专题一：匀变速直线运动四大应用模型 讲义-2026届高三物理一轮复习

该高中物理高考复习资料聚焦匀变速直线运动核心考点，按“基础规律—三大推论—四大应用模型”逻辑架构，整合课本知识与模型应用，通过考点梳理、例题精讲、方法总结等环节，帮助学生系统掌握运动规律及解题方法，提升复习针对性。 资料以模型建构和科学思维为核心，通过汽车刹车、舰载机起降等真实情境例题，引导学生掌握推论应用、逆向思维等解题策略。设置基础到综合的分层例题，配合规律总结与易错点提示，有效培养学生运动观念和问题解决能力，为教师把控复习节奏提供清晰框架。

专题一 匀变速直线运动的四大应用模型 目录 一、课本基础知识总结：匀变速直线运动的基本规律 1 二、三大推论的应用...................................................................................................................................................................2 三、初速度为零的匀变速直线运动的规律的应用 5 四、自由落体运动和竖直上抛运动规律的应用.................................................................................................................7 五、类竖直上抛运动规律的应用 10 一、课本基础知识总结：匀变速直线运动的基本规律 1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动． 2.分类： 3．速度与时间的关系式：v＝v0＋at. 4．位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2. 5．位移与速度的关系式：v2－v＝2ax. 注意：对于参量v₀、a、t、v和x，必须知道五个参量中任意三个参量，才能求解剩下的两个参量。实际解题时，根据题目中提供的三个参量，选择合适的公式求解剩下的两个参量。 【例1】一辆汽车以36km/h的速度在平直公路上匀速行驶，从某时刻起，它以0.6m/s2的加速度加速，10s末因故突然紧急刹车，随后汽车停了下来。刹车时做匀减速运动的加速度大小是6m/s2 。 （1）汽车在10s末的速度是多少？ （2）汽车从刹车到停下来用了多长时间？ 【例2】航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？ 【例3】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时屏幕显示的动车速度是126 km/h如图所示。动车又前进了3个里程碑时，速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？ 二、模型应用 模型一：三大推论的应用 推论一： 1.内容： (1)做匀变速直线运动的质点，在任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移差相等， 即 (2)变式: 2.推论成立的条件 (1)质点做匀变速直线运动. (2)每段运动的时间相等且连续. 3.推论的应用 该推论常应用于选择题与实验题，在解答实验题时，一般根据实验打出的纸带来判断物体的运动状态，求解物体运动的加速度大小，具体内容将在后面实验专题中讲解. 【例4】 一质点做匀加速直线运动，其速度变化△v时发生的位移为x₁，紧接着速度同样变化△v时发生的位移为x₂，求该质点的加速度大小. 推论二：平均速度等于中间时刻速度 1.证明：平均速度等于中间时刻速度 物体做匀变速直线运动，初速度为 v₁，t 时刻的速度为v₂，证明平均速度等于中间时刻的瞬时速度. 证明：利用运动图像辅助理解。假设物体做匀加速直线运动，图甲为物体的运动图像，图像的纵截距表示物体的初速度大小；图像的斜率大小表示物体运动的瞬时加速度大小；图像与横轴围成的面积表示物体在该段时间内运动的位移.若图乙中的阴影部分面积与图丙中的阴影部分面积相等，则图丙中的纵坐标为该段时间的平均速度. 由数学关系知 位移与平均速度关系： 【例5】 (多选)做匀加速直线运动的质点，在第5s 末的速度为10m/s,则( ). A.前10s内位移一定是100m B.前10s内位移不一定是100m C.加速度一定是2m/s² D.加速度不一定是 【例6】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移△x所用的时间为t₁，紧接着通过下一段位移△x所用的时间为t₂，求物体运动的加速度大小. 【例7】一物体做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，在第1个3s 内运动的位移为24 m,在第2个4s 内运动的位移为64m,求物体的加速度大小. 【例8】 一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长度，如图所示.已知曝光时间为 重力加速度为 求小石子的释放点距A点的距离. 【例9】静止于水平地面的一物体在水平拉力作用下开始做匀加速直线运动，物体在运动过程中，从刚运动时开始计时，求第5个7s内的位移与第11个3s内的位移比. 【例10】水平地面上的一物体在水平拉力作用下做匀加速直线运动，加速度的大小为4m /s²,初速度为3 m/s,运动时间为5s ,求物体的位移大小. 推论三： 且 恒成立 证明：（1）利用运动图像加以辅助理解. 由图甲可知， 内发生的位移小于 内发生的位移，故物体运动到中间位置的时间大于 ，如图乙所示，故中间时刻的速度小于位移中点的速度.同理，物体做匀减速运动时，上述结论仍成立，即 恒成立. （2） 由运动学公式知前半段位移： 后半段位移： 联立解得 【例11】滑板爱好者由静止开始沿一斜坡顶端匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为 v，求滑板爱好者到达斜坡底端时的速度大小. 【例12】一列火车一直做匀加速直线运动，火车总长度为L，车头经过一路标时的速度v₁，车尾经过同一路标时的速度为 v₂，求： (1)火车的加速度大小； (2)火车中点经过路标时的速度大小； (3)整列火车经过路标所用的时间. 模型二：初速度为零的匀变速直线运动的规律的应用 1.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要规律 (1)T末、2T末、3T末……nT 末的瞬时速度之比为 2:3:…: n. (2)前 T 内、前2T 内、前3T 内……前 nT 内的位移之比为 (3)第1个T内、第2个T 内、第3个T内……第n个T 内的位移之比为 (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 2.逆向思维 使用情况：物体做末速度为0的匀减速直线运动. 求解时可将该运动过程等效看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动，此时的运动规律同样适用. 【例 13】一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2m，那么它在第三段时间内的位移是( ). A.1.2m B.3.6m C.6.0m D.10.8m 【例 14】 观测者站在与第一节车厢前端平齐的站台上，火车由静止开始做匀加速直线运动，第一节车厢经过他的时间为4s ，全部车厢经过他的时间为20s，求： (1)车厢的节数； (2)第5节车厢到第16节车厢全部经过他的时间. 【例 15】(多选)如图所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5…所示的小球运动过程中每次曝光的位置.连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，不计空气阻力，下列判断正确的是( ). A.位置“1”是小球释放的初始位置 B.小球做匀加速直线运动 C.小球下落的加速度为 D.小球在位置“3”时的速度为 【例 16】 一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零.设斜面全长为L，滑块通过最初 L 所需时间为t，则滑块从斜面底端到顶端所用的时间为( ). A. B. C. D.2t 【例 17】(多选)如图所示，一冰壶以初速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则关于冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比，下列说法正确的是( ). 【例 18】 一物体以一定的初速度在水平地面上匀减速滑动.若已知物体在第1s内的位移为8.0m,在第3s内的位移为0.5m,则下列说法正确的是(). A.物体的加速度大小一定为3.75 m/s² B.物体的加速度大小可能为3.75 m/s² C.物体在第0.5s末速度一定为8.0m/s D.物体在第2.5s 末速度一定为0.5m /s 模型三、自由落体运动与竖直上抛运动规律的应用 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 一、自由落体运动 1、内容：物体只在重力作用下由静止开始自由下落的运动，叫做自由落体运动。 2、本质：自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀变速直线运动。 3、公式： 匀变速直线运动的三大推论与初速度为零的匀变速直线运动的四个运动规律同样适用。 【例 19】 从楼顶上落下一个铅球(看成质点)，它通过高为h=1m的窗户所用的时间△t=0.1s,取g=10m/s²,求楼顶到窗户下边沿的高度H。 【例20】 如图所示，长为L=5m的一木杆AB 自然下垂，悬挂在天花板上，剪断绳子后，木板做自由落体运动，取g=10m/s²,求木杆全部通过距A 点下方hAc=25 m处的C点(图中未画出)所经历的时间. 【例 21】如图所示，木杆长5m ，上端固定在某一点，由静止释放后让它做自由落体运动.木杆通过悬点正下方2 0 m处的圆筒AB，圆筒AB 长为5m,取 求： (1)木杆经过圆筒的上端A 所用的时间t₁是多少? (2)木杆通过圆筒AB 所用的时间t₂是多少? 二、竖直上抛运动 1、定义：物体只在重力的作用下，以一定的速度v0竖直向上抛出的运动。 2、本质：竖直上抛运动是初速度竖直向上、加速度为g 的匀变速直线运动，所有匀变速直线运动的规律均适用。 3、规律：(1)速度公式：v＝v0－gt. (2)位移公式：h＝v0t－gt2. (3)速度—位移关系式：v2－v＝－2gh. (4)上升的最大高度：h＝. (5)上升到最大高度用时：t＝. 4、对竖直上抛的深刻理解 （1）等效法 上抛过程：利用逆向思维，看成自由落体运动的逆过程。 下落过程：自由落体运动。 （2）对称性 速度对称：上升与下降过程中经过同一位置时的速度大小相等，方向相反 时间对称：从某一位置上升到最高点与从最高点下降到该位置的时间相等 （3）解题技巧 分段法：上升阶段和下降阶段分开求解。 整体法：由于整个竖直上抛过程是匀变速直线运动，因此可直接利用公式求解，注意矢量性 图像法：利用运动图像求解 【例22】 一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点 a 的时间间隔是 Ta，两次经过一个较高点b 的时间间隔是 Tb，重力加速度为g，求a、b之间的距离. 【例 23】 小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速度为6 m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰，取 第一个小球在抛出点以上能遇到的小球的数量为(). A.三个 B.四个 C.五个 D.六个 【例 24】在地面上以初速度2v。竖直上抛一物体A 后，又以初速度v₀在同一地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，已知重力加速度为 g，则两物体抛出的时间间隔△t必须满足的条件是(不计空气阻力)( ). 【例 25】 如图所示，地面上竖直放置一长为L 的空心钢管，钢管正上方某一高度处固定一小球，小球的直径小于空心钢管的直径，某时刻将小球由静止释放，同时给钢管一竖直向上的初速度 v₀，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球穿过钢管的时间.(设小球可在空中完全穿过钢管) 模型四、类竖直上抛运动规律的应用 模型举例：若小球以某一初速度沿光滑斜面上滑，上滑到最高点后，仍能以相同的加速度匀加速下滑，则小球在全过程中的加速度大小、方向均不变，运动性质与竖直上抛完全相同，可将小球的运动看成类竖直上抛运动. 【例 26】(多选)一物体以5m /s的初速度沿光滑斜面向上做匀减速运动，其加速度大小为2m /s²，设斜面足够长，经过t 时间物体位移的大小为4m，则时间t可能为( ). A.1s B.3s C.4s 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一 匀变速直线运动的四大应用模型 目录 一、课本基础知识总结：匀变速直线运动的基本规律 3 二、三大推论的应用...................................................................................................................................................................8 三、初速度为零的匀变速直线运动的规律的应用 11 四、自由落体运动和竖直上抛运动规律的应用...............................................................................................................15 五、类竖直上抛运动规律的应用 16 一、课本基础知识总结：匀变速直线运动的基本规律 1.定义：沿着一条直线，且加速度不变的运动． 2.分类： 3．速度与时间的关系式：v＝v0＋at. 4．位移与时间的关系式：x＝v0t＋at2. 5．位移与速度的关系式：v2－v＝2ax. 注意：对于参量v₀、a、t、v和x，必须知道五个参量中任意三个参量，才能求解剩下的两个参量。实际解题时，根据题目中提供的三个参量，选择合适的公式求解剩下的两个参量。 【例1】一辆汽车以36km/h的速度在平直公路上匀速行驶，从某时刻起，它以0.6m/s2的加速度加速，10s末因故突然紧急刹车，随后汽车停了下来。刹车时做匀减速运动的加速度大小是6m/s2 。 （1）汽车在10s末的速度是多少？ （2）汽车从刹车到停下来用了多长时间？ 【解析】设以汽车运动的匀速行驶的方向为正方向。 （1）初速度 v0＝36 km/h ＝10 m/s，加速度 a1＝0.6 m/s2 ，时间 t1＝10 s 根据速度时间方程v＝v0＋at得： v1 ＝v0＋a1t1 ＝10 m/s＋0.6 m/s2 ×10 s＝16 m/s （2）汽车从第 10 s 末开始做匀减速直线运动 已知：v1＝16 m/s，末速度 v2 ＝0，加速度 a＝－6 m/s 2 。 根据速度时间方程v＝v0＋at得： 【例2】航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？ 【解析】（1）根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式得： （2）沿飞机滑行方向建立一维坐标系如图所示，飞机初速度 v0 ＝80 m/s，末速度v＝0，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式得： 加速度为负值表示方向与初速度方向相反； 再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有 【例3】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时屏幕显示的动车速度是126 km/h如图所示。动车又前进了3个里程碑时，速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？ 【解析】沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3000m 的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。 设在前一过程中的末位置为 M 点。初速度 v0 ＝126 km/h＝35 m/s，末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移 x1 ＝ 3000m。对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有: 二、模型应用 模型一：三大推论的应用 推论一： 1.内容： (1)做匀变速直线运动的质点，在任意两个连续相等的时间间隔T 内的位移差相等， 即 (2)变式: 2.推论成立的条件 (1)质点做匀变速直线运动. (2)每段运动的时间相等且连续. 3.推论的应用 该推论常应用于选择题与实验题，在解答实验题时，一般根据实验打出的纸带来判断物体的运动状态，求解物体运动的加速度大小，具体内容将在后面实验专题中讲解. 【例4】 一质点做匀加速直线运动，其速度变化△v时发生的位移为x₁，紧接着速度同样变化△v时发生的位移为x₂，求该质点的加速度大小. 【解析】由加速度公式知速度的变化量相同，即对应的时间也相同，满足推论的使用条件，即 解得 推论二：平均速度等于中间时刻速度 1.证明：平均速度等于中间时刻速度 物体做匀变速直线运动，初速度为 v₁，t 时刻的速度为v₂，证明平均速度等于中间时刻的瞬时速度. 证明：利用运动图像辅助理解。假设物体做匀加速直线运动，图甲为物体的运动图像，图像的纵截距表示物体的初速度大小；图像的斜率大小表示物体运动的瞬时加速度大小；图像与横轴围成的面积表示物体在该段时间内运动的位移.若图乙中的阴影部分面积与图丙中的阴影部分面积相等，则图丙中的纵坐标为该段时间的平均速度. 由数学关系知 位移与平均速度关系： 【例5】 (多选)做匀加速直线运动的质点，在第5s 末的速度为10m/s,则( ). A.前10s内位移一定是100m B.前10s内位移不一定是100m C.加速度一定是2m/s² D.加速度不一定是 【解析】AD已知质点在前10s内一直做匀加速直线运动，由“推论二”可知，前10s内的平均速度等于5s 末的瞬时速度，为10m/s，前10s内的位移为 100m,故 A 正确,B错误；已知质点在第5s 末的速度为瞬时速度，因为初速度未知，所以无法确定其加速度大小，故C错误，D正确. 【例6】一物体做匀加速直线运动，通过一段位移△x所用的时间为t₁，紧接着通过下一段位移△x所用的时间为t₂，求物体运动的加速度大小. 【解析】如图所示的为物体运动的时间轴，第一段时间为t₁，第二段时间为t₂，第一段时间的中间时刻为 时刻，第二段时间的中间时刻为 时刻，由图可知，两中间时刻的时间差 第一段位移△x 的中间时刻的速度 第二段位移△x的中间时刻的速度 则加速度大小为 【例7】一物体做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，在第1个3s 内运动的位移为24 m,在第2个4s 内运动的位移为64m,求物体的加速度大小. 【解析】物体运动的时间轴如图所示，第1个3s的中间时刻为第1.5s 末，第1.5s 末的速度 第2个4s的中间时刻为第6s末，第6s末的速度 则物体的加速度大小为 【例8】 一个小石子从离地某一高度处由静止自由落下，某摄影爱好者恰好拍到了它下落的一段轨迹AB.该爱好者用直尺量出轨迹的长度，如图所示.已知曝光时间为 重力加速度为 求小石子的释放点距A点的距离. 【解析】根据标尺的数据，在 内，石子的位移为2cm. AB 段的平均速度为 又平均速度等于中间时刻速度， 则 从初始时刻到AB段中间时刻的时间差为 到达A点的时间 则A 点距上端的距离 【例9】静止于水平地面的一物体在水平拉力作用下开始做匀加速直线运动，物体在运动过程中，从刚运动时开始计时，求第5个7s内的位移与第11个3s内的位移比. 【解析】本题若用运动学公式计算，虽可以解答，但比较烦琐，推荐利用平均速度法求解. 解法一：利用运动学公式，设加速度为a. 第5个7s内的位移为 第11个3s内的位移为 故 解法二：利用平均速度法. 第5个7s的中间时刻为第31.5s末，第11个3s的中间时刻为第31.5s 末，故两段时间的平均速度相同，设平均速度为 v，则 【例10】水平地面上的一物体在水平拉力作用下做匀加速直线运动，加速度的大小为4m /s²,初速度为3 m/s,运动时间为5s ,求物体的位移大小. 【解析】利用平均速度法. 物体的末速度为 平均速度为 13 m/s, 位移为 推论三： 且 恒成立 证明：（1）利用运动图像加以辅助理解. 由图甲可知， 内发生的位移小于 内发生的位移，故物体运动到中间位置的时间大于 ，如图乙所示，故中间时刻的速度小于位移中点的速度.同理，物体做匀减速运动时，上述结论仍成立，即 恒成立. （2） 由运动学公式知前半段位移： 后半段位移： 联立解得 【例11】滑板爱好者由静止开始沿一斜坡顶端匀加速下滑，经过斜坡中点时的速度为 v，求滑板爱好者到达斜坡底端时的速度大小. 【解析】由匀变速直线运动的中间位置的速度公式得 即 解得 【例12】一列火车一直做匀加速直线运动，火车总长度为L，车头经过一路标时的速度v₁，车尾经过同一路标时的速度为 v₂，求： (1)火车的加速度大小； (2)火车中点经过路标时的速度大小； (3)整列火车经过路标所用的时间. 【解析】(1)研究火车头挡风玻璃上某质点，该质点做匀加速直线运动，经路边一路标时的速度为 v₁，当前进位移为 L 时，质点的速度大小变为v₂. 由匀加速直线运动的规律知 2aL, 解得 (2)质点做匀加速直线运动时，在某一时刻的速度大小为 v₁，当前进位移为 L 时，质点的速度大小变为 v₂，火车中点经过路标的速度大小即为质点运动 时的速度大小. 运动前一半位移 有 运动后一半位移 有 联立解得 (3)火车运动的平均速度 故所用时间 总结 模型二：初速度为零的匀变速直线运动的规律的应用 1.初速度为零的匀加速直线运动的四个重要规律 (1)T末、2T末、3T末……nT 末的瞬时速度之比为 2:3:…: n. (2)前 T 内、前2T 内、前3T 内……前 nT 内的位移之比为 (3)第1个T内、第2个T 内、第3个T内……第n个T 内的位移之比为 (4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 2.逆向思维 使用情况：物体做末速度为0的匀减速直线运动. 求解时可将该运动过程等效看成反向的初速度为零、加速度不变的匀加速直线运动，此时的运动规律同样适用. 【例 13】一石块从楼房阳台边缘向下做自由落体运动到达地面，把它在空中运动的时间分为相等的三段，如果它在第一段时间内的位移是1.2m，那么它在第三段时间内的位移是( ). A.1.2m B.3.6m C.6.0m D.10.8m 【解析】C石块做初速度为零的匀加速直线运动，从静止开始在连续相等时间内的位移之比满足1:3:5:7:…:(2n-1),因此 即 1.2:x₃,解得 故C正确. 【例 14】 观测者站在与第一节车厢前端平齐的站台上，火车由静止开始做匀加速直线运动，第一节车厢经过他的时间为4s ，全部车厢经过他的时间为20s，求： (1)车厢的节数； (2)第5节车厢到第16节车厢全部经过他的时间. 【解析】利用逆向思维进行思考，以车厢为参考系则人相对于火车做初速度为0的匀加速直线运动. (1)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为 设车厢的节数为n，则人通过车厢的总时间为 故车厢的节数为25节. (2)通过前4节车厢的时间 8s，通过前16节车厢的时间 故第5节车厢到第 16节车厢全部经过他的时间 【例 15】(多选)如图所示，小球从竖直砖墙某位置由静止释放，用频闪照相机在同一底片上多次曝光，得到了图中1、2、3、4、5…所示的小球运动过程中每次曝光的位置.连续两次曝光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d.根据图中的信息，不计空气阻力，下列判断正确的是( ). A.位置“1”是小球释放的初始位置 B.小球做匀加速直线运动 C.小球下落的加速度为 D.小球在位置“3”时的速度为 【解析】BCD 由题意可知，小球做自由落体运动，由图可知相邻时间间隔内通过的位移分别为2d、3d、4d、5d,位移比不满足1:3：5···，故位置“1”不是小球释放的初始位置；由位移差 得小球下落的加速度为 对于小球在位置“3”的速度，可以利用“2、4”段的平均速度求解，即 【例 16】 一滑块以某一速度从斜面底端滑到顶端时，其速度恰好减为零.设斜面全长为L，滑块通过最初 L 所需时间为t，则滑块从斜面底端到顶端所用的时间为( ). A. B. C. D.2t 【解析】D将滑块看成初速度是零的匀加速直线运动，将斜面分为长为 L 的四段，利用逆向思维分析，由“规律四”可知，相同位移的时间之比为 ，即最初的 L段运动的时间与最末的 L 段的运动时间相同，即t'=2t. 【例 17】(多选)如图所示，一冰壶以初速度v垂直进入三个矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第三个矩形区域时速度恰好为零，则关于冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比和穿过每个矩形区域所用的时间之比，下列说法正确的是( ). 【解析】BD 因为冰壶做匀减速直线运动直至速度减至零，所以可以利用逆向思维将该运动等效成初速度为零的匀加速直线运动. 初速度为零的匀加速直线运动中连续三段相等位移的时间之比为 则所求时间之比为 故C错误，D正确； 由v=at可得初速度为零的匀加速直线运动中的速度之比为 则所求的速度之比为 故A错误，B正确. 【例 18】 一物体以一定的初速度在水平地面上匀减速滑动.若已知物体在第1s内的位移为8.0m,在第3s内的位移为0.5m,则下列说法正确的是(). A.物体的加速度大小一定为3.75 m/s² B.物体的加速度大小可能为3.75 m/s² C.物体在第0.5s末速度一定为8.0m/s D.物体在第2.5s 末速度一定为0.5m /s 【解析】利用逆向思维与比例法求解。利用逆向思维看成初速度为0的匀加速度直线运动，设第3s内物体运动的时间为t，则在连续相等时间t 内的位移比为1:3:5 :7:9……由于第3s 内与第1s内位移比为1：16，将位移规律的比例式重新组合，使第3s内与第1s内位移比满足1：16. 若将(7+9)相加后作为一个数据，则可以发现1:(7+9)=1:16. 按照这种方式进行组合数据，数据可整理成1:(3+5):(7+9):(11+13)······ 由比例关系知t=0.5s. 第1s内的位移为 设第2s内的位移为x₂. 由比例关系得 解得 由推论知 解得 又0.5s 的速度 8.0m/s,则第2.5s 时的速度为 a×2=0m/s,故C正确 模型三、自由落体运动与竖直上抛运动规律的应用 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 一、自由落体运动 1、内容：物体只在重力作用下由静止开始自由下落的运动，叫做自由落体运动。 2、本质：自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀变速直线运动。 3、公式： 匀变速直线运动的三大推论与初速度为零的匀变速直线运动的四个运动规律同样适用。 【例 19】 从楼顶上落下一个铅球(看成质点)，它通过高为h=1m的窗户所用的时间△t=0.1s,取g=10m/s²,求楼顶到窗户下边沿的高度H。 【解析】经过窗户所用时间的中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度，即 又 铅球从开始下落到速度为v所经历的时间 铅球从开始下落到窗户下边沿所用的时间 所以楼顶距窗户下边沿的高度 H = 【例20】 如图所示，长为L=5m的一木杆AB 自然下垂，悬挂在天花板上，剪断绳子后，木板做自由落体运动，取g=10m/s²,求木杆全部通过距A 点下方hAc=25 m处的C点(图中未画出)所经历的时间. 【解析】由自由落体运动知 设木杆下端从 B 点运动到C 点所用的时间为t₁，则 木杆上端从 A 点运动到C 点所用的时间为t₂，则 经历的时间 故木杆经历的时间为 【例 21】如图所示，木杆长5m ，上端固定在某一点，由静止释放后让它做自由落体运动.木杆通过悬点正下方2 0 m处的圆筒AB，圆筒AB 长为5m,取 求： (1)木杆经过圆筒的上端A 所用的时间t₁是多少? (2)木杆通过圆筒AB 所用的时间t₂是多少? 【解析】(1)木杆由静止开始做自由落体运动，有 木杆的下端到达圆筒上端A 时，下降的高度 运动的时间 木杆的上端到达圆筒上端A 时，下降的高度h上A=20m, 运动的时间 则通过圆筒上端A 所用的时间为 (2)木杆的上端到达圆筒下端B 时，下降的高度h上B=25m, 运动的时间 则木杆通过圆筒所用的时间 二、竖直上抛运动 1、定义：物体只在重力的作用下，以一定的速度v0竖直向上抛出的运动。 2、本质：竖直上抛运动是初速度竖直向上、加速度为g 的匀变速直线运动，所有匀变速直线运动的规律均适用。 3、规律：(1)速度公式：v＝v0－gt. (2)位移公式：h＝v0t－gt2. (3)速度—位移关系式：v2－v＝－2gh. (4)上升的最大高度：h＝. (5)上升到最大高度用时：t＝. 4、对竖直上抛的深刻理解 （1）等效法 上抛过程：利用逆向思维，看成自由落体运动的逆过程。 下落过程：自由落体运动。 （2）对称性 速度对称：上升与下降过程中经过同一位置时的速度大小相等，方向相反 时间对称：从某一位置上升到最高点与从最高点下降到该位置的时间相等 （3）解题技巧 分段法：上升阶段和下降阶段分开求解。 整体法：由于整个竖直上抛过程是匀变速直线运动，因此可直接利用公式求解，注意矢量性 图像法：利用运动图像求解 【例22】 一个从地面竖直上抛的物体，它两次经过一个较低的点 a 的时间间隔是 Ta，两次经过一个较高点b 的时间间隔是 Tb，重力加速度为g，求a、b之间的距离. 【解析】根据时间的对称性，物体从a 点到最高点的时间为Tₐ₂，从b点到最高点的时间为 利用逆向思维，将竖直上抛等效成两段自由落体运动，则 a点到最高点的距离 b点到最高点的距离 故a、b之间的距离为 【例 23】 小球每隔0.2s从同一高度抛出，做初速度为6 m/s的竖直上抛运动，设它们在空中不相碰，取 第一个小球在抛出点以上能遇到的小球的数量为(). A.三个 B.四个 C.五个 D.六个 【解析】C小球竖直上抛再回到初始点，初速度方向向上，末速度方向向下，故速度的变化量为2v₀，则小球在抛点上方运动的时间t= 由于每隔0.2s在抛点抛出一个小球，因此第一个小球在1.2s时间内能遇上小球的数量为 (个),故C正确. 【例 24】在地面上以初速度2v。竖直上抛一物体A 后，又以初速度v₀在同一地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，已知重力加速度为 g，则两物体抛出的时间间隔△t必须满足的条件是(不计空气阻力)( ). 【解析】D依据 作出x-t图像，如图所示，两图线的交点的横坐标表示A、B相遇的时刻，纵坐标对应的位移xA=xB.由图像可直接看出 △t 应满足关系式 故D正确. 【例 25】 如图所示，地面上竖直放置一长为L 的空心钢管，钢管正上方某一高度处固定一小球，小球的直径小于空心钢管的直径，某时刻将小球由静止释放，同时给钢管一竖直向上的初速度 v₀，不计空气阻力，重力加速度为g，求小球穿过钢管的时间.(设小球可在空中完全穿过钢管) 【解析】以地面为参考系，以竖直向下为正方向，可得小球的速度 钢管的速度 以小球为参考系，可得钢管的相对速度 即钢管相对小球向上做匀速运动，则小球穿过钢管的时间 模型四、类竖直上抛运动规律的应用 模型举例：若小球以某一初速度沿光滑斜面上滑，上滑到最高点后，仍能以相同的加速度匀加速下滑，则小球在全过程中的加速度大小、方向均不变，运动性质与竖直上抛完全相同，可将小球的运动看成类竖直上抛运动. 【例 26】(多选)一物体以5m /s的初速度沿光滑斜面向上做匀减速运动，其加速度大小为2m /s²，设斜面足够长，经过t 时间物体位移的大小为4m，则时间t可能为( ). A.1s B.3s C.4s 【解析】ACD以沿斜面向上为正方向，当物体的位移为4m 时，根据 即 解得t=1s或4s. 当物体的位移为-4m时，根据x= 即 解得t= 故 ACD正确. 第 10 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $