1.6 利用三角函数测高 同步基础训练 2025-2026学年 北师大版九年级数学下册

1.6 利用三角函数测高 同步基础训练 一．选择题 1．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏东41°的方向行驶100海里到达B地，再由B地向北偏东19°的方向行驶100海里到C地，则A，C两地相距（　　） A．100海里 B．每里 C．70海里 D．60海里 2．我校某数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测深圳市罗湖区小梧桐电视塔的高度，已知电视塔AB位于坡度i：1的斜坡BC上，测量员从斜坡底端C处往前沿水平方向走了120m达到地面D处，此时测得电视塔AB顶端A的仰角为37°，电视塔底端B的仰角为30°，已知A、B、C、D在同一平面内，则该塔AB的高度为（　　）m．（结果保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.73） A．31 B．24 C．60 D．136 3．如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口A和B的距离．点D，点E分别位于测绘点C的正北和正西方向．已知测得两定位点E和D与隧道口A和B的距离分别为200m和100m，测绘点H，G分别为CD，CE的中点，测绘方在测绘点H测得点G在点H的南偏西53°的方向上，且HC＝480m，则隧道AB的长约为（　　）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°） A．1600 m B．1300 m C．980 m D．900 m 4．如图，小明先在凉亭A处测得湖心岛C在其北偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶200米到达凉亭B处，测得湖心岛C在其北偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为（　　） A．400米 B．（100100）米 C．（100100）米 D．（100100）米 5．两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物CD的高为（　　） A．a米 B．米 C． 米 D．a（tanβ﹣tanα）米 6．如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面100m高的A点出发（AB＝100m），沿俯角为30°的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为60°的方向滑行到地面的C处．若AD＝140m，则该运动员滑行的水平距离BC为（　　）米？ A．120 B．80 C．140 D．70 7．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为165cm．人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（　　）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27） A．165cm B．184cm C．192cm D．219cm 8．如图，小乐和小静一起从点A出发去拍摄木棉树FH．小乐沿着水平面步行17m到达点B时拍到树顶点F，仰角为63°；小静沿着坡度i＝5：12的斜坡步行13m到达点C时拍到树顶点F，仰角为45°，那么这棵木棉树的高度约（　　）m．（结果精确到1m）（参考数据：sin63°≈0.9，cos63°≈0.5，tan63°≈2.0） A．22 B．21 C．20 D．19 9．如图，小明和小华住在同一个小区不同单元楼，他们想要测量小华家所在单元楼AB的高度．首先他们在两栋单元楼之间选定一点E，然后小明在自己家阳台C处测得E处的俯角为α，小华站在E处测得眼睛F到AB楼端点A的仰角为β，发现α与β互余，已知EF＝1米，BE＝CD＝20米，BD＝58米，试求单元楼AB的高度为（　　） A．38米 B．39米 C．58米 D．59米 10．潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌．某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面119m的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°，再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔AB的高度为（　　） （结果精确到1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40） A．41m B．42m C．48m D．51m 二．填空题 11．如图，从航拍无人机A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，无人机与楼之间的水平距离为120m，则这栋楼的高度是 　 　 m．（结果保留根号） 12．如图，湖中有一个小岛A，一艘轮船由西向东航行，它在B处测得小岛A在北偏东60°方向上，航行20海里到达C处，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，则小岛A到航线BC的距离为 　 　 海里． 13．如图，小明在距离地面33米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：，则斜坡AB的长是 　 　 米． 14．某数学兴趣小组测量一栋居民楼高度的活动报告如下： 活动目的 测量居民楼的高度 测量工具 皮尺、测角仪 测量示意图及说明 说明：测角仪CD⊥BE，居民楼AB⊥BE，点B、E在水平地面上，A、B、C、D、E、F均在同一平面内 测量过程及数据 测量小组在距离居民楼36m（BE＝36m）处的斜坡EF上的点D处放置测角仪CD，测得居民楼楼顶A的仰角为37°，斜坡EF的坡度i＝3：4，DE＝5m，CD＝1.5m 参考数据 sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75 备注 测量过程注意安全 请你根据该兴趣小组的测量结果求出该居民楼的高度AB． 15．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，从旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i＝1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．旗杆AB的高度为 　 　 米．（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°．计算结果保留根号） 三．解答题 16．已知：如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为76°．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01） 求：（1）坡顶A到地面PO的距离； （2）古塔BC的高度（结果精确到1米）． 17．第十二届世界城市日在重庆举办，“半山崖线步道”及“嘉陵江滨江路”吸引了众多游客打卡，小玉打卡了半山崖线步道，小雅打卡了嘉陵江滨江路．如图，A，B，C，D，E在同一平面内，他们同时从A步行出发，约定在D处汇合．小玉先从A沿南偏东30°的方向游览8千米到达B处，然后继续向B的北偏东60°方向游览到达C处，最后沿着C的北偏东30°方向到达D处，且小玉在B和C两地都停留了9分钟拍照、小雅先从A沿正东方向游览至E处并停留15分钟拍照，再沿E的南偏东15°方向到达D处，E恰好在C的正北方向4千米处． （1）求B，C两地之间的距离（结果保留根号）； （2）若小玉游览速度为4千米/时，小雅游览速度为3千米/时，请问小玉和小雅谁先到达D处？通过计算说明（结果保留小数点后一位，参考数据：，）． 18．学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点A，B，C，D，E在同一平面内．点B，C，D在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部A测得博学楼的顶部E的俯角为22°，另一组成员沿BD方向从厚德楼底部B点向博学楼走15米到达C点，在C点测得博学楼顶部E的仰角为42°，求博学楼DE的高度． （参考数据：sin22°，cos22°，tan22°，sin42°，cos42°，tan42°） 19．根据下列素材，完成探索任务． 核验山区5G信号塔高度项目 素材1 图①是某山区信号塔高度检测基地的横断面示意图．它是由一段斜坡与一段水平地面构成．斜坡用AB表示，水平地面用BC表示．有两个监测点分别在斜坡的端点A点处与水平地面上的C点处．根据选址时勘测日志中的记载，A点的地面海拔高度为592米，B点的地面海拔高度为542米，A、B两点垂直方向上的高度差即为海拔差，在整个检测过程中，检测员小李从A点到B点共走了130米，从B点到C点共走了60米． 素材2 图②为信号塔高度检测基地与修建在山上的5G信号塔与山的横断面示意图，垂直于水平面的5G信号塔PQ就建在山上的Q点处．根据施工日志资料显示，信号塔底Q点的海拔高度为802米． 检测员小李在检测基地的A点处利用测角仪测得塔顶P点的仰角α为37°，在C点利用测角仪测得塔顶P点的仰角β为63.5°，测角仪的高度忽略不计． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡AB的坡比． 任务二 如图②，根据小李记录下的测量数据，求这个5G信号塔PQ的高度． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin63.5°≈0.9，cos63.5°≈0.45，tan63.5°≈2.0） 20．某兴趣小组决定利用所学知识开展以“测量东山宝塔的高度”为主题的活动，并写出如下报告： 课题 测量东山宝塔的高度 测量工具 测角仪、无人机等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使无人机在点A处以10m/s的速度竖直上升8s后，飞行至点B处，在点B处测得塔顶D的俯角为20°，然后沿水平方向向左飞行至点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为45°． 说明 点A，B，C，D，E均在同一竖直平面内，且点A，E在同一水平线上，DE⊥AE．结果精确到1m．参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36 试求东山宝塔DE的高度． 21．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”后，开展测量本市某地标性建筑的高度的实践活动， 甲、乙两组分别设计了不同的方案： 课题：测量本市某地标性建筑的高度 甲组方案 乙组方案 测量示意图 测量方案与测量结果 如图1，小组成员在点D处用距离地面高度为1.5m的测角仪测出该建筑顶端A的仰角α＝35°． 如图2，在地面上点O处水平放一面镜子，小组成员站在点D的位置，通过镜子反射刚好看到该建筑顶端A处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离CD＝1.5m，他到该建筑的距离DB＝28m，α＝32°． 参考数据 sin35°≈0.57，tan35°≈0.70 sin32°≈0.53，tan32°＝0.62 （1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一组的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为哪组测量方案存在问题？并提出修改建议； （2）乙组的测量方案能计算出地标建筑的高AB吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1m；若不能，请说明理由． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B D B C C B B 二．填空题 11．160． 12．10． 13．22． 14．34.5m． 15．（33.5）． 三．解答题 16．解：（1）过点A作AH⊥PO，垂足为点H， ∵斜坡AP的坡度为1：2.4， ， 设AH＝5x米，PH＝12x米，则AP＝13x米， ∴13x＝26， 解得：x＝2， ∴AH＝10米，PH＝24 米， 答：坡顶A到地面PO的距离为10米； （2）延长BC交PO于点D，由题意得，∠BPO＝45°，∠BAC＝76°， ∵BC⊥AC， ∴BD⊥PO， ∴四边形AHDC是矩形， ∴CD＝AH＝10米，AC＝DH， 在Rt△BPD中，∠BPD＝45°， 设BC＝a米，则a+10＝24+DH． ∴AC＝DH＝（a﹣14）米， 在Rt△ABC中，∠BAC＝76°，则tan76°， ∴4.01， 解得：a≈19， 答：古塔BC的高度为19米． 17．解：（1）如图，过C作CG⊥BF于点G，过B作BF⊥AE于点F， ∴∠AFB＝∠GFE＝∠FGC＝∠NGC＝∠FEC＝90°， ∴四边形CEFG是矩形， ∴EF＝CG，CE＝GF， 由题意得，AB＝8km，CE＝4km，∠BAF＝60°，∠CBG＝60°， ∴CE＝GF＝4km， ∴在Rt△ABF中，， ∴， 在Rt△CBG，， ∴B，C两地之间的距离为； （2）如图，过B作BF⊥AE于点F，过C作CG⊥BF于点G，延长AE，CD交于点H，过E作EM⊥CH于点M，则∠EMH＝∠EMC＝90°， 由题意得，∠CED＝15°，∠ECH＝30°， 则∠DEM＝∠EDM＝45°，∠H＝60°， ∴EM＝DM， 由（1）得四边形CEFG是矩形，CE＝GF＝4km，EF＝CG， 在Rt△CEM，，， ∴EM＝DM＝2（km）， ∴，， 在Rt△CBG，， ∴小玉所花时间为： ≈4.1（h）； 小雅所花时间为： ≈（16﹣6.92+2.28）÷3+0.25 ＝11.9÷3+0.25 ≈4.2（h）， ∵4.1＜4.2， ∴小玉先到达D 处． 18．解：如图：过点E作EF⊥AB，垂足为F， 由题意得：EF＝BD，BF＝DE，BC＝15米，AG∥EF， ∴∠GAE＝∠AEF＝22°， 设CD＝x米，则EF＝BD＝BC+CD＝（x+15）米， 在Rt△DCE中，∠ECD＝42°， ∴DE＝CD•tan42°x（米）， ∴DE＝BFx米， 在Rt△AEF中，∠AEF＝22°， ∴AF＝EF•tan22°（x+15）米， ∵AF+BF＝AB， ∴（x+15）x＝19， 解得：x＝10， ∴DEx＝9（米）， ∴博学楼DE的高度约为9米． 19．解：任务一：过点A作AH⊥BC于H， 在Rt△ABH中，AH＝592﹣542＝50米，AB＝130米， ∴BH120米， ∴斜坡AB的坡比为：1：2.4； 任务二：过点A作AE⊥PG于E，PQ的延长线交BC于点M， 则GE＝802﹣542＝260米，EM＝50米， 设CM＝x米，∴PM＝CMtan63.5°＝2x米，AE＝120+60+x＝（180+x）米， ∴PE＝AEtan37°＝0.75×（180+x）＝（135+0.75x）米， ∵PM﹣PE＝EM，即2x﹣（135+0.75x）＝50， 解得：x＝148米， ∴PQ＝PM﹣GM＝148×2﹣260＝36（米）， 答：这个5G信号塔PQ的高度为36米． 20．解：由题意可知：AB＝10×8＝80（m）， ∵∠ABC＝90°，∠ACB＝45°， 则BC＝AB＝80m， 延长ED交BC的延长线于点F， 则四边形ABFE为矩形， ∴EF＝AB＝80m， 设DE＝xm， 则DF＝（80﹣x）m， 在Rt△DFC中，∠DFC＝45°， 则FC＝DF＝（80﹣x）m， ∴BF＝CF+BC＝（160﹣x）m， ∵， ∴DF＝BF•tan∠FBD，即80﹣x＝（160﹣x）×0.36， 解得：x＝35， 答：东山宝塔DE的高度约为35m． 21．解：（1）甲组的测量方案存在问题， 修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与该建筑的距离DB＝m”； （2）能， 由题意，知AB⊥BD，CD⊥BD，∠AOB＝∠COD＝32°， 设AB＝xm， 在Rt△AOB中，， ∴， 在Rt△COD中，， ∴， ∵BD＝OD+OB， ∴． 解得x≈15.9， 答：该地标建筑的高AB约为15.9m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:49:41；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $