（1）由题意，因为，可得， 又由 . （2）联立方程组 ，可得， 又由（1）知， 可得. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，以及化简为“齐次式”求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 12．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）中，角所对的边分别为，已知. （1）求角的大小； （2）若，求面积的最大值. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由正弦定理化边为角，再由同角间的三角函数关系化简可求得； （2）利用余弦定理得出的等式，由基本不等式求得的最大值，可得面积最大值． 【详解】（1）∵，∴，又， ∴，即，∴； （2）由（1）， ∴，当且仅当时等号成立． ∴， ，最大值为． 【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，考查同角间的三角函数关系，考查基本不等式求最值．本题主要是考查的公式较多，掌握所有公式才能正确解题．本题属于中档题． 13．（24-25高一上·安徽宣城·期末）如图，矩形中，，点分别在线段（含端点）上，为的中点，，设. (1)求角的取值范围； (2)求出的周长关于角的函数解析式，并求的周长的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)；当时，的周长取得最小值为 【分析】（1）由图形可知当点位于点时，角取最大值，当点位于点时，角取最小值，求解即可. （2）结合图形中的直角三角形，利用三角函数和勾股定理，把的三条边用角表示，可求出，再利用换元法，通过函数单调性求最小值. 【详解】（1）由题意，当点位于点时，角取最大值，此时， 因为，所以， 当点位于点时，由对称性知取最大值，角取最小值， 所以角的取值范围是. （2）在直角中，， 在直角中，且，所以， 在直角中，由勾股定理得，， 因为，所以，所以， 所以， 令，因为，所以， 又由， 可得，且在上单调递减， 当时，，此时，即， 综上，当时，的周长取得最小值，最小值为. 【点睛】易错点睛：平面几何与三角函数结合的题目，在三角函数这一部分，要注意角的取值范围，要与几何图形表示的结果相一致，特别是求范围和最值的内容. 地 城 考点03 诱导公式 一、单选题 1．（24-25高一上·安徽宣城·期末）设则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解． 【详解】解：， ，又 所以原式， 故选：A． 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据诱导公式进行化简，再根据同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】因为， 所以， 两边平方得， 即， 即，即， 故， 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先利用诱导公式将转化为，然后将式子转化为关于的表达式，最后代入求值. 【详解】根据诱导公式，可得. 则. 将上式分子分母同时除以，得到. 分子分母同时除以，则.   已知，将其代入，得到. 故选：B. 4．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由诱导公式将转化为，再由同角三角函数关系式求解即可，注意角的范围对函数值正负的影响． 【详解】 因为，所以 ， 故选：A． 二、多选题 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知角的始边为轴的非负半轴，角的终边与单位圆的交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据三角函数的定义可得，，即可结合诱导公式逐一求解. 【详解】由题意可知：，， 故，，，故BCD正确，A错误， 故选：BCD 6．（24-25高一上·安徽亳州·期末）在中，下列关系成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】应用三角形内角关系结合诱导公式计算求解各个选项即可. 【详解】由已知，所以，A正确； ，所以B错误； 因为，， ，故C错误D正确． 故选：AD． 三、填空题 7．（24-25高一下·安徽亳州·期末）函数的最小正周期是 . 【答案】 【分析】根据周期公式和诱导公式求解即可. 【详解】因为， 且， 所以的最小值正周期是， 故答案为：. 8．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）化简： . 【答案】 【分析】应用诱导公式计算化简. 【详解】 . 故答案为： 四、解答题 9．（24-25高一上·安徽合肥·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算法则结合诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据对数运算法则求解即可. 【详解】（1）原式 ； （2）原式 . 10．（24-25高一上·安徽亳州·期末）如图，点是角终边上一点． (1)求，，； (2)化简并求值． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】（1）运用三角函数定义计算即可；（2）运用诱导公式化简，结合同角三角函数关系式计算即可. 【详解】（1）由已知点是角终边上一点，得， 则，所以，； （2）. 11．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)化简 (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据诱导公式化简即可． （2）由题意得，又由题意得到，根据与的关系求解． 【详解】（1）由题意得. （2）由（1）知． ∵， ∴， ∴. 又， ∴， ∴. ∴. 12．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知 并且α是第二象限的角 (1)求sinα和tanα的值： (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系求解； （2）根据诱导公式化简，再由同角三角函数的基本关系求解. 【详解】（1），并且是第二象限的角， ，                     （2）                       . 地 城 考点04 三角函数的图象与性质 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列函数中，最小正周期为的偶函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对A，利用余弦函数的周期性判断；对B，由是奇函数，可判断；对C，作出函数的图象可判断；对D，举反例说明周期不是. 【详解】对于A，的最小正周期为，不合题意，故A错误； 对于B，是奇函数，不合题意，故B错误； 对于C，作出函数的图象如下图所示：      由图可知，函数是最小正周期为的偶函数，故C正确； 对于D，设，因为， ，所以， 所以的周期不是，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数、正弦函数的性质判断，，的范围，即可比较，，的大小. 【详解】由题可知， ， ， 故， 故选：B. 3．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则实数的值为（    ） A．或 B．或1 C．或2 D．1或 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得的图象关于对称，即得，代入求解即可. 【详解】因为，① 分别是定义在上的偶函数和奇函数， 所以， 即，② 由①+②，得， 由①-②，得， 又因为有唯一零点， 即有唯一解， 因为为偶函数，图象关于轴对称， 所以图象关于轴对称， 的图象也关于轴对称， 所以的图象关于轴对称， 所以，即，解得或. 经检验，时，对任意恒成立，因为关于对称， 所以对任意恒成立，即时,有唯一零点，符合题意，同理符合题意． 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知函数，则以下说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．的值域为 C．的对称中心为 D．的单调递减区间为 【答案】AD 【分析】利用同角三角函数的基本关系式即余弦的二倍角公式将化简，再利用周期公式计算周期判断A选项；根据的定义域求出值域判断B选项；利用整体代入法求出对称中心判断C选项；利用整体代入法求出单调递减区间判断D选项. 【详解】，定义域为， 的最小正周期为，故A正确； 的定义域为，值域为，故B错误； 令，则， 的对称中心为，故C错误； 令，则， 的定义域为，的单调递减区间为，故D正确. 故选：AD. 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知为奇函数，B，C为的图象上相邻的两个零点，D为的图象上位于B，C之间的最高点（或最低点），若，且的面积为，则（    ） A．的最小正周期为2 B．的值域为 C．的单调递增区间为 D．图象的对称中心为点 【答案】AD 【分析】由为奇函数，得，由的面积求得，，得到，再利用正弦函数的性质求得最小正周期，值域，单调区间，对称中心即可判断各选项. 【详解】因为为奇函数，所以，， 由及对称性，可知为等腰直角三角形， 所以，， 故，所以，， 所以，其最小正周期为2，值域为，故A正确，B错误； 令，可得， 所以的单调递增区间为，故C错误； 令，解得，所以图象的对称中心为点，故D正确． 故选：AD. 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．关于直线对称 C．的值域为 D．在区间上恰有7个不同的实数根 【答案】BCD 【分析】对于A，根据周期函数的定义即可验证；对于B，根据三角函数的对称性进行验证即可；对于C，有绝对值，分段讨论，去掉绝对值，即可求出值域；对于D，结合C选项的分析，分段讨论，即可求解. 【详解】由题可知，故A错误； ， ，故B正确； ， 当时，， 当时，， 所以的值域为，故C正确， 当时，， 则，则，，，或，则，. 当时，， 解得（舍）或者， 此时在上有两个解，，综上，共有七个解. 故选:BCD. 7．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递减 C．若在上有且仅有2个零点，则实数的取值范围是 D．若在上的最大值为，则实数的最大值为 【答案】ABC 【分析】由三角函数的平移变化求出，再根据三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，将函数的图象向左平移个单位长度， 可得函数，故A正确； 对于B，， 又在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确； 对于C，令，可得， 解得：，当时， 当时，当时， 故若在上有且仅有2个零点， 所以，即实数的取值范围是，故C正确； 对于D，， 令，则或， 解得：或， 故若在上的最大值为，则实数的最大值为，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 8．（24-25高一上·安徽六安·期末）已知函数，其中，，且恒成立，若在区间上恰有个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到，再由范围求出的范围，即可得到，即可求出的取值范围. 【详解】因为恒成立，则， 所以，则， 当时，， 因为，则， 因为在区间上恰有个零点，则， 即，，解得，， 因为，由题意可知. 所以，可得； 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再结合零点个数得到. 四、解答题 9．（24-25高一下·安徽安庆·期末）已知函数（，）的周期为，且过点. (1)求，的值； (2)求函数在上的单调递减区间. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，利用正弦型函数的周期的定义，得到，即可求解，将代入中，结合，即可求出； （2）由（1）知，利用正弦型函数的图象与性质，列出不等式，即可求解单调递减区间，又，在上的单调递减区间.. 【详解】（1）依题意，，解得； 将代入中，得，故， 解得；因为，故； （2）由（1）可知， 令， 则，即， 故的单调递减区间为. 又，令，解得， 综上所述，在上的单调递减区间为. 10．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，且，，． (1)求的值； (2)求在区间上的单调递减区间； (3)若关于的方程在区间上有且仅有4个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知条件确定对称中心与对称轴，再结合正弦函数的对称性求得； （2）由正弦函数的单调性求解； （3）先解方程得出，或，然后由函数的图象与直线和的交点个数得出参数范围． 【详解】（1）因为，所以的图象关于直线对称． 又，所以的图象关于点对称， 则有，即， 又因为，所以． （2）因为，即在处取得最大值2，所以， 则，即，又，所以， 所以．令，可得， 由，可得，则， 所以在区间上的单调递减区间为． （3）方程可化为， 则，或． 由（2）可知，在区间上的图象如图所示， 因为方程在区间上有且仅有4个不同的实数解， 所以或 解得或． 所以实数的取值范围是． 11．（24-25高一上·安徽淮北·期末）设函数. (1)求函数的定义域； (2)求函数的单调递增区间； (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用整体代入法，根据正切函数的定义域，即可求出结果； （2）利用整体代入法，根据正切函数的单调性，即可求出结果； （3）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果. 【详解】（1）函数中， 令，，解得，， 所以函数的定义域为； （2）由， 所以函数的单调递增区间为 ， （3）不等式可化为， 解得，， 即，； 所以不等式的解集为， 12．（24-25高一上·安徽安庆·期末）设是函数的零点，是函数的零点，若，则称函数与函数是“零点相近函数” (1)已知与函数，判断函数与函数是否为“零点相近函数”，并给出理由； (2)若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围； (3)若函数与函数是“零点相近函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)与函数是“零点相近函数”，理由见解析 (2) (3). 【分析】（1）分别求出函数和的零点和，利用检测即得； （2）先对分段函数分析其零点得，由“零点相近函数”的定义，需使的零点，结合其单调性，利用零点存在定理即可求得实数范围； （3）由整理后利用同构思想，设，结合其单调性可由推得其零点为，再由，借助于函数和的值域即可求得其零点为，最后由即可求得实数的范围. 【详解】（1）令得，解得，即以函数的零点为， 令得，解得，于是， 因，所以令，故函数的零点为， 则， 故函数与函数是“零点相近函数”. （2）当时，，函数无零点； 当时，由，解得或（舍去）， 故函数的零点为， 因函数与函数是“零点相近函数”，故函数的零点， 又函数在上单调递增，故须使，即， 解得，故实数的取值范围是. （3）令，得， 因，所以， 构造函数，显然函数在上单调递增， 因，所以， 因此函数的零点是. 令，得，即， 因，而，两函数都可在时取到等号， 故函数的零点是， 因为函数与函数是“零点相近函数”，所以， 解得， 所以实数的取值范围是. 地 城 考点05 三角恒等变换 一、单选题 1．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）已知，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】由两角和的正切公式可得，再将所求式子弦化切得解. 【详解】因为，所以，即， ， . 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，若角满足，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据角的终边所经过的点计算角的正弦值和余弦值，根据的余弦值计算其正弦值，最后将所有已知量代入两角差的余弦公式计算即可. 【详解】依题意，，， 由可知， 则或. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）若，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由正弦二倍角公式及商的齐次式问题即可求解. 【详解】 . 故选：B. 4．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到，再结合诱导公式求解即可. 【详解】因为，所以， 则，解得， 由诱导公式得，故B正确. 故选：B 5．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切化弦方法，结合使用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式化简即得. 【详解】 . 故选：A 二、多选题 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数（，，）的部分图象如下图所示，则（   ） A． B．是的一个对称中心 C．的单调递增区间为 D．若实数，满足，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定的函数图象，求出函数的解析式，再逐项分析、计算判断作答. 【详解】由图形可知，解得，； 因为，所以，所以； 由五点作图法可知，，又，所以， 所以，故A错误； 当，，， 所以是的一个对称中心，故B正确； 当时， ，，故C正确； 由， 则，或者， 故，故D正确. 故选：BCD. 7．（24-25高一下·安徽宣城·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，，，则只有一解 B．若，则为钝角三角形 C．若的外心为O，，，则 D．若，则的形状是直角三角形 【答案】AB 【分析】对于A，根据三角形解的个数得判定即可判断；对于B，由向量数量积的定义可得即可判断；对于C，根据的外心为，所以为垂直平分线的交点，再利用数量积的定义即可求；对于D，由正弦定理及正弦和角公式化简可得，即可得判定的形状是直角三角形或等腰三角形. 【详解】对于A，因为，所以只有一解，故A正确； 对于B，， 又，所以，则为钝角三角形，故B正确； 对于C，的外心为，所以为垂直平分线的交点， ，故C错误； 由正弦定理得， ， 即， 所以或， 所以的形状是直角三角形或等腰三角形，故D错误. 故选：AB. 8．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）已知函数在区间上恰有两个零点，则的可能取值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】BCD 【分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再结合零点条件得出ω的取值范围，验证选项即可. 【详解】， 令，得， 因为，所以， 因为函数在区间上恰有两个零点， 即在区间上恰有两个实根， 所以，即， 因为，，故A错误；BCD正确， 故选：BCD. 三、填空题 9．（24-25高一上·安徽六安·期末） . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用同角公式、二倍角公式及差角的正弦公式化简计算即可. 【详解】原式 . 故答案为： 48．（24-25高一上·安徽合肥·期末）若，则的范围为 ． 【答案】 【分析】利用三角换元，把问题转化成三角函数有关的值域问题求解. 【详解】由. 可设. 所以 . 故答案为： 【点睛】关键点点睛：把化成，结合同角三角函数的关系，设，是解决问题的关键. 四、解答题 10．（24-25高一上·安徽宣城·期末）为推进乡村振兴战略实施，建设美丽宜居乡村，某村准备将一块由一个半圆和长方形组成的空地进行美化．如图，长方形的边为半圆的直径，O为半圆的圆心，，先要将此空地规划出一个等腰三角形区域，底边，交于点E）种植树木，其余的区域种植花卉．设． (1)当时，求的面积； (2)当为何值时，的面积最大． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用的三角函数表达出三角形区域面积，利用代入法进行求解即可； （2）结合（1）的结论，利用换元法转化为二次函数，求出三角形区域面积的最大值. 【详解】（1）过点P作于点F， 则，而， 则三角形区域面积为 ， 当时，； （2）由（1）可知： ， 设， 因为，所以， 故， 而， 则，对称轴为， 故当时，即， 取得最大值， 故当时，三角形面积最大. 11．（24-25高一上·安徽宣城·期末）计算下列各式： (1)； (2)若．求的值． 【答案】(1)4； (2)3. 【分析】（1）利用对数换底公式及指数运算法则求解. （2）根据给定条件，利用齐次式法求出，再利用二倍角公式化简求解. 【详解】（1）. （2）由，得，解得， 所以 . 12．（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）已知. (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最大值和最小值以及相应的的取值； (3)若为锐角，，求. 【答案】(1) (2)当时，，当时， (3) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，利用正弦函数的单调性求解； （2）由的范围求出的范围，结合正弦函数的单调性求解； （3）由范围求得范围，再运用同角三角函数的平方关系求得的值，运用配凑角可求得结果. 【详解】（1） ， 令，解得， 函数的单调递增区间为. （2），， 时，即时，， 时，即时，. （3）， 为锐角，， . 13．（24-25高一下·安徽亳州·期末）给定常数，若存在实数，使得，则称为的t倍伸缩点.已知函数，. (1)若函数的t倍伸缩点是，求t的值； (2)已知函数在区间内存在两个相异的t倍伸缩点. （ⅰ）求t的取值范围； （ⅱ）取t的最小整数值.求方程的解集. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）根据给定的定义，得，代入求解的方程即可； （2）（ⅰ）根据给定的定义，得有两个不等的正实根，列不等式求解即得t的取值范围；. （ⅱ）利用三角恒等变换化简得到，由（ⅰ）得，代入求解即可. 【详解】（1）因为函数的t倍伸缩点是，所以， 即，，解得. （2）（ⅰ）由，得有两个不等的正实根. 因此，解得. 故t的取值范围是. （ⅱ）因为，且， 所以就是， 即，，或，， 所以，或，. 故方程的解集是或. 14．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）对定义域分别是，的函数，，规定：函数 (1)若，，写出的解析式； (2)若，，求的值域； (3)若，其中是常数，请设计一个定义域为的，及一个的值，使得，并予以证明． 【答案】(1)； (2)； (3)，取. 【分析】（1）求出函数的定义域，再利用给定定义求出的解析式. （2）求出函数的解析式，再结合基本不等式分段求出值域. （3）写出函数及，再利用和差角的正弦公式及二倍角的余弦公式计算得证. 【详解】（1）（1）由条件知，，， 则当，时，， 当，时，， 所以. （2）由条件知，，， 则， 当时，，当且仅当时恨等号； 当时，，当且仅当时取等号， 所以函数的值域为. （3）令，取， 证明如下： ，而， 则， 所以，取. 15．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)求图象的对称轴方程； (2)若关于的方程在区间内有两个不同的根． （i）求实数的取值范围； （ii）求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解； （2）（i）由题意结合辅助角公式得．其中，利用正弦函数的值域求得答案；（ii）当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解；当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解. 【详解】（1）. 令，解得， 所以图象的对称轴方程为. （2）（i）由， 得， 化简整理得， 则．其中， 所以在内有两个不同的根， 当且仅当，即时，满足题意， 故实数的取值范围为. （ii）当时，，则， 所以， 又， 所以， 由（i）知，所以， 故； 当时，，则， 所以， 又， 所以， 因为，所以， 故. 16．（24-25高一下·安徽·期末）解答下列各小题. (1)证明：； (2)利用（1）中的结论求的值； (3)若函数在区间，内恰有20个零点，求n的值及这20个零点之和. 【答案】（1）证明见解析（2）（3）10； 【分析】（1）由余弦两角和公式及二倍角公式即可求解证明； （2）结合（1）中的结论可设，则，从而化简得到，即可求解； （3）由（1）结论可化简得到，从而得到时得或，再分情况去讨论求解相应的解，从而可求解. 【详解】（1）证明：左边： .与右边相等. 故此证明. （2）设，则， 所以， 即. 因为，所以， 整理得， 解得（负值舍去），即. 故的值为. （3）. 令，得或， 若，则在内，或， 若，则，其中，故舍去， 所以，该方程在内有2个实根， 因为在内的图象关于直线对称，所以这两根之和为， 所以在内有4个零点， 记为，，，，其中，，，，这4个零点之和， 即. 所以，， 所以这20个零点之和为. 17．（24-25高一上·安徽宿州·期末）若函数满足：存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数；有序数对称为函数的“平衡”数对. (1)若，当满足什么条件时，为“可平衡”函数，并说明理由； (2)是否存在为函数的“平衡”数对，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，理由见解析 (2)存在， 【分析】（1）根据“可平衡”函数的定义结合两角和差的正弦公式求解即可； （2）先根据余弦的二倍角公式转化为，再利用待定系数，令系数为0时恒等于0判断即可. 【详解】（1）当为“可平衡”函数时， 由题意可得对于定义域内的任意实数成立， 即对于定义域内的任意实数成立， 所以，即对于定义域内的任意实数成立， 则，解得，         综上，当，时，函数为“可平衡”函数. （2）假设存在实数，，使得对于定义域内的任意实数，均有 成立， 则对于定义域内的任意实数成立， 即， 即，         即对于定义域内的任意实数成立， 因为，所以， 所以，即，，解得， 综上，当，时，函数为“可平衡”函数. 【点睛】方法点睛： 根据“可平衡”函数的定义，结合三角恒等变换，根据题意列出参数满足的关系式，利用恒成立问题或表达出参数满足的解析式求解. 18．（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数的最大值为． (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，该公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的准确性．运用上述思想，计算的值：结果精确到小数点后位，参考数据：， 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）先利用两角差的正弦余弦公式，结合辅助公式化简解析式，再根据函数最大值为列方程可求的值； （2）根据正弦函数的单调性列不等式可求函数的单调递减区间； （3）先求出，再利用泰勒公式求出的近似值，从而可得答案. 【详解】（1） ， 所以，即； （2）， 令， 即，， 所以函数的单调递减区间， （3）因为， 所以， 由泰勒公式得： 所以． 地 城 考点06 函数 一、单选题 1．（24-25高三上·安徽宣城·期末）将曲线向左平移个单位长度后得到曲线，如图所示，图中阴影部分的面积为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设得，则，数形结合及余弦型函数的性质求参数值即可. 【详解】由题设，易知，可得，则， 由图知且， 则，故， 所以，， 又，故. 故选：A 二、多选题 2．（24-25高一下·安徽·期末）已知函数（）的部分图象如图所示，则（   ）    A． B．点P的坐标为 C．的图象在区间内有4条对称轴 D． 【答案】BCD 【分析】对于A，由图及辅助角公式可得；对于B，由A分析结合五点法可得点P的坐标；对于C，因，可得，然后由在上的对称轴数量可判断选项正误；对于D，由题可得， ，，然后由两角差的余弦公式可得答案. 【详解】对于A，，其中，由图可知的最大值为2，所以，得，故A错误； 对于B，，由“五点法”，知点P对应图象上的点，所以令，得，所以，故B正确； 对于C，当时，，正弦曲线在区间内有4条对称轴，对应地，的图象在区间内也有4条对称轴，故C正确； 对于D，由题意知，由图可知，，所以，， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 3．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）已知函数的最大值为2，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列结论正确的是（    ） A．函数的图象关于直线对称 B．函数在上单调递增 C．将的图象向左平移个单位长度可以得到函数的图象 D．当时，函数的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据函数性质得到，最小正周期，求出，，得到解析式，，A正确；B选项，计算出，结合在上单调递增，得到B正确；C选项，求出平移后的解析式，由诱导公式得到，C错误；D选项，计算出，故，D正确. 【详解】A选项，由题意得，设的最小正周期为，则， 故，又，即，解得， 所以， 的图象关于点对称，故， 解得， 又，故，， ，故的图象关于直线，A正确； B选项，时，， 由于在上单调递增，故在上单调递增，B正确； C选项，将的图象向左平移个单位长度可以得到， 其中，C错误； D选项，当时，，， ，函数的最小值为，D正确. 故选：ABD 4．（24-25高一上·安徽宿州·期末）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．函数的图象关于点对称 C．函数的图象向右移个单位长度后，图象关于轴对称，则的最小值为 D．若关于的方程在上有两个实数根，则实数的取值范围为 【答案】ACD 【分析】根据倍角公式和辅助角公式将化成单角单函数即，由正弦型函数的最小正周期判断A选项；利用代入检验的思想判断B选项；根据图象平移得到平移后的函数，再根据偶函数得到，根据的范围求得的值，判断C选项；转化为两个函数图象的交点问题，结合正弦函数图象求得的取值范围，判断D选项. 【详解】对A，，则的最小正周期为，故A正确； 对B,因为，所以函数的图象关于点对称，故B错误； 对C,将函数的图象向右移个单位长度后可得函数的图象， 因为的图象关于轴对称，所以， 即，又，所以的最小值为，故C正确； 对D,由得，， 若，则， 若关于的方程有两个实数根，则与图象有两个交点， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．将函数的图象向右平移个单位长度得到的图象，是奇函数 D．方程在上有两个根，则 【答案】AD 【分析】由的图象求出，根据过点得出，求出，再求出，写出的解析式，再判断选项中的命题是否正确. 【详解】由的图象知，，由过点，得， 又，则，当时，，又的图象过点， 则，解得，， 由最小正周期为，得，无解，即不符合题意； 当时，，而，则， ，于是，而，则，A正确，B错误； 函数，， ，函数不是奇函数，C错误； 由图象知，函数在上递增，在上递减，且， 则当方程在上有两个根时，，D正确. 故选：AD 【点睛】思路点睛：给定的部分图象求解解析式，一般是由函数图象的最高（低）点定A，求出周期定，由图象上特殊点求. 三、填空题 6．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数在上恰有两个零点，且在上单调递减，则下列说法正确的是 ． ①若，则的图象向右平移个单位长度后得到的图象 ② ③在上有且仅有两条对称轴 ④不存在，使得在上单调递减 【答案】②③④ 【分析】利用函数图象变换和诱导公式可以判定①错误；根据零点条件和单调性，列出不等式组，求解得到的范围，从而判定②正确；利用三角函数的对称轴求得的对称轴，根据②中被判定正确得的范围，对称轴条数判断 ③；根据三角函数的单调性，列出方程组，求得的范围，再与②中的范围对照，无交集，得出矛盾，判断④错误. 【详解】对①： 当时，的图象向右平移个单位， 得的图象，故①错； 对于②：当时，． 余弦函数在的零点依次是， 在上恰有两个零点， 所以（i）． 由，解得， 所以函数的单调递减区间为 因为已知函数在上递减， 所以存在实数使得，整理的. 又，所以，解得， 又因为，所以，所以（ii）， 由（i）（ii）得，故②正确； 对③：由于余弦函数的零点为, 所以函数的零点对应，解得，. 由，得，所以， 当时，； 当时，， 当时， ， 所以函数在上有2条对称轴，故③正确； 对④：若函数在区间上单调递减， 则存在整数使得成立， 整理的. 所以，解得，又因为，所以. ，解得，又因为又因为，所以. 所以，所以：， 因为，所以与②的结论矛盾． 满足条件的不存在，故④正确． 故答案为：②③④. 四、解答题 7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数，． (1)求的最小正周期； (2)若的图象关于点对称，且，求t的值； (3)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数，再求出最小正周期； （2）由（1）整理出函数的解析式，利用三角函数的对称中心，列式计算即可； （3）利用整体思想，求得函数在上的值域，去掉绝对值，建立不等式组即可求解. 【详解】（1）因为， 故的最小正周期为. （2）由（1）知， 由题令，得， 又，故或. （3）当时，，所以， 又恒成立，即恒成立， 所以，即， 故实数m的取值范围是. 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及对称中心； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)单调递增区间为（），对称中心为（）. (2). 【分析】（1）根据三角恒等变换可得，然后根据三角函数的性质求出函数的单调递增区间及对称中心即可； （2）根据图象变换规律可得，然后根据正弦函数的性质即可求得函数在区间上的值域. 【详解】（1）函数 ， ∴. 令，，得，， 即函数的单调递增区间为（）. 令，，得，， 所以函数的对称中心为（）. （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 可得的图象； 再向下平移个单位长度得到函数的图象. 因为，所以，所以， 所以，即的值域为. 9．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求函数图象的对称中心坐标； (3)当时，方程有两个不相等的实数根且，求的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）由最大值和最小值求得A，B的值，由以及可得的值，再由最高点可求得的值，即可得的解析式； （2）由正弦函数的对称中心，利用整体代入法可得对称中心； （3）根据方程在上有两个不相等的实数根，可得， 【详解】（1）由图象知，又， 故， 由图象可知，得， 由于，故，所以. （2）令，解得， 所以函数图象的对称中心坐标为. （3）由，所以， 又方程在有两个不相等的实数根且， 所以，所以， 且， 又，即， 所以， 又， 因为， 所以， 即的值为. 地 城 考点07 三角函数的应用 一、多选题 1．（24-25高一下·安徽阜阳·期末）三相交流电是发电、输电和配电中常用的一种交流电类型，三相交流电插座上有四个插孔，其中中性线（零线）电压为，三根相线（火线）电压分别为，，，其中（单位：），（单位：）．三根相线间的电压叫线电压，记，，，线电压的最大值分别为，，，有效值分别为，，，则下列说法正确的是（    ） A．三根相线电压的频率均为50（单位：） B． C．当某一线电压达到最大值时，另两个线电压均取得最小值 D．线电压的有效值（单位：） 【答案】ABD 【分析】利用频率的计算公式计算可判定A正确；利用两角和得正弦公式展开化简可以判定B正确；利用两角和的正余弦公式化简求得各个线电压的函数表达式，然后利用三角函数的最值条件可以否定C，同时判定D正确. 【详解】选项A： 频率 与角频率 的关系是 . 给定 ，所以， 所有相线电压的角频率相同，只是相位不同，所以频率都是50 Hz，故A正确； 选项B：计算三个电压的和 计算括号内的部分. 设 ，则 ， ∴，故B正确； 选项C： ， 所以 ，同理计算，， 假设 达到最大值，即 ，设 ，则当 时，（最大值），， 此时，均不是取得最小值，故C错误； 选项D：由上可知，线电压的最大值分别为，，，都等于， 有效值，，都等于，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 2．（24-25高一上·安徽合肥·期末）函数在一个周期内的图象如图所示，此函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据所给的图象，可得到，周期的值，进而得到，根据函数的图象过点可求出的值，得到三角函数的解析式． 【详解】由图象可知：，，所以. 由，且，可得. 所以. 故答案为： 3．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）筒车是一种水利灌溉工具（如图1所示），筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心为，筒车的半径为，筒车转动的周期为，如图2所示，盛水桶在处距水面的距离为．后盛水桶在处距水面的距离为，若，则直线与水面的夹角为 ． 【答案】 【分析】根据题意构建平面几何模型，在借助三角函数求解答案. 【详解】如图，过作直线与水面平行，过作于，过作于． 设，，则，， 由图知，，，， 所以，整理得，则，即． 故答案为：. 4．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）某小区欲利用一块直角三角形空地（如图）建一个正三角形（如图）健身器材休闲场地，经测量，，．若正三角形的顶点在的三条边界线上，则该健身器材休闲场地面积的最小值为 ． 【答案】 【解析】设，，根据已知条件将用表示可得，再根据面积公式以及三角函数的性质可得答案.. 【详解】如图所示： 设，，则， 则180°， 又，所以 在△中，由正弦定理得，解得， 由得， 得 （其中） 所以正三角形的面积， 当且仅当时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，考查了两角和的正弦公式的逆用，考查了正弦函数的最值，考查了三角形的面积公式，解题关键是正确选择变量，属于中档题. 4．（24-25高一上·安徽六安·期末）如图，树顶A离地面 a米，树上另一点B离地面b米，某人站在地面观看A，B两点，眼睛C距离地面高度为c米，且 ，要使视角∠ACB最大，则人脚离树根的距离应为 ． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AB，设CD=x，求出tan∠ACB，即 的表达式，进而根据基本不等式，求出tan∠ACB的范围及tan∠ACB取最大值时x的值，进而得到答案． 【详解】过点C作CD⊥AB，则 ，设, 由于,故,且为锐角， 则tan∠ACD=， ， 故 =≤， 当且仅当, 即时，tan∠ACB取得最大值，即∠ACB最大, 即人脚离树根的距离应为, 故答案为: ． 5．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）在平面直角坐标系中，对任意角，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫做角的正割､余割､余切，分别记作，，，把分别叫做正割函数､余割函数､余切函数，则下列叙述正确的有 (填上所有正确的序号) ①； ②； ③的定义域为； ④； ⑤. 【答案】②④⑤ 【分析】由题设新定义知：，，，由、、、以及正切二倍角公式，即可判断各项的正误. 【详解】   ①，故错误； ②，故正确； ③，即，有，故错误； ④，故正确； ⑤，所以，故正确. 故答案为：②④⑤ 四、解答题 6．（24-25高一上·安徽阜阳·期末）为了丰富市民业余生活，推进美丽阜阳建设，市政府计划将一圆心角为，半径为米的扇形空地如图改造为市民休闲中心，休闲中心由活动场地和绿地两部分组成，其中活动场地是扇形的内接矩形，其余部分作为绿地，城建部门给出以下两种方案： 方案让矩形的一个端点位于上，其余端点位于，上． 方案让矩形的两个端点位于上，其余端点位于，上． 请你先选择一种方案，并根据此方案求出活动场地面积的最大值．    【答案】答案见解析 【分析】方案，如图所示，设，将，都用表示，再根据矩形的面积公式结合三角恒等变换化简，再根据三角函数得性质即可得出结论 方案，如图所示，过点作的垂线分别交，于，，设，将，都用表示，从而可将矩形的面积表示成的函数，最后由三角函数的性质即可得解． 【详解】解：选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 由，可得， 当，即时， 平方米 所以，当时，活动场地面积取得最大值，最大值为平方米．    选择方案， 如图所示，矩形内接于扇形， 过点作的垂线分别交，于， 由对称性可知，平分， 在直角中，设，则， 在直角中，可得， 所以， 设矩形的面积为， 则 ， 由，可得， 当，即时，平方米， 因此，当时，活动场地面积取得最大值为平方米．      7．（24-25高一上·安徽合肥·期末）合肥逍遥津公园是三国古战场，也是合肥最重要的文化和城市地标，是休闲游乐场，更是几代合肥人美好记忆的承载地.2020年8月启动改造升级工作，欲对该公园内一个平面凸四边形的区域进行改造，如图所示，其中米，米，为正三角形.改造后将作为人们旅游观光、休闲娱乐的区域，将作为对三国历史文化的介绍区域. （1）当时，求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积； （2）求旅游观光、休闲娱乐的区域的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由余弦定理求得，再由正弦定理求得，求出，易得面积； （2）不妨设，，用余弦定理表示出，用正弦定理表示出，再用余弦定理表示出，然后表示出的面积，利用两角和的正弦公式展开代入，再利用两角差的正弦公式化简，然后利用正弦函数性质得最大值． 【详解】解析：（1），∴， 又，∴，易知是锐角，所以， ∴， ， （2）不妨设，， 于是由余弦定理得①， ②， ③， ∴ ， 当且仅当时取等号，∴最大值为. 【点睛】本题考查解三角形的应用，解题关键是选用一个角为参数，然后把其他量表示为参数的三角函数，这里注意正弦定理和余弦定理的应用，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形，最后利用正弦函数性质求得最值． 8．（24-25高一上·安徽合肥·期末）如图，一个半圆和长方形组成的木块，长方形的边为半圆的直径，为半圆的圆心，，，现要将此木块锯出一个等腰三角形，其底边，点在半圆上. （1）设，求三角形木块面积； （2）设，试用表示三角形木块的面积，并求的最大值. 【答案】（1）；（2）,的面积最大值为 【分析】（1）构造垂线，将、的长度进行转化，的长度即为的值，的长度即为的值，从而求解出； （2）根据第（1）问的转化方法，同理可以得出的表达式，然后将看成整体进行换元，进而将面积函数转化为熟悉的二次函数，从而求解出最值. 【详解】解：（1）过点作交于点，设交于点， 所以, ， 所以； （2）因为半圆和长方形组成的铁皮具有对称性， 所以可只分析时的情况， ， ， 所以 ， 令，， 故， ， ， ， ， ， 函数在单调递增， 所以当时，的面积最大，最大值为. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $