1.2 空间向量基本定理-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，前承平面向量基本定理（二维基底生成平面向量），通过类比推广至三维基底生成空间向量，后接基底判断、向量表示及立体几何平行垂直证明等应用，构建“引入-探究-应用”的学习支架。 资料以老子名言类比引入渗透数学文化，结合长方体等模型培养直观想象，通过基底判断的方程求解、向量表示的步骤化训练提升数学运算能力。课中例题变式助力分层教学，课后练习题与迁移运用帮助学生巩固知识，查漏补缺。

1．2　空间向量基本定理　　　　　► 对应学生用书P15 学习目标　1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.会用基底表示空间向量，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法，以提升数学运算能力．(重点、难点) “道生一，一生二，二生三，三生万物．”这句话出自老子《道德经》，它表示“道”生万物从少到多，从简单到复杂的一个过程，联系到我们学过的平面向量基本定理，可以概括为给出一个二维的基底，可以生成平面中所有的向量． 问题1　 类比二维空间，推广到三维空间为给出一个三维的基底，是否可以生成空间中的所有向量？ 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P12，回答一下：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗？不同基底下，同一个向量的表达式都相同吗？ 提示：基底选定后，空间中的所有向量均可由该基底唯一表示，不同基底下，同一个向量的表达式也有可能不同． (2)请认真阅读教材P12～13，回答一下：空间向量的正交基底与空间向量基本定理中描述的基底有什么关系？ 提示：正交基底是一个特殊的基底，三个基向量两两垂直． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)零向量可以作为基向量．(　　 ) (2)一个基底就是一个基向量．(　　 ) (3)单位正交基底中每一个基向量都是单位向量．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√ 　 空间向量基本定理 问题2　如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝，p能否用i，j，k表示呢？ 提示：如图，设为在i，j所确定的平面上的投影向量，则. 又向量，k共线，因此存在唯一的实数z，使得＝zk，从而＋zk. 在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xi＋yj.从而＋zk＝xi＋yj＋zk. 一、空间向量基本定理 1．定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc． 2．基底：{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底：空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{i，j，k}表示． 2．正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量． 温馨提示 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示． (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量． (3)若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量． 　　　　　　　　　 角度一　 基底的判断 例1　(链接教材：人A版教材P12练习T1)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋e2－e3，则{}________(填“能”或“不能”)作为空间的一个基底. 解析：设，则e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)，即e1＋2e2－e3＝(y－3x)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3， 所以此方程组无解， 即不存在实数x，y使得， 所以不共面，所以{}能作为空间的一个基底． 答案：能 类题通法 　 基底判断的关注点 1．基本思路：判断三个空间向量是否共面． 2．常用方法： (1)若向量中存在零向量，则不能作为基底；若存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底； (2)依托长方体，用从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，构造所需向量，判断它们是否共面． (3)假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以作为空间的一个基底的有(　　 ) A．{a，b，x} B．{x，y，z} C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c} 解析：选BCD.A不可以，因为x＝a＋b，所以a，b，x共面，所以{a，b，x}不可以作为空间的一个基底； B可以，因为x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，如图所示，所以x，y，z不共面，所以{x，y，z}可以作为空间的一个基底； C可以，因为b，c，z不共面，所以{b，c，z}可以作为空间的一个基底； D可以，假设x，y，a＋b＋c共面，则存在实数λ，μ，使得a＋b＋c＝λx＋μy＝λa＋(λ＋μ)b＋μc，所以此方程组无解，所以不存在实数λ，μ，使得x，y，a＋b＋c共面，所以{x，y，a＋b＋c}可以作为空间的一个基底． 角度二　 用基底表示空间向量 例2　(链接教材：人A版教材P12例1)如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q是CA1上的点，且CQ∶QA1＝4∶1，＝c，用基底{a，b，c}表示以下向量： (1)；(2)；(3)；(4). 解：连接AC，AC1，AD1(图略)． (1)＝＝(a＋b＋c)＝． (2)＝(a＋2b＋c)＝． (3)＋]＝＋b＋c. (4)． 变式探究　1.(变条件)如果把本例中要表示的向量改为，怎样解答呢？ 解：＝a＋b－c. ＝(－a＋c)＝－． ． 2．(变条件)如果把本例中基底换为{}，要表示的向量改为a，b，c，怎样解答呢？ 解：＝b＋c， 则a＋b＋c＝. a＝. b＝. c＝. 类题通法 用基底表示向量的策略 (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； (2)若没给定基底，先选择基底，原则有二：一是使所选的基向量能方便地表示其他向量，二是基向量的模及其夹角已知或易求. 　空间向量基本定理的应用 问题3　 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是什么？ 提示：存在实数λ，使a＝λb. 问题4　 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是什么呢？ 提示：存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 向量法解决长度、平行、垂直及夹角问题的一般步骤 (1)设出基向量； (2)用基向量表示出直线的方向向量； (3)用|a|＝求长度，用cos θ＝求夹角； (4)a＝λb⇔a∥b(b≠0)，a·b＝0⇔a⊥b(a，b为非零向量)，由此证明两直线平行、垂直． 角度一　证明平行、共面 例3　(链接教材：人A版教材P13例3)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD. 证明：方法一：＝， 所以∥， 又MN⊄平面A1BD，所以MN∥平面A1BD. 方法二：－＝. 即可用与线性表示， 故与是共面向量， 又MN⊄平面A1BD，故MN∥平面A1BD. 类题通法 　 证明平行、共面问题的思路 (1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或直线平行； (2)利用空间向量基本定理证明点线共面或线面平行. 　 【迁移运用】 2.如图，已知正方体ABCD­A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点．求证：BF∥ED′. 证明：，所以，所以∥， 因为直线BF与ED′没有公共点，所以BF∥ED′. 角度二　证明垂直 例4　(链接教材：人A版教材P13例2)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，BD的中点，点G在棱CD上，且CG＝CD. (1)证明：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值． 解：(1)证明：设＝k， 则{i，j，k}构成空间的一个正交基底． ∴＝－i－k， ∴·(－i－k)＝2＝0， ∴⊥，即EF⊥B1C. (2)∵， ∴2＝3，即， ＝2＝4＋，即， ∴cos 〈〉＝， 即EF与C1G所成角的余弦值为. 变式探究　1.(变结论)若本例条件不变，证明：EF⊥平面AB1C. 证明：设＝k， ∵＝j－i， ∴i2＝0， ∴⊥，即EF⊥AC. 又EF⊥B1C.∴EF⊥平面AB1C. 2．(变结论)若本例条件不变，M为A1B的中点，证明：MF∥B1C. 证明：设＝k， 则＝－i－k， ＝－＝－＝－(－i－k)＝， 所以∥， 又MF，B1C无公共点，所以MF∥B1C. 类题通法 　 求夹角、证明线线垂直的方法 利用数量积定义可得cos 〈a，b〉＝，求〈a，b〉的大小，进而求得线线角，两直线垂直可作为求夹角的特殊情况. 1．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝，向量b＝，则与a，b不能构成空间基底的向量是(　　 ) A． B． C． D．或 解析：选C.∵且a，b不共线，∴a，b，共面，∴与a，b不能构成一组空间基底． 2．在正四面体P­ABC中，M是PA上的点，且PM＝2MA，N是BC的中点，若，则x＋y＋z的值为________． 解析：如图所示， ＝－. 由空间向量基本定理得x＝－，故x＋y＋z＝. 答案： 3．已知a，b是异面直线，点A，B∈a，点C，D∈b，AC⊥a，BD⊥a，且AB＝1，CD＝，则a，b所成的角为________． 解析：∵， ∴·＝＝1， ∴cos 〈〉＝， ∴异面直线a，b所成的角为45°. 答案：45° 4．如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AD＝AA1＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，则线段AC1的长度是________． 解析：设＝c， 则{a，b，c}构成空间的一个基底， ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋1＋2×1×1×＝2，∴AC1＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $