1.4 解直角三角形 同步基础训练 2025-5256学年 北师大版九年级数学下册

1.4 解直角三角形 同步基础训练 一．选择题 1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝7，BC＝10，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知∠B＝90°，∠DAB＝55°，∠CAB＝45°，AB＝a，则CD的长是（　　） A．a•tan55°﹣a B．a•sin55°﹣a C．a•cos55°﹣a D． 3．如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，则小岛P离观测点A的距离是（　　） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 4．如图，△ABC的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则cos∠ACB的值为（　　） A． B． C． D． 5．在△ABC中，AH是BC边上的高，CD是AB边上的中线，CHAB．若AB＝10，AH＝6，则tan∠DCH的值为（　　） A．2或 B．2或 C．3或 D．3或 6．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把两个三角板的一条直角边重合，再将直尺的一条边与两三角板的直角边重合后，两三角板斜边的交点恰好落在直尺的上沿上，这两个三角板的顶点分别交直尺下沿于A，B两点，则线段AB的长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，在△ABC中，D为AB的中点，将线段BD沿射线BC方向平移得到线段CE，连接AE，DE．若AD＝3，AE＝4，AB⊥AE，垂足为A，则tan∠BAC的值是（　　） A． B． C． D． 8．如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα•cosα＝（　　） A． B． C． D． 9．如图，在 Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高线，设∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c，则（　　） A．c＝bcosA+asinB B．c＝bsinA+asinB C．c＝bsinA+acosB D．c＝bcosA+acosB 10．如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连结DE交对角线AC于F．若AD：CE＝7：3，∠CFD＝2∠BAC，则tan∠ACB＝（　　） A． B． C． D． 二．填空题 11．在△ABC中，∠C＝90°，∠A的余弦值是，AC＝12，那么AB的长为　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，，则tan∠DCA＝　 　 ． 13．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为　 　 ． 14．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使DCBD，连接AC，若tanB，则tan∠CAD＝　 　 ． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，CD⊥AB，垂足为D，点E是线段CD上一点（不与点C、D重合），连接AE并延长交BC于点F． （1）CD的长为 　 　 ； （2）若点F是BC的中点，则tan∠FAB的值为 　 　 ． 三．解答题 16．如图，AD是△ABC的中线，，，． （1）BC的长为 　 　 ； （2）求∠ADC的值． 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝3，BC的延长线与AD的延长线交于点E． （1）若∠A＝60°，求BC的长； （2）若sinE，求AD的长． 18．如图，屋架跨度的一半OP＝5m，高度OQ＝2.5m，现在屋顶上开一个天窗，AB在水平位置，且AB＝2.4m，求天窗高度AC的长． 19．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°2． 类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）． 20．如图，四边形ABCD中，∠DCB＝∠B＝90°，对角线CA⊥AD，AB＝8，BC＝6，点P为折线BA﹣AD上的点． （1）求AD的长； （2）若点P在∠ACB的平分线上，求AP的长； （3）若AP＝2，求tan∠PCB的值． 21．在学习锐角的三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的三角函数值具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究． （1）初步尝试： 我们知道：tan60°＝ 　 　 ，tan30°＝ 　 　 ； 发现结论：tanα 　 　 （填“＝”或“≠”）； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，求的值； 研究思路：小明想构造包含的直角三角形：于是延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，所以得到，即转化为求∠D的正切值，那么 　 　 ； （3）在△ABC中，∠A为锐角，，∠B＝2∠A，．求S△ABC的值． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B C D B A B D D 二．填空题 11．16． 12．． 13．． 14．． 15．（1）4.8；（2）． 三．解答 16．解：（1）如图，过点A作AH⊥BC于点H， 在Rt△ACH中， ∵，， ∴CH＝2， ∴， 在Rt△ABH中， ∵， ∴BH＝6， ∴BC＝BH+CH＝8； （2）∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴CD＝4，DH＝2， ∵AH＝2， ∴AH＝DH， 在Rt△ADH中，， ∴∠ADC＝45°． 17．解：（1）∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tanA， ∴∠E＝30°，BE＝tan60°•6＝6， 又∵∠CDE＝90°，CD＝3，sinE，∠E＝30°， ∴CE6， ∴BC＝BE﹣CE＝66； （2）∵sinE， ∴sinA， ∵∠ABE＝90°，AB＝6，sinA， ∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x， ∴3x＝6，得x＝2， ∴BE＝8，AE＝10， ∴tanE， 解得DE＝4， ∴AD＝AE﹣DE＝10﹣4＝6， 即AD的长是6． 18．解：∵AB在水平位置， ∴AB∥OP， ∴∠ABC＝∠OPQ， ∴tan∠ABC＝tan∠OPQ， ∴， ∴， ∴AC＝1.2， 即天窗高度AC的长为1.2m． 19．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D． ∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D， ∴∠D＝22.5°， 设AC＝1，则， ∴CD＝CB+BD， ∴tan22.5°＝tanD． 20．解：（1）∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝10， ∵∠DCB＝∠B＝90°， ∴DC∥AB， ∴∠DCA＝∠CAB， ∵CA⊥AD， ∴∠DAC＝∠B， ∴△DAC∽△CAB， ∴，即， ∴； （2）如图，设AP＝x，则PB＝AB﹣AP＝8﹣x，过点P作PH⊥AC， ∵CP为∠ACB的平分线，∠B＝90°， ∴PH＝PB＝8﹣x， ∵∠CAB＝∠CAB，∠AHP＝∠B， ∴△APH∽△ACB， ∴，即， ∴AP＝5； （3）分两种情况： 当点P在AB边上，如图， ， 则PB＝6，则， 当点P在AD边上，如图，过点P作PE⊥BC于E，作PF⊥BA交BA的延长线于点F， ， ∵∠B＝90°， ∴四边形PFBE为矩形， ∴PF＝BE，PE＝BF， ∵∠F＝∠B＝∠PAC， ∴∠PAF+∠APF＝∠PAF+∠CAB＝90°， ∴∠APF＝∠CAB， ∴△APF∽△CAB， ∴，即， ∴，， ∴，， ∴， 综上所述．或1． 21．解：（1）根据特殊角的三角函数值得：tan60°，tan30°， ∵tan60°≠2tan30°， ∴； 故答案为：；；≠； （2）延长CB至D，使得DB＝AB，连接AD，如图1所示： ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠D， ∴∠D∠ABC， 在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4， 由勾股定理得：AB＝√5， ∴BD＝AB＝5， ∴CD＝BC+BD＝4+5＝9， 在Rt△ACD中，tanD， ∴， 故答案为：； （3）过点C作CD⊥AB于点D，在DA上截取DE＝DB，连接CE，如图2所示： ∴CD是线段BE的垂直平分线， ∴CE＝CB， ∴∠B＝∠CED， ∵∠CED＝∠A+∠ECA，∠B＝2∠A， ∴2∠A＝∠A+∠ECA， ∴∠A＝∠ECA， ∴AE＝CE， 在Rt△ACD中，tanA， ∴设CD＝a，AD＝3a， ∴DE＝AD﹣AE＝3a﹣AE， ∴DE＝DB＝3a﹣AE， ∴AB＝AE+DE+BE＝AE+3a﹣AE+3a﹣AE＝6a﹣AE， ∵AB， ∴， ∴AE＝CE， ∴DE＝3a﹣AE， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：CE2＝CD2+DE2， ∴， 整理得：， 解得：，a＝0（不合题意，舍去）， ∴CD， ∴S△ABCAB•CD6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/9 22:45:21；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $