专题03 圆锥曲线（期末真题汇编，安徽专用）高二数学上学期

专题03 圆锥曲线 8大高频考点概览 考点01 椭圆的标准方程 考点02 椭圆中的几何问题 考点03 双曲线的标准方程及几何问题 考点04 抛物线的标准方程及几何问题 考点05 离心率的相关问题 考点06 定值、定点问题 考点07 最值问题 考点08 轨迹问题 地 城 考点01 椭圆的标准方程 一、单选题 1．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】根据题意可知，可得，然后可求. 【详解】， ， 又椭圆， 则， . 故选：D. 2．（24-25高二上·安徽·期末）已知点P是椭圆上一点，，是C的左、右焦点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义即可得答案. 【详解】是椭圆上的点，且，又，分别为E的左、右焦点， 由椭圆的定义知. 故选：D 3．（24-25高二上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】先根据椭圆的标准方程确定的值，判断的形状，确定共线，再根据椭圆的定义求的周长. 【详解】如图：    由椭圆方程可知，，. 所以， 所以为等边三角形， 因此的中垂线过， 结合椭圆的定义，可得周长. 故选：C 4．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知椭圆上一点到椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（    ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先根据椭圆的方程求出，再利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆的方程可得，设左焦点为，右焦点为， 由椭圆的定义可得， 若，则， 故选：A 5．（24-25高二上·安徽安庆·期末）如图所示，分别为椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上，是面积为的正三角形，则的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知可得，进而确定P的坐标，代入椭圆并结合椭圆参数关系求. 【详解】是面积为的正三角形， ，解得. ，代入椭圆方程可得， 与联立，解得. 故选：B 6．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知，是椭圆的两个焦点，点在上且，则的面积为（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆的定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆，可得，所以， 由椭圆的定义可得， 故，又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C. 二、填空题 7．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的焦点为，点，在椭圆C上，且，则 . 【答案】4 【分析】根据焦点坐标得到，且，，根据，得到，化简，结合，，得到答案 【详解】由题知，，所以，因为点，在椭圆C上， 所以，，所以，， 因为，所以， 所以，即， 所以，解得. 故答案为：4 三、解答题 8．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知平面上两点，，动点满足. (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)当时，求点的纵坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆定义可得答案； （2）设，可得，与椭圆方程联立可得答案. 【详解】（1）由，，动点满足， 可得动点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，， 所以，，， 所以轨迹的标准方程为； （2）当动点满足时，可得在以为直径的圆上， 设，可得， 又，解得，，则的纵坐标为. 地 城 考点02 椭圆中的几何问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆方程求出，再在焦点中，由椭圆和双曲线的定义及勾股定理得，即可求出的离心率． 【详解】双曲线：，可得，所以， 解得，所以，，， ，， 在中，， ，即， ，. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的短轴长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有，即可求椭圆的长轴长. 【详解】 由外接圆的面积为， 则其外接圆半径为，设， 因为是以为底边的等腰三角形， 所以，所以， 所以，所以或， 不妨设点在轴下方，由是以OF为底边的等腰三角形得或， 根据点差法可得， 有，而（此时焦点在轴上，舍去）， 因为为椭圆的右焦点， 所以，故椭圆的短轴长为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用外接圆的面积求半径，由正弦定理、等腰三角形的性质求相关直线斜率，应用点差法列方程求椭圆参数. 3．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，联立直线与的方程求出，同理求出，代入并借助基本不等式求出最大值. 【详解】椭圆的焦点，，设， 直线的方程为：，由消去， 得，则，，同理， 因此 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【点睛】关键点点睛：设出点的坐标，并用此坐标表示出是求解问题的关键. 二、多选题 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水，容器的底面半径，为容器下底面的直径．如图②，将该容器绕点倾斜后，当且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容器下底面距离的最大值与最小值分别为，；当时，水的最大深度为，则下列说法正确的是（    ）    A．若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2 B．若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为 C．若容器的高为4，，则 D．若容器的高为4，，则 【答案】BCD 【分析】当水面形状为椭圆，根据圆柱底面半径和倾斜角的几何关系，得出短半轴长，长半轴长，进而可判断A，B；时，求出水的体积，当时，根据水的体积不变列方程，代入容器的高和解方程可判断C，D. 【详解】对于A，当容器倾斜时，水面形成一个椭圆．椭圆的短轴长等于圆柱底面的直径， 即．因此，该椭圆的短轴长为4，而不是．故A是错误的． 对于B，当容器倾斜时，短半轴长，长半轴长， 所以，故B正确； 对于C， 当，时，水的体积， 当时，水的体积保持不变，此时用水体的两倍可组成一个圆柱，体积为， 所以，故C正确； 对于D，当，时，水的体积， 则，故D正确； 故选：BCD. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于，两点，则下列说法正确的是（    ） A．弦长的取值范围为 B．若直线过点，则直线的斜率为 C．若点在第一象限，满足的面积为1，则 D．若弦的中垂线与轴交于点，则 【答案】AD 【分析】由焦点弦长性质即可判断A，通过斜率公式可判断B，由焦点三角形面积公式求得，再结合勾股定理、椭圆定义求解即可判断C，设方程，联立椭圆方程，求得中点坐标，写出中垂线方程，求得，由弦长公式及两点距离公式即可判断D. 【详解】根据题意，因为直线过椭圆的右焦点， 所以弦长的最短为通径，弦长的最长为长轴， 所以过右焦点的通径为，长轴为， 所以弦长的取值范围为，故选项A正确； ，当时，，故选项B错误； 因为，计算可得， 所以，， 因为点在第一象限，所以，故选项C不正确； 设点、的中点为， 联立，可得， ，， 所以， 所以点的坐标， 所以、两点的中垂线方程为， 所以点的坐标为，所以， 利用弦长公式可得， 所以，故选项D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为4 C．的最大值为3 D．的最小值为 【答案】BC 【分析】根据给定的椭圆方程求出长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义及余弦定理逐项判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，C正确； 对于D， ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：BC 三、填空题 7．（24-25高二下·安徽·期末）已知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该圆称为椭圆的蒙日圆.若椭圆的离心率为，则该椭圆的蒙日圆方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再求出椭圆在顶点处的切线交点坐标即可求出蒙日圆方程． 【详解】由椭圆的离心率为，得，解得， 椭圆在顶点处的切线分别为，它们交于点， 显然点在椭圆的蒙日圆上，因此， 所以椭圆的蒙日圆方程为． 故答案为： 8．（24-25高二下·安徽·期末）若椭圆的右焦点为，则的长轴长为 ． 【答案】 【分析】由题意可知椭圆的焦点在轴上，且，由椭圆中的平方关系可求得的值，进而可求得长轴长. 【详解】因为椭圆的右焦点为，所以，且焦点在轴上， 所以，所以长轴长为． 故答案为：． 9．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知是椭圆的左焦点，，是椭圆上关于原点对称的两点，且，则 ． 【答案】 【分析】求出的坐标，利用两点间的距离公式即可得 【详解】解法一：在椭圆中，，∴， 在椭圆上关于原点对称， 设，由对称性，不妨设点在第一象限， 所以， 因为，所以，， ，或， 所以， 所以. 解法二：，，是椭圆上关于原点对称的两点， 则. 故答案为： 10．（24-25高二上·安徽宣城·期末）点是椭圆上的动点，若的值为定值，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将问题化为椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值，进一步化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离，联立方程并结合判别式确定参数范围. 【详解】由为定值，即为定值， 所以椭圆上任意一点到直线、的距离之和为定值， 显然、平行或重合， 且，则，即， 所以与椭圆无交点， 综上，只需保证椭圆在直线、之间即可，如下图， 需直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离即可， 联立有，则，即， 所以，即或， 当时，直线在椭圆右下方，不合要求； 当时，直线在椭圆左上方，符合； 所以m的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：将问题化为直线在椭圆左上方且与椭圆相切或相离为关键. 11．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知经过点，且，则椭圆离心率为 .    【答案】/ 【分析】根据椭圆通径公式和几何性质求解. 【详解】根据题意，， 又，解得， 所以离心率. 故答案为： 地 城 考点03 双曲线的标准方程及几何问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知，，动点P满足，则点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．双曲线的一支 C．双曲线 D．射线 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义可求得结果. 【详解】因为，，所以， 则，由双曲线的定义可知，点P的轨迹为双曲线的一支. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的左，右焦点分别为，左，右顶点分别为，点的坐标为在双曲线上，是的中垂线，若的周长与的周长之差为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据是的中垂线、的周长与的周长之差为及双曲线定义可得关于的方程组可得答案. 【详解】因为是的中垂线，所以，， 若的周长与的周长之差为， 则， 即，① 又，所以，② 且，③ 解①②③组成的方程组可得， 则双曲线的方程为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用是的中垂线、的周长与的周长之差得到关于的方程组求解. 3．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得. 【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为， 圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义， 所以，即的最小值为. 故选：D    【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为. 4．（24-25高二上·安徽滁州·期末）双曲线的右焦点为，点A的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意，利用双曲线的定义把的周长用的周长来表示，可求的最小值，从而求a即可. 【详解】 如下图所示：    设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得， ，又，当且仅当A，P，F三点共线时等号成立. 所以，的周长为， 当且仅当A，P，F三点共线时，的周长取得最小值，即，解得． 故选：D． 5．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知双曲线的左焦点为F，过点F的直线l垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A，B两点（其中点A为垂足），且点A，B分别在第二、第三象限内.若，则双曲线C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到OA和OB的方程，设，根据题意得到，进而得到方程组，求出，由垂直关系可得斜率之积等于，求出，得到渐近线方程. 【详解】由题意可得，OA的方程为 ，OB的方程为 ， 设， 点A，B分别在第二、三象限内，若 ，则 ， ， ， ， ， 由可得，斜率之积等于， 故 ，即 ，解得 所以双曲线C的渐近线方程为 故选：A 二、多选题 6．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 7．（24-25高二上·安徽宿州·期末）在椭圆（双曲线）中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线）的蒙日圆.已知双曲线的蒙日圆方程为为坐标原点，点在双曲线上，与双曲线的蒙日圆交于点，则（    ） A．若点的坐标为，且的蒙日圆的半径为1，则的方程为 B．若点的坐标为，则的蒙日圆面积最大值为 C．的最小值为 D．若为的中点，则的离心率的最大值为 【答案】ACD 【分析】对A，根据题意建立的方程组求解；对B，由，可得，利用基本不等式求出得解；对C，由结合得解；对D，根据题意，结合C选项可得，化简结合离心率公式求解. 【详解】对于A，若点在上，则有，又因为，联立解 得，故A正确； 对于B，由 ， 当且仅当等号成立，所以的蒙日圆的面积，故B错误； 对于C，由，当且仅当为双曲线的左，右顶点时取到等号，故C正确； 对于D，若为线段的中点，此时，由C选项的结论可得，， 解得，又，所以，故，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项解决的关键是结合C选项得到，进而得到的不等关系得解. 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，其一条渐近线方程为，点A为C的左支上任意一点，则下列说法正确的是（ ） A．C的离心率为2 B．若轴，则 C．若，则的最小值为 D．若点为C的左支上一点，则的内切圆的半径为 【答案】ABD 【分析】根据渐近线得，进而求出离心率判断A，根据轴时，代入求值判断B，应用双曲线定义结合距离和最小判断C，应用三角形内切圆得公式计算即可判断D. 【详解】由，得， 由其一条渐近线方程为，得， 所以，离心率为，A正确； 双曲线C的方程为，， 当时，，所以当轴时，，B正确； 根据双曲线定义可得， 所以，又，， 因此， 当A是线段与C的交点时，满足题意， 此时的最小值为，C错误; 由点为C的左支上一点，得 由，得，， 又， 因此的周长为， 知的面积为 设的内切圆半径为r， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高二上·安徽亳州·期末）若双曲线的渐近线方程为，且与直线交于两点，则（   ） A． B． C．在两点处的切线倾斜角互补 D．在两点处的切线夹角为 【答案】BCD 【分析】选项A，由渐近线方程可得；选项B，联立与直线，得坐标，进而可得；选项CD，联立切线方程和双曲线方程，由，求得在两点处的切线斜率，进而可得. 【详解】由双曲线的渐近线方程，可得，故A错误； 双曲线的方程为，当时，， 故，，故，故B正确； 设双曲线在点处的切线方程斜率为，则切线方程为， 联立可得，、 则，得， 故切线方程为：， 同理可得双曲线在点处的切线斜率为，方程为， 故在两点处的切线倾斜角为故CD正确， 故选：BCD 10．（24-25高二上·安徽黄山·期末）下列说法正确的是（    ） A．当点到直线的距离最大时，的值为 B．离心率为的双曲线的渐近线方程为 C．若直线与直线相交，且交点的横坐标的范围为  ，则实数的取值范围是 D．设为实数，若直线与曲线恰有一个公共点，则 【答案】AC 【分析】根据直线所过定点，即可判断A，根据双曲线的性质，以及的关系，即可判断B，联立两直线方程求交点的横坐标，求解不等式，即可判断C，利用数形结合，判断D. 【详解】A选项，直线过定点， 所以点到直线的距离最大时垂直于直线， 即，所以，故A正确； B选项，离心率为的双曲线，可得，即， 所以，所以双曲线的渐近线方程为：或，故B不正确； C选项，由，解得， 因为交点的横坐标的范围为， 所以， ，解得或，故C正确； D选项，曲线，即表示一个半径为的半圆，如图所示： 当直线经过点时，求得， 当直线经过点和时，求得， 当直线和半圆相切于点时，由圆心到直线的距离等于半径， 可得，求得或舍去， 故当直线与曲线合有一个公共点时，的取值范围是，故D错误． 故选：AC 三、填空题 11．（24-25高二上·安徽合肥·期末）双曲线的焦距为 . 【答案】8 【分析】根据双曲线方程即可求解. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 所以双曲线的焦距为8. 故答案为：8. 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线：的右焦点为，直线：与E交于A，B两点，且，则 . 【答案】/ 【分析】设双曲线的左焦点为，分析可知为矩形，则，分析可知，即可得结果. 【详解】设双曲线的左焦点为，连接，， 由对称性可知：，可知为平行四边形， 且，可知为矩形，可得， 由题意可得：，即， 因为，可得， 整理可得. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用 在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 13．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，焦距为4，直线与双曲线交于，两点，点为双曲线在第一象限上的点，记直线、的斜率分别为、，且，若的面积为，记直线、的斜率分别为、，则 ． 【答案】 【分析】首先联立，由韦达定理结合得，进一步得双曲线方程，由的面积为得坐标，由斜率公式即可求解. 【详解】    设，，，根据题意，可得， 联立，化简得，， 所以， 所以， 又，可得，，所以双曲线， 的面积为，可得， 代入双曲线的方程可得，所以点的坐标为， 所以． 故答案为：. 14．（24-25高二上·安徽·期末）若双曲线的焦点分别为，，且点在上，则的实轴长为 ． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义计算即可. 【详解】双曲线的实轴长为. 故答案为：. 15．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知点，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们在第一象限的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由椭圆方程和双曲线方程的定义可得，进而由得，设，由，可得，，由可得. 【详解】 设椭圆和双曲线的方程分别为，， 所以，可得， 设椭圆的半焦距为，因为， 所以，即， 化简得，即，即， 令，则，取， 因为，，所以，， 所以，故， 则， 时，， 因为， 所以，所以， 所以 故答案为： 16．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，可得关于的表达式，构造函数，再根据函数的单调性可得的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为． ，， 由于是以为底边的等腰三角形． 若，即有，， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有，，， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有． 由离心率公式可得， 其中． 令， 由于是上的单调增函数， 是上的单调减函数， 是上的单调增函数， 又，， 又，且趋近于时，趋近于， 的取值范围是， 即的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题 17．（24-25高二上·安徽·期末）已知点，圆，点满足，点的轨迹为曲线，点为曲线上一点且在轴右侧，曲线在点处的切线与圆交于，两点，设直线，的倾斜角分别为． (1)求曲线的方程； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由双曲线定义即可求解. （2）分切线的斜率是否存在进行讨论，当斜率存在时，结合韦达定理、数量积公式得，由与双曲线相切得关系，由此即可得解. 【详解】（1）根据题意：，满足双曲线定义， 设曲线的方程为， 根据定义可得，，， 所以曲线的轨迹方程为； （2）根据题意：，， 当的斜率不存在时，    ，此时，，， 所以； 当的斜率存在时，设，，    设直线，联立直线与圆可得：， ， ， 所以代入韦达定理可知， 因为直线与曲线相切，联立 ，， 所以，故得， 所以． 【点睛】关键点点睛：第二问的关键是设直线方程时，含有双参变量，结合直线与双曲线相切可得双参变量的关系，由此即可顺利得解. 地 城 考点04 抛物线的标准方程及几何问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知点是抛物线上的动点，定点，则到点的距离与到轴的距离之和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线焦半径公式可得，，当且仅当三点共线时，等号成立，从而求出距离之和的最小值. 【详解】抛物线，焦点坐标为，准线方程为， 设到轴的距离为，过点作⊥准线于点， 由抛物线焦半径公式可得，，    则，当且仅当三点共线时，等号成立， 其中，所以到点的距离与到轴的距离之和最小值为. 故选：A 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知抛物线：的焦点为，直线过点且与抛物线交于，两点，点在第一象限，点为轴上一点（，，三点不共线），满足的面积是面积的2倍，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直线的方程为，联立，得，设，，因为的面积是面积的2倍，得，进而得到答案. 【详解】 由题意知，点，设直线的方程为，， 联立，得， 所以， 因为点为轴上一点，的面积是面积的2倍， 所以， 又因为三点共线， 所以，即， 即， 所以， 即， 所以， 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽·期末）已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义、余弦定理得，再应用基本不等式求最值. 【详解】由抛物线的定义知，，，， 所以在中，由余弦定理得， 所以， 又因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以，故， 所以的最大值为 故选：A 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，圆．如图，过点的直线与抛物线和圆的交点依次为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，由抛物线焦半径公式可得：， 再由，结合基本不等式即可求解； 【详解】根据题意，圆，可得， 所以该圆的圆心为，所以，， 所以， 设点，，易知斜率不为0， 设方程为：， 联立抛物线方程消去可得：， 所以，又， 两式相乘可得：， 所以， 因，当且仅当时等号成立． 即时，取得最小值. 故选：B 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的方程为，则抛物线的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把抛物线方程化为标准方程可得结果. 【详解】∵抛物线的方程为， ∴标准方程为， ∴抛物线的准线方程为. 故选：A. 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，则的面积为（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】将直线方程与抛物线方程联立，解方程可得，然后结合点到直线距离公式可得答案. 【详解】. 解得：或，由图，，则. 又由题可得，则点F到PQ距离为. 则的面积为. 故选：B    7．（24-25高二上·安徽·期末）已知抛物线的焦点为，若抛物线上一点满足，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义结合直角三角形的性质求解即可. 【详解】如图，过向准线做垂线，垂足为，作， 由题意得四边形是矩形，故，， 因为，所以， 得到，由抛物线定义得， 而，解得，故B正确. 故选：B 二、多选题 8．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知点是抛物线的焦点，是过点的弦且，直线的斜率为，，且两点在第一象限，则（   ） A． B．四边形面积的最小值为64 C． D．若，则直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】对于选项A，直线的方程为，然后与抛物线方程联立，根据韦达定理和向量数量积的坐标公式即可求出的值；对于选项B，分别联立直线与抛物线方程和与抛物线方程，根据韦达定理即可将用表示出来，然后求四边形的面积即可；对于选项C，将求出的的表达式代入即可求出答案；对于选项D，利用两点距离公式和韦达定理可求出的值，进而求出直线的斜率. 【详解】对于A：设直线的方程为，， 联立直线和抛物线方程得， 根据韦达定理得. 所以. 所以，所以A正确； 对于B：. 直线的方程为，与抛物线联立方程组化简得. 根据韦达定理. 所以， 因为，所以，所以， 所以四边形的面积为 当且仅当时等号成立，此时四边形面积的最小值为128，所以B错误； 对于C：因为， 所以，所以C正确； 对于D：， 同理. 所以所以，因为，所以. 所以直线的斜率为，所以D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二下·安徽·期末）已知抛物线的焦点为是上一点，过点的直线与交于A,B两点，且，则（    ） A． B．直线AB的方程为 C．直线PA，PB的斜率之和为0 D． 【答案】BCD 【分析】A选项，根据焦点坐标得到，抛物线，将代入，求出；B选项，根据，求出直线AB的斜率，由点斜式求出直线AB的方程；C选项，联立与，得到两根之和，两根之积，表达出，代入两根之和，两根之积，求出斜率之和为0；D选项，表达出，结合C选项，代入求解即可. 【详解】A选项，，故，解得，抛物线， 为抛物线上一点，故抛物线，解得，A错误； B选项，由A知，，故， 又，所以直线AB的斜率为， 所以直线AB的方程为，即，B正确； C选项，联立与得， ，设，则， 其中，， 所以 ， 直线PA，PB的斜率之和为0，C正确； D选项，， ， 由C知，， ，，故， 故，D正确. 故选：BCD 10．（24-25高二上·安徽宣城·期末）抛物线的焦点为F，顶点为O，过点F作倾斜角为的直线l，交抛物线于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，，准线与x轴交于点C，则下列说法正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．三角形ABC面积的最小值为4 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】求出两点的坐标可判断A；根据焦半径公式可判断B；根据弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式判断C；利用焦半径公式结合基本不等式以及韦达定理可判断D. 【详解】由可得，抛物线的焦点为，准线方程为， 对于A，当时，可得，，故A正确； 对于B，当时，直线l的方程为，与抛物线方程联立， 消去y，化简整理得，解得或， 所以，，所以，故B错误； 对于C，设直线l的方程为，与抛物线方程联立 消去x，化简整理得，设， 则，， 所以 又点C到直线l的距离， 所以 当且仅当时，等号成立，三角形ABC面积的最小值为4，故C正确； 对于D，由抛物线的定义得 ，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知F是抛物线C：的焦点，A是抛物线C的准线与x轴的交点，B是抛物线C上一点，则当取得最大值时，直线AB的方程为 . 【答案】或 【分析】分B与原点重合和B与原点不重合两种情况分析求出最大值时即可求解. 【详解】易知，， 当B与原点重合时，， 当B与原点不重合时，设（），则. 所以，， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时， 当时，直线AB的方程为即， 当时，直线AB的方程为即， 所以直线AB的方程为或. 故答案为：或. 12．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据给定条件及抛物线定义建立方程，求出点的纵坐标即可. 【详解】抛物线的焦点，设，则， 由，得，则， 整理得，解得或， 当时，，不符合题意；当时，，符合题意， 所以的面积为. 故答案为：    13．（24-25高二上·安徽·期末）已知，轴于点B，M为射线OA上任意一点，轴于点C，点D为直线AB上一点，且，直线OD与直线MC相交于点P.已知点，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设点，再利用焦半径公式得的表达式，最后利用基本不等式即可得到答案. 【详解】设，其中，则， 由于三点共线，则，所以得点的轨迹方程是，， 点为该抛物线的焦点，准线，点为准线与轴的交点， 作于点，则，， 则 ，当且仅当，即时取等号．则的最大值为． 故答案为：． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法，从而得到比值表达式，最后利用基本不等式即可. 14．（24-25高二上·安徽六安·期末）为抛物线上一动点，过作圆的一条切线，为切点，点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据相切以及点点距离公式可得，即可根据焦半径公式可得，进而利用三点共线求解最值. 【详解】如图：抛物线的焦点为，圆心为半径为， 设，则 由于时，当且仅当共线时取到等号， 故的最小值为 故答案为：      【点睛】关键点点睛：，进而根据抛物线的焦半径公式可得,即可利用三点共线求解. 四、解答题 15．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点． (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积． 【答案】(1)抛物线的标准方程为，准线方程为或抛物线的标准方程为，准线方程为. (2) 【分析】（1）根据题意分开讨论抛物线的开口方向，求出抛物线的标准方程与准线方程. （2）首先求出和直线的方程，然后求出点的纵坐标，最后根据面积公式求出的面积即可. 【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为； 当抛物线开口向上时，设其方程为， 将点代入方程可得，解得， 此时抛物线的标准方程为，准线方程为. 综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为. （2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为. 画出图象为： 由题意可知存在，，因为，所以. 设点，所以，解得（舍去）或. 直线的方程为，即. 所以点的坐标为. 所以的面积为. 16．（24-25高二上·安徽宿州·期末）动圆与圆外切，且与直线相切，记该动圆心的轨迹为曲线.过的直线与交于两点，过点作的切线，设直线分别与直线交于点. (1)求曲线的方程； (2)证明：与的横坐标之积为定值； (3)记的面积分别为，求的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设的方程为，注意用导数求得切线斜率，由直线方程得出的横坐标（用表示），然后求乘积可得； （3）由图形得，直线方程代入抛物线方程（消去）应用韦达定理得，计算，由（2）不妨设，，由基本不等式得最小值，从而得的最大值． 【详解】（1）由题意可知，动圆圆心到点的距离比它到直线的距离大1， 所以到点的距离等于它到直线的距离， 所以点的轨迹是以点为焦点，以直线为准线的抛物线， 设点的轨迹方程为，则，所以， 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）易知的斜率必存在且不等于0， 设的方程为， 联立，可得的横坐标为， 又因为过点和，所以， 由，有， 所以的斜率为，因此的方程为， 令，可得的横坐标为， 所以，因此的横坐标与的横坐标之积为定值. （3）由题意，有， 所以， 联立，消去，化简得， 所以， 因此， 所以， 由（2）知，不妨设， 则，等号成立当且仅当， 因此， 所以的最大值为. 【点睛】结论点睛：抛物线在点处的切线斜率为，抛物线在点处的切线的斜率为． 地 城 考点05 离心率的相关问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，点在上，点在轴上，，，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设出相关点的坐标，然后根据向量关系以及椭圆的定义和性质来求解离心率. 【详解】设，，，，，， 又，，解得，， 此时，，，，解得， 又点在上，，，， 又，即，解得，， 即. 故选： 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 3．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 4．（24-25高二下·安徽亳州·期末）已知双曲线的右焦点为，以OF（为坐标原点）为直径的圆与一条渐近线交于点，直线MF与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】设，，根据求出，，再在中求出，利用算两次的思想即可求出关于的等式，进而求出离心率. 【详解】由题意可知，，， 设，，则由渐近线的对称性可知，， 因，则， ， 因，则，，， 则在中，则，化简得， 则离心率. 故选：A 5．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）已知，是双曲线的左、右焦点，点A，B在双曲线上，且满足，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用双曲线的对称性及双曲线定义，结合勾股定理建立方程求出离心率. 【详解】令点关于原点的对称点为，连接，则四边形为平行四边形， ，由，得，则点共线， 令，则，，， ，由，得为矩形，则， 即，解得，，令， 由，得，解得， 所以双曲线C的离心率为. 故选：D    6．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆上存在点P，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆的定义可得，进而可得，可求椭圆的离心率的取值范围. 【详解】由椭圆的定义得，又，所以， 又，当且仅当点在椭圆下顶点时等号成立， 所以，即，则，即， 即椭圆的离心率的取值范围是. 故选：C. 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）人教A版必修第一册第92页“探究与发现”的学习内容是“探究函数的图象与性质”，函数的图象实际上是双曲线.则函数的图象对应的双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对勾函数的性质先确定的渐近线，利用正切的二倍角公式及双曲线离心率计算即可. 【详解】设双曲线的两条渐近线的夹角记为， 易知函数的渐近线为：与纵轴，所以， 又双曲线的离心率满足：， 解方程可得（负值舍去），所以. 故选:A. 8．（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）设为椭圆与双曲线公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点，是以线段为底边的等腰三角形，且若椭圆的离心率，则双曲线的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得到，结合椭圆的定义和离心率公式得到，求得的取值范围，再由双曲线的定义和离心率公式得到双曲线的离心率，即可求解. 【详解】因为，为椭圆与双曲线的公共的左右焦点， 是以线段为底边的等腰三角形，且， 设（），由椭圆的离心率， 即，解得：， 由点在第一象限，得双曲线的离心率. 故选：D 【点睛】关键点点睛：结合椭圆、双曲线的定义域，用半焦距表示出离心率是求解的关键. 9．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知双曲线的右焦点为为直线上关于坐标原点对称的两点，为双曲线的右顶点，若，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据得出的特征，然后通过的值结合双曲线的相关线段长度关系来建立关于离心率的方程，进而求解离心率. 【详解】因为，所以，又，为直线上关于坐标原点对称的两点，，那么. 设，则，化简可得， 而，所以，则或，不妨设，. 已知，则，. ，. . 根据向量的夹角公式. 因为，得. 由于是三角形内角，且，在直线上，为右顶点，所以. 即，两边平方可得， 化简得，即，. 又因为，把代入可得. 双曲线的离心率，则，所以. 故选：B. 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线的一个焦点到其渐近线的距离为4a，则C的离心率为（   ） A． B． C．5 D．2 【答案】A 【分析】根据焦点到其渐近线的距离为，利用点到直线距离公式计算，得到 【详解】双曲线焦点到渐近线的距离等于4a，即点到直线的距离等于4a，即，即， 可得，即. 故选：A. 11．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆与抛物线有公共焦点，且E与C的一个交点为，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据点在抛物线上得出，再根据抛物线焦点求出结合椭圆的定义计算求解得出离心率. 【详解】因为抛物线过点，则 ，所以， 因为椭圆与抛物线有公共焦点， 所以，椭圆的焦点坐标为, 由椭圆的定义得，则， 所以. 故选：A. 12．（24-25高二上·安徽黄山·期末）蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 二、填空题 13．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为N，M，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为 . 【答案】/ 【分析】先画出图形，根据相似和勾股定理可得，然后根据双曲线的定义可求出，然后在直角三角形中根据勾股定理可求出之间的关系，从而求出离心率. 【详解】如图所示，根据相似，. 因为，所以. 所以，又， 根据勾股定理得，化简得， 所以，故. 故答案为：. 14．（24-25高二下·安徽阜阳·期末）已知抛物线的准线过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据抛物线的准线求出椭圆的焦点坐标，即得，然后求出，即可得解. 【详解】设椭圆的半焦距为， 因为抛物线的准线为，所以椭圆的一个焦点，即， 所以，所以椭圆的离心率为. 故答案为： 15．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形，则双曲线的离心率为 ；若直线的斜率大于零，且圆为的内切圆，则圆的半径为 ． 【答案】 2 / 【分析】先根据等腰三角形的性质及双曲线的定义求出的值，再结合双曲线中的关系求出，从而可求出双曲线的离心率；对于求内切圆的半径，先求出直线的斜率，则可求出直线的方程，代入双曲线方程可求出点的坐标，从而可求出，然后利用三角形面积与周长关系求解即可. 【详解】由，得，则， 因为过的直线与双曲线的右支交于，两点（点在第一象限），且是腰长为8的等腰三角形， 所以或， 所以，得， 所以，得，解得， 所以离心率为， 因为直线的斜率大于零，是腰长为8的等腰三角形， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以直线的斜率为， 因为，所以直线为， 由，得，解得或， 因为直线的斜率大于零，点在第一象限，所以，， 所以， 所以， 因为，所以， 设圆的半径为，则， 所以，解得. 故答案为：2， 【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线的离心率问题，考查双曲线的焦点三角形问题，解题的关键是根据题意结合双曲线的定义在等腰中求出直线的斜率，考查数形结合的思想和计算能力，属于较难题. 16．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与双曲线的左、右两支分别相交于两点，直线与双曲线的另一交点为，若，且的面积是的面积的3倍，则双曲线的离心率为 . 【答案】 【分析】由双曲线的定义，结合三角形的余弦定理和离心率公式，计算可得所求值． 【详解】设，由双曲线的定义可得， 由的面积是的面积的3倍，可得， 因为，所以，解得，，在中，； 在中，，解得，即. 故答案为：2 【点睛】关键点点睛：本题关键结合双曲线的定义及余弦定理求出a、c 的关系. 地 城 考点06 定值、定点问题 一、解答题 1．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 2．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上，为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，为坐标原点，求的面积最大时实数的值； (3)若直线，的斜率分别为，，且，直线，与圆分别交于点，.证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； （3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案. 【详解】（1）由焦点在直线上，令，解得， 由过点，则，解得， 所以椭圆的方程为 （2） 当时，直线，设，， 联立，消去可得， 由，则， 可得，， 点到直线的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以的值为. （3） 由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于轴，，设的方程：，，， 则，消去可得， 则（*），且， 可得，解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于轴， 则设的方程：，，， 则，消去可得， 由，则，， 可得. 因为，则，即， ,∴ 所以直线方程为：， 所以直线过定点. 3．（24-25高二下·安徽滁州·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程． (2)过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）设点是所求曲线上的一点，且，由，得到，将其代入圆的方程，即可求得曲线的标准方程； （2）（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，联立方程组，求得，由直线的方程为，联立方程组，求得，求得直线的方程，得到过定点；当直线的斜率不存在时，求得直线过定点，即可求解； （ii）由（i），结合得到，令，结合的单调性，即可求解. 【详解】（1）解：设点是所求曲线上的一点，且， 由轴于，则，因为，可得， 因为点是圆上任意一点，则，即， 即曲线的标准方程为. （2）解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则， 直线的方程为，可得，则，直线过定点， 综上可得，直线过定点. （ii）由（i）知，直线过定点，且， 可得，则 ， 令，则，则， 令在上为单调递增函数，当时，， 即时，面积取得最大值，最大值为. 4．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆：的焦距为，点在椭圆上． (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆交于，两点（均异于点），且直线与的斜率之和为0．证明：直线的斜率为定值，并求出该定值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析，定值为. 【分析】（1）建立方程组，求解未知数； （2）设直线方程，联立方程组，化简即可. 【详解】（1）由题意可知，，解得， 则椭圆的方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线与的斜率之和不会为0． 设点，直线， 由消去并整理，得， 则， 则 则， 整理，得， 因直线不过点，则，所以. 故直线的斜率为定值，定值为. 【点睛】关键点点睛：本题为圆锥曲线中直线过定点问题，本题的关键在于此二元二次方程的化简问题，该题中求解斜率为定值，故其中为常数必为此二元二次方程的因式，而另一个因式必为题中增根，即. 5．（24-25高二上·安徽·期末）已知曲线的离心率为，分别为的左、右焦点，过点的直线与交于两点，面积的最大值为，点为的左顶点． (1)求曲线的方程； (2)证明：为定值； (3)已知双曲线，若所在直线与双曲线的左支分别交于点，点（均异于点），过点作的垂线，垂足为，证明：存在点使得为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用椭圆离心率及焦点三角形面积列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率坐标公式计算得证. （3）直线的斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算可得直线过定点，再探讨直线的斜率不存在时的情况即可推理得证. 【详解】（1）设曲线的半焦距为c，由离心率为，得， 由的最大值为，得，而，解得，，， 所以曲线的方程为. （2）由（1）得，依题意，直线不垂直于轴，设，， 由消去得，则，， 则 ， 所以为定值； （3）    设，由（2）知，则， ①当直线斜率存在时，设其方程为，由直线不过点，得， 由消去得， ，且，，， 则， 整理得， 于是， 化简得，即，而，则，符合题意， 直线：，过定点； ②当直线斜率不存在时，由对称性，不妨令点在第二象限，直线的斜率为， 方程为，与方程联立可得，同理得，此时直线也过点， 因此直线过定点，设该点为， 由，得在为直径的圆上，圆的方程为，半径为， 所以存在点使得为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 6．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知椭圆分别是的左，右顶点，点是上一点（与不重合），过原点的直线，满足，其中交于两点，交于两点，其中在轴上方，直线的斜率分别为. (1)求证：为定值； (2)判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)如图，将椭圆沿所在直线翻折，使得平面平面.判断是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)是，20 (3)是，18 【分析】（1）设，利用在椭圆上直接计算可得； （2）设，代入椭圆方程求得交点坐标，再计算可得； （3）写出折叠后各点的空间坐标，由空间两点间距离公式再计算可得． 【详解】（1）易知，设，则 则， 又因为，故 （2）设，联立解得， 同理，得， 由椭圆对称性得， （3）易知，， . 【点睛】方法点睛：一般直线与椭圆相交中的定值问题，解题方法是设直线方程，设交点坐标是，直线方程代入椭圆方程后应用韦达定理得，然后由交点坐标计算要求定值的量，代入韦达定理的结论化简即可得．本题中直线过原点，因此直接设出直线方程代入椭圆方程求得交点坐标，再计算即可得． 7．（24-25高二上·安徽·期末）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知点，过点且斜率不为0的一条直线，交曲线于、两点，直线、分别与直线交于、两点. ①求证：直线与直线的斜率之积为常数； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据椭圆定义判断的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程； （2）①设直线，联立方程利用韦达定理求出，，根据斜率相等求出，然后代入斜率公式表示出化简即可得；②由①知，，所以，然后利用基本不等式求出最值即可 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意， 又，故的轨迹为椭圆. ，， 故的轨迹方程为 （2）①由（1）知，，设直线，，， 联立消去，整理得， 则， 根据题意可设，， 则由，可得， 由，可得， 所以直线与直线的斜率之积 所以直线与直线的斜率之积为定值. ②由①知，，所以. ， ， 所以 当且仅当或时等号成立， 所以面积的取值范围是. 【点睛】关键点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 8．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点. (1)若椭圆上点满足，求的值； (2)定点在轴上，若点S为椭圆上一动点，当取得最小值时点S恰与椭圆的右顶点重合，求实数的取值范围； (3)设椭圆的左右顶点分别为、，过的直线交椭圆于点、（异于、），设直线、的斜率分别为、，求的值. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，求出，再利用椭圆定义求解. （2）设，利用两点间距离公式建立函数关系，借助二次函数探讨最小值. （3）设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算即得. 【详解】（1）椭圆的焦点， 由，设点，则，解得，即， 所以. （2）设，则，， 则， 所以，， 要使时取最小值，则必有，所以. （3）依题意，，设， 由消去，得， 则，即， 所以. 9．（24-25高二上安徽阜阳·期末）已知椭圆的长轴长为2，离心率为. (1)求椭圆的标准方程. (2)已知圆，直线，直线与椭圆交于两点，为上异于的点，且直线与圆相切. （i）若直线的斜率存在，证明：直线的斜率之积为定值，且直线与圆相切. （ii）求面积的最小值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由椭圆的性质求解方程即可； （2）设，因为过原点，可得关于原点对称，所以，若的斜率存在，分别记为，然后由点差法结合直线与圆相切证明即可；当斜率不存在时，可得当时，满足与圆相切，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理得到，然后利用导数分析单调性求解其最小值即可. 【详解】（1）由于椭圆的长轴长为2，则，即； 又， 得， 椭圆的标准方程为； （2） （i）设，因为过原点，可得关于原点对称，所以，若的斜率存在，分别记为， 则有 因为在椭圆C上，所以有 ①， ② ①-②得， 即； 所以直线的斜率之积为定值. 设过且斜率为的直线与圆相切， 直线的方程为， 即， 有， 化简可得（*） 因， 方程（*）可化为（**） 若与圆相切，则有为方程（*）的根， 即， 的斜率之积为，得， 则 得也为方程（**）的根，即与圆相切； （ii）当斜率不存在时，可得当时， 得，满足与圆相切， 当时，得，满足与圆相切， 综上有与圆相切，则，又为的中点， 则可得，则可得， ， ，则得直线的方程为， 得， ， 同理，， ， 令，得： ，得，得， 所以在单调递减，在单调递增，则， 得的最小值为. 10．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆，离心率为，点在椭圆上． (1)求E的方程； (2)过点作互相垂直的两条直线与，设交E于A，B两点，交E于C，D两点，AB，CD的中点分别为M，N．探究：与的面积之比是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值4，理由见解析. 【分析】（1）根据离心率和得到方程组，求出，，得到椭圆方程； （2）法一：设直线，当，且时，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理求出，得到直线的方程，并求出直线MN恒过定点，并得到当和，直线恒过，设点O，K到直线MN的距离分别是，得到； 法二：设直线，当，且时，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，求出，同理求出，得到直线的方程，表达出点O和点F到直线MN的距离，，求出，再考虑当和时的情况，得到答案. 【详解】（1）由题意，， 解得，， 则E的方程 （2）法一：与面积之比为定值，定值为4，理由如下： 设直线，，， 讨论：①当，且时， 联立，可得， ，则， 所以，， 所以， 设，同理可得． 所以（，且）， 所以直线，即， 所以直线MN恒过定点； ②当时，不妨设直线；， 可发现轴，且MN过， ③当时，直线MN依然过，但无法形成三角形． 综上，直线MN恒过点， 设点O，K到直线MN的距离分别是，． 法二：与面积之比为定值，定值为4，理由如下： 设直线，，， 讨论：①当，且时， 联立，可得， ，则， 所以，， 所以， 设，同理可得． 所以（，且）， 所以直线，即， 则点O到直线MN的距离， 则点F到直线MN的距离， 所以， ②当时，不妨设直线；，可发现， 则点O到直线MN的距离，点F到直线MN的距离， 所以， ③当时，无法形成三角形． 综上，与面积之比为定值，定值为4. 【点睛】定值问题常见方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 11．（24-25高二上·安徽六安·期末）平面内一动点P到直线的距离，是它到定点的距离的2倍. (1)求动点P的轨迹的方程； (2)经过点F的直线（不与y轴重合）与轨迹相交于M，N两点，过点M作y轴平行线交直线l于点T，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由题意得，化简即可得解； （2）设直线的方程以及的坐标，联立若椭圆方程，由韦达定理得，表示出的方程，令，证明此时为定值即可得证. 【详解】（1）由题意，设动点P的坐标为，则， 平方整理得，所以点P的轨迹方程为. （2） 由题意，设直线的方程为，，，则. 将代入得， 所以，，显然， 所以. 因为直线的方程为， 令，则 ， 因此，直线过定点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用设线法，设直线的方程为，再将其椭圆方程联立得到韦达定理式，再化积为和得到，再得到直线的方程，令计算即可. 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上任意一点，点到距离的最大值为． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知过点的两条不同的直线，关于轴对称，直线，与椭圆在轴上方分别交于、两点．直线是否过轴上一定点？若过，求出此定点；若不过，请说明理由． 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）根据题意列出的关系式运算得解； （2）设直线的方程为与椭圆方程联立得根与系数关系，由对称性可知：，直线的方程为，设直线与轴的交点为， 利用坐标化代入根与系数关系化简求得的值得解. 【详解】（1）根据题意，，， 解得，， 又， 所以椭圆的标准方程为； （2）根据题意可得：设直线的方程为， 联立， 设直线与椭圆的交点为，， 可得：， 由对称性可知：，直线的方程为， 设直线与轴的交点为， 所以 ， 可得： ， 所以直线过定点． 13．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率，点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线分别与椭圆交于点异于，垂足为，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意结合离心率列式求，进而可得方程； （2）联立方程求的坐标，根据向量平行可知直线过定点，进而分析可知点在以为直径的圆上，结合圆的性质分析求解. 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可得：直线， 联立方程，消去x可得， 解得或，可知点S的纵坐标为， 可得，即， 同理可得：，即， 取，则，， 因为，可知∥， 即三点共线，可知直线过定点， 又因为，且， 可知：点在以为直径的圆上，该圆的圆心为，半径， 所以的最小值为.    【点睛】关键点点睛：根据向量共线可得直线过定点，分析可知点在以为直径的圆上. 14．（24-25高二上·安徽黄山·期末）如图，已知曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以原点O为中心，为焦点的双曲线的一部分，A是曲线和曲线的交点，且为钝角，我们把曲线和曲线合成的曲线C称为“月蚀圆”．设.    (1)求曲线和所在的椭圆和双曲线的标准方程； (2)过点作一条与x轴不垂直的直线，与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，记G为CD的中点，H为BE的中点．问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为 (2)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）设椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为，根据在曲线上、焦点坐标可得答案； （2）设直线的方程为，，直线的方程与椭圆方程、双曲线方程分别联立，利用韦达定理求出、，由转化为化简可得答案. 【详解】（1）设椭圆所在的标准方程为， 双曲线所在的标准方程为， 因为， 所以可得，， 解得，， 所以椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为； （2）是定值，为，理由如下， 由（1）椭圆所在的标准方程为，双曲线所在的标准方程为， 因为直线与“月蚀圆”依次交于B，C，D，E四点，所以直线的斜率不为0， 设直线的方程为，， 双曲线的渐近线方程为，所以， 可得，， 直线的方程与椭圆方程联立，整理得 ， 所以， 所以， 直线的方程与双曲线方程联立，整理得 ， 所以， 所以， 所以 ， 所以是定值. 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由转化为，再利用韦达定理. 15．（24-25高二上·安徽黄山·期末）已知双曲线的离心率为，分别为其左、右顶点，点在上. 为直线上的动点，与双曲线的另一交点为，与双曲线的另一交点为． (1)求双曲线的方程； (2)证明：直线过定点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组求解即可； （2）设，由已知条件分别求出点的坐标，设定点为，再由共线向量的坐标表示列式计算即得. 【详解】（1）由题意得，，，， 解得， 故双曲线的方程为. （2）由（1）知，双曲线的左顶点，右顶点， 设直线上的动点， 于是直线的斜率，直线的方程为， 由得，，， 设，则，则，， 故， 直线的斜率，直线的方程为， 由，得，， 设，则，， ， 则， 由双曲线的对称性知，若直线过定点，则定点必在轴上， 不妨设这个定点为， 则，， 因，则， 当时，整理得，解得，则直线过点， 当时，直线与轴重合，直线也过点， 所以直线经过定点. 16．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，直线与双曲线C的一条渐近线交于点P，且. (1)求双曲线C的标准方程； (2)若A为双曲线C的左顶点，M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为，，若，试问：直线MN是否经过定点？证明你的结论. 【答案】(1) (2)直线MN恒过定点，证明见解析 【分析】（1）由和，可得，再求出点的坐标，再结合勾股定理即可求解； （2）直线MN的方程为，与双曲线联立，求得的值，再结合，整理化简后得到，再利用，求得，即可确定直线MN经过定点. 【详解】（1） 由离心率可得，即①， 利用得②， 根据双曲线的对称性，不妨设直线与渐近线的交点为. 联立，得， 由可得，③， 由①②③解得，，. 所以双曲线的标准方程为. （2） 由题意可知直线MN的斜率不为零，所以设直线MN的方程为， ，，由，得， 由，得， 所以，，易知，所以，， 因为，所以， 所以，所以， 化简得， 所以， 所以， 化简得，解得或， 因为M，N是C右支上的两动点，所以，所以， 所以直线MN的方程为，所以直线MN恒过定点. 【点睛】方法点睛：定点问题，先猜后证，可先考虑运动图形是否有对称性及特殊(或极端)位置猜想，如直线的水平位置、竖直位置，即或不存在时．找出定点，再证明该点符合题意(运用斜率相等或者三点共线)或证明与变量无关． 17．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且，直线与抛物线交于另一点，点在抛物线的准线上，且轴. (1)求抛物线的方程； (2)若线段中点的纵坐标为，求直线的方程； (3)求证：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由可得，进而可得； （2）设方程为，联立，可得，进而可得； （3）设，可得直线方程为，由，，可得，进而可得. 【详解】（1）由抛物线的定义知：， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2） 由（1）知，，因为的斜率不为，设方程为，， 联立，得， 所以， 又由，得，所以方程为，即. （3）由（2）知：， 因为，所以方程为， 即：，又因为， 所以， 故直线方程为， 所以直线经过点. 地 城 考点07 最值问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知抛物线的焦点为F，点A，B在抛物线C上，且满足，设线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为d，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，连接AF、BF，由抛物线定义得，由勾股定理可得|AB|2，进而根据基本不等式求得|AB|的取值范围，再利用此结论求的取值范围． 【详解】设，点在准线上的射影分别为，线段的中点在上的射影为 则，，， 由，即，得， 而，即，当且仅当时取等号， 所以. 故选：C 二、多选题 2．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知抛物线C：的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．直线与C相切 C．若，则的最小值为4 D．若，则的周长的最小值为11 【答案】ABD 【分析】确定，，设，计算A正确，联立方程得到B正确，，C错误，过点作垂直于准线于，计算得到D正确，得到答案. 【详解】抛物线C：，即，，，设， 对选项A：抛物线C的准线方程为，正确； 对选项B：，整理得到，方程有唯一解，故相切，正确； 对选项C：，时取等号，错误； 对选项D：过点作垂直于准线于， ，当共线时等号成立，正确. 故选：ABD 三、填空题 3．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ． 【答案】 【分析】设，代入椭圆方程可得，再由题意可得，设，直接列方程即可出轨迹的方程，所以，由两点间的距离公式结合三角函数的性质可求出答案. 【详解】设，由已知， ，， 所以， 设，因为， 所以， 所以，， 即，∴轨迹的方程为. 所以， 点Q到坐标原点距离为， 因为，，所以. 点Q到坐标原点距离的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是求出，即可求出轨迹的方程，设，由两点的距离公式结合三角函数的性质即可得出答案. 4．（24-25高二上·安徽·期末）已知点，若双曲线的右支上存在两动点，，使得，则的最小值为 . 【答案】 【分析】设，先根据数量积的运算律得到，利用点在曲线上和配方法可以得到，从而可得所求的最小值. 【详解】设，则，即. 因为，所以，则 . 因为，所以，当且仅当时等号成立， 即的最小值是. 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的数量积的计算，注意根据运算律和点满足的条件把多元问题转化为一元问题，本题属于基础题. 四、解答题 5．（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率为，A，B分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆的上顶点，且. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点作斜率不为0的直线交椭圆于M，N两点，直线与相交于点. （i）证明：点在定直线上； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）根据数量积的坐标公式可求出，然后根据离心率求出，进而可得到椭圆的标准方程. （2）（i）设直线的方程，联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理，将直线的方程表示出来，进而可求得定直线的方程；（ii）根据直线的斜率将表示出来，然后利用基本不等式的性质求出最大值. 【详解】（1）由题意知，，， 所以，即. 又，所以，. 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）由于直线过点且斜率不为0，所以可设直线的方程为. 由，得， 设，，则，， 所以. 因为椭圆的左，右顶点分别为，， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 所以， 解得，所以点在定直线上. （ii）设直线的倾斜角分别为，则， 由（i）知， 所以， 所以 当且仅当时取等号，所以的最大值为. 6．（24-25高二上·安徽亳州·期末）已知曲线上任意一点到点的距离与到直线的距离之比为. (1)求的方程. (2)若点在圆上，，为的两条切线，，是切点. （i）求点的纵坐标的取值范围； （ii）求的面积S的最大值. 附：若曲线的两条切线相交于点，则两侧切点所在直线的方程为. 【答案】(1) (2)（i）（ii）4 【分析】（1）设是曲线上任意一点，根据题意得到方程，化简得到的方程； （2）（i）点在圆上，得到，又点在椭圆外，求出圆和椭圆交点坐标，数形结合得到答案； （ii）设，由题可知直线的方程为，设，，联立直线和椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式得到，求出点到直线的距离为，表达出，换元得，，求导得到单调性，得到当，即时，S取得最大值，且最大值为4. 【详解】（1）设是曲线上任意一点， 由题意可得， 平方后化简可得的方程为； （2）（i）因为点在圆上，所以. 因为过点可以作椭圆的两条切线，所以点在椭圆外， 联立与圆的方程，可得解得（负值舍去）. 结合图可知点的纵坐标的取值范围为； （ii）设，，. 由题可知直线的方程为，即. 设，，由可得， ， ， 故 ， 点到直线的距离为. 所以 ， 又因为，所以. 设，由，得. 所以，，所以S在时单调递增， 故当，即时，S取得最大值，且最大值为4. 【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： （1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； （2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 7．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知线段，动点与点、的斜率之积为，点在线段上，且，过作两条互相垂直的直线和动点的轨迹分别交于点、和点、． (1)建立适当坐标系，求动点的轨迹的方程， (2)求四边形面积的最小值． 【答案】(1)图见解析， (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义即可得到动点的轨迹的方程； （2）设其中一条直线的方程为，可得，另一条直线的方程为，可得，故，通过换元结合均值不等式可得结果. 【详解】（1）以中点为原点，所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴， 建立平面直角坐标系如图所示， 则，，设， 由得，， 化简整理，得，即． （2）由题意的斜率存在且不为0，设为在线段上， ，则，设,, 由，消元，得， ，， ， 同理可得：， ， 令， ， ，，当且仅当，即时等号成立． 四边形面积的最小值为． 8．（24-25高二上·安徽宣城·期末）已知椭圆的离心率，且过点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆交于两点，是坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入方程得，结合离心率公式可得，可得椭圆方程. （2）应用韦达定理结合弦长公式，点到直线的距离，基本不等式即可求解. 【详解】（1）椭圆过点，得①， ，，即②， 由①②联立解得，则椭圆方程为 （2）当直线垂直于轴时，三点共线，不能构成三角形， 故直线的斜率存在，则设直线为：， 设， 联立，得， 则，即或， ， 则， 点到直线的距离为， 则， 令，则， 则， 当且仅当，即，即时等号成立， 故面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 9．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，经过左焦点的直线与椭圆交于两点（异于左、右顶点）. (1)求的周长； (2)求椭圆上的点到直线距离的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）结合椭圆的定义即可求解的周长； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切，联立直线与椭圆方程，利用判别式为0求出切线方程，利用两平行线间的距离求解范围即可. 【详解】（1）已知椭圆方程为，所以， 的周长为，其中， 所以的周长为； （2）设直线与直线平行且与椭圆相切， 则得，即 令，解得，所以， 当时，与之间的距离， 当时，与之间的距离为， 即椭圆上的点到直线距离的范围为. 10．（24-25高二上·安徽池州·期末）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点．若从椭圆的左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点，光线经过的路程为8，椭圆C的离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，若椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，动直线l交椭圆C于P、Q两点，且始终满足，作交于点M，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，得到，再由离心率为，求得，进而求得椭圆的标准方程； （2）设，直线的方程为，联立方程组得到，结合，求得点M的轨迹方程为， 法1、设，得到，结合圆的性质，即可求解； 法2、设，得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由椭圆的性质可知，左焦点发出的光线，经过两次反射之后回到点， 可得光线经过的路程为，解得， 又由椭圆的离心率为，可得，所以， 故，故椭圆C的标准方程为． （2）解：椭圆，可得，则， ， 设，直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 因为，可得， 所以 ， 化简为， 而到直线的距离为， 即有M的轨迹方程为； 法1、设，则 ， 表示点与点的距离的平方，减去的差； 由点与的即离为，可得M与点的距离的最大值为， 则的最大值为. 法2、令，设， 所以 （其中）， 当且仅当时，取“等号”． 【点睛】方法技巧：圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）平面向量；（6）导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 11．（24-25高二上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆（过点，且离心率． (1)求椭圆C的方程； (2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A、B两点，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用，可得，再将点坐标代入方程，解方程组求得从而可得椭圆的方程； （2）设直线l的方程为，代入椭圆方程中整理得，借助根的判别式可得，结合根与系数的关系可得，接下来利用点到直线的距离公式可求出点到直线的距离，再利用三角形面积公式和基本不等式进行求解，即可解决问题. 【详解】（1）因为，所以，①因为椭圆C过点， 所以，②由①②解得，所以椭圆的方程为． （2）设直线l的方程为，联立， 得，所以， 又直线l与椭圆相交，所以，解得， 则，点P到直线l的距离， 所以， 当且仅当，即时，的面积取得最大值为2．    12．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，在直线上任取一点P，直线PA与椭圆交于点M，直线PB与椭圆交于点N，求四边形AMBN面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】最大值6，此时P的坐标为 【分析】设出P点坐标，写出直线AP、BP的方程，分别与椭圆联立求得点M，N的纵坐标，利用表示出四边形AMBN面积，再利用导数求得S最大值即可. 【详解】由题意知，    设，（不妨设），则直线AP的方程为，直线BP的方程为， 联立，得，解得或，所以． 联立，得，解得或，所以． 所以四边形AMBN面积 ， 令，， 则， 所以时，此时函数单调递减；时，此时函数单调递增． 故当时取得极小值即最小值，， 故四边形AMBN的面积S取得最大值6，此时P的坐标为． 13．（24-25高二下·安徽·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，且. (1)求的实轴长与虚轴长之积的最大值. (2)若过点的直线与的右支交于P，Q两点，直线与轴交于点的内切圆与边相切于点，且. （i）求的方程； （ii）记的内切圆面积为的内切圆面积为，求的取值范围. 【答案】(1)8 (2)（i）（ii） 【分析】（1）先计算出，再利用基本不等式即可求解； （2）（i）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出，再计算出，即可求出双曲线方程； （ii）利用双曲线的定义，等量代换以及切线长定理得出切点是的右顶点，进而得出的横坐标为，设直线PQ的倾斜角为，把用的函数表示，最后再利用双勾函数的单调性求出范围. 【详解】（1）设的半焦距为. 因为，所以， 由题可知的实轴长为2a，虚轴长为2b， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的实轴长与虚轴长之积的最大值为8. （2）（i）设的内切圆分别与相切于点M，N，如图. 由切线长定理可知， 因为， 所以 ， 即 所以， 则的方程为； （ii）如图，设两内切圆圆心分别为，半径分别为与圆分别相切于点. 由切线长定理可得， 因为，所以， 所以是的右顶点. 因为轴，所以点的横坐标为1， 同理可求得点的横坐标也为1， 设直线PQ的倾斜角为，则. 在Rt，Rt中，有. 易知， 设，则，则， 令，则在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为， 所以在区间上的值域是. 故的取值范围是. 14．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知双曲线，O为坐标原点，离心率，点在双曲线上． （1）求双曲线的方程 （2）如图，若直线l与双曲线的左、右两支分别交于点Q，P，且，求的最小值． 【答案】（1）；（2）24. 【解析】（1）由条件可知，再代入点求双曲线方程；（2）设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为，与双曲线方程联立，求点的坐标，并求，再将换为求，利用是定值，求的最小值再表示 【详解】因为，所以，． 所以双曲线的方程为，即． 因为点在双曲线上，所以，所以． 所以所求双曲线的方程为． 设直线OP的方程为，则直线OQ的方程为， 由，得， 所以． 同理可得，， 所以． 设， 则， 所以，即当且仅当时取等号． 所以当时，取得最小值24． 【点睛】关键点点睛：本题的第一个关键是利用直线和垂直，利用斜率的关系求，第二个关键是注意隐含条件 15．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数 (1)若曲线在处的切线平行于直线，求t的值以及函数的最小值； (2)证明：对一切的a，，，都有； (3)当时，若曲线与曲线存在两交点A、B，记直线AB的斜率为k，证明： 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件可得，求出，代入，由基本不等式可求出的最小值； （2）构造函数，将要证不等式转化为，利用的单调性和取值情况可证得时不等式成立，时同理可证得； （3）设，，其中，由（2）中所证不等式，令，，代入不等式中，变形可得关于k的不等式，再由点在抛物线上，利用点差法，可得要证不等式． 【详解】（1）由题意，，，所以，则， 又，当且仅当时取等号， 所以； （2）证明：先证，则， 设， 则， 因为，所以，即在上单调递增， 又，所以当时，， 当，则，所以， 同理，当，则也成立； 综上，对一切的a，，，都有； （3）证明：如图，    设，，其中， 由（2）知，若，，则， 令，，得， ， 所以①， 将和相减，得， ，将代入①， 所以，即 地 城 考点08 轨迹问题 一、单选题 1．（24-25高二上·安徽蚌埠·期末）已知圆心在轴上移动的圆经过，且与轴，轴分别交于两个动点，过分别作轴，轴的垂线，两条垂线的交点记为，则点的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】设圆心坐标为，得到圆的方程为，再分别令和求得点P的坐标求解. 【详解】设圆心坐标为，则圆的方程为， 令，得或，则， 令，得，则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为抛物线， 故选：D 二、多选题 2．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）双曲线的左、右焦点分别是，是双曲线第一象限上的一点（不包括轴上的点），且，的角平分线交x轴于点，下列说法正确的有（    ） A．G的轨迹是双曲线的一部分 B．的最小值是1 C．取值范围是 D． 【答案】ACD 【分析】利用相关点法可明确G的轨迹，利用G的轨迹可知的长度的范围，利用内角平分线定理与双曲线定义可得取值范围，利用内角平分线定理与焦半径公式可得. 【详解】设，又，，，即，又是双曲线上一点， ∴，即，故A正确； ∵G的轨迹是双曲线的一部分，实半轴长为，∴，故B错误； 根据内角平分线定理可知，， 又，∴，故C正确； 同样利用内角平分线定理与焦半径公式，由可知，， ∴，故D正确. 故选：ACD. 三、解答题 3．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知点P到定点的距离和它到定直线的距离之比为，记点P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程; (2)设直线与曲线C相交于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线与x轴相交于点D，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件建立等量关系，化简可得结果. （2）根据条件结合韦达定理可得，求出面积表达式可得结果. 【详解】（1）设，则点P到直线的距离为， 由题意得，，即， 整理化简得，所以曲线C的方程为. （2）设，，则. 联立，得，则，. 直线的方程为， 令，得，即. 由题意得，直线l过定点，∴， 化简得， 令，则， ∵在上单调递增，∴，得. ∴的面积的取值范围为. 4．（24-25高二上·安徽宣城·期末）如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，线段的中点为.（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合.） (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知点，为轨迹上异于的两点，且，判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点坐标.若不过定点，说明理由. 【答案】(1) (2)直线过定点 【分析】（1）设，根据相关点法求解即可； （2）根据题意，设直线的方程为，，，进而与椭圆方程联立，结合韦达定理，垂直关系的向量表示得或，再分别讨论即可得答案. 【详解】（1）解：设，，则， 由点是线段的中点，得，， 因为点在圆上， 所以，所以， 所以，动点的轨迹的方程为. （2）解：因为为轨迹上异于的两点， 所以，直线的斜率存在，设方程为，，， 所以，由，整理得， ，即， ，， 因为，，，， 所以， ， 化简得，解得或， 当时，直线的方程为，直线过点，此时在同一直线上，不合题意； 当时，恒成立，直线的方程为，直线过. 综上，直线是否过定点. 5．（24-25高二上·安徽芜湖·期末）已知定点，圆：，点Q为圆上动点，线段MQ的垂直平分线交NQ于点P，记P的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)过点M与N作平行直线和，分别交曲线C于点A，B和点D，E，求四边形ABDE面积的最大值． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）由椭圆的定义求解 （2）设直线方程后与椭圆方程联立，由韦达定理表示弦长，将面积转化为函数后求求解 【详解】（1）由题意可得， 所以动点P的轨迹是以M，N为焦点，长轴长为4的椭圆，即曲线C的方程为：； （2）由题意可设的方程为， 联立方程得， 设，，则由根与系数关系有， 所以 ， 根据椭圆的对称性可得，与的距离即为点M到直线的距离，为， 所以四边形ABDE面积为，令得， 由对勾函数性质可知：当且仅当，即时，四边形ABDE面积取得最大值为6． 6．（24-25高二上·安徽安庆·期末）已知动点M到直线的距离是M与点距离的倍，记M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)动直线与C交于两点A，B，曲线C上是否存在定点P，使得直线的斜率和为零？若存在求出点P坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，定点或. 【分析】(1)根据给定条件列出方程，再化简作答. (2)把直线l与曲线C的方程联立，设出点P的坐标，结合韦达定理、斜率坐标公式计算，再借助恒成立列式计算作答. 【详解】（1）设动点M的坐标为，由已知得，化简整理得， 所以曲线C的方程为. （2）由已知与联立，消去y整理得：， 由已知得，且，解得： 设，则，， 假定曲线C上存在定点使得直线的斜率和为零，即， 则，整理得， 则有，整理得：， 因当时恒有成立，则， 解得 或，显然点或在椭圆C上， 所以曲线C上存在定点或，使得直线的斜率和为零. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E． (1)判断与题中圆A的半径的大小关系，并写出点E的轨迹方程； (2)过点作斜率为，的两条直线，分别交点E的轨迹于M，N两点，且，证明：直线MN必过定点． 【答案】(1)与半径相等， (2)证明见解析 【分析】（1）依据椭圆定义去求点E的轨迹方程事半功倍； （2）直线MN要分为斜率存在的和不存在的两种情况进行讨论，由设而不求法把条件转化为直线MN过定点的条件即可解决. 【详解】（1）圆即为， 可得圆心，半径，由， 可得，由，可得， 即为，即有， 则，所以其与半径相等. 因为， 故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆（不包括左右顶点）， 且有，，即，，， 则点E的轨迹方程为； （2）当直线MN斜率不存在时，设直线方程为， 则，， ，，则，∴， 此时直线MN的方程为 当直线MN斜率存在时，设直线方程为：， 与椭圆方程联立：，得， 设，，有 则 将*式代入化简可得：，即，∴， 此时直线MN：，恒过定点． 又直线MN斜率不存在时，直线MN：也过，故直线MN过定点. 【点睛】数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 8．（24-25高二上·安徽·期末）已知D为圆上一动点，过点D分别作x轴y轴的垂线，垂足分别为，连接延长至点P，使得，点P的轨迹记为曲线C. （1）求曲线C的方程； （2）作圆O的切线交曲线C于两点，Q为曲线C上一动点(点分别位于直线两侧)，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1）；（2）最大值为. 【解析】（1）设，得出坐标，从而有，因此有，由此可用表示出，把代入圆方程可得曲线的方程． （2）当直线斜率存在时，设方程为，过点与平行的直线方程为，使得面积最大时，此直线与椭圆相切，由圆的切线，椭圆的切线可得的关系和的关系．求出原点到直线的距离，设，直线方程代入椭圆方程应用韦达定理得，由弦长公式求得，然后表示出四边形的面积为的函数，由函数性质求得其取值范围，再考虑直线斜率不存在时，四边形的面积，两者结合可得最大值． 【详解】（1）设，则， 由题意知，所以，得，所以 因为，得； （2）（i）当斜率存在时，设与圆O的切线为，要使四边形的面积最大，则Q到距离要最大，此时过Q点的平行线必与椭圆C相切， 设为，易得Q到距离与O到距离之和等于O到直线的距离，设O到直线的距离记为d，则， 联立消去y得， 设，， 所以， 因为与圆O相切，所以， 因为与椭圆相切， ，，由得， ， 可得随k的增大而增大，即. （ii）当斜率不存在时，不妨取，此时， ． 综上所得四边形的面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：本题考查求轨迹方程，考查椭圆的面积最值．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得（需要根据方便性，可能得），利用弦长公式求得弦长．直线与椭圆相交问题注意根据直线的斜率存在与不存在分类讨论． 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知点，，动点满足直线与的斜率之积为，记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线？ （2）若直线l：和曲线C相交于P，Q两点，求. 【答案】（1），曲线C是一个椭圆，除去左右顶点；（2）. 【解析】（1）由题意可知，，可得曲线C的方程. （2）直线的方程与椭圆的方程联立消去y整理得.设，，运用根与系数的关系可求得弦长． 【详解】（1）由题意可知，，化简得， 即曲线C的方程为.曲线C是一个椭圆，除去左右顶点. （2）联立消去y得，整理得. 设，，则，， 所以. 【点睛】方法点睛：求轨迹方程的方法之一： 直译法——“四步一回头”， 四步：（1）建立适当坐标系，设出动点M的坐标； （2）写出适合条件的点M的集合； （3）将 “翻译”成代数方程； （4）化简代数方程为最简形式. 一回头：回头看化简方程的过程是否为同解变形，验证求得的方程是否为所要求的方程. 10．（24-25高二上·安徽·期末）在平面直角坐标系中，点为动点，已知点，，直线与的斜率之积为定值． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若，过点的直线交轨迹于、两点，以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上，求直线的方程． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）用坐标表示直线与的斜率，因为直线与的斜率之积为定值，列出方程化简即轨迹方程； （2）讨论斜率为0与斜率不存在时不合题意，设直线方程为，利用根与系数的关系表示的中点，则可求出线段的中垂线的方程，进而得出直线与轴的交点，又，代入坐标计算求出斜率，得出直线的方程． 【详解】（1）由题意， 整理得，所以所求轨迹的方程为． （2）当直线与轴重合时，与轨迹无交点，不合题意； 当直线与轴垂直时，，此时，， 以为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意； 当直线与轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线，，，的中点， 由消得， 由得 所以， 则线段的中垂线的方程为：， 整理得直线， 则直线与轴的交点， 注意到以为对角线的正方形的第三个顶点恰在轴上， 当且仅当， 即， ，        ① 由        ② 将②代入①解得，即直线的方程为． 综上，所求直线的方程为或． 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查动点的轨迹方程，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题． 11．（24-25高二上·安徽滁州·期末）已知定点及直线,动点到直线的距离为,若. (1)求动点的轨迹C方程； (2)设是上位于轴上方的两点, 坐标为,且,的延长线与轴交于点,求直线的方程. 【答案】（1）（2） 【分析】（1）直接把条件用坐标表示，并化简即可； （2）设，由可得的关系，的关系，再结合在曲线上，可解得，从而能求得的方程． 【详解】（1）设，则由，知 又，∴ 由题意知： ∴ ∴ ∴点的轨迹方程为 （2）设， ∵ ∴为中点， ∵ ∴ ∴ 又，∴ 又，∴ ∵，∴，∴ ∴直线方程为 【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，求轨迹方程用的是直接法，另外还有定义法、相关点法、参数法、交轨法等． 12．（24-25高二上·安徽淮南·期末）从抛物线上任意一点P向x轴作垂线段，垂足为Q，点M是线段上的一点，且满足. （1）求点M的轨迹C的方程； （2）设直线与轨迹C交于A，B两点，T为C上异于A，B的任意一点，直线，分别与直线交于D，E两点，以为直径的圆是否过x轴上的定点？若过定点，求出符合条件的所有定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是，定点为和. 【分析】（1）设，用动点转移法求得轨迹的方程； （2）设直线与曲线C的交点坐标为，，直线方程代入曲线方程，应用韦达定理得，设，写出直线方程求得两点坐标，若存在定点，利用（注意代入韦达定理的结论）求得定点． 【详解】解：（1）设，则点Q的坐标为. 因为， 所以， 即， 因为点P在抛物线上， 所以，即. 所以点M的轨迹C的方程为. （2）设直线与曲线C的交点坐标为，， 由得. 由韦达定理得. 设点，则. 所以直线的方程为. 令，得点D的坐标为. 同理可得点E的坐标为. 如果以为直径的圆过x轴某一定点，则满足. 因为 . 所以. 即，解得或. 故以为直径的圆过x轴上的定点和. 【点睛】本题考查求抛物线方程，考查抛物线中的定点问题．解题方法是“设而不求”的思想方法，即设交点坐标为，设直线方程，代入椭圆方程后应用韦达定理得，代入定点对应的表达式，利用恒等式知识求得定点坐标． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03圆锥曲线 ☆8大高频考点概览 考点01椭圆的标准方程 考点02椭圆中的几何问题 考点03双曲线的标准方程及几何问题 考点04抛物线的标准方程及几何问题 考点05离心率的相关问题 考点06定值、定点问题 考点07最值问题 考点08轨迹问题 考点01 椭圆的标准方程 一、 单选题 1. (2425高二下安微滁州期末)设F,5为椭圆C:+二=1的两个焦点，点P在C上，若PFPF,=0, 8+4 则PFPF=() A.2 B.4 C.6 D.8 2.(2425高二上安微期末)已知点P是椭圆C:女+二=1上一点，F,B是C的左、右焦点，则 87 PF +PF2=() A.√万 B.22 C.27 D.4W2 3.（2425高二上安微宿州期未)已知椭圆C:兰+二-1的上顶点为A,左焦点为万，线段4R的中垂线 1612 与椭圆C交于M,N两点，则△FMN的周长为() A.8 B.12 C.16 D.24 4.(2425高二上安微滁州期末)已知椭圆+少=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，则P到另 2516 一个焦点的距离为() A.7 B.5 C.3 D.2 ®425高二上安微安肤期末)如图所示，，乃分别为椭圆千+之的左、右焦点，点P在椭圆上 △POF2是面积为√5的正三角形，则子的值为() 1/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.√5 B.2W5 C.35 D.4V5 6. (24-25高二上安徽芜湖期末)已知F,5是椭圆C: 二+二=1的两个焦点，点P在C上且P5,=3, 1612 则△PFF,的面积为() A.3 B.4 C.6 D.10 二、填空题 7.(2425高二上安徽阜阳期末)已知椭圆C:+ 4+62 =1的焦点为F(V5,0,点A(x,y),B(x,在 椭圆C上，且4yy2+xx2=0,则x+x号=一 三、解答题 8.(24-25高二上·安微合肥期末)已知平面上两点F(-4,0),F（4,0),动点P满足PF+PF,=10 (1)求动点P的轨迹C的标准方程， (2)当∠FPF=90°时，求点P的纵坐标 目目 考点02 椭圆中的几何问题 一、单选题 1. 242安微期末如图。R、是因℃：香与双曲线C:的公 焦点，A、B分别是C、C在第二、四象限的公共点，若四边形AFBF为矩形，则C的离心率是() 2/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B. C.3 D.6 2 2 2.(24-25高二上安徽六安期末)已知F(V2,0)为椭圆C: 2+2=1a>b>0的右焦点，过点F的直 1与椭圆C交于A,B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且 △OFP外接圆的面积为 ?,则椭圆C的短轴长为() A.1 B.2 C.3 D.4 3.（2425高二上安微毫州期末)已知椭圆C:号+，=1的左、右焦点分别为R,万，点P在C上且位于 第一象限，直线PF与C的另一个交点为M(:,),直线PF2与C的另一个交点为N(:,),则y-y,的最 大值为() A.② B. C.22 D. 5v5 3 3 9 二、多选题 4.(24-25高二上·安徽阜阳·期末)如图①，密闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内装有一定体积的水， 容器的底面半径R=2,AM为容器下底面的直径.如图②，将该容器绕点A倾斜a0<a≤号 后，当 0<α<”且倾斜过程中水面只与容器侧面接触，不与容器底面接触时，水面与容器侧面相交线上的点到容 器下底面距离的最大值与最小值分别为H,;当a=工时，水的最大深度为，则下列说法正确的是() 图① 图② A.若水面形状为椭圆，则该椭圆的短轴长为2 B.若水面形状为椭圆，则该椭圆的离心率为sina C.若容器的高为4，么-1，则h+H=8_2因 3 D.若容器的高为4，么=3，则h+H=16+25 3π 5。(2425商二上安微期末)已知桶圆C:苦+y广=1的左、右焦点分别为5,5，过点5的直线/交情圆 3/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C于A,B两点，则下列说法正确的是() A.弦长AB的取值范围为[1,4] B.若直线AB过点 12 则直线的率为月 C.若点A在第一象限，满足△AEE的面积为1，则AE=2+5 D.若弦AB的中垂线与x轴交于点N,则 NF23 AB 4 G。2425高三上安徽毫州期末)已知椭圈C:+片I的左、右焦点分别为，，P是C上的盒 则() A.PF+PF =8 B.PFPF,的最大值为4 C.PF的最大值为3 D.cos∠RPF,的最小值为4 三、填空题 7.(24-25高二下·安微期末)己知椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在与该椭圆同中心的圆上，该 圆称为横圆的蒙日圆若椭圆C:苦+？=1>)的离心幸为5，则该防圆的家日圆方程为。」 及2a5商不安煮周末)者圆E后+专=1的右成为2，则份长销长为 6 9.（2425高二上安微芜湖期末)已知F是椭圆二+y少=1的左焦点，P,Q是稀圆上关于原点对称的两 4 点，且∠PFQ=90°，则P2= 10.(2425高二上安徽宣城期末)点Px,)是椭圆+y2=1上的动点，若-y-5+k-y+m的值为 4 定值，则m的取值范围是一· 11.(24-25高二上·安徽蚌埠期末)如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋 转一周形成的曲面)的一部分.过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F上，片门 位于另一个焦点F上.由椭圆一个焦点F发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F.己知BC 经过点F,且BC⊥FF,BC=3,AF=1,则椭圆离心率为 4/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B 射 面 D 透明窗 目目 考点03 双曲线的标准方程及几何问题 一、单选题 1.(24-25高二上安微蚌埠期末)已知A(0,-2),B(0,2),动点P满足PA-PB=2,则点P的轨迹是() A.椭圆 B.双曲线的一支C.双曲线 D.射线 2.(2425商二上安蚌埠期未)已知双曲线E:号片-0>0，b>0)的左，右焦点分别为5,5，左， 右顶点分别为A,A,,点B的坐标为0，b,P在双曲线E上，PA是AB的中垂线，若△PBF的周长与△PA,F 的周长之差为1+√万，则双曲线E的方程为() A. B._上=1 3 D.-=l 312 3.(24-25高二上安徽猴州期末)已知点M1,2,点P是双曲线C:士-二-1左支上的动点，N是圆 412 D:（x+4)2+y2=1上的动点，则PM-PN的最小值为() A.5-√10 B.V10-5 C.13-3 D.3-13 4。(2425高二上安徽滁州期未)双曲线-少 =1(a>0,b>0)的右焦点为E(2V2,0,点A的坐标为 (0,1),点P为双曲线左支上的动点，且△APF周长的最小值为8，则©为() A.√2 B.3 C.2 D.1 3.2425商上安薇宜城期未)已知双曲线C答云-a>0b>)的左焦点为R,过点P的直线1 垂直于双曲线C的一条渐近线，并分别交两条渐近线于A,B两点（其中点A为垂足），且点A,B分别在 5/24 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 AF 3 第二、 第三象限内若F8亏，则双曲线C的南近线方程为（） A.y=±x Γ2 B.y=号 1 C.y=± D.y=x 二、多选题 6.(24-25高二上安微期末)已知曲线E:,+广=1，则下列选项正确的有（） 3-mm-1 A.若1<m<3,则E为椭圆 B.若E为焦点在y轴上的椭圆，则2<m<3 C.若E为双曲线，则m>3 D.若m>3,则E为焦点在y轴上的双曲线 7.(24-25高二上·安徽宿州期末)在椭圆（双曲线)中，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上， 它的圆心是椭圆（双曲线）的中心，这个圆被称为该椭圆（双曲线)的蒙日圆.己知双曲线 C:x_y :京方=1(>b>0)的蒙日圆方程为x+y=a2-b,0为坐标原点，点P在双曲线C上，Op与双曲线 C的蒙日圆交于点Q,则() A.若点P的坐标为3,2)，且C的蒙日圆的半径为1，则C的方程为二- =1 32 B.若点P的坐标为3,2)，则C的蒙日圆面积最大值为2π C.P2的最小值为a-Va2-b2 D.若O为OP的中点，则C的离心率的最大值为 2 8.（2425高二上安微期木)已如双曲线C:-卡=16>0的左、右焦点分别为斤，5，其一条斋近线 方程为y=√5x,点A为C的左支上任意一点，则下列说法正确的是() A.C的离心率为2 B.若AF⊥x轴，则AF=3 C.若B(0,2),则AB+AF,的最小值为4√2 D.若点P(-3,为C的左支上一点，则aPF5,的内切圆的半径为√6 Q,②24,25高三上安徽毫州期末)若双曲线Cm=m>0的海近线方程为三土，且C与直线 x=2交于A,B两点，则() 6/24 厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.m=2 B.AB=2 C.C在A,B两点处的切线倾斜角互补 D,C在4B两点处的切线夹角为？ 10.(24-25高二上·安徽黄山期末)下列说法正确的是() A.当点P(3,2)到直线mx-y+1-2m=0的距离最大时，m的值为-1 B.离心率为3的双曲线的渐近线方程为y=±√2x C.若直线：mx+y-m-1=0与直线x+5y+13=0相交，且交点的横坐标的范围为[-3,2]，则实数m 的取值范围是 D.设b为实数，若直线y=x+b与曲线x=1-y2恰有一个公共点，则-1<b≤1 三、填空题 11.(24-25高二上安徽合肥期末)双曲线-y =1的焦距为】 106 122425商二上安微期末)已知双确线E:号若-川a>06>0的右焦点为P,直线1：y=x与E 交于A,B两点，且AF上BF,则名 13.2425商二上安餐期末)已知双线C:号若=a>06>0的左、右售点分别为行，5，距为 4,直线：y=x与双曲线C交于P,Q两点，点M为双曲线C在第一象限上的点，记直线MP、MQ的斜 率分别为kp、kM0,且kMP·ke=3,若△MEE的面积为2√3，记直线ME、ME的斜率分别为kMR kMB,则kMR+kMB,=一 14.(24-25高二上安徽期末)若双曲线C的焦点分别为E(-3,0),F(3,0),且点P2,7)在C上，则C 的实轴长为 15.(24-25高二上·安徽宣城期末)已知点F,F是椭圆C和双曲线C的公共焦点，P是它们在第一象限 的一个公共点，且PR1PR,若C和C的离心率分别为G,G,则上+5的取值范围是」 ee, 16.(24-25高二上安徽滁州期末)己知中心在坐标原点的椭圆C与双曲线C有公共焦点，且左，右焦点 分别为F,F,C与G在第一象限的交点为P,△PFF是以PF为底边的等腰三角形，若PF=I0,C与 7/24 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C的离心率分别为e,e2,则2e+e2的取值范围是 四、解答题 17.(24-25高二上安微期末)已知点F(-2,0),圆E,:(x-2)2+y2=10,点P(x,y)满足P听-PF=2, 点P(x,y)的轨迹为曲线C,点A为曲线C上一点且在y轴右侧，曲线C在点A处的切线I与圆F交于M, N两点，设直线FM,EN的倾斜角分别为，B. (1)求曲线C的方程； (2)求a-的值. 目目 考点04 抛物线的标准方程及几何问题 一、单选题 1.(24-25高二上安徽黄山期末)已知点P是抛物线y=x上的动点，定点41,0，则P到点A的距离 与P到x轴的距离之和的最小值为() A.√2-1 B. C.V3-1 D.5 2 2.(24-25高二上·安微阜阳期末)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,直线1过点F且与抛物线C交于 A,B两点，点A在第一象限，点M为x轴上一点(A,B,M三点不共线)，满足△MAF的面积是 MBF面积的2倍，则直线I的斜率为() A.1 B. C. D.② 4 3.（24-25高二上·安徽期末)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，A,B是抛物线C上不同的两点， 且满足∠AFB=2 ，设4，B到抛物线C的准线的距离分别为d,山，则4+ AB 2的最大值为() A.25 1 B.3 C.3 3 3 D.3 4.(24-25高二上·安徽期末)已知抛物线y2=2x(p>0)的焦点为F,圆x2+y2-px=0.如图，过点F 的直线1与抛物线和圆的交点依次为A,B,C,D,则4AB+CD的最小值为() 8/24 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 yy2=2p必A A.P B.2p C.3p D.4p 5.(24-25高二上安微·期末)己知抛物线的方程为y=4x2，则抛物线的准线方程为() Ay=话 B日 C.y=1 D.y=2 6.（24-25高二上·安徽毫州期末)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线2x-y-4=0与C交于P,Q两 点，则△FPQ的面积为() A.2 B.3 C.6 D.8 7.(24-25高二上·安微期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,若抛物线上一点M满足 MF=4,∠0FM=120°，则p=() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 8.(24-25高二下·安徽宣城期末)已知点F是抛物线y2=8x的焦点，AC,BD是过点F的弦且AC1BD, 直线AC的斜率为k,k>0,且A,B两点在第一象限，则() A.0B.0D=-12 B.四边形ABCD面积的最小值为64 1,11 C.c BD 8 D.若AFCF=64,则直线BD的斜率为-√3 9.(24-25高二下安微期末)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F1,0),P(x,23)是C上一点，过 点M(0,)的直线与C交于A,B两点，且PF⊥AB,则() A.X。=2 B.直线AB的方程为x+V3y-V3=0 C.直线PA,PB的斜率之和为O D.MA.MB=4 10.（24-25高二上·安微宣城期末)抛物线y2=4x的焦点为F,顶点为O,过点F作倾斜角为Θ的直线1， 9/24 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 交抛物线于A,B两点，点A在x轴上方，分别过点A,B作准线的垂线，垂足分别为A,B,准线与x轴 交于点C,则下列说法正确的是() A.当0=90°时，AB=4 B.当0=60时，AF=2BF C.三角形ABC面积的最小值为4 D.A4+2BB的最小值为3+22 三、填空题 11.(24-25高二下·安微合肥·期末)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点，A是抛物线C的准线与x轴的交 AB 点，B是抛物线C上一点，则当 取得最大值时，直线AB的方程为」 BE 12.(24-25高二下·安徽芜湖期末)己知F是抛物线y2=4x的焦点，点M在抛物线上，且∠0FM=120°， 则△OFM的面积为」 13.(24-25高二上·安徽期末)已知A2,1),AB1x轴于点B,M为射线OA上任意一点，MC⊥x轴于 点C,点D为直线AB上一点，且MD.AB=0,直线OD与直线MC相交于点P.已知点E(0,-),F(0,, 则吗的最大值为。 PF 14.(24-25高二上·安徽六安期末)P为抛物线C:y2=4x上一动点，过P作圆M:(x-2)+y2=4的一条 切线，A为切点，点B(5,5),则PA+PB的最小值为 四、解答题 15.（24-25高二上·安徽黄山期末)已知顶点在坐标原点0，焦点在坐标轴上的抛物线过点P(2,4). (1)求抛物线的标准方程及其准线方程； (②)过点P作直线1交抛物线于另一个交点2(Q在第四象限)，设直线0P,PQ的斜率分别为k,k2,若 k+2k2=0,求△OPQ的面积. 16.(24-25高二上·安微宿州期末)动圆P与圆C:x2+0y-2)2=1外切，且与直线：y=-1相切，记该动 圆心P的轨迹为曲线E过T(0,1的直线与E交于A,B两点，过点A作E的切线，设直线L,分别与直 线I交于点M,N 10/24