专题突破(四) 抛物线焦点弦性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

1．抛物线的焦点弦的性质 设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1·x2＝，y1·y2＝－p2. (2)焦半径与过焦点的弦： |AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋， 若α(α≠0°)是直线AB的倾斜角，则|AF|＝，|BF|＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝. 特别地，当AB⊥x轴时，线段AB叫做抛物线的通径，|AB|＝2p，通径是过焦点的弦中最短的． (3)＋＝为定值． (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． (5)S△AOB＝. 运用这些性质可以减少运算，使解决问题变得更加快捷． 2．抛物线中的特殊直角三角形 (1)如图1，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别是A1，B1，则∠A1FB1＝90°. (2)如图2，过A，B分别向准线作垂线，垂足分别是A1，B1，取A1B1的中点K，则∠AKB＝90°. (3)如图3，过准线上任意一点E作抛物线的两条切线，切点分别是C，D，则∠CED＝90°，且直线CD过焦点F. 考向一　x1·x2＝，y1·y2＝－p2的应用 经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A，B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D．求证：直线DB平行于抛物线的对称轴． 证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.设抛物线的方程为y2＝2px(p>0), 设A(x1，y1)， B(x2，y2)，D，y1y2≠0，因为∥，所以x1y0＝－ y1， 因为点A在抛物线y2＝2px(p>0)上， 所以y＝2px1，得y0＝－， 又因为x1x2＝，y1y2＝－p2， 所以y2＝－， 所以点B的纵坐标为－，与点D的纵坐标相等，于是DB平行于x轴． 类题通法 (1)过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过B作抛物线对称轴的平行线交准线于D，则A，O，D三点共线． (2)过准线上任意一点D，连接DO交抛物线于A，过D作抛物线对称轴的平行线交抛物线于B，则A，F，B三点共线. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，准线l与y轴的交点为D，过点F的直线m与抛物线C交于A，B两点，点O为坐标原点，则∠AOB是(　　 ) A．直角　　　　　B．锐角 C．钝角　　　　　D．与点A，B位置有关 解析：选C．方法一　抛物线C的焦点F的坐标为(0，1)，由题意分析可知，直线m的斜率一定存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线m的方程为y＝kx＋1，与抛物线C：x2＝4y联立，得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋·＝－4＋1＝－3<0，所以∠AOB为钝角． 方法二　抛物线焦点在y轴上，则x1x2＝－p2＝－4，y1y2＝＝1，则·＝x1x2＋y1y2＝－4＋1＝－3<0，故∠AOB为钝角． 考向二　|AB|＝x1＋x2＋p＝＝2p(1＋)的应用 过点M(1，0)作直线l与抛物线y2＝4x交于A，B两点，当直线l的斜率为1时，|AB|＝________． 解析：法一　直线l为y＝x－1， 由得x2－6x＋1＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝6， ∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8. 法二　由过焦点M(1，0)的弦长|AB|＝，直线斜率为1，则sinα＝，∴|AB|＝＝8. 法三　∵直线的斜率为1，∴|AB|＝2p＝4×＝8. 答案：8 名师点睛 利用|AB|＝x1＋x2＋p＝＝2p(1＋)(α是直线AB的倾斜角，α≠0°)求解焦点弦的长度问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.(1)经过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，倾斜角为30°的直线l与C交于A，B两点．若线段AB的中点M的横坐标为7，那么p＝___________. 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∵AB的中点M的横坐标为7，∴x1＋x2＝14， ∴14＋p＝，∴p＝2. 答案：2 (2)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的方程． 解：依题意可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，则直线方程为y＝－x＋. 设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点， 则|AB|＝，即＝8，得p＝2， 故所求的抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p>0)时，同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，抛物线方程为y2＝±4x. 考向三　＋＝的应用 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点，且|AF|－|BF|＝，则＝________． 解析：因为＋＝＝1，所以|AF|＋|BF|＝|AF||BF|. 又因为|AF|－|BF|＝，所以2|BF|2－|BF|－3＝0，解得|BF|＝， 所以|AF|＝3，所以＝2. 答案：2 名师点睛 将求弦长问题通过焦半径与p之间的关系，转化为焦半径问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C．若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　 ) A．5 B．6 C． D． 解析：选C．如图，过点A作AD⊥l，|AD|＝|AF|＝|AC|＝4，|OF|＝＝4×＝1，所以p＝2， 因为＋＝，|AF|＝4， 所以|BF|＝， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝. 考向四　以弦AB为直径的圆与准线相切的应用 求证：以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：如图，作AA′⊥l于点A′，BB′⊥l于点B′，M为AB的中点，作MM′⊥l于点M′， 则由抛物线定义可知|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|， 在直角梯形BB′A′A中，|MM′|＝(|AA′|＋|BB′| )＝(|AF|＋|BF| )＝|AB|， 即|MM′|等于以AB为直径的圆的半径． 故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切． 名师点睛 取弦的中点，利用中点到准线的距离等于弦长的一半. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 4.过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，以AB为直径的圆与准线l的公共点为M.若∠AMF＝60°，则∠MFO的大小为(　　 ) A．15° B．30° C．45° D．不确定 解析：选B．如图，取AB的中点G，连接MG， 则以AB为直径的圆与准线l切于点M， 根据抛物线性质，MG∥x轴，且MF⊥AB， ∵∠AMF＝60°， ∴∠GAM＝∠GMA＝30°， ∴∠MFO＝∠GMF＝30°. 1．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若A，B中点为M(x0，y0)，|AB|＝18，则x0＝(　　 ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：选B．由|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋6＝18，得x1＋x2＝12，则x0＝6. 2．已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(1，0)，过F的直线l与C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列直线与以AB为直径的圆相切的是(　　 ) A．y轴 B．x＝－1 C．x＝－2 D．不存在 解析：选B．抛物线焦点为F(1，0)，即＝1，p＝2，故抛物线C：y2＝4x，准线方程为x＝－1，由焦点弦性质知，以弦AB为直径的圆与准线相切． 3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点．若x1＋x2＝10，则弦AB的长度为(　　 ) A．16 B．14 C．12 D．10 解析：选C．由题知抛物线的焦点为F(1，0)，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝10＋2＝12. 4．已知抛物线y＝2x2的焦点为F，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点．若直线MN过点F，则x1x2等于(　　 ) A．－ B．－ C．－1 D．－2 解析：选B．方法一　依题意，直线MN斜率存在，设其方程为y＝kx＋， 由消去y整理得x2－kx－＝0， ∴x1x2＝－. 方法二　y＝2x2即x2＝y， 由抛物线焦点弦的性质知，x1x2＝－p2＝－. 5．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，则线段AB的长为________． 解析：y2＝4x的焦点F(1，0)，直线l的方程为y＝x－1，代入抛物线方程可得x2－6x＋1＝0，所以|AB|＝6＋p＝8. 答案：8 学科网（北京）股份有限公司 $