专题04 数列（期末真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题04 数列 8大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02 等差数列的通项公式 考点03 等差数列的性质 考点04 等差数列的函数性质 考点05 等差数列的前n项和 考点06 等比数列的通项公式 考点07 等比数列的性质 考点08 等比数列的前n项和 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为 ． 9．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则 ， ． 10．（24-25高二上·安徽·期末）某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为 ． 11．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，，若数列的前项和为，则 . 四、解答题 12．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列，对于任意的，，当，总有恒成立，则称数列为凸数列． (1)以下两个数列中，哪一个是凸数列？（写出序号即可，无需说明理由） ①，，，， ②，， (2)若数列为凸数列，证明： (3)已知个实数满足，若这个实数依次构成的数列为凸数列，求最小的，使得对所有的，都有 地 城 考点02 等差数列的通项公式 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知数列满足，若，则（   ） A．28 B．13 C．18 D．20 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．1 C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．91 D．109 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 二、填空题 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点.则数列的通项公式为 .    9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为 ． 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有 个． 三、解答题 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知在抛物线上有一系列点，，，，，以点为圆心的圆与y轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到C的焦点的距离为2，， (1)求抛物线C的方程; (2)求数列的通项公式; (3)若，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 地 城 考点03 等差数列的性质 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知正项等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且（3n﹣1）2Sn2﹣n（3n﹣1）SnTn﹣2n2Tn2＝0对任意的n∈N*恒成立，则＝（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 6．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等差数列中，其前项和为，若，，则 A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽·期末）在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 二、填空题 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 9．（24-25高二上·安徽滁州·期末）等差数列前n项和，等差数列前n项和，，则 . 10．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 地 城 考点04 等差数列的函数性质 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为 A．12 B．13 C．22 D．23 2．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 5．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前n项和满足，给出以下四个结论： ①数列是递减数列；    ②的最大值是； ③-371是数列中的项；    ④数列是等差数列． 其中结论正确的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 8．（24-25高二上·安徽·月考）已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（    ） A． B．的最小值为 C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000 9．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）设等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．最大 B． C． D． 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 三、填空题 12．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 14．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，已知 . (1)求数列的通项公式; (2)当为何值时，最大，并求的最大值. 15．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 地 城 考点05 等差数列的前n项和 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 二、多选题 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前24项和 C． D．数列的前31项和 三、填空题 5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则 . 6．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，且，则 ． 四、解答题 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 9．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列满足，，，. (1)求证：是等差数列； (2)记，求数列的前n项和. 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列满足， (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 12．（24-25高二上·安徽淮北·期末） 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 13．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知正项数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)若对任意都有成立，求m的最小值． 16．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 17．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 地 城 考点06 等比数列的通项公式 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 二、多选题 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前24项和 C． D．数列的前31项和 三、填空题 5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则 . 6．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，且，则 ． 四、解答题 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 9．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 10．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列满足，，，. (1)求证：是等差数列； (2)记，求数列的前n项和. 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列满足， (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 12．（24-25高二上·安徽淮北·期末） 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 13．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知正项数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)若对任意都有成立，求m的最小值． 16．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 17．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 地 城 考点07 等比数列的性质 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 2．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）已知正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知函数，各项互不相等的等比数列满足，记，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽·期末）若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（    ） A．12 B．16 C．8 D．20 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在等差数列中，，数列是等比数列，且，则 A．1 B．2 C．4 D．8 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（24-25高二上·安徽宿州·期末）等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比 A．－1 B．1 C．－2 D．－3 10．（24-25高二上·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 11．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 12．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 二、多选题 13．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 三、填空题 14．（24-25高二上·安徽滁州·期末）在等比数列中，，，则等于 ． 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在正项等比数列 中，若 ， ． 地 城 考点08 等比数列的前n项和 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 二、多选题 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 三、填空题 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知是各项均为正数的等比数列，，，则 . 四、解答题 8．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 10．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 11．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 12．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 13．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求的最小值 14．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 15．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 16．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列满足，，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若数列对任意的，当时，都有成立，，求数列的前项和． 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 数列 8大高频考点概览 考点01数列的概念 考点02 等差数列的通项公式 考点03 等差数列的性质 考点04 等差数列的函数性质 考点05 等差数列的前n项和 考点06 等比数列的通项公式 考点07 等比数列的性质 考点08 等比数列的前n项和 地 城 考点01 数列的概念 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列满足，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据已知得出数列的周期即可求解． 【详解】由已知得，， ， ， ，即， 所以， 故选：C． 2．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知数列是递增数列，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数列单调递增得到分段函数单调递增，然后建立不等式组，解得的取值范围. 【详解】由，数列是递增数列， 得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：C 3．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用数列的函数性质，结合一元二次函数即可求解. 【详解】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 4．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由求出，再对自小到大依次赋值，直至求得. 【详解】由可得， 又，可得，，， ，，，. 故选：A. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）数列满足：，若，则数列的前10项的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用数列的前项和与通项的关系求出通项，再化简的通项，利用裂项相消法即可求得其前10项的和. 【详解】由，当时，； 当时，， 两式相减可得，即（）， 经检验，当时，上式符合，故， 所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知数列满足：，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用，通过分类讨论分析可判断A、B；由得，结合累加法得到，利用此结论推算可判断C、D. 【详解】对于A，当时，，又，，即时，，故，故A正确； 对于B，时，， 当时，， 综上，成立，故B正确； 对于C，由得，，通过累加法得 ，得 则； 所以，故C正确； 对于D，，， 所以， ，故D不正确. 故选：ABC. 三、填空题 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知数列的通项公式为，则中最小项的值为 . 【答案】 【分析】由通项公式得，，根据二次函数的性质确定最小项的值. 【详解】由，又，而， 当时，，当时，， 所以中最小项的值为. 故答案为： 8．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知数列{an}的通项公式为，前n项积为，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由题可得时，，从而最大值，只能在或产生，据此可得答案. 【详解】由，因，则时，. 又，则，时，都有. 从而最大值，只能在或产生， 注意到，，. 则的最大值为. 故答案为： 9．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列满足，，则 ， ． 【答案】 124 【分析】根据递推关系及余弦函数性质可得，即可求，再依次求出、、、，进而可得，应用累加求. 【详解】由，得． 由，，，，得， 所以. 故答案为：，124 10．（24-25高二上·安徽·期末）某同学设计了一种小游戏，规则如下：从第二局起，每一局将上一局中一个白球变成一个白球和一个黑球，一个黑球变成一个白球和两个黑球．按如此规律，若初始第一局为一个白球，则第七局游戏后所得白球与黑球的总数为 ． 【答案】233 【分析】根据题意，假设第局中的白球总数为，第局中的黑球总数为，由已知，根据规律即可求解. 【详解】根据题意，假设第局中的白球总数为，第局中的黑球总数为， 第一局是1个白球，0个黑球，可知，， 第二局，原来的一个白球会变成1个白球和1个黑球，所以，， 第三局，每个白球和黑球都要变化，第二局有1个白球和1个黑球， 所以第三局的白球数应该是原来的白球数加上原来的黑球数， 同样，黑球数是原来的白球数加上原来的黑球数的二倍，，， 根据此规律可得，， 所以，，，，，，，， 所以第7局后球的总数为． 故答案为：233. 11．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，，若数列的前项和为，则 . 【答案】16 【分析】由题意可求出，进而利用裂项相消对数列求和即可. 【详解】因为，所以， 则， ，解得. 故答案为：16. 四、解答题 12．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列，对于任意的，，当，总有恒成立，则称数列为凸数列． (1)以下两个数列中，哪一个是凸数列？（写出序号即可，无需说明理由） ①，，，， ②，， (2)若数列为凸数列，证明： (3)已知个实数满足，若这个实数依次构成的数列为凸数列，求最小的，使得对所有的，都有 【答案】(1)② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据凸数列的定义，计算判断即得； （2）利用等价思想和数列拆项方法，将待证不等式转化成，而这只需在题设不等式中，令，时即可证得； （3）根据（2）的结论，推出，即得，，两式相加得，结合（1）式推得，从而求得. 【详解】（1）对于① ，因，而，显然不满足，故该数列不是凸数列； 对于② ，因，， 由可得：成立，故该数列为凸数列. （2）当，或时，显然成立； 当，且时，等价于 等价于 等价于，即. 因为对于任意的，，当，总有恒成立， 当，时，成立． （3）由（2）知，成立， 故① 对固定的，其中且， 当时，； 当时，， 所以．② ．③ ②+③得，， 推出④ 由①④得， 当时，显然成立，所以． 构造数列：，，， 满足且使得． 【点睛】关键点点睛：对于数列新定义的问题，关键在于要先充分理解定义的要求，明晰推理计算步骤，遵循从特殊到一般的思想，合理运用求解数列通项公式的累加累乘方法，以及求解数列的和的裂项相消法和错位相减法来求和. 地 城 考点02 等差数列的通项公式 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知数列满足，若，则（   ） A．28 B．13 C．18 D．20 【答案】C 【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值. 【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则， 由. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由等差数列的性质即可求解； 【详解】根据题意，因为，又因为数列为等差数列， 所以，，可得，所以． 故选：B 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列中，，，则公差（ ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】应用等差数列的通项公式求公差即可. 【详解】等差数列中，，， 由等差数列的通项公式，可得，解得， 故选：C 4．（24-25高二上·安徽·期末）将正奇数按照如图排列，我们将3，7，13，21，31……，都称为“拐角数”，则下面是拐角数的为（    ） A．55 B．75 C．91 D．109 【答案】C 【分析】先根据题中规律，并采用累加法找到拐弯数的通项公式，即可求解. 【详解】不妨设第个“拐角数”为， 不难发现，，，，， 所以，得， 当时，也符合上式，所以， 所以第7个“拐角数”是， 第8个“拐角数”是， 第9个“拐角数”是， 第10个“拐角数”是，故C正确. 其余都不是“拐角数”. 故选：C. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在等差数列中，，，则的值是（   ） A．13 B．14 C．16 D．17 【答案】B 【分析】利用等差公式下标和性质即可得解. 【详解】因为是等差数列，，， 所以，即，解得. 故选：B. 6．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】由等差数列的性质代入即可求解. 【详解】由题意得. 故选：B. 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】根据条件，利用等差数的性质即可求出结果. 【详解】由，得到，即， 所以， 故选：D. 二、填空题 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）如图，曲线上的点与轴上的点（构成一系列正三角形：，，…，.设正三角形的边长为，点.则数列的通项公式为 .    【答案】 【分析】由是边长为的正三角形，得的坐标，再将其坐标代入中，可求出的值， 又由于每一个三角形都为正三角形，从而可得，再将点的坐标代入中，可得，再由求出，所以数列为等差数列，从而可求得. 【详解】由条件可得为正三角形，且边长为， ， 由在曲线上，得， ，， 根据题意，得点在曲线上， 所以，整理，得. 当，时，， ∴ 即. ，， 当时，，即， 解得或（舍） ， 故 所以数列是首项为，公差为的等差数列， . 故答案为：. 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知数列，满足，若，则数列的前2024项和为 ． 【答案】 【分析】根据等差数列的定义求出数列的通项公式，再利用裂项相消求和即可. 【详解】由，可知数列是首项为2，公差为2的等差数列， 所以，， 所以数列的前2024项和为， 故答案为： 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 【答案】200 【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人． 所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以， 数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得， 所以数列满足条件，，当时，， ，当时，，， 当时，，， 当时，， 所以数列的前项的和为. 故答案为： 11．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设集合，若A中任意3个元素均不构成等差数列，则集合A中元素最多有 个． 【答案】8 【分析】先判断出，再根据特例可判断等号成立，故可求元素个数的最大值. 【详解】设， 若且递增，由题意可知且， 故，同理，又，故有，矛盾． 故，取满足条件． 故答案为：8. 三、解答题 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知在抛物线上有一系列点，，，，，以点为圆心的圆与y轴都相切，且圆与圆彼此外切.已知，点到C的焦点的距离为2，， (1)求抛物线C的方程; (2)求数列的通项公式; (3)若，证明：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）由题意，根据抛物线的定义有求参数，即可得抛物线方程； （2）根据各圆的相切关系有，结合，化简整理得，根据等差数列的定义及，即可得通项公式； （3）由（2）得，假设数列中存在不同的三项，，能构成等差数列，可得，进而推导出矛盾结论，即可证结论. 【详解】（1）由题意，设抛物线C的焦点为F，根据题意知，解得， 所以抛物线C的方程为 （2）因为圆与圆彼此外切，且与y轴都相切，所以， 则 因为，所以，即， 因为，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 即，故 （3）由（2）知， 假设数列中存在不同的三项，，能构成等差数列， 其中，m，t，， 由题，则，，， ， 设，，则， 得， 注意到，且， 所以，这与矛盾， 则数列中不存在不同的三项能构成等差数列. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用反证思想，假设数列中存在不同的三项，，能构成等差数列，推导出两个矛盾的结论为关键. 地 城 考点03 等差数列的性质 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽宣城·期末）等差数列前项的和为，已知，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，可得，解得或，再根据等差数列求和公式，可知不符合题意，故，再结合等差数列求和公式，可得，解方程即可求得. 【详解】根据题意，，即， 又，所以，解得或， 又，， 所以， 所以，则， 解得. 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知等差数列的前项和为，等差数列的前项和为．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先表示出，再表示出，两式作比即可解题. 【详解】解：∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即， ∵ 是等差数列的前项和，∴ ，即， ∴ ， 故选：B. 【点睛】本题考查等差数列的前项和公式与等差数列的通项公式的性质，是基础题. 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知正项等差数列{an}，{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，且（3n﹣1）2Sn2﹣n（3n﹣1）SnTn﹣2n2Tn2＝0对任意的n∈N*恒成立，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式子进行化简可得，再利用前n项和公式可得，代入即可得出答案. 【详解】， 或(舍)，所以， 故选：D 【点睛】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了运算求解能力，属于一般题目. 4．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知数列是等差数列，，则（    ） A．9 B．0 C．-3 D．-6 【答案】B 【分析】 由于数列是等差数列，根据其性质可知，即可求得. 【详解】数列是等差数列 又 故选：B. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，，若，，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】首先根据得到数列为等差数列，再根据，即可算出的值. 【详解】因为，所以数列为等差数列. 因为，所以. . . 因为，所以. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题. 6．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知等差数列中，其前项和为，若，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】求出等差数列的公差，再利用等差中项的性质求出的值，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，所以. 又，所以，所以，因此，. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及等差中项性质的应用，考查运算求解能力，属于基础题. 7．（24-25高二上·安徽·期末）在数列中，，且数列是等差数列，则（    ） A．16 B． C．19 D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义与性质运算求解. 【详解】由题意可得：， 设数列为的公差，则，即， 故，解得. 故选：B． 二、填空题 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则 . 【答案】 【分析】由等差数列性质得到 【详解】由等差数列性质得 故答案为： 9．（24-25高二上·安徽滁州·期末）等差数列前n项和，等差数列前n项和，，则 . 【答案】 【分析】由已知结合等差数列的求和公式及性质即可求解. 【详解】等差数列中，， 则. 故答案为：. 10．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列满足，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据等差数列下标和性质运算求解. 【详解】由题意可得：，则， 所以. 故答案为：3. 地 城 考点04 等差数列的函数性质 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则满足的最大自然数的值为 A．12 B．13 C．22 D．23 【答案】C 【详解】分析：由等差数列的前项和的公式求解，解出的关系式，再求出的临界条件，最后得解． 详解：等差数列的前项和为，所以 所以，其中，所以，当时，解得，，所以的最大自然数的值为22．故选C 点睛：本题应用公式，等差数列的性质：若，则．对数列的公式要灵活应用是快速解题的关键，解出的关系式，再求出的临界条件，判断满足的最大自然数的值． 2．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，，则当取得最小值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【分析】将等差数列的前23和24项和与0的大小比较，得出具体的项数的正负，即可求出当取得最小值时的值. 【详解】由题意，，∴， ，∴， 则等差数列满足，， 可得公差， ∴数列为递增数列，且当，时，， 当，时，， ∴当取得最小值时，的值为12． 故选：B． 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知等差数列中，，且公差，则其前项和取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意判断出，即可得到答案. 【详解】由等差数列的公差，知，，所以，故，则数列的前项和取得最大值时的值为. 故选：B 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的前项和为，若，，下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】B 【分析】根据等差数列求和公式及等差中项，得到，，，进而得到数列是递减数列，作差法比较出，进而判断出答案. 【详解】，所以，，所以，所以且，所以数列是递减数列，且当时，取得最大值.故B正确，AC错误. 因为，所以，故D错误. 故选：B. 5．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在数列中，，（，），则数列的前n项和取最大值时，n的值是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由已知得，根据等差数列的定义得数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列，由等差数列的通项公式求得，令，求解即可. 【详解】解：由得，又因为，所以数列是以20为首项，以-3为公差的等差数列， 所以， 令，解得：，又，所以数列的前n项和取最大值时，n的值是7， 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前n项和满足，给出以下四个结论： ①数列是递减数列；    ②的最大值是； ③-371是数列中的项；    ④数列是等差数列． 其中结论正确的个数是（    ） A．l B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出的通项，结合等差数列的定义可判断①③④的正误，利用二次函数的性质可判断②的正误，从而可得正确的选项. 【详解】因为，所以， 当时，，故， 所以，则数列是递减数列，故①正确； 因为，且， 所以，故②错误； 设，解得，故③错误； 由，得， ，则数列是等差数列，故④正确． 【点睛】本题考查等差数列的判断、等差数列前的最值，一般地，前项和和通项之间的关系是，而等差数列的判断需依据定义，本题属于基础题. 二、多选题 7．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B．取得最小值时或4 C． D．的最小值为 【答案】BC 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 8．（24-25高二上·安徽·月考）已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（    ） A． B．的最小值为 C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000 【答案】AC 【分析】对于A选项，直接利用等差数列所给的条件求出首项和公差进而求出的通项公式来判断A； 对于B选项，将表示出来得到关于n的表达式，利用二次函数性质求出最小值判断B； 对于C选项由题意可得的地推公式，利用构造法找到规律进而得出数列的通项公式 来判断C；对于D选项，结合公共项的特点正好是等差数列，利用等差数列求和来判断D； 【详解】由为等差数列，设公差为，，，得， 解得，，， ，则，所以选项A正确； ，当时，的最小值为， 选项B错误；由，得，变形得， 构建一个新数列，令，，即，又， ，由，得，则， ，，再由得，=0，即，的通项公式为 ，由可证明为等差数列，所以选项C正确； 由和通项公式可以得出，和的前100项中的公共项的和为 ，所以选项D错误， 故选：AC 9．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）设等差数列的前项和为，且满足，，则下列说法正确的是（    ） A．最大 B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等差数列的性质及求和公式推导出，，即可判断A、B、C，利用特殊值判断D. 【详解】因为，， 所以， 所以，，故C错误； 所以，且，故B正确； 所以，则单调递减，且， 所以最大，故A正确， 令，，则，，则，故D错误. 故选：AB 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论错误的是（    ） A．数列是递减数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，从而得且，进而可判断ABC，对于D，作差判断即可 【详解】，所以， ， 所以，所以且， 所以数列是递减数列，且当时，取得最大值．故A正确，BC错误． 因为，所以，故D正确． 故选：BC． 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）公差为d的等差数列，其前n项和为，，下列说法正确的有（    ） A． B． C．中最大 D． 【答案】AC 【分析】利用等差数列性质结合给定条件可得，再逐项分析判断作答. 【详解】等差数列的公差为d，其前n项和为， 由，得，由，得， 则有，即，A正确；，B不正确； 因，且，，则是递减等差数列，其前6项均为正，从第7项起为负数，因此，中最大，C正确； ，，，即，D不正确. 故选：AC 三、填空题 12．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，且，，则当 时，最大． 【答案】1011 【分析】利用等差数列的求和公式及性质求解. 【详解】因为为等差数列，所以，即； 同理由可得，所以，所以当时，最大． 故答案为：1011. 四、解答题 13．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列中，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据已知条件求解出等差数列的首项和公差，然后即可求解出的通项公式； （2）先根据首项和公差求出，然后分析二次函数的对称轴并求解出的最大值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以，所以， 所以，所以； （2）因为， 且关于的开口向下的二次函数的对称轴为， 又因为，所以或时，有最大值， 所以. 【点睛】方法点睛：求解等差数列前项和的最值的几种常用方法： （1）利用等差数列前项和的二次函数特性，求解出前项和的最值； （2）分析等差数列通项公式，根据等差数列各项取值的正负，确定出前项和的最值. 14．（24-25高二上·安徽六安·期末）设等差数列的前项和为，已知 . (1)求数列的通项公式; (2)当为何值时，最大，并求的最大值. 【答案】(1) (2)n为6或7；126 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的通项公式求解； （2）由，利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为d， 因为 . 所以， 解得， 所以； （2）， 当或7时，最大，的最大值是126. 15．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）在数列中，，且，． (1)求的通项公式； (2)求的前n项和的最大值． 【答案】(1) (2)40 【分析】（1）根据递推关系，判定数列是等差数列，然后求得首项和公差，进而得到通项公式； （2）令，求得，进而根据数列的前项和的意义求得当或5时，有最大值，进而求得和的最大值. 【详解】（1）解：∵数列满足，∴，∴是等差数列， 设的公差为d，则，即，解得， ∴，∴． （2）令，得，解得， 所以当或5时，有最大值，且最大值为． 地 城 考点05 等差数列的前n项和 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得时，，当时，，然后可得时，，当时，，据此可得答案. 【详解】， 令， 则在上单调递增，在上单调递减. 注意到，，. 则当时，，当时，. 注意到， 因在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 令. 从而时，，当时，. 设的前n项和为，则的最大值为. 故选：C 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，可得，解得， 又由. 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 【答案】ABC 【分析】A选项，根据规律得到；B选项，分母为的最后一项大于分母为的第一项，故，，B正确；C选项，计算出，从而得到为等差数列，求和得到C正确；D选项，在C基础上，得到的前项和为，前21项和为，确定，，D错误. 【详解】A选项，由的规律可知，分母为，且的有项， 所以分母为2,3,4,5,6,7的共项，故，，A正确； B选项，根据的特征可知，分母为，且时，递增， 只有分母为的最后一项大于分母为的第一项， ，故，，B正确； C选项，， ， 故， 所以为首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，C正确； D选项，由C可知，，又， 即的前15项和为， ，又， 即的前21项和为， 其中，故的前项和为， ，，所以，则，故D错误. 故选：ABC 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前24项和 C． D．数列的前31项和 【答案】ABC 【分析】利用给定递推关系分奇偶项讨论求解A，C，利用递推关系结合等差数列求和公式判断B，D即可. 【详解】由题意得，用代替， 得到， 当时，得到，记为式， 当时，得到，记为式， 对于A，可得，故A正确； 在中，用代替， 得到记为③式， 对于C，①③可得，故C正确； 对于B，若求解，我们分奇偶项讨论， 由得， 共组，故中所有奇数项的和为， 由得，在中，每一组相邻偶数项为， 令，得到， 故，， 故是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 故， 则，故B正确； 对于D，若求解，我们对进行分类讨论， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故， 而，故， 而未知，则的值不能确定，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题 5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则 . 【答案】11 【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项. 【详解】设的公差为，则， 又是等差数列，，所以，则，且， 所以，可得，故， 所以，则. 故答案为：11 6．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】由通项公式分组求和即可； 【详解】根据题意， 故答案为： 四、解答题 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1），，所以，， 当时，，即， 所以，则，，， 当且时，不是整数， 所以当时，，时，，当时，， 当时，， 所以. 9．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 10．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列满足，，，. (1)求证：是等差数列； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先将代入题干递推公式计算出的值，再构造数列：令，代入递推计算的表达式，进一步推导即可发现数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即可证明数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）先根据小问1的结果计算出数列的通项公式，再运用累加法推导出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出数列的前n项和. 【详解】（1）证明：由题意得，当时，， 即， 化简整理，得， 解得或， ， ， 构造数列：令，则， 则， ， 两式相减，可得， 化简整理，得， ， ， ， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 故数列是以3为首项，2为公差的等差数列， （2）由（1）可得：， 则， ， ， …… ， 各式相加，可得：， ， 数列的前n项和为： . 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列满足， (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用累加法求通项公式； （2）利用裂项相消法求和． 【详解】（1）由，可得， 可知，，， ，， 上式相加得： ， 当时，，满足上式， 故数列的通项公式， （2），， ， 故数列的前n项和 12．（24-25高二上·安徽淮北·期末） 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列方程组求出，然后可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）记等差数列的公差为，则， 解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即. 13．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）解：正项数列的前n项和为，满足， 可得， 两式相减可得， 所以， 因为，所以， 又因为，解得， 所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的通项公式为，可得. （2）解：由（1）知， 可得， 所以 ． 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知正项数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整理可得（舍）或，即可根据数列类型求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）因为，， 当时， ， 当时，， 整理可得， 则(舍)，或， 所以时，是首项为1，公差为1的等差数列， 所以； （2）因为， 所以， 所以. 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)若对任意都有成立，求m的最小值． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出首项及公差得解. （2）由（1）的结论，求出及，再分奇偶求出，作差判断即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意，，即，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 于是，， ①当n为偶数时，， ， 则当n为偶数且时，满足题意， ②当n为奇数时，， ， 则当n为奇数且时，满足题意， 所以对任意，，都有成立的m的最小值为6. 【点睛】思路点睛：涉及通项按奇、偶分段表示的数列求和，可以先求出时的前和，再利用此和求时的前和. 16．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. （2）由（1）知， . 又，所以. 17．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求解等差数列的基本量即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得 解得，， 所以. （2）由（1）得，所以， 所以 . 地 城 考点06 等比数列的通项公式 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知，数列满足，则数列的前n项和的最大值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得时，，当时，，然后可得时，，当时，，据此可得答案. 【详解】， 令， 则在上单调递增，在上单调递减. 注意到，，. 则当时，，当时，. 注意到， 因在上单调递增，在上单调递减， 又注意到，则当时，. 令. 从而时，，当时，. 设的前n项和为，则的最大值为. 故选：C 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记等差数列的前n项和为，，则（   ） A．40 B．20 C．25 D．30 【答案】C 【分析】根据题意，利用等差数列的性质，求得，结合，即可求解. 【详解】由等差数列的前n项和为，且，可得，解得， 又由. 故选：C. 二、多选题 3．（24-25高二上·安徽黄山·期末）数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则， C． 数列的前项和为 D．若存在正整数，使，，则 【答案】ABC 【分析】A选项，根据规律得到；B选项，分母为的最后一项大于分母为的第一项，故，，B正确；C选项，计算出，从而得到为等差数列，求和得到C正确；D选项，在C基础上，得到的前项和为，前21项和为，确定，，D错误. 【详解】A选项，由的规律可知，分母为，且的有项， 所以分母为2,3,4,5,6,7的共项，故，，A正确； B选项，根据的特征可知，分母为，且时，递增， 只有分母为的最后一项大于分母为的第一项， ，故，，B正确； C选项，， ， 故， 所以为首项为，公差为的等差数列， 所以的前项和为，C正确； D选项，由C可知，，又， 即的前15项和为， ，又， 即的前21项和为， 其中，故的前项和为， ，，所以，则，故D错误. 故选：ABC 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）数列满足，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前24项和 C． D．数列的前31项和 【答案】ABC 【分析】利用给定递推关系分奇偶项讨论求解A，C，利用递推关系结合等差数列求和公式判断B，D即可. 【详解】由题意得，用代替， 得到， 当时，得到，记为式， 当时，得到，记为式， 对于A，可得，故A正确； 在中，用代替， 得到记为③式， 对于C，①③可得，故C正确； 对于B，若求解，我们分奇偶项讨论， 由得， 共组，故中所有奇数项的和为， 由得，在中，每一组相邻偶数项为， 令，得到， 故，， 故是以为首项，为公差的等差数列， 而，， 故， 则，故B正确； 对于D，若求解，我们对进行分类讨论， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 故， 而，故， 而未知，则的值不能确定，故D错误. 故选：ABC． 三、填空题 5．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）设等差数列的前n项和为，若也是等差数列，，则 . 【答案】11 【分析】设的公差为，有，根据已知有且，结合求基本量，进而写出的通项公式，即可求项. 【详解】设的公差为，则， 又是等差数列，，所以，则，且， 所以，可得，故， 所以，则. 故答案为：11 6．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知数列，，对于任意正整数n，都满足，则 ． 【答案】/ 【分析】化简得，用累加法和裂项相消公式求出即可求解的值. 【详解】因为，所以， 则，，……，，， 所以当时， ， 又满足上式，所以，所以， . 故答案为：. 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列的前项和为，且，则 ． 【答案】 【分析】由通项公式分组求和即可； 【详解】根据题意， 故答案为： 四、解答题 8．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知：数列的前n项和为，，当时. (1)求证：数列为等差数列； (2)记表示不超过x的最大整数，，求数列前2025项和. 【答案】(1)证明见解析 (2)4971 【分析】（1）由与的关系可得，根据等差数列的定义即可证明； （2）找到为整数时的临界值，再分区间计算，相加可得结果. 【详解】（1）由，可得，则， 即，，所以是首项为2，公差为1的等差数列. （2）由（1），，所以，， 当时，，即， 所以，则，，， 当且时，不是整数， 所以当时，，时，，当时，， 当时，， 所以. 9．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列式求解的公差，写出等差数列通项公式，即可求解； （2）由（1）得，再利用裂项相消法求和，即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则， 解得， 所以. （2）由（1）知， 所以. 10．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列满足，，，. (1)求证：是等差数列； (2)记，求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先将代入题干递推公式计算出的值，再构造数列：令，代入递推计算的表达式，进一步推导即可发现数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即可证明数列是以3为首项，2为公差的等差数列； （2）先根据小问1的结果计算出数列的通项公式，再运用累加法推导出数列的通项公式，进一步计算出数列的通项公式，最后运用裂项相消法即可计算出数列的前n项和. 【详解】（1）证明：由题意得，当时，， 即， 化简整理，得， 解得或， ， ， 构造数列：令，则， 则， ， 两式相减，可得， 化简整理，得， ， ， ， 数列是以3为首项，2为公差的等差数列， 故数列是以3为首项，2为公差的等差数列， （2）由（1）可得：， 则， ， ， …… ， 各式相加，可得：， ， 数列的前n项和为： . 【点睛】易错点睛：裂项法求和，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的． 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设数列满足， (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用累加法求通项公式； （2）利用裂项相消法求和． 【详解】（1）由，可得， 可知，，， ，， 上式相加得： ， 当时，，满足上式， 故数列的通项公式， （2），， ， 故数列的前n项和 12．（24-25高二上·安徽淮北·期末） 记为等差数列的前n项和，已知 (1)求的通项公式； (2)记 求证：数列的前项和 【答案】(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列方程组求出，然后可得通项公式； （2）利用裂项相消法求和即可得证. 【详解】（1）记等差数列的公差为，则， 解得，所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可得， 所以， 所以 ， 因为，所以， 所以，即. 13．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知正项数列的前n项和为． (1)求数列的前n项和； (2)令，求数列的前9项之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，得到，两式相减，整理得到，得到数列是等差数列，结合等差数列的通项公式和求和公式，即可求解； （2）由（1）得到，结合裂项相消法，即可求解. 【详解】（1）解：正项数列的前n项和为，满足， 可得， 两式相减可得， 所以， 因为，所以， 又因为，解得， 所以数列是以首项为1，公差为2的等差数列， 则数列的通项公式为，可得. （2）解：由（1）知， 可得， 所以 ． 14．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知正项数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用整理可得（舍）或，即可根据数列类型求出通项公式； （2）利用裂项相消法即可求出. 【详解】（1）因为，， 当时， ， 当时，， 整理可得， 则(舍)，或， 所以时，是首项为1，公差为1的等差数列， 所以； （2）因为， 所以， 所以. 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知为等差数列，，记分别为数列，的前n项和，，． (1)求的通项公式； (2)若对任意都有成立，求m的最小值． 【答案】(1)； (2)6. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程组求出首项及公差得解. （2）由（1）的结论，求出及，再分奇偶求出，作差判断即可得解. 【详解】（1）设数列的公差为d， 依题意，，即，解得， 所以的通项公式是. （2）由（1）知，， 于是，， ①当n为偶数时，， ， 则当n为偶数且时，满足题意， ②当n为奇数时，， ， 则当n为奇数且时，满足题意， 所以对任意，，都有成立的m的最小值为6. 【点睛】思路点睛：涉及通项按奇、偶分段表示的数列求和，可以先求出时的前和，再利用此和求时的前和. 16．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知数列的前项和为，，且. (1)求的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用，得到，从而说明是公差为2的等差数列，利用等差数列的基本量计算即可; （2）表示出，利用裂项相消法，计算证明即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以是公差为2的等差数列， 又，所以，解得， 所以. （2）由（1）知， . 又，所以. 17．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等差数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求解等差数列的基本量即可； （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得 解得，， 所以. （2）由（1）得，所以， 所以 . 地 城 考点07 等比数列的性质 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知正项等比数列单调递增，，则（    ） A．12 B．16 C．24 D．32 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】因为正项等比数列单调递增，所以，所以， 又，所以，所以， 故选B. 2．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）已知正项等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正项等比数列的性质，，，可求的值. 【详解】正项等比数列中，，则， ，则， 又，即，解得. 故选：B 3．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知函数，各项互不相等的等比数列满足，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得，进而可得，讨论即得. 【详解】由已知，即， 得， 故，又， ∴，公比，， 当时，，，可知A错误； 当时，，，，可知B错误； 当时，， ∴偶数项均正，奇数项均负，此时，即，故C错误； 由，，可知 当时，，当时，，当时，， ∴当时，各项均正，满足；当时，偶数项均正，奇数项均负，仍满足， 故D正确. 故选：D. 4．（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知数列为等差数列，且，3，成等比数列，则为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】设数列的公差为，根据，3，成等比数列得+可得答案． 【详解】设数列的公差为， 因为，3，成等比数列，所以， 所以+， 所以， 故选：A. 5．（24-25高二上·安徽·期末）若3与13的等差中项是4与的等比中项，则（    ） A．12 B．16 C．8 D．20 【答案】B 【分析】根据等差中项及等比中项性质进行求解. 【详解】3与13的等差中项为8，所以8是4与的等比中项，所以， 解得：. 故选：B. 6．（24-25高二上·安徽宣城·期末）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据等比数列下标和性质计算可得； 【详解】解：． ∵在等比数列中，， 所以． 故选：B． 7．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在等差数列中，，数列是等比数列，且，则 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质化简已知条件，得到关于的方程，求出方程的解得到的值，进而得到的值，把所求的式子利用等比数列的性质化简，将的值代入即可求出值． 【详解】解：根据等差数列的性质得：， 变为：， 解得，（舍去）， 所以， 则．所以 故选：C． 【点睛】本题考查灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值，考查方程思想和运算能力，属于基础题． 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知等比数列的公比为q，则“”是“为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】举例即可说明，充分条件性以及必要条件均不成立，即可得出答案. 【详解】取，，此时数列前几项为，显然该数列不是递减数列， 故由“”不能推出“为递减数列”； 取数列， 显然有，即， 所以，为递减数列，但， 故由“为递减数列”也不能推出“”． 故“”是“为递减数列”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 9．（24-25高二上·安徽宿州·期末）等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比 A．－1 B．1 C．－2 D．－3 【答案】A 【分析】由是和的等差中项，可得，用基本量法求出即可． 【详解】解：是和的等差中项，，得，解得或，又等比数列不具有单调性，故，故选A． 【点睛】本题考查等比数列的基本量法求首项或公比，考查计算能力，是基础题． 10．（24-25高二上·安徽·期末）设数列的前项和为，若，则（    ） A．16 B．31 C．47 D．63 【答案】C 【分析】根据题意，当时，，两式相减化简得到，得到数列是等比数列，求得，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，且， 所以当时，， 两式相减得，即， 可得， 当时，可得，即，解得， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即，所以. 故选：C. 11．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列的公比为，其前项和为，且，，成等差数列，若对任意的，均有恒成立，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可求得 ，为奇数时，， 根据单调性可得： ，为偶数时，，根据单调性可得： ，可得的最大值与最小值分别为2，， 考虑到函数  在上单调递增，即可得出结论． 【详解】等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以，解得， 所以， 当为奇数时，，易得单调递减，且，所以； 当为偶数时，，易得单调递增，且，所以． 所以的最大值与最小值分别为2，． 函数在上单调递增，所以． ．所以的最小值． 故选：B． 【点睛】思路点睛：由已知条件求得等比数列的前n项和，通过分类讨论并利用函数单调性求得的最大值和最小值，再由函数在上单调递增且，可求取值范围. 12．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知等比数列的公比，前项和为，则其偶数项为（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】利用前100项中奇数项和与偶数项和的关系. 【详解】设，则， 又因为，所以， 所以. 故选: D 【点睛】若等比数列有偶数项，则,用整体的思想处理问题，方便简捷. 二、多选题 13．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知等比数列的前项积为，公比，且，则（ ） A．当时，最小 B． C．存在，使得 D．当时，最小 【答案】BD 【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断. 【详解】对于选项B：因为，所以， 又因为，所以，故B正确； 对于选项A、D：因为， 所以，则， 又因为，可得， 则，故， 且，可知数列是单调递增数列， 当时，；当时，； 所以当时，最小，故选项A错误，选项D正确； 对于选项C：因为数列是单调递增数列，且当时，， 所以，故C错误. 故选：BD. 【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题. 三、填空题 14．（24-25高二上·安徽滁州·期末）在等比数列中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】设等比数列的公比为，因为等比数列中，，， 故， 则． 故答案为：． 15．（24-25高二上·安徽合肥·期末）在正项等比数列 中，若 ， ． 【答案】5 【分析】根据正项等比数列的定义与通项公式，计算即可 【详解】正项等比数列 中，， ， 解得，舍去负值，所以. 故答案为：5 地 城 考点08 等比数列的前n项和 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽安庆·期末）记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设公比为，由可得，然后可得即可. 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 2．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等比数列的前n项和为，若，且，则（   ） A． B．40 C．30或 D．或40 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质以及片段和，求出等比数列公比由前项和公式即可得解. 【详解】等比数列的公比为， 因为，且， ，，故， 所以，即， 解得或（舍去）， 所以，可得， 故选：B. 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列满足，，记为其前n项和，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据等比中项性质通分计算即可. 【详解】依题意，， 则. 故选：D. 二、多选题 4．（24-25高二下·安徽安庆·期末）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．当时， B．当时，使得要13步“雹程” C．当时， D．若，则的取值有6个 【答案】BCD 【分析】对于A，由数列的周期性可得；根据数列递推关系推导即可判断B；根据推导可得前10项为等比数列，，利用等比数列求和即可判断C；对于D，根据数列进行逆向推导即可取等的情况. 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知等比数列的各项均为正数，公比为，前项和为．若，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】ACD 【分析】由等比数列的通项公式求得首项和公比，进而逐项判断即可； 【详解】根据题意，解得故A正确； 则，故B不正确； ，C正确； 因为，，所以，是等比数列，D正确． 故选：ACD 6．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列是等比数列，则下列命题中正确的是（   ） A．数列是等比数列 B．若，，则 C．若数列的前项和，则 D．若，公比，则数列是递增数列 【答案】AD 【分析】对于A，根据条件，利用等比数列的定义，即可求解；对于B，根据选项条件，直接求出，即可求解；对于B，利用，求接求出，再利用等比数列的性，即可求解，对于D，根据通项公式，结合选项条件及指数函数的性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，首项为， 对于选项A，因为为常数，所以数列是等比数列，故选项A正确， 对于选项B，因为，，则，解得， 所以，故选项B错误， 对于选项C，因为，令，得到，令，得到，所以， 令，得到，所以，由题有，解得，所以选项C错误， 对于选项D，因为，又，公比，所以数列是递增数列，故选项D正确， 故选：AD. 三、填空题 7．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知是各项均为正数的等比数列，，，则 . 【答案】9 【分析】由已知得及，代入问题化简计算即可． 【详解】由题设易知，公比，设， 是为首项，为公比的等比数列. 从而由得， 由得， ， 故答案为：9 四、解答题 8．（24-25高二上·安徽黄山·期末）在信息论中，熵(entropy)是接收的每条消息中包含的信息的平均量，又被称为信息熵､信源熵､平均自信息量.1948年，克劳德•艾尔伍德•香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农滳.而正是信息熵的发现，使得1871年由英国物理学家詹姆斯•麦克斯韦为了说明违反热力学第二定律的可能性而设想的麦克斯韦妖理论被推翻. 对于正整数，定义的信息熵，（，）. (1)若，求； (2)若数列满足：，（）. ①求此时的信息熵； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)1； (2)①；②. 【分析】（1）直接代入公式计算得解. （2）①根据给定条件，求出的表达式，再利用错位相减求和即可；②由①的结论及已知建立恒成立的不等式，分段求解即得范围. 【详解】（1）当时，由，，得， 所以. （2）①，， 则当时，，， 而， 于是， ，令， 则，两式相减得 ，因此， 所以. ②由①，知， 对任意的，不等式， 当时，恒成立，因此； 当时，，而当时，，当时，，因此； 当时，，， 数列单调递增，且恒有，因此， 所以实数的取值范围是. 9．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知等差数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前和公式求解即可得公差，从而可求得等差数列的通项公式； （2）利用等比数列前和公式，即可求解. 【详解】（1）设公差为，，， 即. （2）由（1）得，， ，是首项为8，公比为4的等比数列， 10．（24-25高二下·安徽合肥·期末）记数列的前项和为，且， (1)求数列的通项公式； (2)记，求 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）运用递推关系式构造出等比数列，分情况列出通项公式即可； （2）利用错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和． 【详解】（1）由，，可得，， 当时，由，可得， 相减可得，即， 上式对不成立， 则. （2）， ， 相减可得， 化简可得，对也成立， 则，. 11．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知单调递增数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可求数列的通项公式； （2），利用错位相减法可求. 【详解】（1），即， 当时，，解得， 当时，， 即， 又数列单调递增，所以，即， 则，，时也符合， 所以. （2）， ， ， , 解得. 12．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．处理生活垃圾的主要方式有填埋方式和环保方式．去年某地产生的生活垃圾为100万吨，其中80万吨垃圾以填埋的方式处理，20万吨垃圾以环保的方式处理，预计每年生活垃圾的总量依次递增10%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加10万吨．已知用填埋的方式处理生活垃圾的成本为100元/吨，用环保的方式处理生活垃圾的成本为500元/吨． (1)为了确定处理生活垃圾的预算，请写出今年起该地通过填埋方式处理的垃圾总量关于年数n的表达式； (2)求从今年起，该地6年内处理生活垃圾的预算总和．(参考数据∶1.16≈1.77) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得从今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量，为每年生活垃圾的总量与每年用环保的方式处理的垃圾总量的差，又注意到从今年起每年生活垃圾的总量构成等比数列，今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量构成等差数列，据此可得答案； （2）由（1）结合题目数据，参考数据可得答案. 【详解】（1）由题可得从今年起每年生活垃圾的总量(单位:万吨)构成公比为1.1的等比数列， 今年起每年用环保的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成公差为10的等差数列， 今年起每年用填埋的方式处理的垃圾总量(单位:万吨)构成数列，满足. 则，，. （2）设6年内处理生活垃圾的预算之和为W，数列的前n项和为， 数列的前n项和为， 则， 所以（元） 13．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知数列的前项和为. (1)求证：数列是等比数列； (2)若，求的最小值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用与之间的关系化简结合等比数列定义即可证明； （2）由（1）得，化简得然后结合单调性解不等式即可. 【详解】（1）由① 时，得. 时：② ①②即.， 数列是首项为公比为的等比数列.. （2）由（1）得，， 所以， 则，单调递增，， n的最小值为. 14．（24-25高二上·安徽淮南·期末）已知等差数列的前n项和为，且， (1)求的通项公式和； (2)若，求数列的前n项和 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前项和为求得首项与公差，即可得数列的通项公式和； （2）由（1）得，通过裂项相消法可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 则，解得，， 所以，. （2）由（1）可知：， 所以. 15．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知数列满足，. (1)证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）递推关系两边同除以可得，两边同时减1，化简后利用等比数列的定义与通项公式求解即可； （2）利用错位相减法与分组求和法，结合等差数列与等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）由，两边同除以可得， 化为，又因为， 所以数列是以为首项以为公比的等比数列， 所以，则； （2） 即， 设①， 则②， ①减②得：， 所以 所以. 16．（24-25高二上·安徽·期末）已知数列满足，，是与的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前项和； (3)若数列对任意的，当时，都有成立，，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列的基本量，即可求解； （2）利用裂项相消法求数列的前项和； （3）根据的范围，结合不等式求数列的通项公式，再求和. 【详解】（1）因为数列满足， 所以数列为等差数列，设公差为， ，所以， ，即，解得， 则数列的通项公式为； （2）由题意可得， 所以 ； （3）由题意可知，当时，，取， 则，即，①， 当时，，取， 此时，可以推出，②， 由①②可得：且， 所以，， 所以． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据条件中的不等式，推断数列的通项公式. 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知的前n项和为，且，. (1)当m为何值时，数列为等比数列，并求此时数列的通项公式； (2)当时，设，求数列的前n项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分别代入计算得，再根据等比中项求出，最后再降次作差即可； （2）利用错位相减法即可. 【详解】（1）因为的前项和， 所以， 所以， 若是等比数列，则，求得， 当时，， 又当时，， 则当时，也适合此通项公式．即， 由于对都成立，所以此时数列为等比数列， 所以当时，数列为等比数列，此时数列的通项公式为. （2）当时，， 则， ， 所以， 故. 18．（24-25高二上·安徽·期末）已知等差数列的首项为，公差，等比数列的首项为，公比为，且满足，，． (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求出数列的通项； （2）利用等差数列与等比数列的求和公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为，，所以， 计算可得，可得或3， 又因为，所以， 由此可得， ； （2）， 所以， 利用等差数列与等比数列的求和公式计算可得， ． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $