1.5 三角函数的应用 同步基础训练 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 同步基础训练 一．选择题 1．如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯AB的长为10m，倾斜角为α，则自动扶梯的垂直高度BC等于（　　） A．10tanα B． C．10sinα D． 2．消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是（　　） A．acosθ+bsinθ B．acosθ+btanθ C． D． 3．如图，为测量一条河的宽度，分别在河岸一边相距a米的A、B两点处，观测对岸的标注物P，测得∠PAB＝α、∠PBA＝β，那么这条河的宽度是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 4．如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为6米．若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（　　） A．6sinα米 B．6cosα米 C．米 D．米 5．如图，D为△ABC边AB上一点，且BD＝2，AD＝1，∠A＝45°，∠CDB＝60°，CE⊥AB于点E，则线段BE的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图．∠ABC＝150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（　　） A．m B．4m C．4m D．8m 7．如图给出了一种机器零件的示意图，其中m＝2米、n＝3米，则AB的长为（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 8．一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知AB＝4m，∠ABC＝α，则房顶A离地面EF的高度为（　　） A．（4+4sinα）m B．（4+4cosα）m C． D． 9．图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝m，∠AOB＝α，则OC2的值为（　　） A．m2sin2α+m2 B．m2cos2α+m2 C． D． 10．如图，一块矩形薄木板ABCD斜靠在墙角MON处（OM⊥ON，点A，B，C，D，O，M，N在同一平面内），已知AB＝m，AD＝n，∠ADO＝α．则点B到ON的距离等于（　　） A．m•cosα+n•cosα B．m•sinα+n•cosα C．m•cosα+n•sinα D．m•sinα+n•sinα 二．填空题 11．有一斜坡的坡度i＝12：5，斜坡上最高点到地面的距离为2.4米，那么这个斜坡的长度为　 　 米． 12．如图是一块四边形空地，该空地面积为　 　 m2． 13．如图，嘉琪想测量一座古塔CD的高度，在A处测得∠CAD＝15°，再往前行进60m到达B处，测得∠CBD＝30°，点A，B，D在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD的高度为 　 　 m． 14．如图，一束光线从点A（m，5）出发，经过y轴上的点B（0，1）反射后经过点C（p，q），入射光线与y轴正方向的夹角为α，且tanα，则pq的值是 　 　 ． 15．如图1是某品牌自行车，图2是其示意图．已知∠ABC＝120°，∠CBR＝15°．AB∥CD，BD＝3DK，AB＝2BC＝12dm，CD＝6.6dm，自行车的坐垫FG∥BR，BR平行地面，CR垂直地面，自行车轮子半径等于5dm，则坐垫FG到地面的距离为 　 　 dm．（结果精确到0.1dm，已知，，） 三．解答题 16．如图，已知山坡AB的坡度为i1＝1：2.4，山坡BC的坡度为i2＝1：0.75，山坡CD的坡角∠D＝30°，已知点B到水平面AD的距离为100m，山坡CD的长为1000m．某登山队沿山坡AB﹣BC上山后，再沿山坡CD下山． （1）求山顶点C到水平面AD的距离； （2）求山坡AB﹣BC的长． 17．根据以上素材，思考并完成任务： 文字说明 图示说明 素材1 如图，某校原有矩形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车． 素材2 学校计划新建一个矩形无围墙停车场（如图），该矩形停车场一边AB长33米，行车通道宽为3.5米，现在向师生征集设计方案． 素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形ACDE为矩形，图中每个矩形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形FGHI为平行四边形，∠GFI＝60°，图中每个平行四边形停车位完全一致；③AC＝FG，CD＝GH． 任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽． 任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量． 任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该矩形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，） 18．实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处，现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图．已知试管AB＝24cm，BEAB，试管倾斜角∠ABG为12°；实验时，导管紧贴水槽MN，延长BM交CN于点F，且MN⊥CF（点C，D，N，F在同一直线上），经测得DE＝28cm，MN＝8cm，∠ABM＝147°，求DN的长．（结果保留整数） （参考数据：sin12°≈0.21，cos12°≈0.98，tan12°≈0.21） 19．现在人们经常使用电脑，若坐姿不正确，容易造成眼睛疲劳，腰酸颈痛．使用电脑时一般正确的坐姿是：眼睛望向显示器屏幕时，“视线角”α为20°（望向屏幕上边缘的水平视线与望向屏幕中心的视线的夹角），小臂水平放在桌面上，肘部形成的“手肘角”β为100°，如图1所示． （1）如图2，当水平视线AB与屏幕BC垂直，“视线角”α为20°，BC＝24cm时，求眼睛与屏幕的距离为多少厘米．（结果精确到1cm） （2）如图3，肩膀到水平地面的距离DG＝100cm，大臂DE＝30cm，小臂水平放在桌面EF上，桌面到地面的距离FH＝72cm，通过计算判断此时是不是正确坐姿．若是，请说明理由；若不是，那么应如何调整桌面（桌面可上下调整）才能使肘部形成的“手肘角”β为100°？（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，tan80°≈5.67，sin69°≈0.93） 20．如图，监控摄像头D固定在AB与BC构成的支架上，AB与地面垂直，AB＝3m，BD＝1m，∠ABC＝120°，若该摄像头的可视角∠GDF＝50°，DE为∠GDF的平分线，且DE⊥BC，点A，E，F，G在同一直线上，过点D作DH⊥AG，H为垂足． （1）求∠GDH的度数； （2）求摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离．（精确到0.1m） 参考数据：（tan25°≈0.47，sin25°≈0.42，cos25°≈0.9，tan35°≈0.70，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，1.73） 21．【综合与实践】 新学期，同学们回校布置教室．如图1所示，教室前门ABCD宽度AB＝1m，门轴A到墙角E的距离AE＝0.5m，设E，A，B在同一条直线上，门打开后被教室黑板墙EB阻挡，EB′⊥EA，门边BC靠在墙B′C′的位置． （1）门打开的最大角度∠BAB′＝ 　 　 ； （2）教室的俯视图如图2，其中靠近前门第一位同学课桌右侧PR与墙EA的距离为0.5m，且该矩形课桌PIQR的边PI与教室前墙EB′平行，若要使得开关门不受阻挡，则PI与EB'的距离需大于多少？（结果保留根号） （3）如图3，同学们想充分利用教室的空间，在门后△AB′E中放置一个圆柱形的储物桶，如果购买直径为35cm的圆柱形桶，能放的进吗？请说明理由．（参考数据：，，） 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C A A C C C A C C 二．填空题 11．2.6． 12．625． 13．30． 14．． 15．． 三．解答题 16．解：（1）过点C作CF⊥AD，垂足为F． 在Rt△CDF中， ∵sinD，∠D＝30°，CD＝1000m， ∴CF＝sinD•CD1000＝500（m）． 答：山顶点C到水平面AD的距离为500m． （2）过点B作BH⊥AD，BE⊥CF，垂足分别为H、E． ∴四边形BHFE是矩形． ∴BH＝EF＝100m，CE＝CF﹣EF＝400m， 在Rt△ABH中， ∵AB的坡度为 i1＝1：2.4， ∴AH＝100×2.4＝240（m）． ∴AB260（m）． 在Rt△BEC中， ∵山坡BC的坡度为i2＝1：0.75， ∴BE＝0.75CE＝300（m）． ∴BC500（m）． ∴山坡AB﹣BC的长为：260+500＝760（m）． 答：山坡AB﹣BC的长为760m． 17．解：任务1：停车位的长为：9÷3＝3（米）， 停车位的宽为：9÷6＝1.5（米）； 答：停车位的长为3米，宽为1.5米； 任务2：垂直停车位一排的数量为：33÷1.5＝22（个）； ∵FI∥JG，∠GFI＝60°， ∴∠FGJ＝60°， ∵FG＝AC＝3， ∴GJ＝1.5＝FI，FJ＝1.5， ∴I和G在同一竖直线上， ∴斜列车位的数量为：33÷1.5﹣1＝21（个）； 答：垂直停车位一排的数量为22个，斜列停车位一排的数量为21个； 任务3：设垂直停车位有x排，则斜列停车位有（x﹣1）排， ∴22x+21（x﹣1）≥62， ∴x，即x≥2， ∴垂直停车位有2排，斜列停车位有1排， ∴行车通道有2+1﹣1＝2（条）， ∴矩形停车场的另一边至少为：2×3+1×1.52×3.5≈15.6（米）． 答：矩形停车场另一边至少15.6米才满足车辆停放． 18．解：如图，延长GB、NM交于H， ∵MN⊥CF，BG⊥DE，DE⊥CN， ∴四边形GDNH为矩形， ∴DN＝GH，NH＝DG， ∵AB＝24cm，BEAB， ∴EB＝8cm， 在Rt△BGE中，∠ABG＝12°，EB＝8cm， 则BG＝EB•cos∠ABG≈8×0.98＝7.84（cm），EG＝EB•sin∠ABG≈8×0.21＝1.68（cm）， ∴DG＝DE﹣EG＝26.32cm， ∴MH＝NH﹣MN＝26.32﹣8＝18.32（cm）， ∵∠ABM＝147°，∠ABG＝12°， ∴∠GBF＝147°﹣12°＝135°， ∴∠MBH＝45°， ∴BH＝MH＝18.32cm， ∴DN＝GH＝GB+BH＝7.84+18.32≈26（cm）， 答：DN的长约为26cm． 19．解：（1）在Rt△ABC中，∠A＝20°，， ∴， 故眼睛与屏幕的距离约为67cm； （2）如图，延长FE交DG于点M， 则MG＝FH，∠DME＝90°， ∴调整前，DM＝DG﹣MG＝DG﹣FH＝100﹣72＝28（cm）， 在 Rt△DME 中，， ∴∠DEM≈69°， ∴∠DEF≈180°﹣69°＝111°，即β≈111°， 故此时不是正确坐姿． 当∠DEF＝100°时，∠DEM＝80°， 在Rt△DEM中，DE＝30cm，， ∴调整后，DM＝DEsin∠DEM＝30sin80°≈30×0.98≈29.4（cm），29﹣28＝1.4（cm）． 故桌面应下调1.4cm才能使肘部形成的“手肘角”β为100°． 20．解：（1）∵∠A+∠DHA+∠ABD+∠BDH＝360°， ∴∠BDH＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°． ∵∠GDF＝50°，DE为∠GDF的平分线， ∴∠EDF＝∠GDE∠GDF＝25°． ∵DE⊥BC， ∴∠EDB＝90°． ∴∠EDH＝∠EDB﹣∠BDH＝90°﹣60°＝30°． ∴∠GDH＝∠GDE+∠EDH ＝25°+30° ＝55°． （2）过点B作BM⊥DH，垂足为M． ∵AB⊥GA，DH⊥AG，BM⊥DH， ∴四边形ABMH是矩形． ∴AB＝MH＝3，BM＝AH，∠ABM＝90°． ∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABM＝30°． 在Rt△BDM中，∵sin∠CBM，cos∠CBM， ∴DM＝sin30°•DB1， BM＝AH＝cos30°•DB1． ∴DH＝MH+DM3． 在Rt△DHG中， ∠G＝90°﹣∠GDH＝90°﹣55°＝35°． ∵tanG， ∴GH5． ∴AG＝GH+AH＝55+0.865＝5.865≈5.9（m）． 答：摄像头的最远可视点G与支架底部A之间的距离约为5.9m． 21．解：（1）∵EB′⊥EA， ∴∠AEB′＝90°， ∵AB＝1m， ∴AB′＝1m， ∵AE＝0.5m， ∴cos∠EAB′， ∴∠EAB′＝60°， ∴∠BAB′＝120°， 故答案为：120°； （2）在图2中作PM⊥AB于点M，连接AP，则PM＝0.5m，∠AMP＝90°， 由题意得：AP＝AB＝1m， ∴AMm， ∵AE＝0.5m， ∴EM＝0.5（m）， ∴PI与EB'的距离需大于m； （3）能放进直径为35cm的圆柱形桶．理由如下： 如图3，设圆心为O，△AB′E内切圆半径为rm，连接切点OX，OY，OZ，则四边形EYQX为正方形， ∴EX＝EY＝rm， ∴AX＝AZ＝（0.5﹣r）m，B′Z＝B′Y， ∵AE＝0.5m，AB′＝1m，∠E＝90°， ∴EB′m， ∴B′Y＝B′Z＝（r）m， ∵AB＝1m， ∴AZ+B′Z＝1， ∴0.5﹣rr＝1， 解得：r， ∴2r0.366m＝36.6cm＞35m， ∴能放进直径为35cm的圆柱形桶． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:47:23；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $