鸽巢问题（教学设计）-2025-2026学年数学六年级下册人教版

鸽巢问题 教学设计 教学内容： （1）本节课的主要教学内容是鸽巢问题及其相关原理。 （2）本节课主要介绍了鸽巢问题的基本概念，如 “鸽巢”“物体” 等，以及鸽巢原理（一）和鸽巢原理（二）。鸽巢原理（一）是指把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里（m>n，且 n 是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了 2 个物体；鸽巢原理（二）是指把多余 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非 0 的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k + 1) 个物体。 （3）通过学习本节课，学生能够理解鸽巢问题的本质，掌握用鸽巢原理解决简单实际问题的方法，培养学生的逻辑思维能力和数学建模能力。 教学目标： （1）文化自信：引导学生感受 “鸽巢问题” 在生活中的广泛应用，增强对数学文化的认同感。 （2）语言运用：让学生学会用准确、简洁的语言描述 “鸽巢问题” 的概念及解决方法。 （3）思维能力：培养学生的逻辑思维能力，通过探究 “鸽巢问题”，提高学生分析、推理和解决问题的能力。 （4）审美创造：激发学生对数学之美的感受，让学生在探索 “鸽巢问题” 的过程中，体验数学的简洁美和逻辑美。 教学重难点： （1）引导学生理解 “鸽巢原理” 的含义，将具体问题转化为 “鸽巢问题”，这需要学生具备较强的抽象思维和逻辑推理能力，从知识本身角度来看，是学生理解和运用 “鸽巢原理” 的关键，也是教学的重点之一。 （2）找出 “鸽巢问题” 解决的窍门并进行反复推理，学生往往容易在这个过程中出现思维混乱或推理不严谨的情况，需要通过大量的实例和练习来帮助学生掌握，这是教学的难点之一。 （3）让学生能够灵活运用 “鸽巢原理” 解决各种实际问题，培养学生的应用意识和创新能力，这不仅要求学生对 “鸽巢原理” 有深刻的理解，还需要学生能够将其与实际情境相结合，进行创造性的思考和解决问题，是教学的另一个难点。 教学方法： 讲授法、实验法 教学过程： 一、游戏导入 教师活动：同学们呀，你们有没有见过那神奇的扑克牌魔术呢？（轻轻举起手中的扑克牌，展示给同学们看）今天呀，我们就一同走进这个充满奥秘的世界，一起去探索其中的 “鸽巢问题” 哦。（转身，在黑板上工工整整地写下课题：鸽巢问题） 设计意图：通过扑克牌魔术导入，激发学生的好奇心和求知欲，为后续学习 “鸽巢问题” 做铺垫。 学生活动：同学们纷纷露出好奇的神情，开始期待接下来的学习。 二、探究新知 教学例 1.（课件缓缓出示例题 1 情境图） 教师活动：（充满神秘地展示例题 1：把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管怎么放，总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔。）同学们，这里的 “总有” 和 “至少” 到底是什么意思呢？（微微俯身，目光在同学们脸上扫视） 设计意图：引导学生思考 “总有” 和 “至少” 的含义，为后续探究做准备。 学生活动：学生开始思考，有的学生若有所思，有的学生开始小声讨论。 （1）操作发现规律： 教师活动：现在呀，同学们请拿出你们准备好的 4 支铅笔和 3 个笔筒，让我们一起实际动手放一放，看看到底有几种不同的放法呢？（充满鼓励地看着同学们，等待他们开始动手操作） 学生活动：学生们纷纷开始动手操作，不一会儿，便有同学举起了手。 教师活动：请学生展示不同的放法： 第一种放法：一个笔筒里放 4 支铅笔，另外两个笔筒空着。（学生走到讲台前，将铅笔按照这种方法放进笔筒，边放边讲解） 第二种放法：一个笔筒放 3 支，一个笔筒放 1 支，一个笔筒空着。（同样地，学生进行展示和讲解） 第三种放法：一个笔筒放 2 支，一个笔筒放 2 支，一个笔筒放 0 支。（学生再次进行展示） 第四种放法：一个笔筒放 2 支，一个笔筒放 1 支，一个笔筒放 1 支。（学生依次完成展示） 教师活动：通过把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，我们可以清晰地看到，不管怎么放，确实总有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔呢。（用手轻轻抚摸着黑板上的板书，强调重点） （2）理解关键词的含义： 教师活动：那 “总有” 和 “至少” 到底是什么意思呀？（目光在同学们之间流转，鼓励大家踊跃发言） 学生活动：生：“总有” 就是肯定会有，一定存在的意思；“至少” 就是最少，最少要有这么多的意思。（学生们纷纷点头表示赞同） 教师活动：非常棒呀，也就是说，把 4 支铅笔放进 3 个笔筒中，不管我们怎么去放，肯定会有 1 个笔筒里的铅笔数是大于或等于 2 支的。（再次强调关键词的含义） （3）探究证明。 方法一：用 “枚举法” 证明。 教师活动：我们可以通过一一列举的方法来进行证明哦。（在黑板上逐步展示枚举法的过程） 第一种情况：4、0、0（指着黑板上的数字，向同学们讲解） 第二种情况：3、1、0 第三种情况：2、2、0 第四种情况：2、1、1 教师活动：从这些情况可以看出，把 4 分解成 3 个数，就像我们刚才列举的这些，每一种情况分得的 3 个数中，确实至少有 1 个数是不小于 2 的哦。（眼神中透露出满意的神色） 方法二：用 “分解法” 证明。 教师活动：现在我们再用 “分解法” 来证明一下吧。（在黑板上写下分解法的过程） 4 = 4 + 0 + 0 4 = 3 + 1 + 0 4 = 2 + 2 + 0 4 = 2 + 1 + 1 教师活动：通过这种分解法，我们也能清楚地看到，把 4 分解成 3 个数，和我们用枚举法得到的结果是相似的，每一种情况分得的 3 个数中，至少有 1 个数是不小于 2 的呢。（微微点头，肯定同学们的思考） 方法三：用 “假设法” 证明。 教师活动：我们还可以用 “假设法” 来思考哦。假设每个笔筒里先放 1 支铅笔，那么 3 个笔筒里就一共放了 3 支铅笔啦，这时还剩下 1 支铅笔呢。把这剩下的 1 支铅笔无论放进哪个笔筒里，那么就总会有 1 个笔筒里至少有 2 支铅笔啦。（用手比划着，帮助同学们理解假设法的思路） 学生活动：生：（若有所思地点点头）哦，原来是这样呀，这样一假设，就很容易理解啦。 （4）认识 “鸽巢问题” 教师活动：同学们，像上面这样的问题呀，就是我们所说的 “鸽巢问题”，也叫做 “抽屉问题” 呢。在这里呀，4 支铅笔就像是要分放的物体，就好像 4 只 “鸽子” 一样，而 “3 个笔筒” 就相当于 3 个 “鸽巢” 或者 “抽屉” 啦。用 “鸽巢问题” 的语言来描述就是把 4 只鸽子放进 3 个笼子里，不管怎么放，总有 1 个笼子里至少有 2 只鸽子哦。（用生动的语言让同学们更好地理解概念） 设计意图：通过形象的比喻，让学生理解 “鸽巢问题” 的概念。 这里的 “总有” 指的就是肯定有、一定有的意思；而 “至少” 指的就是最少，在所有的方法中，放的鸽子最多的那个 “笼子” 里鸽子 “最少” 的个数就是至少的数量哦。 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就总会有 1 个笔筒里至少放进 2 支铅笔呢。 如果放的铅笔数比笔筒的数量多 2，那么总有 1 个笔筒至少放 2 支铅笔；如果放的铅笔比笔筒的数量多 3，那么总有 1 个笔筒里至少放 2 支铅笔…… 小结：只要放的铅笔数比笔筒的数量多，就一定会有 1 个笔筒里至少放 2 支铅笔。 （5）归纳总结： 教师活动：鸽巢原理（一）：如果把 m 个物体任意放进 n 个抽屉里（m>n，且 n 是非零自然数），那么一定有一个抽屉里至少放进了 2 个物体。（郑重地在黑板上写下这个原理） 教学例 2.（课件再次出示例题 2 情境图） 思考问题：（一）把 7 本书放进 3 个抽屉，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少有 3 本书。为什么呢？（二）如果有 8 本书会怎样呢？10 本书又会怎样呢？ 学生通过 “探究证明→得出结论” 的学习过程来解决问题（一）。 （1）探究证明。 方法一：用数的分解法证明。 教师活动：我们用数的分解法来证明一下吧。（在黑板上慢慢写下数的分解过程） 7 = 7 + 0 + 0 7 = 6 + 1 + 0 7 = 5 + 2 + 0 7 = 5 + 1 + 1 7 = 4 + 3 + 0 7 = 4 + 2 + 1 7 = 3 + 3 + 1 7 = 3 + 2 + 2 教师活动：从这些分解的情况可以看出，每种情况分得的 3 个数中，至少有 1 个数是不小于 3 的，也就是说每种分法中最多那个数最小是 3，所以总有 1 个抽屉至少放进 3 本书哦。（眼神中充满期待地看着同学们） 方法二：用假设法证明。 教师活动：我们再用假设法来思考一下吧。把 7 本书平均分成 3 份，7÷3 = 2（本）……1（本），如果每个抽屉放 2 本，那么还剩下 1 本呢。把这剩下的 1 本书放进任意 1 个抽屉中，那么这个抽屉里就有 3 本书啦。（用手比划着，帮助同学们理解假设法的思路） 学生活动：生：（恍然大悟）哦，原来是这样呀，这样一假设，就很清楚啦。 （2）得出结论。 通过以上两种方法我们都可以发现：把 7 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少放进 3 本书。 学生通过 “假设分析法→归纳总结” 的学习过程来解决问题（二）。 （1）用假设法分析。 8÷3 = 2（本）……2（本），剩下 2 本，分别放进其中 2 个抽屉中，这样就会使其中 2 个抽屉都变成 3 本，所以把 8 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少放进 3 本书。 10÷3 = 3（本）……1（本），把 10 本书放进 3 个抽屉中，不管怎么放，总有 1 个抽屉里至少放进 4 本书。 （2）归纳总结： 综合上面两种情况，要把 a 本书放进 3 个抽屉里，如果 a÷3 = b（本）……1（本）或 a÷3 = b（本）……2（本），那么一定有 1 个抽屉里至少放进（b + 1）本书。 鸽巢原理（二）：我们把多余 kn 个的物体任意分别放进 n 个空抽屉（k 是正整数，n 是非 0 的自然数），那么一定有一个抽屉中至少放进了（k + 1) 个物体。 三、巩固练习 教材第 68 页的 “做一做” 第 1 题。 教师活动：同学们呀，现在请你们独立思考解答这道题哦，然后和同桌交流一下你们的想法呢。（眼神中充满鼓励，看着同学们开始思考并交流） 学生活动：学生们认真思考，有的同学还在草稿纸上进行计算，然后和同桌小声交流。 教师活动：请学生回答解题思路和答案： 学生：把 5 只鸽子放进 3 个鸽笼，5÷3 = 1（只）……2（只），平均每个鸽笼放 1 只，还剩下 2 只呢。把剩下的 2 只再放进任意 2 个鸽笼，那么就总会有 1 个鸽笼里至少有 2 只鸽子啦。（条理清晰地讲解着自己的思路和答案） 教师活动：哇，回答得非常好呀，同学们都理解了吗？（眼神中透露出欣慰，看着同学们纷纷点头） 教材第 71 页练习十三第 1 题。 教师活动：同学们，认真读题哦，仔细分析题目中的数量关系，然后列式解答呢。（眼神中充满期待，看着同学们开始读题并解答） 学生活动：学生们仔细读题，有的同学在纸上进行列式计算，然后举手回答。 教师活动：请学生回答解题过程和答案： 学生：把 9 本书放进 2 个抽屉，9÷2 = 4（本）……1（本），平均每个抽屉放 4 本，还剩下 1 本呢。把剩下的 1 本再放进任意 1 个抽屉，那么就总会有 1 个抽屉里至少有 5 本书啦。（自信地讲述着自己的解题过程和答案） 教师活动：非常棒呀，同学们都掌握得很好呢。 四、课堂总结 教师活动：同学们，今天这节课你们都有什么收获呀？能给大家说说吗？（微笑着看着同学们，期待他们的分享） 学生活动：我学会了 “鸽巢问题” 啦，知道了只要放的物体数比抽屉数多，就一定会有一个抽屉里至少放进 2 个物体呢。（脸上洋溢着满足的笑容） 教师活动：非常好呀，同学们都掌握了这节课的重点内容呢。希望大家在以后的学习中能够灵活运用 “鸽巢问题” 来解决实际生活中的各种问题哦。（眼神中透露出鼓励，看着同学们） 课后作业： （1）找一找生活中还有哪些类似 “鸽巢问题” 的现象，并尝试用所学知识解释。 （2）自己设计一个 “鸽巢问题” 的题目，然后解答。 学科网（北京）股份有限公司 $