专题05 导数 9大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）高二数学上学期

丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题05导数 ☆9大高频考点概览 考点01变化率问题 考点02导数的几何意义 考点03导数的运算 考点04利用导数研究函数单调性、极值和最值 考点05利用导数研究不等式恒成立问题 考点06利用导数研究函数零点问题 考点07利用导数研究函数图象及性质 考点08利用导数研究双变量问题 考点09极值点偏移问题 考点01 变化率问题 一、单选题 1.(24-25高二上·浙江金华·期末)2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面1500m 处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约1500ms降为零. 14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平 均变化率为a,则() A.=25 2 4m/s,a= 4m/s2 14m/8,a=2 B.v=、 m/s2 4 C.v=2 5 m/s,a=- m/s2 14 4 D.v=- 1 m/s,a=-25 2 /s2 14 2.(24-25高二上浙江嘉兴·期末)己知物体位移S(单位：米)和时间t(单位：秒)满足： S=t3-2t+1 则该物体在1时刻的瞬时速度为() A.1米/秒 B.2米/秒 C.3米/秒 D.4米/秒 3.(24-25高二上浙江宁波期末)已知'=fx∈R存在导函数，若(x既是周期函数又是奇函数， 则其导函数 A.既是周期函数又是奇函数 B.既是周期函数又是偶函数 C.不是周期函数但是奇函数 1/26 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 D.不是周期函数但是偶函数 二、填空题 4.(24-25高二上浙江温州·期末)小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时 刻的瞬时速度为，区间0,4，[0，，4，上的平均速度分别为4，，，则下列判断正确的个 数为一。 5 So 2 1)当<h<5 (2) +%>2: 2 （3》对于i=2,3引，存在m∈0，，使得(m)=: (4)整个过程小明行走的速度一直在加快. 考点02 导数的几何意义 一、单选题 1.(2425高二下浙江台州期末)已知直线=叫(x-与曲线y=r相切，则实数“的值为《) 1 A.3 B. C.1 D.2 2.(24-25高二上浙江温州期末)已知函数八)在R上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确 的是() 2/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 A. f3到-f0<f<f3 2 B.f1,r c.M(3)()<3)- p. 2 3.(24-25高二上浙江绍兴期未)将函数'=r+ 的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切， 则tan0=() A.1 B.2 C.3 D.5 4.(2425高二上新江丽水期末)已知函数八及其导函数的定义域均为R,记8)=f), 若八10为偶函数，82小为奇函数，则下列结论一定正确的是() A.f0)=0 B.8x+2为偶函数 c剧 .)到 5.(24-25高二上浙江金华·期末)如果函数y=(x在x=2处的导数为1，那么m f△x+2)-f2 △x () A.1 B. C.3 D.4 6。(24-25高二上·浙江宁波期未)曲线f=hx 在点(1，f)处的切线方程为（) A.x+y=0 B.x-y=0 C.x+y-1=0 D.x-y-1=0 3/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 7。(24,25高二上浙江杭州期末)若过点红可以作线=xGc>0)的两条切线，则() A.bzazo B.a>b>a- C.0<a--<b<aD.a--<b<0<a a a 8.(24-25高二上浙江温州期未)已知函数fx)在x=2的附近可导，且 f八-2=-2，f2=2 x2x-2 则在2，f(2到处的切线方程为（) 2x+y-6=0 2x-y-2=0 A. x+2y-6=0 C. D.x-2y+2=0 二、填空题 9.(24-25高二上浙江期末)函数=2-sin上存在互异两点4，B,若曲线在A,B处的切线 均为直线，且1在4，B之间与f(无公共点，则1的斜率为一 10.(24-25高二上浙江金华期末)若直线mx-y+2m-6=0是 0是曲线'=r-的切线，则m的值可以是 .(写出一个值即可) 1.（2425高二上浙江绍兴期末)已知函数=t-4-2x+在某点处的切线的斜率不大于1，则 切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是一· 目目 考点03 导数的运算 一、单选题 1,(2425高二上浙江杭州期末)若点P在曲线”=？-V5x上，曲线在P处的切线的颜斜角为“，则a 的取值范围是() a. 4/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 2.(2425高二下浙江杭州期未)设点P是曲线'=©上任意一点，则点P到直线 :x-y-1=0 的最小距 离是() A.22 B.√2 C.2 D.2 3.(24-25高二上·浙江绍兴·期末)下列选项正确的是（) A.(sin10)'=cos10' B.(gx)'=1 C.[(2x+1(2x-1=8xD. (e")=e 二、多选题 4.(24-25高二下·浙江杭州期末)下列导数计算正确的是() A.(og B.w-2/= 1 2v1-2x C.(cosx)'=-sinx D. (e=2xe 三、填空题 5.(24-25高二下浙江金华期末)若’=x+“是曲线”=V的切线，则a= 6。(24-25高二上浙江杭州期未)已知曲线'=r+x+ 1,则该曲线在x处的切线方程为一 7.(2425高二上浙江杭州期末)曲线)=©-2在点0，)处的切线方程是 8.(2425高二上浙江杭州期末)已知函数f)=血(r+刊)+sin2x,则f0= 四、解答题 5/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 9.(24-25高二上浙江杭州期末)已知函数f)=r+x+a(a∈R) P(-1,0) 点 f(x) y=f(x) (1)若点P在 的图象上，求曲线 在点P处的切线的方程； ②考点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是，求口的取值. f(x) 10.(24-25高二上浙江杭州期未)已知函数f()=nx+2x a-x ①)若a=4求y=八d在点2，f2)处的切线方程； 2若'-小的图象关于点，3到中心对称，求a,b的值， 考点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 一、 单选题 1.(2425高二下浙江杭州期末)设函数f)=-a0血x-b),若f(0之0恒成立，则a-b的最小值 是() A.2-2ln2 B.In2 C.1 D.3-2ln2 f(x 2.(24-25高二下·浙江杭州期末)已知函数 的定义域为R,f0)=0 若对任意xGR,都有 f(x)>-1+f'(x) 则不等式fw<-1+e 的解集是() (-00,0) (0,+0) (-1,0)U(1,+00) (-1,0)0(0,1) A. C. D 3.(2425高二上浙江金华期未)如图是某函数八的部分图象，则该函数最有可能的解析式是(） 2主 A.f(x)-sinx B.f(x)=sinx+x 6/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 C. f(x)=x.cosx D.()=sinx+sin2x 4.(2425高二下浙江台州期末)若函数=。+a（。为自然对数的底数，c≈2.71828…）的图象上 存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为() A.0,+o) B.Le C.(-o,0] 二、多选题 5.(2425高二下新江杭州期末)设函数=-2r+3,则（) A.a=1时，有两个极值点 B.当0sa< 4v2 9时，f(x)有三个零点 C.若f)在1,2)上单调递增，则a≥子 Γ3 3,则a D.若f满足f()+f2-)=10」 3 6.(（24-25高二下-浙江宁波期末)设a>0且a≠L,已知函数f=aa+am ，则下列说法 正确的是() A,x)的图象不是中心对称图形 B./(x) 的图象是轴对称图形 C.八)是周期函数，且最小正周期为2D.八存在最大值与最小值 7.(24-25高二下浙江期末)已知函数f)=(-ac-b,a,b∈R 下列选项正确的有() A.若“=2,6=1，则函数f八+2为奇函数B.若冈有极小值0，则a>6 C.若fx有极大值2，则a<b D.f)可能在x=a牛 2处有极大值 三、填空题 7/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 8.（24-25高二下·浙江杭州期末)若函数 )=血x在=“处取得极小值，则”一 四、解答题 9.(24-25高二下浙江·期末)已知函数fx)=2x+。-1. e f(x) (1)判断的单调性，并求出单调区间： 2当a>0时，若 (x)≥-a+3 恒成立.试求出”的取值范围： 1 1 1 (③)若a=2,=1,且=f,证明：八小八-6+f石<4. 10.(24-25高二下浙江湖州期未)若函数在定义域内存在两个不同的实数，满足 八=)，且曲线八在点，和点云，八飞》处的切线斜率相同，则称函数为“同切 函数” 证明：函数4=-+3r为“同切函数”； ②若函数g=xnx-。2+axacR)为“同切函数”（其中。为自然对数的底数），并设清足条件的两 个实数为 ①求实数a的取值范围： 3,4 一十了 =>4(a+1)2 ②求证：x2√x 1.(2425高二下浙江金华期末)已知函数f)=0-@)hx+是x,其中a>0 )当4=2时，求的单调递增区间； f(x) 2)考/)≥2 恒成立，求的取值范围； 8/26 的学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 6)试比较28与“ 的大小并证明. 12.(2425高二下新江嘉兴期末)已知函数f网=nx++“在点f0)处的切线与”轴平行. (1)求a的值： (2)求函数 (x) 的单调区间和极值. 13.(24-25高二下-浙江期末)已知函数f=(x+山e, 0)求'=f在点0，f0处的切线方程， 2求函数的极值： 3)判断方程f=aa∈R) 的解的个数. 考点05 利用导数研究不等式恒成立问题 一、单选题 1.(2425高二上浙江宁波期未)若存在正实数y,使得等式4r+ay-3G刘血y-l血0=0成立，其 中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围() A.（-o,0)U[e,+ol B.0ou[+ C.(-o,0U[4e3,+wj D. 2.(2425高二上浙江期末)设函数y--3x+8-a小x-5-aaeR,若存在唯一的正整数5 使得<0 则实数a的取值范围是（） A(后周B信c侣司 9/26 学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 二、多选题 3.(2425高二下浙江温州期末)已知函数)=：+r+a©在x=0处的切线斜率为2，则下列命题 正确的是() A.a=1 B.f()有且只有一个极小值，且极小值等于。 C.f()的值域是R D.若xe(,0),则x≥f恒成立 三、填空题 4.(24-25高二上浙江宁波期末)已知函数f儿y=ea+n,对任意x>0,f<日恒成立，则实数 a的取值范围是一 四、解答题 5.（2425高下浙江丽水期末)已知函数/1刘=e Γe*-1 a∈R) 为奇函数 (1)求a的值： 2)设函数8(x=血x+simx ④证明：y=8(有且只有一个零点： ②记函数y=g刘的零点为，证明：f川2sin)>c+ e2-1 6.(24-25高二上浙江宁波期末)己知函数f(x)=alnr+1 )当a=l时，求f刘 的单调增区间： ②)证明：当a>0时，f)≥4-242 7.(24-25高二上浙江温州期末)己知函数=e,8)=nx 10/26 专题05 导数 9大高频考点概览 考点01变化率问题 考点02 导数的几何意义 考点03 导数的运算 考点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 考点05 利用导数研究不等式恒成立问题 考点06 利用导数研究函数零点问题 考点07 利用导数研究函数图象及性质 考点08 利用导数研究双变量问题 考点09 极值点偏移问题 地 城 考点01 变化率问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江金华·期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零．14分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对月球纵向速度的平均变化率为a，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据距离的平均变化率及平均速率的定义计算可得； 【详解】解：探测器与月球表面距离逐渐减小，所以； 探测器的速度逐渐减小，所以 故选：D 2．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知物体位移（单位：米）和时间（单位：秒）满足：，则该物体在时刻的瞬时速度为（    ） A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒 【答案】A 【分析】求出关于的导数，令可得． 【详解】由题意，时，． 故选：A． 【点睛】本题考查导数的物理意义，本题属于基础题． 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知存在导函数，若既是周期函数又是奇函数，则其导函数 A．既是周期函数又是奇函数 B．既是周期函数又是偶函数 C．不是周期函数但是奇函数 D．不是周期函数但是偶函数 【答案】B 【分析】利用导数的定义及周期函数的定义可以证明周期函数的导数仍是周期函数，利用奇函数的概念及简单的复合函数求导证明奇函数的导数是偶函数． 【详解】若是周期函数，设其周期为， 则． 所以周期函数的导数仍是周期函数； 若是奇函数，则， 所以，即，所以奇函数的导数是偶函数， 故选B． 【点睛】本题主要考查了导数的基本概念，考查了函数的周期性与函数的奇偶性，是基础的概念题. 二、填空题 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）小明从家里到学校行走的路程s与时间t的函数关系表示如图，记t时刻的瞬时速度为，区间，，上的平均速度分别为，，，则下列判断正确的个数为 ． （1）； （2）； （3）对于，存在，使得； （4）整个过程小明行走的速度一直在加快． 【答案】3 【分析】对于（1）（2），根据平均速度的定义结合图判断即可，对于（3），由图象可知，从而可得结论，对于（4），根据曲线在各点处的切线方程的斜率的大小判断即可. 【详解】解：由题意，可知，，． 由题中图像可知，且，因此， 而，所以， 因此，此时，所以（1）正确； 因为， ，故成立，（2）正确； 由题中图像可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故（3）正确； t时刻的瞬时速度为，判断瞬时速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，由题中图像可知，当时，切线方程的斜率最大， 故而在此时，瞬时速度最快，因此，（4）不正确． 故答案为：3． 地 城 考点02 导数的几何意义 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江台州·期末）已知直线与曲线相切，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】设切点为，再根据切点在曲线与切线上，以及导数的几何意义可得，最后根据函数的单调性以及即可得解. 【详解】因为， 所以， 设直线与曲线的切点为， 所以， 所以，且， 令函数，， 因为， 所以函数在单调递减，在单调递增， 又因为， 所以， 所以. 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的几何意义可知为该点切线的斜率，由图可知处的切线斜率比处的切线斜率大，为两点处的斜率，比较即可得出. 【详解】根据导数的几何意义，如图， 分别表示在点处切线的斜率，又因为 由图可知 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）将函数的图象绕坐标原点顺时针旋转后第一次与轴相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由与相切即可求解； 【详解】由题意可知：是过原点的切线， 设切点坐标为：，， 则，解得：， 所以， 故选：C 4．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则下列结论一定正确的是（    ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性逐一判断即可. 【详解】对于选项A：因为为偶函数，所以，即， 所以函数的图像关于对称，，而不一定为0，故A错误； 对于选项B：为奇函数，故，所以， 所以函数是奇函数，故B错误； 对于选项C：函数的图像关于对称，所以， 因为为奇函数，所以，关于点对称， 所以函数的图像关于对称，所以， 所以，故选项C正确； 对于选项D：因为，所以令，得，即， 因为函数的图像关于对称，所以，即， 所以， 由，得，即， 所以关于对称，所以， 关于点对称，所以， 所以，即，所以函数周期为2， 所以由关于点对称得关于点对称， 所以，故选项D错误. 故选：C 【点睛】关键点睛：解决D选项的关键是由两函数的对称性和关系求出，其次是利用已知条件求出关于点对称. 5．（24-25高二上·浙江金华·期末）如果函数在处的导数为1，那么（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义可直接得到答案. 【详解】因为函数在处的导数为1， 根据导数的定义可知， 故选：A. 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求函数在处的导数，再根据导数的几何意义确定切线斜率，并利用点斜式求切线方程. 【详解】函数的定义域为，其导函数， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为1，又， 故曲线在点处的切线方程为. 故选：D. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，结合导数法有，则存在两条切线等价于方程有两个不同正解，结合判别式法及韦达定理列不等式组即可化简判断选项. 【详解】设切点为，则，∴，则， 化简得：①，则， ∵过点可以作曲线的两条切线，∴方程①有两个不同正解，∴，∴. 故选：B． 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数在的附近可导，且，，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知斜率，代入点斜式即可求解. 【详解】由题知， ， 函数在处的切线斜率为：， 又，切线过点， 代入点斜式有：， 即：. 故选：A. 二、填空题 9．（24-25高二上·浙江·期末）函数上存在互异两点A，B，若曲线在A，B处的切线均为直线l，且l在A，B之间与无公共点，则l的斜率为 . 【答案】2 【分析】利用导数求出切线斜率和切线方程，代入两个切点的横坐标，利用斜率相等得到切点横坐标的关系，然后代入两个切点的横坐标得到两个截距相等，利用截距相等，运算后得出结论. 【详解】设切点为 切线方程为：, 设切点，切点，切线的斜率为k， 则有即 将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为， 将切点，代入切线方程，求得切线在y轴上的截距为， 则有 ①当时，由得： ； 所以，即， 所以； 当时，满足与l在A，B之间无公共点. ②当 时，由得： 即③， 结合③式可知，是与l的公共点，且在A，B之间，该情况无解. 综上所述，切线l的斜率为 故答案为：2 10．（24-25高二上·浙江金华·期末）若直线是曲线的切线，则的值可以是 .（写出一个值即可） 【答案】或（写出其中一个） 【分析】设出切点坐标，利用导数以及切线列方程，由此求得的值. 【详解】设切点为， ， 所以切线方程为， 整理得， 由得， 所以， 消去并化简得， 解得或， 则或， 所以的值为或. 故答案为：或（写出其中一个） 11．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数在某点处的切线的斜率不大于1，则切点为整点（横纵坐标均为整数）的个数是 ． 【答案】4 【分析】结合导数的几何意义，转化为，求解集中的整点. 【详解】由题意，，即， 解得，其中的整点有0,1,2,3，共4个. 故答案为：4 地 城 考点03 导数的运算 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江杭州·期末）若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角的范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于，对求导，依据切线斜率为切点处导数值，利用直线的斜率求得此时的点坐标，再用点到直线的距离公式求最小距离即可. 【详解】当点到直线的距离最小时，曲线在点处的切线平行于， 设此时，，，则此时点处的切线斜率， 因为，所以，解得，，， 综上，当点坐标为时，点到直线的距离最小， 最小距离为. 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列选项正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据基本初等函数的求导公式即可解答. 【详解】对于选项A， 故A错误； 对于选项B，，故B错误； 对于选项C，，故C正确； 对于选项D，，故D错误； 故选：C. 二、多选题 4．（24-25高二下·浙江杭州·期末）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本初等函数的法则即可判断选项A，C；由复合函数的求导法则即可判断选项B，D. 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．（24-25高二下·浙江金华·期末）若是曲线的切线，则 . 【答案】/0.25 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标，进而求出值. 【详解】设直线与曲线相切的切点为， 由，求导得，则，解得， 由切点在直线上，得，所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故答案为： 8．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，则 ． 【答案】2 【分析】先根据导数的运算求，再把代入求值. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 四、解答题 9．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数及点． (1)若点P在的图象上，求曲线在点P处的切线的方程； (2)若点P在的图象外，过点P与的图象相切的直线斜率是1，求a的取值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先求导函数，再代入求出导数值即可求出切线的斜率，最后点斜式求出直线方程； （2）设出切点坐标，利用导数及斜率坐标公式列式计算得解. 【详解】（1）由点在的图象上，得，求导得，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）由点P在的图象外，得，则， 设过点的直线与的图象切于点，则切线的斜率， 由过点P与的图象相切的直线斜率是1，得，解得， 所以的值为. 10．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数 (1)若求在点处的切线方程； (2)若的图象关于点中心对称，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导得切线斜率，由直线的点斜式方程即得， （2）根据对称可知为奇函数，即可利用定义域对称求解. 【详解】（1）当时，， 则 ，又 故在点处的切线方程为，即 （2）由的图象关于点中心对称，可知的图象关于原点对称， 即为奇函数， 则由的定义域关于原点对称，可得，即， 于是，定义域为，故 联立解得； 此时，,符合题意； 所以. 地 城 考点04 利用导数研究函数单调性、极值和最值 一、单选题 1．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意分析得出，构造新函数利用函数导数求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 当时，， 由恒成立，则有恒成立， 因为的值域为， 所以不一定恒成立，故不成立， 当时，由，， 由，， 所以要使得恒成立，则即， 所以， 设， 则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以有最小值， 所以的最小值是， 故选：A. 2．（24-25高二下·浙江杭州·期末）已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性即可求解不等式. 【详解】即，即 令， 则， 依题意，，即， 因此，，可得在上单调递减， 又因为， 所以等价于，由单调性可得，即. 故答案为：B. 3．（24-25高二上·浙江金华·期末）如图是某函数的部分图象，则该函数最有可能的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A中函数定义域不符合图象排除；B中函数为增函数不符合图象排除；C中函数的正负不符合图象排除. 【详解】对于A，函数的定义域为，不符合图象，排除A； 对于B，，，在上为增函数，不符合图象，排除B； 对于C，当时，，当时，，不符合图象，排除C. 故选：D 4．（24-25高二下·浙江台州·期末）若函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点和，可得出，利用导数分析函数的单调性与值域，即可得出实数的取值范围. 【详解】假设函数（为自然对数的底数，）的图象上存在关于原点对称的点和， 所以，， 上述两个等式相加得，可得， 令，其中，， 函数为偶函数， 当时，，故函数在上单调递增， 由偶函数的性质可知函数在上单调递减，故， 所以函数的值域为，故，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数，则（   ） A．时，有两个极值点 B．当时，有三个零点 C．若在上单调递增，则 D．若满足，则 【答案】ABD 【分析】对A，对求导，利用极值点的求法，直接求出极值点，即可求解；对B，令，根据条件可得，构造函数，，将问题转化成求两函数图象交点，对求导，求出其单调区间和极值，进而得其图象，数形结合，即可求解；对C，根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，即可求解；对D，根据条件得恒成立，从而得到关于的方程组，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则， 令，得到或，当或时，，当，， 所以是的极大值点，是的极小值点，故A正确， 对于B，令，得到，显然不满足方程，所以， 令，，则，令，得到， 由，得以，且，由，得或， 即的增区间为，减区间为， 又，当时，， 当（从左侧）时，，当（从右侧）时，， 当时，，图象如图， 由图知，当或时，与有三个交点， 即有三个零点，所以B正确， 对于C，因为，由题知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，易知在区间上单调递减， 所以，即，故C错误， 对于D，因为，所以， 整理得到，所以，解得，故D正确， 故选：ABD. 6．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设且，已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．的图象不是中心对称图形 B．的图象是轴对称图形 C．是周期函数，且最小正周期为 D．存在最大值与最小值 【答案】ABD 【分析】利用辅助角公式化简，根据函数的对称性，周期的定义判断BC；令，，对实数的取值进行分类讨论，结合奇偶性、单调性可判断D选项；证明为曲线的对称轴，结合单调性推出矛盾，可判断A选项. 【详解】因为， 对于B选项， ， 故函数的图象关于直线对称，B对； 对于C选项，因为， 故函数是周期函数，且为函数的一个周期，C错； 对于D选项，令，， 则，故函数为偶函数， 故只需考虑函数在上的最大值和最小值即可. 当时，， 当时，，，则， 所以，函数在上的最大值为，最小值为， 此时函数既有最小值，又有最大值； 当时，同理可知，函数既有最小值，又有最大值. 综上所述，函数既有最小值，又有最大值，D对； 对于A选项，因为 ， ， 所以，故函数的图象也关于直线对称， 由B选项可知，函数的图象也关于直线对称， 当时，，， 则函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递增， 此时函数在上单调递增， 由对称性，周期性可得若曲线有对称中心，则点为其一个对称中心， 但 ， 故函数不是中心对称图形； 当时，同理可知函数不是中心对称图形. 综上所述，函数不是中心对称图形，A正确. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·浙江·期末）已知函数，下列选项正确的有（   ） A．若，则函数为奇函数 B．若有极小值0，则 C．若有极大值2，则 D．可能在处有极大值 【答案】AC 【分析】根据整式乘法公式求出函数解析式，根据函数奇偶性的定义，判断A的正误，再根据函数导数与函数极值之间的关系，判断B、C、D三个选项的正误. 【详解】当时，，则， 则，所以是奇函数，A正确. 由题意得， 令，解得或， 当，即时，在上，在上单调递增， 在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增，可知在处取得极小值，极小值，所以B错误. 由B可知，当，即时，在处取得极大值，极大值，不符合题意， 当，即时，在上，在上单调递增，在上，在上单调递减， 在上，在上单调递增，可知在处取得极大值，极大值，当时，，所以C正确. 由B、C可知，当或都不在处取极大值， 当时，，易知在R上单调递增，无极大值，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题 8．（24-25高二下·浙江杭州·期末）若函数在处取得极小值，则 ． 【答案】/ 【分析】通过导数判断的单调性，从而找到其极值点，进而求出. 【详解】的定义域为，, 令， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以是的极小值点， 所以， 故答案为：. 四、解答题 9．（24-25高二下·浙江·期末）已知函数. (1)判断的单调性，并求出单调区间； (2)当时，若恒成立.试求出的取值范围； (3)若，，且，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导得，利用导数的符号分析单调性； （2）由（1）可得，从而有，令，由的单调性及，可得结果； （3）由可得，则，令，求导得到的单调性，从而得到，则，放缩法得到，计算得到，可证结果. 【详解】（1）， 当时，，所以在上单调递增， 当时，令，可得，解得：， 令，可得，解得：， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，由（1）知，有最小值，， 所以恒成立，化简可得， 令，易知在上单调递增， 且，. （3）时，，， 由， 令，则， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，则， 又，所以， 因， 故 ， 由，及在上单调递增，可知，， 则 ， ，，， 所以. 10．（24-25高二下·浙江湖州·期末）若函数在定义域内存在两个不同的实数，满足，且曲线在点和点处的切线斜率相同，则称函数为“同切函数”． (1)证明：函数为“同切函数”； (2)若函数为“同切函数”（其中为自然对数的底数），并设满足条件的两个实数为． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据题意以及导数的几何意义，建立方程，可得答案； （2）由函数求导，根据题意以及导数的几何意义，建立方程并化简，（i）利用代入消元法，整理所求参数的函数表示，进而求证不等式，可得答案；（ii）由（i）所得等量关系，对不等式换元化简，构造函数，利用导数研究其单调性，可得答案. 【详解】（1）假设存在满足题意，意知． 由得，解得． 由得，化简得． 代入上式可解得，或， 因此为“同切函数”． （2）由题可知，因为为“同切函数”，故存在不同的，不妨设， 使得， 即，． （i）先证：，即证：， 令，则由，可知，要证上式，只需证： ，易知， 故在单调递减，所以，故有成立， 由上面（2）式可得得； 由上面（2）式可得：，代入到（1）式中可得： 即． 又，因此实数的取值范围． （ii）因为，所以， 故要证，只需证， 即证． 设，即证， ，令， ， 由，得，所以， 在单调递增，故， 下面证明在上恒成立， 令，则，所以当时，， 当时，，所以在处取得最小值，， 所以在上恒成立，所以当时，，即， 故在上单调递增，则， 所以原不等式成立． 11．（24-25高二下·浙江金华·期末）已知函数，其中. (1)当时，求的单调递增区间； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)试比较2.8与的大小并证明. 【答案】(1)； (2)； (3)，证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出的导数，再解不等式即得. （2）利用导数求出函数的最小值，建立不等式并求解即可. （3）在（2）中取可得，再赋值并作近似计算推理即得. 【详解】（1）函数的定义域为，当时，， 求导得， 由，得， 所以函数的单调递增区间是. （2）依题意，，， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，由恒成立，得恒成立， 则，即，解得， 所以的取值范围是. （3）由（2）知，当时，，即， 令，有，而， ， 则，两边取对数得，所以. 12．（24-25高二下·浙江嘉兴·期末）已知函数在点处的切线与轴平行． (1)求的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由函数在处的切线与轴平行，则根据求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 则， 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， 解得． （2）函数的定义域为 且， 当时，； 当时，， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． 13．（24-25高二下·浙江·期末）已知函数． (1)求在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)判断方程的解的个数． 【答案】(1) (2)极小值，无极大值 (3)答案见解析 【分析】（1）根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解； （2）由（1）知，进而求得函数的单调区间和极值； （3）由（2）中函数的单调性与极值，结合时，；时，，得到函数的图象，把方程的解的个数转化为与的图象的交点个数，结合图象，即可求解. 【详解】（1）解：由函数，可得， 则，即切线的斜率，切点坐标为， 所以曲线在点处的切线方程. （2）解：由（1）知， 当时，；当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 当时，有极小值. （3）解：由（2）知，函数在递减，在递增，且有极小值， 又由时，；时，， 函数的图象如图所示， 又由方程的解的个数，即为与的图象的交点个数， 由图象可得：当时，没有公共点，此时方程无解； 当或时，两函数的图象只有一个公共点，此时方程有一解； 当时，两函数的图象有两个公共点，此时方程有两解．    地 城 考点05 利用导数研究不等式恒成立问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江宁波·期末）若存在正实数，使得等式成立，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简题目所给等式，分离常数，通过构造函数法，结合导数来求得的取值范围. 【详解】依题意存在正实数x，y，使得等式成立， ， 当时，，不符合题意，所以 令，，， 构造函数，， 其中对数函数在上递增，反比例函数在上递增， 所以在上递增，且， 所以在区间，，单调递减；在区间，，单调递增. 所以的最小值为. 要使有解， 则，①， 当时，①成立；当时，. 所以的取值范围是. 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江·期末）设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】解：设，， 则， 由，可得；由，可得或， 故函数的单调递增区间为、，单调递减区间为， 且，，，，，如下图所示： 函数经过，要使存在唯一的正整数，使得， 即有唯一正整数解， 所以只要并且，即，解得：. 故选：A. 二、多选题 3．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数在处的切线斜率为2，则下列命题正确的是（   ） A． B．有且只有一个极小值，且极小值等于 C．的值域是 D．若，则恒成立 【答案】ABD 【分析】求导，根据导数的几何意义可判断A；分析函数的单调性，结合极值的定义可判断B；结合，和单调性可判断C；由可得时，，进而判断D. 【详解】由，则， 则，即，故A正确； 此时，， 令，得或；令，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 则时，取得极小值，故B正确； 又，， 所以的值域不是，故C错误； 因为， 则时，， 而，则恒成立，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 4．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数，对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先可得，依题意可得对任意恒成立，从而得到对任意恒成立，则对任意恒成立，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为对任意恒成立，显然， 所以对任意恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，， 则，所以在上单调递增， 所以对任意恒成立， 又当时，当时，， 当时，，显然满足对任意恒成立， 当时不等式对任意恒成立， 等价于对任意恒成立； 综上可得，即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，则，即实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是同构得到对任意恒成立，从而得到对任意恒成立. 四、解答题 5．（24-25高二下·浙江丽水·期末）已知函数为奇函数． (1)求a的值； (2)设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据可求出a的值； （2）①讨论和时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数有且只有一个零点； ②由①可得，结合的范围分析函数单调性可证明不等式. 【详解】（1）由题意得，， ∴，即恒成立，∴. （2）①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， 又，， ∴存在唯一零点. 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， 综上，有且只有一个零点，且该零点. ②由①可知，且，故， ∴， 令，则. 当时，，∴在上单调递增， ∴，即得证. 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数． (1)当时，求的单调增区间； (2)证明：当时，． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先求得，根据导数的正负求解即可； （2）首先根据导数得出在单调递减，在单调递增，则，再构造函数说明，再用作差法及基本不等式得出即可证明． 【详解】（1）的定义域为， 当时，，则，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增， 故的单调增区间为． （2）由，解得， 当时，，故在单调递减； 当时，，故在单调递增； 故， 设， 则，解得， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以，即， 所以，当时等号成立， 又，当时等号成立， 故，得证． 7．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，. (1)若，求证：； (2)若方程有2个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明； （2）依题意可得，令，结合函数的单调性得到，从而得到与有两个交点，结合（1）中函数的单调性，求出函数的最大值，即可得解. 【详解】（1）当时，，令， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即； 令，，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以； 综上可得； （2）由，可得， 所以， 令，显然在上单调递增， 由， 所以，则， 依题意可得与有两个交点， 由（1）可知在上单调递增，在上单调递减，则， 由当时，当时， 所以，即实数的取值范围为. 8．（24-25高二下·浙江温州·期末）已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围； (3)对任意，不等式恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1)增区间是，减区间是 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数的正负，求解函数的单调性； （2）首先不等式变形为，再设函数，利用导数判断函数的单调性，转化为隐零点问题，求函数的最值，即可求的取值范围； （3）首先不等式变形，并且同构为函数，根据函数的单调性，得到恒成立，转化为求函数的最值问题. 【详解】（1）此时，从而         所以当时，当时                因此的增区间是，的减区间是 （2）得                   则在上单增                      唯一，得 当时，单减, 当时，单增， 又 得 因为关于递减，而且当时 所以，进而 （3）得             在上单增，则得恒成立 得 当时，单增 当时，单减                     因为，则   9．（24-25高二上·浙江·期末）已知函数，其中且. (1)若，试证明：恒成立； (2)若，求函数的单调区间； (3)请判断与的大小，并给出证明.（参考数据：） 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题意，构造函数，然后求导可得，即可证明； （2）根据题意，求导可得，即可得到其单调性； （3）根据题意，结合（2）中的结论可得，从而可得，即可证明. 【详解】（1）证明：设函数，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以，即恒成立. （2）已知，从而， 若，则在单调递增； 若，当时，当时， 所以在单调递增，在单调递减. （3）由（2）可知在上单调递增， 因为 从而由（2）知道在上单调递增.所以. . 又，所以，即， 所以. 由此可知.即， 从而，故. 10．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知奇函数，其中. (1)求值； (2)若对任意上恒成立，求的取值范围； (3)记，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）函数为奇函数，故，从而得到方程，化简得到，求出； （2）当时，，根据函数单调性，放缩得到对任意上恒成立，当时，可举出反例，从而得到结论； （3）变形得到，即证：当时，，构造，求导得到单调性和最值，得到结论. 【详解】（1）为奇函数，， 即， 化简得， 且，， ，； （2）由（1）知. 当时，， 又在上单调递增， ， ， 对任意上恒成立， 当时，令，则， 此时， 与条件矛盾. 综上，. （3）由条件可知， 待证不等式可作如下等价变形： ， 故即证：当时，. 构造函数，则. 在上单调递增， ，即. 当时，. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 11．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求证：在区间有唯一的极值点； (3)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对函数求导后，由导数的正负可求得函数的单调区间； （2）令，求导后判断出函数的单调性，再结合函数零点存在性定理可证得结论； （3）解法1：分类讨论，分，和三种情况讨论即可，解法2：必要性探路，结合（2）的结论证明即可，解法3：参变分离，转化为对恒成立，构造函数，利用导数求得其最大值即可. 【详解】（1）. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）令， ， 当时，，当时，， 在单调递减，单调递增. 又， 存在唯一实数，使得， 当时，，即，当时，，即， 在单调递减，单调递增， 区间有唯一极小值点.得证. （3）解法1：（分类讨论） 由（2）知：在单调递减，单调递增，且. ①当，即时，在单调递增， 所以，解得，故无解； ②当，即时，在单调递减， 所以恒成立，故； ③当，即时， 所以，解得，故. 综上所述，. 解法2：（必要性探路） 由题意可知，解得， 故由（2）可知，在单调递减，单调递增. 在区间最大值， ， . 解法3：（参变分离） ①当时，由条件对恒成立， ，易知：， 对恒成立. 令， ， 令， ， 令， ， 在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ，即， 在上单调递增， ， . ②当时，显然成立，. 综上所述，. 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数解决不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是分离参数，构造函数，利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于难题. 12．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程; (2)当时，证明：在上恒成立. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）先求导函数并计算，再通过点斜式求切线方程即可； （2）通过求导函数，证明存在，使得，则函数在单调递增，在单调递减，再证明即可. 【详解】（1）当时，函数， 则， 且， 所以切线方程为，即. （2）由题意可知，，且， 令，， 则在恒成立， 所以在单调递减， 即在单调递减，且， 令，， 所以在恒成立， 所以在单调递增， 所以， 即， 由因为， 当时，， 所以存在，有， 所以函数在单调递增，在单调递减， 又因为， 且， 所以 所以函数在恒成立. 13．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数（a为实常数）． (1)若，求证：在上是增函数； (2)当时，求函数在上的最大值与最小值及相应的x值； (3)若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析； (3). 【分析】（1）利用导数证明函数的区间单调性即可； （2）利用导数研究函数的单调性，进而求区间内最值即可； （3）将问题化为在上能成立，应用导数研究右侧的单调性并求最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设，则， 则在上有，故在上是增函数，得证； （2）由题设，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，且， 所以最小值为时，最大值为时； （3）由题设在上能成立，则， 对于，则在上恒成立， 故在上单调递增，且时，即在上恒成立， 所以在上能成立， 令且，则， 对于且，则， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 当，，即在上恒成立， 在上恒成立，则在上单调递增，故， 所以. 14．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数. (1)是否存在实数，使得为函数的极小值点？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； (2)求证：当时，图象上总存在关于原点对称的两点. 【答案】(1)不存在，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）对函数求导，若存在实数，使得为函数的极小值点，得，再验证的单调性，即可得结论； （2）问题化为，满足，构造，利用导数研究其值域，并证明是值域的子集，即可证结论. 【详解】（1）由，若存在实数，使得为函数的极小值点， 此时，可得， 当时，，则， 令，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，故在定义域内单调递减，与假设矛盾， 所以不存在实数，使得为函数的极小值点. （2）存在关于原点对称的两点，即，满足， 所以，设且定义域为R， 且，所以为偶函数， 不妨只考虑区间，则 ，（注意且）， 设，显然时， 当，则， 由且，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，即在上单调递减，则， 综上，在上，在上； 设，则， 所以在、都单调递增，，则在上， 由，且，则，， 所以，在上，在上， 综上，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 当，且恒成立，又， 所以， 所以是值域的子集， 故，图象上总存在关于原点对称的两点. 【点睛】关键点点睛：第二问，问题化为，满足得，进而构造函数研究其值域包含为关键. 地 城 考点06 利用导数研究函数零点问题 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江衢州·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设切点，再根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式得到切线方程；再根据切线过点，得到的关系，利用有两解求的取值范围. 【详解】设切点， 又，所以切线斜率为：. 由点斜式，切线方程为：. 因为切线过点，所以. 所以：. 因为过原点的切线有两条，所以关于方程有两解. 由（）， 设，则， 由得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，且当时，. 所以有两解，则. 故选：A 二、多选题 2．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，下列结论正确的是（    ） A．当时，在处的切线方程为 B．当时，恒成立 C．若恰有一个零点，则 D．若恰有两个零点，则 【答案】ABD 【分析】求导，根据点斜式即可求切线方程判断A，根据导数判断函数的单调性，即可求解B，构造函数，由导数求解单调性，即可得直线与的交点个数，进而判断CD. 【详解】对于A，当时，，，则，, 故切线方程是，即，故A正确； 对于B，当时，，， 当单调递增，当单调递减， 故，故B正确， 对于CD，令，则，记，则， 当单调递增，当单调递减， 故，又，而， 故当时，此时直线与有两个不相等的交点， 当或时，直线与有1个交点，故C错误，D正确， 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．恒成立 B．在上单调递增 C．在上有4个零点 D．是周期函数 【答案】AC 【分析】利用三角函数的有界性，结合放缩法即可求解A，利用端点处的函数值比较，即可判断B，由导数求解函数的单调性，作出函数图象，即可求解C，利用三角函数的周期公式，即可求解D. 【详解】对于A, ,故A正确， 对于B，故，故B错误， 对于C,令， 记， 则， 当单调递增， 当单调递减， 且，而， 在同一直角坐标系中作出函数图象如下：故两函数图象有4个不同的交点，因此函数在上有4个零点，C正确， 对于D，由于为周期函数，且最小正周期为，而也为周期函数，且最小正周期为， 由于为无理数，而2为有理数，则不存在整数使得， 所以不是周期函数，D错误， 故选：AC 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）双曲正弦函数与“S”型函数是两类重要的函数模型，它们在数学与信息学科中有着广泛的运用，其解析式分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．在上单调递增 B．的值域为 C．点是曲线的对称中心 D．函数在上有且仅有一个零点 【答案】ACD 【分析】由在上为增函数，可判断A；，易求值域判断B；易证为奇函数， 为奇函数，进而可判断C；，可得，可得结论判断D. 【详解】对于A：由在上为增函数，可得在上为增函数，故A正确； 对于B：， 因为，所以，所以， 所以的值域为，故B错误； 对于C：由，得， 所以为奇函数，所以的图象关于对称， 令， 所以，所以为奇函数， 所以关于原点对称， 所以关于原点对称，从而关于点对称，故C正确； 对于D：， 求导得， 又，，所以， 所以在上为增函数， 又当时，， 当时，， 所以函数在上有且仅有一个零点，故D正确. 故选：ACD. 5．（24-25高二上·浙江·期末）函数在上有两个零点，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．在上有2个极值点且 【答案】ACD 【分析】根据零点存在定理来判断A；根据导数的几何意义推出，结合零点即方程的根来判断B；根据导数的几何意义推出，结合两角和的正切公式判断C；根据导数与极值点的关系判断D. 【详解】由于函数在上有两个零点， 故函数的图象在上有两个不同的交点， 作出函数的图象如图：    要满足题意，需满足与在间的图象相切， 由图象可知，， 当时，，当时，， 由于，则设与在间的图象相切时的切点为， 此时，则， 于是，C正确； 对于A，当时，，此时，， 由于，即， 令，， 即为减函数， ，， 故在内有唯一零点，即，A正确； 对于B，当时，，即； 当时，，，即； 故，B错误； 对于D，当时，，， ，当时，，当时，， 即在单调递减，在单调递增， 即为函数在内的一个极小值点； 当时，，， 当时，，当时，， 即在单调递减，在单调递增， 即为函数在内的一个极小值点； 即在上有2个极值点，设为， 则，故，D正确； 故选：ACD 【点睛】难点点睛：本题综合性强，难度较大，解答时要能综合利用函数零点知识以及导数知识，灵活求解，要注意数形结合方法的应用. 三、填空题 6．（24-25高二下·浙江宁波·期末）设实系数一元二次方程有两个不相等的实数根，，则原方程可以变形为，展开得，由此，我们可以得到，.类比上述方法，如果实系数一元三次方程有三个不相等的实数根，，，我们也可以得到类似的结论.已知关于的方程有三个不相等的实数根，，，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】本题可先根据三次方程根与系数的关系得到，，，再结合函数性质求解的取值范围. 【详解】由题意可以变形为， 展开得：， 所以， ， 三次方程 的根 ， 所以，，， 由 ，代入得： 因此： 因为方程有三个不等实根，令， 令，得.， ，单调递增， ， ，单调递减，， ，单调递增， 所以的极大值为， 的极小值为， 要有三个不等实根，则且，即. 又是最小根则，且. 所以. 令，， ， 因此， 的取值范围为 ，即的取值范围为. 故答案为： 四、解答题 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若过点恰有2条与的图象相切的直线，求的取值范围； (3)若，问函数的图象上是否存在三个不同的点，，，使得它们的横坐标成等差数列，且直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)不存在；理由见解析 【分析】（1）求导，分类讨论到函数的符号，可得函数的单调性. （2）写出过的图象上一点的切线方程，根据切线过定点列方程，根据方程有2解求参数的取值范围. （3）假设存在满足条件的点，根据题意，问题可转化成方程在上解的情况.设辅助函数（），求导，分析函数单调性，可得函数零点情况. 【详解】（1）因为，，所以，. 因为，所以. 所以若，则即在上恒成立，所以在为增函数； 若，由；由. 所以函数在上递减，在上递增. 综上：当时，在为增函数； 当时，在上递减，在上递增. （2）设切点，切线斜率为：， 所以切线方程为：. 因为切线过点，所以. 整理得：（） 设（），则（）. 由，由. 所以在上递增，在上递减. 又过点恰有2条与的图象相切的直线，所以直线与的图象有两个不同交点. 因为，，， 所以. 即所求的取值范围为：. （3）当时，，，. 设，则. 假设存在，（），使得直线的斜率等于函数的图象在点处的切线的斜率， 即， 因为，所以. 设（）， 则（当且仅当时取“”）. 但，所以在恒成立. 所以在上单调递增，又. 所以在上恒成立. 即方程在上无解. 即满足条件的点不存在. 【点睛】关键点点睛：第二问中，求参数的取值范围，可采用分离参数法，得到，再设函数（），数形结合，可得实数的取值范围. 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数，． (1)若，判断函数的单调性； (2)若有两极值点且，求的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减 (2) 【分析】（1）利用二次求导研究导函数单调性，通过导函数的最值判断符号，进而得到原函数的单调性即可； （2）由题意转化为至少两个实数根，构造函数，问题转化为研究函数的零点，按分类讨论零点个数，当均不成立；当时，存在两个零点，先确定所在区间，再将零点满足的关系式代入不等式求解，得到，将问题转化为的值域范围问题，进而探求的范围即可. 【详解】（1）若，， 则，设， 则，令，解得， 故当时，，即在单调递增； 当时，，即在单调递减； 所以在处取最大值，最大值为， 又，故，即， 所以在上单调递减. （2），. 要使有两极值点，则至少两个实数根. 设，则. 当时，没有两个极值点； 当时，，则在上单调递增， 则至多一个实数根，即也不可能有两个极值点； 当时，令，解得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； 故在处有极大值，且极大值为， 要使至少两个实数根，即至少两个实数根，设两根为， 所以有，解得， 则有，且，且当，， 故有两正根，且一根在内，另一根在内，    若，则，这与已知矛盾； 故，且， 所以有， 由，则恒成立， 即， 由，得，即，解得， 由，， 构造函数， 则， 当时,，故在单调递减， 由，故，即. 当时，，故在单调递减， 故在单调递减， 则，且， 故，且满足条件. 综上所述，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将函数的极值点问题通过求导转化为含参函数的隐零点问题，先要用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程如第（2）问中的，再结合函数单调性得到零点的范围（有时零点范围需要调整适当加以缩小），最后根据零点满足的关系整体代入不等关系消参得到，进而得到，由构造函数求值域即可. 9．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最大值的表达式； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分及讨论函数的单调性，结合函数的单调性即可得函数的最大值，即可得解； （3）由函数的单调性，可设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 【详解】（1）易知函数的定义域为. 当时，. ， 所以在点处的切线斜率， 又，即点坐标为， 所以点处的切线方程为； （2）因为. 所以， 当时，易知在上恒成立，所以在上单调递减， 故函数在区间上的最大值为. 当时，令， 则在上单调递增， 且当时，，当时，， 所以在上有唯一的一个零点. 令，则该方程有且只有一个正根，记为，则可得： 单调递减 单调递增 所以函数在区间上的最大值为， 由，有： 当时，； 当时，， 故； （3）由（2）可知，当时，在上单调递减， 故此时函数至多有一个零点，不符合题意； 当时，在时，单调递减，在时，单调递增； 且，所以，① 又时，，当时，， 为了满足有两个零点，则有.② 对①两边取对数可得，③ 将①③代入②可得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于设出，即有，结合零点的存在性定理得出极小值，从而解出的范围. 10．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在内存在两个极值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为：和，单调递减区间为： (2)或 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数求解函数的单调区间； （2）首先求函数的导数，并化简为，，再讨论的取值，结合函数的单调性，判断函数极值点的个数，从而求解实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域为          令，得或，     所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为： （2） ①当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 故只有一个极小值点，与条件矛盾，故舍去．     ②当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ③当时，在和上单调递增，在上单调递减， 故有两个极值点a和，与条件相符．     ④当时，， 故在上单调递增，无极值点，舍去．     ⑤当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 故只有一个极大值点，与条件矛盾，故舍去．     综上可得：或 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知函数． (1)求函数的极值点和零点； (2)若恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)极大值点为，没有极小值点；零点为1； (2) 【分析】（1）利用导数性质，结合函数极值点的定义和零点的定义进行求解即可； （2）运用常变量分离法，构造函数，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）函数定义域为，， 当时单调递增， 当时单调递减， 所以函数在时取得极大值，函数没有极小值， 所以函数的极值点只有1个，即极大值点，无极小值点. 因为， 当时，， 当时， 所以 只有一个零点1. （2）要使恒成立，即恒成立， 令，则. 当时，， 单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时取得极大值也是最大值，， 要使恒成立，则， 即实数k的取值范围是. 12．（24-25高二上·浙江丽水·期末）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有三个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意可得是函数的一个零点，故方程有两个不同的非零实数根，令，则可转化为求的范围问题，即可得a的取值范围. 【详解】（1），则，又， 所以的切线方程为； （2）， 故是函数的一个零点， 由题意可知，方程有两个不同的非零实数根， 显然不合题意， 令，则， 设，得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故， 又时，，时，， 故，即. 13．（24-25高二上·浙江·期末），，，． (1)若，，证明：； (2)是否存在使有且仅有一组解，若存在，求取值集合；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，求出的表达式，把代入用表示，再分类讨论，构造函数，利用导数推理作答. （2）由得，结合（1）的信息，构造函数并利用导数探讨函数的零点个数作答. 【详解】（1）依题意，，，由知，，， 当时，，又，于是当且时，，不等式成立， 当时，， 令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，有，即，则， 所以成立. （2）由（1）知，，且， 假定存在正数使有且仅有一组解，由，知，且，，即， 于是存在正数使有且仅有一组解等价于方程有不等于1的唯一正数解， 令函数，显然，求导得， 由，得，若，而，于是， 此时，函数在上单调递减，有唯一解1， 因此方程没有不等于1的正数解，即当时，不成立； 若，即，方程有二不等实根，令，显然， 于是，当或时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 当时，，当时，，函数大致图象，如图，      从而存在，使得，此时有3个不同解， 因此方程有两个都不等于1的不同的正数解，即当时，使成立有两组解， 所以不存在使有且仅有一组解. 【点睛】思路点睛：涉及函数零点个数问题，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 14．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不相等的零点，极值点为，证明： （i） （ii） 注：为自然对数的底数，. 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，再由，求解； （2）（i），设，由零点存在定理得到存在唯一且，使得，然后根据函数有两个不相等的零点，由求解；（ii）由①，②，①-②得，整理为，不妨设，令，则，转化为，即，利用导数法证明； 【详解】（1）， 所以， 令得，令得. 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）（i）， 设， 存在唯一且，使得. 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增，是极小值点. 若，则，不满足要求， 故要使函数有两个不相等的零点，则. 于是. （ii）①，②， ①-②得，整理得③. 下证：.不妨设，令，则. 可化为，即. 令，于是在上单调递增， 又，所以，从而， 得. 于是③式可化为，得. 得证. 【点睛】思路点睛：本题第（ii）问，由函数有两个不相等的零点，得到①，②，①-②结合对数运算整理得到，再设，令，则，转化为，然后令，利用导数法证明而得证. 地 城 考点07 利用导数研究函数图象及性质 一、单选题 1．（24-25高二上·浙江温州·期末）函数 的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇偶性，在y轴附近 时的单调性和在x=-4处的函数值可以判断. 【详解】显然 是非奇非偶函数，排除C， 当 时， ， 令 ，则 ， 是单调递减的， ， 当 时， ， 时单调递减的，排除A， ， ， ， ， ，排除D， 故选：B. 2．（24-25高二上·浙江·期末）函数的导函数为，则与在一个坐标系中的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析函数、的奇偶性，以及、的符号，利用排除法可得出合适的选项. 【详解】函数的定义域为，， 即函数为奇函数， ，函数的定义域为， ，函数为偶函数，排除B、C选项； ，，则. 对于D选项，图中的偶函数为，由，与题图不符，D选项错误， 故选：A. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置． （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）函数的特征点，排除不合要求的图象. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）函数的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对每个选项中函数中的实数进行赋值，分析对应函数的单调性、零点与奇偶性，即可得出合适的选项. 【详解】令，则. 对于A选项，取，则，定义域为，， 令，可得或；令，可得. 此时，函数的单调递增区间为和， 单调递减区间为，，且当时，， A选项合乎题意； 对于B选项，取，， ，即函数在上单调递增， 当时，， 任取，则，， 则，则， 所以，函数在上单调递增. ， 此时，函数为奇函数，B选项合乎题意； 对于C选项，取，则， 当时，，则函数在上单调递增， 任取，则，， 则，则， 所以，函数在上单调递增. ， 此时，函数为偶函数，C选项合乎题意； 对于D选项，由图象可知，函数有三个零点， 且， 若，则，令，则，该函数只有一个零点； 若，令，可得或， 该函数至多两个零点，D选项不合乎题意. 故选：D. 【点睛】本题考查利用函数的解析式选择函数图象，一般从函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号来进行分析，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 4．（24-25高二上·浙江杭州·期末）如图是函数的导函数的图象，给出下列命题： ①是函数的极值点； ②是函数的最小值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增.则正确命题的序号是 A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】C 【详解】分析：根据导数的几何意义，与函数的单调性，极值点的关系，结合图象即可作出判断. 详解：根据，可以确定函数的增区间、减区间，切线的斜率的正负， 由导函数的图象，可得的函数在单调递减，在单调递增， 其中的左边负右边正，所以为函数的一个极小值点，且上函数单调递增，所以①④是正确的； 其中的左右两侧都是正数，所以不是函数的极值点，所以②是错误的； 由可得函数在处的切线的斜率大于零，所以③错误的， 故选：C. 点睛：本题主要考查了导函数的图象和原函数的性质之间的关系的应用，其中熟记导数函数函数的性质之间的关系的判定是解答的关键，着重考查了数形结合思想和分析问题、解答问题的能力. 二、多选题 5．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知函数及其导函数的定义域均为，若均为奇函数，则下列说法中一定正确的是（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，为奇函数，进而计算可求得，的周期，对称中心，进而可判断每个选项的正确性. 【详解】对于A：因为为奇函数，则， 令，则可得，所以，故A正确； 对于B：因为为奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，故B错误； 对于C：由，可得， 所以， 由，两边求导数可得， 即，所以， 所以，所以，故C正确； 对于D：因为的图象关于点对称，所以的图象关于点对称， 所以，所以， 所以，所以， 所以，所以是以4为周期的周期函数， 由，可得， 所以，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 6．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，下列说法正确的是（　　） A．在 处的切线方程为 B．的单调递减区间为 C．的极大值为 D．方程有两个不同的解 【答案】BC 【分析】根据导数的几何意义求解切线方程；根据导数求解函数的单调区间，从而求出极值；求出函数零点即可求出与交点的个数，从而判断出方程的解. 【详解】对于选项， 的定义域为，， ∵，∴， 由导数的几何意义可知在 处的切线方程的斜率为， ∴在 处的切线方程为，则错误； 对于选项，令得， ∴的单调递减区间为，则正确； 对于选项，令得， ∴的单调递增区间为， ∵在上单调递增，在上单调递减， ∴在处取得极大值， ，则正确； 对于选项，∵ ， ∴在上存在一个零点， ∵当时，， ∴在上没有零点， ∴与只有一个交点， ∴方程只有一个解，则错误； 故选： . 7．（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，，及直线，下列说法中正确的是（    ） A．曲线在处的切线与曲线在处的切线平行 B．若直线与曲线仅有一个公共点，则 C．曲线与有且仅有一个公共点 D．若直线与曲线交于点，，与曲线交于点，，则 【答案】ACD 【分析】对与A选项，分别求出在处的切线与在处的切线即可判断； 对于B选项，求出，即可判断出曲线的单调性，画出草图则可判断； 对于C选项，画出曲线与的草图，即可判断； 对于D选项，借助图像可知直线过曲线与的交点,由此即可得出，则可得，，，则可得出. 【详解】对于A选项：，，， 所以曲线在处的切线为：； 同理，，，曲线在处的切线为， 即曲线在处的切线与曲线在处的切线平行，正确； 对于B选项：，令，解得， 所以曲线在上单调递增，在上单调递减，， 又当时，当时， 若直线与曲线仅有一个公共点，则或，错误； 对于C选项：曲线的定义域为：，， 令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，且， 所以曲线与曲线的大致图像为： 易知当时，，，即曲线与曲线在区间上无交点； 当时，单调递减，单调递增，且， ，即曲线与曲线在区间上有一个交点； 当时，记，，当时恒成立， 即在上单调递增，即，即, 又曲线在上单调递减，所以，即， 即恒成立，即曲线与曲线在区间上没有交点； 所以曲线与有且仅有一个公共点，正确; 对于D选项：当直线经过曲线与的交点时，恰好有3个公共点， 且，, 由，所以， 由，所以， 即，正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：判断两个函数的交点个数常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，根的个数即为交点个数； （2）数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象，直接得出答案. 8．（24-25高二上·浙江温州·期末）函数的图象如图所示，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】求出函数的导函数，根据函数的图像可知，将用表示，分析从而可得出答案. 【详解】解：， 由图可知，， 则，故C正确； ，， 两式相减得，即， ，则， 所以，则，所以，故AB正确； 则，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题 9．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知不等式有且只有两个整数解，则实数a的范围为 ． 【答案】 【分析】参变分离后研究函数单调性及极值，结合与相邻的整数点的函数值大小关系求出实数a的范围. 【详解】整理为：，即函数在上方及线上存在两个整数点，，故显然在上单调递增，在上单调递减，且与相邻的整数点的函数值为：，，，，显然有，要恰有两个整数点，则为0和1，此时，解得：，如图 故答案为： 10．（24-25高二上·浙江宁波·期末）若函数恰有两个极值点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求导得有两个极值点等价于函数有一个不等于1的零点，分离参数得，令，利用导数研究的单调性并作出的图象，根据图象即可得出k的取值范围． 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得或， 若函数有2个极值点， 则函数与图象在上恰有1个横坐标不为1的交点， 而， 令，令或， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又，如图所示， 由图可得. 故答案为： 四、解答题 11．（24-25高二上·浙江杭州·期末）过点有n条直线与函数的图像相切. (1)若，求n的值并求切线的方程； (2)当n取最大值时，求m的取值范围. 【答案】(1)，切线方程为； (2)n取最大值3时，m的取值范围为. 【分析】（1）在上，为切点时，利用导数几何意义得到切线方程，不是切点时，设出切点为，表达出切线方程，代入切线方程，得到，令，，求导得到其单调性，并得到函数无零点，从而得到，切线方程为； （2）设切点为，表达出切线方程，将代入切线得到，令，求导得到其单调性，画出函数图象，数形结合得到n取最大值3时，m的取值范围为. 【详解】（1）时，在上， ， 若为切点，则， 故切线方程为，即， 若不是切点，设切点为， 则， 故切线方程为， 又在切线方程上， 故，整理得， 令，， 则， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 又，， 又时，，故恒成立， 故，，无零点， 综上，，切线方程为 （2）设切点为，， 在处的切线方程为， 将代入切线方程中得， 整理得，令， 则， 列表如下： 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 由得，解得或， 画出的图象，如下： 由图可知，当时，直线与图象有3个交点，为最大值， 故n取最大值3时，m的取值范围为. 【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 地 城 考点08 利用导数研究双变量问题 一、多选题 1．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知实数x，y满足（为自然对数的底数，，则（    ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】同构函数可判断A，B；由对数均值不等式可判断C，D. 【详解】由，得，所以，， 当时，，即， 令，则， 所以在上单调递增， 由得， 所以，即，故A正确； 当时，，即， 令，则， 令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 由得， 因为在上不单调，所以由不一定能得到， 即不一定成立，故B错误； 当时，由前面的分析可知，此时，， 令，，则有，不妨设， 得， 下面证明，当时，不等式成立. 先证右边，要证，只要证， 即证，令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即成立，从而得证； 再证左边，要证，只要证， 即证，令，即证， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 即成立，从而得证. 由，，得，即，故C正确； 由，，得， 即，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：应熟练掌握证明极值点偏移问题的常用方法，如对称构造函数法、对数均值不等式、指数均值不等式等. 二、填空题 2．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数有两个零点，且.设为常数，当变化时，有最小值，则常数的值为 . 【答案】 【分析】令，通过整体元变换消元，将转化为单变量函数，最值问题转化方程有解问题，利用导函数分析最值情况即可. 【详解】由题意知，两式作比得， 令，则，令， 则，解得， 所以 ， 设，则. 要使在存在最小值， 则关于的方程在有解，设为的根， 则， 当时，等式左边，右边， 又，故不满足题意，故； 由此可解得， 所以 ， 故， 令，则， 令则， 令，解得， 则当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 且，，； 故存在，使得， 则当时，，即，则在单调递增； 当，，即，则在单调递减. 又， 由单调性可知在有唯一解， 即有唯一解， 代入，得. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于整体换元，一是令，作整体取代从而简化运算；二是令，将用表示，作减元处理，从而双变量问题转化为单变量问题. 3．（24-25高二上·浙江绍兴·期末）已知函数，，若对于任意，都有成立，则 . 【答案】4 【分析】先求g(x)在上的最大值，再把题意转化为，f(x)≥2恒成立,再利用导数求f(x)在上的最小值建立不等式即可求解. 【详解】， 当时，，所以当x=1时，由，取得最大值. 因为对任意，都有成立， 所以，即，即对任意，恒成立， 所以，解得：. ，令解得：， 当时，有；当时，有； 当时，有； 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 于是，当时， 即，解得：a=4. 故答案为：4 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， (1)若，，总有成立，故； (2)若，，有成立，故； (3)若，，有成立，故； (4)若，，有，则的值域是值域的子集 ． 三、解答题 4．（24-25高二上·浙江·期末）已知函数，，. (1)若，求的单调区间； (2)若不单调，且. （i）证明：； （ii）若，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）证明见解析（ii）证明见解析 【分析】（1）对求导，根据和两种情况讨论得出的单调区间； （2）（i）根据求出，再根据不单调求出，再根据证明. （ii）由题意分析知，要证，即证，设，， 对求导，得出的单调性，可将原不等式转化为证明，令，原不等式转化为证明即可，这样将双变量问题转化为单变量问题，构造函数即可证明. 【详解】（1），. 当时，.函数在单调递增； 当时，，；，； 函数在单调递减，在单调递增. （2）（ⅰ），，即 又因为不单调，即在上有零点，又 所以且，所以 所以，即 又因为 所以 又因为 所以，即. （ⅱ）设，则，故由即 即可知 ，则. 要证，也就是证明成立， 即证，把代入， 即证明：即可. 设. 即 所以在上单调递增，又，故在上单调递增，又因为，故，即，也就是证 明，令， 即证：，易知，原不等式等价于先证明：当成立.即， 等价于，即则 故，所以不等式成立，故成立，原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是将变形，然后通过换元转化为，这样将双变量问题转化为单变量问题，构造函数解决问题. 5．（24-25高二上·浙江嘉兴·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个不同的零点（）， （ⅰ）求证；（为自然对数的底数）； （ⅱ）若满足，求a的最大值. 【答案】(1)当时，的单调递增区间是，无递减区间；当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）求导，分类讨论参数和时，函数的单调性即可； （2）（ⅰ）利用参数分离可得，令，利用导数研究函数的单调性，极值，数形结合即可证得结论； （ⅱ）由已知，设，可得，设，利用导数研究函数的单调性，可求额，再利用的单调性可求得，进而求得结果. 【详解】（1）（1）求导，， 当时，恒成立，的单调递增区间是，无递减区间. 当时，由，得，由，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）（ⅰ）令，得， 设，求导，令，解得，则 x + 0 - 极大值 当时，取得极大值，且 且当时，，当时，，如图， 数形结合可知，即. （ⅱ）因为，即，且， 不妨设，将代入中， 得，即. 设，则，令， 则，∴在上单调递减， 即，从而有，得在上单调递减， 由已知条件得，即，∴在上单调递减，即， 得，，即. 又因为，设， 由（ⅰ）知，在上单调递增，而， 所以在上也单调递增，得，得，即. 综上，a的最大值是. 【点睛】方法点睛：本题考查导数的几何意义，利用导数求函数的极值，利用导数研究含参函数的零点有两种方法： （1）利用导数研究函数的极（最）值，转换为函数的图像与x轴的交点问题，应用分类讨论思想，在含参函数含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题； （2）参数分离，即由分离参变量，得到，转化为研究与直线的图像的交点问题. 6．（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数. （Ⅰ）讨论函数极值点的个数； （Ⅱ）若，且对任意正数都有成立，求实数的取值范围.（为自然对数的底数）. 【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）. 【分析】（Ⅰ）利用分离参数，构造函数法研究导函数的变号零点的不同情况，分离参数后得到，记，，利用导数研究函数的单调性和图象，进而得到直线和函数的交点的不同情况，从而研究极值点的个数； （Ⅱ）等价于，等价于（*） 因为函数在单调递增，所以（*）式子等价于，即为，然后利用（Ⅰ）中对的研究，得到的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）因为， 所以， 研究的变号零点， 由得， 记，， 因为， 所以时，；； 时， 在递增，递减， 且时时，， 画出函数的简图： ， 所以时，有一个极值点； ，有两个极值点； ，无极值点. （Ⅱ），且对任意正数都有成立， 等价于， 等价于（*）， 因为函数在单调递增， 所以（*）式子等价于，即为， 由第一题的过程可知，所求范围为. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题，不等式恒成立问题中的参数取值范围问题，难度较大，关键难点是转化求解的思想，分离参数思想和数形结合思想，构造函数思想的应用. 7．（24-25高二上·浙江台州·期中）设函数，. （1）若对恒成立，求的取值范围； （2）若，当时，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）求出导函数，分类讨论，确定的单调性，最大值，解相应的不等式可得； （2）变形为，在证的不等式中若或，不等式已经成立，因此只要证时不等式成立， 首先引入函数，，，由导数确定出的单调性，要证的不等式为转化为证，，即证：，为此再引入新函数，，利用导数可证． 【详解】（1）解：， 当时，，令得：， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减. ∴，由，得：， 当时，，则对恒成立， ∴在区间上单调递增，且，所以不符合. 故：的取值范围为. （2）∵， ∴，得：， 若或，则结论显然成立. 当时，， 令，， ，所以为单调递增函数， 则，证：证：，而， 所以等价于证：，即证：， ， 令：， ， 得：在区间上递增，在区间上递减， ∴，因为，所以，所以， 故原不等式得证. 【点睛】关键点点睛：本题考查考查不等式恒成立问题，考查与方程根的不等式的证明．证明不等式时第一个关键点是利用两个变量之间的关系，把问题转化为一个变量，第二个关键点在于等价转化，通过引入函数，利用函数的单调性进行转化．最终转化为研究函数的性质即可证．同时注意问题的转化，如本题中或时，不等式已经成立，只要证明时即可． 8．（24-25高二上·浙江温州·月考）已知函数有两个不同的零点，其中是自然对数的底数. （1）求实数a的取值范围； （2）求证： （i）； （ii）. 【答案】（1）；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】（1）函数有两个不同的零点，等价于在上有两个不同的实根，记，对函数求导判断单调性，可得实数a的取值范围； （2）（i）将代入方程并参变分离，利用分析法可知，需证明，构造，求导判断单调性与最值即可证明不等式成立； （ii）设，对函数求导判断单调性可得：，由，两式作差可得，利用证得的不等式进行放缩，可得不等式成立． 【详解】（1）函数有两个不同的零点，变量分离得 在上有两个不同的实根，记，则 当时，单调递增； 当时，单调递减. 且时，；时， 故. （2）（i）因为是的两根，由（1）可知，且(只涉及变量，故只用)，所以 要证 构造函数，则，在上递减 所以，原不等式成立. （ii）解析1：放缩 设，则恒成立， 在单调递增，，即 由，可得，从而，则，要证明：，只需证，，证毕! 解析2：对数平均不等式 由对数平均不等式，所以，由（i）可知， 所以，从而，即，只需证：， 下同解法1. 【点睛】方法点睛：本题考查导数研究函数的单调性与零点问题，考查导数证明不等式，设函数在上连续，在上可导，则： 1.若，则在上单调递增； 2.若，则在上单调递减． 地 城 考点09 极值点偏移问题 一、填空题 1．（24-25高二上·浙江·期末）设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若区间上．则称函数在区间上为“凹函数”，已知在上为“凹函数”则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】求得，根据“凹函数”的定义得出在恒成立，即可根据的单调性求出. 【详解】由题可得，则， 在上为“凹函数”，， ， 在上单调递增，， ，即m的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题的关键是清楚“凹函数”的定义，将题转化为在恒成立. 2．（24-25高二上·浙江宁波·期末）我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是， 运用此方法可以求得函数在(1,1)处的切线方程是 . 【答案】 【分析】函数式两边取自然对数，然后由复合函数的求导法则求导，令得出切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】，，两边对求导，，， ，，切线方程为，即． 故答案为：． 二、解答题 3．（24-25高二上·浙江宁波·期末）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度．考察如图所示的光滑曲线C：上的曲线段，其弧长为，当动点从A沿曲线段运动到B点时，A点的切线也随着转动到B点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）．显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当B越接近A，即越小，K就越能精确刻画曲线C在点A处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线C在点A处的曲率．（其中y＇，y＇＇分别表示在点A处的一阶、二阶导数） (1)求单位圆上圆心角为60°的圆弧的平均曲率； (2)求椭圆在处的曲率； (3)定义为曲线的“柯西曲率”．已知在曲线上存在两点和，且P，Q处的“柯西曲率”相同，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）依据所给定义求解即可. （2）直接利用定义求解即可. （3）合理构造给定式子，转化为一元函数，结合高观点极限方法求解即可. 【详解】（1）． （2），，， 故，，故． （3），，故，其中， 令，，则，则，其中（不妨） 令，在递减，在递增，故； 令， ，令， 则，当时，恒成立，故在上单调递增， 可得，即， 故有， 则在递增， 又，，故， 故． 【点睛】关键点点睛：本题考查求导数新定义，解题关键是将给定式子合理转化为一元函数，然后利用极限方法求得关键函数值域，最终即可求解． 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知函数． (1)若是的极值点，求a的值； (2)当时，求证：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）求导后，利用求出结果；（2）二次求导，先研究一阶导函数的单调性，再研究的单调性，结合隐零点，极值点之间的关系，进行证明. 【详解】（1）函数的定义域为，，由题意得：，解得：，经验证符合要求. （2）证明：函数的定义域为，，，令得：，令得：，即在上单调递减，在上单调递增，且，当时，恒成立，故存在，使得，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 因为，所以， 令（），，令得：，令得：，所以，所以，则， 故存在，，使得恰有两个零点， 接下来证明：， 因为，，消去得：，其中，所以，而，所以，故，证毕； 接下来证明：，即，因为在上单调递增，所以只需证，即①，因为，即，代入①中得：，即：，显然成立，结论得证； 综上：恰有两个零点，，且（其中是的极值点）. 【点睛】处理隐零点的问题，要充分考虑零点所在的区间范围，与关键点的大小关系，结合函数的单调性解决问题，有时候需要构造新的函数，或者消去某些变量，化为单变量解决问题. 5．（24-25高二下·浙江杭州·期末）设函数定义在区间I上，若对任意，有，则称为I上的下凸函数，等号成立当且仅当．若函数在区间I上存在二阶可导函数，则为区间I上的下凸函数的充要条件是． (1)若是上的下凸函数，求实数a的取值范围； (2)在锐角三角形中，求最大值； (3)已知正实数满足，求的最小值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）由题意可得在 上恒成立，利用函数的单调性，求出函数在 上的最小值，即可得答案； （2）令，可得函数在上是下凸函数，由下凸函数的定义求解即可； （3）由题意可得，令，可得在上是下凸函数，结合下凸函数的定义及对数函数的性质求解即可. 【详解】（1）解：因为是上的下凸函数， 所以在 上恒成立， 即在 上恒成立， 所以在 上恒成立， 又因为在 上单调递减， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）解：令， 则， 所以在上是下凸函数， 又因为， 所以， 即， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为； （3）解：因为正实数满足， 所以， 令， 则， 因为，所以 所以， 即 所以在上是下凸函数， 所以， 即， 即， 所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是从两个角度理解下凸函数的定义及第（3）问中构造函数. 6．（24-25高二上·浙江丽水·期末）牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值；一直继续下去，得到.一般地，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值，称数列为牛顿数列. (1)若函数的零点为.求的2次近似值； (2)设是函数的两个零点，数列为函数的牛顿数列，数列满足. （i）求证：数列为等比数列； （ii）证明：. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程，进而可得，即可得结果； （2）（i）根据导数的几何意义求切线方程，可得，根据韦达定理可得，即可得结果；（ii）放缩可得，根据等比数列求和公式分析证明. 【详解】（1）因为，则， 可得，， 曲线在处的切线为， 令，得，则，， 曲线在处的的切线为， 令，得， 所以的2次近似值为. （2）（i）因为，则， 可得，， 过点作曲线的切线， 令，得， 则， 又因为是函数的两个零点，则， 且，则， 可得， 则，故数列为等比数列； （ii）记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以，即， 由题意可得：，记，则， 由，可得：，即，即， 所以. 【点睛】关键点点睛：第一问解题的关键在于结合导数的几何意义求出切线方程，根据新定义求解即可；第二问解决的关键在于结合所给结论，通过适当放缩，证明结论. 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $