3.2 3.2.1 第1课时 双曲线及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学双曲线及其标准方程，承接椭圆知识，通过类比椭圆定义引入双曲线，深入探讨定义中距离差的绝对值、常数与焦距关系等关键条件，推导标准方程并明确焦点位置判断方法，结合待定系数法解决方程求解问题。 资料以生活实例（如拉链、通风塔）激发兴趣，培养用数学眼光观察现实世界的能力。通过类比椭圆、问题链设计（如常数变化对轨迹的影响）发展数学思维，例题与迁移运用强化数学运算和逻辑推理，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固方法查漏补缺。

3．2　双曲线 3．2.1　双曲线及其标准方程 第1课时　双曲线及其标准方程 学习目标　1.结合教材实例掌握双曲线的定义，以培养数学抽象能力．(重点)　2.掌握双曲线的标准方程、几何图形，会用待定系数法求双曲线的标准方程，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力，以提升数学运算、逻辑推理能力．(难点) 双曲线是一种很优美的曲线，就好像人的身形一样婉转婀娜．在实际生活中，双曲线也有着广泛的应用，例如很多工程建筑就是仿照双曲线的外形特点而设计，在兼具美学的情况下又保证了建筑物的坚实程度．让我们慢慢揭开它的神秘面纱吧！ 问题1　我们已经学习过椭圆的相关知识，请查阅资料，并列举一些双曲线在生活中的应用实例． 提示：双曲线广泛应用于日常物品的设计中，如拉链的设计就巧妙地利用了双曲线的形状特性．此外，天文望远镜、通风塔等也常采用双曲线的形状，以实现特定的功能或效果． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P118～119，分析思考： 把“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“大于|F1F2|”或常数为0，结果如何？ 提示：若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，则动点轨迹不存在；若常数为0，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线． (2)请认真阅读教材P119，分析思考：如何根据双曲线的标准方程判断焦点位置？ 提示：焦点跟着正项走，即若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)平面内与两定点F1，F2的距离的差等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线．(　　 ) (2)平面内与点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离的差的绝对值等于4的点的轨迹为双曲线．(　　 ) (3)双曲线x2－＝1的焦点在y轴上．(　　 ) (4)在双曲线标准方程 －＝1中，a>0，b>0且a≠b.(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 　双曲线的定义 问题2　椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？ 提示：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)，根据焦点位置的不同，其标准方程为＋＝1或＋＝1(a>b>0). 问题3　把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)”，试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？ 提示：双曲线．曲线上的点满足条件：||MF1|－|MF2||＝常数，且常数小于|F1F2|. 一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 温馨提示 (1)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支． (2)双曲线定义中的常数必须要大于0且小于|F1F2|. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　双曲线几何定义 例1　(链接教材：人A版教材P120例1)已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为(　　 ) A．双曲线或一条直线 B．双曲线或两条直线 C．双曲线一支或一条直线 D．双曲线一支或一条射线 解析：选D．当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B). 当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10， ∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线． 类题通法 记动点M到定点F1，F2距离分别为|MF1|，|MF2|，||MF1|－|MF2||＝2a，|F1F2|＝2c，a，c>0. (1)2a<2c，M轨迹为双曲线； (2)2a＝2c，M轨迹为两条射线； (3)2a>2c，M无轨迹图形； (4)2a＝0，M轨迹为F1F2的垂直平分线. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.已知点P(x，y)的坐标满足－＝±，则动点P的轨迹是(　　 ) A．椭圆 B．双曲线 C．两条射线 D．双曲线的一支 解析：选B．设A(1，0)，B(－1，0)，则由已知得||PA|－|PB||＝，即动点P到两个定点A，B的距离之差的绝对值等于常数，又|AB|＝2，且<2，所以根据双曲线的定义知，动点P的轨迹是双曲线． 角度二　双曲线定义的应用 例2　已知点F1，F2分别是双曲线 －＝1(a>0)的左、右焦点，P是该双曲线上的一点，且|PF1|＝2|PF2|＝16，则△PF1F2的周长是________． 解析：因为|PF1|＝2|PF2|＝16， 所以|PF1|－|PF2|＝16－8＝8＝2a，所以a＝4，又b2＝9，所以c2＝25，所以2c＝10. △PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝16＋8＋10＝34. 答案：34 类题通法 双曲线的定义的应用 (1)已知双曲线一点到某一焦点的距离，可根据定义求该点到另一焦点的距离． (2)在双曲线上一点与焦点构成的三角形中，可以根据定义结合三角形的有关知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的灵活运用．　 【迁移运用】 2.已知双曲线x2－y2＝1，点F1, F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为________． 解析：由题意，得|F1F2|＝2，|PF1|－|PF2|＝±2. 又因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝(2)2＝8， 则2|PF1||PF2|＝8－4＝4，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝8＋4＝12，则|PF1|＋|PF2|＝2. 答案：2 　双曲线的标准方程 问题4　类比求椭圆标准方程的过程，观察我们画出的双曲线，发现它也具有对称性，其对称轴是什么？以F1，F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy，求出其焦点坐标，焦距，以及它的标准方程． 提示：直线F1F2是它的一条对称轴，此时双曲线的焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，c>0，标准方程为－＝1. 　双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝c2－a2 角度一　双曲线特征 例3　(链接教材：人A版教材P121练习T3)(1)已知方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是________． 解析：方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线，可得17－k>0，k－8<0，解得k<8. 答案：(－∞，8) (2)已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，则k的取值范围是________． 解析：方程＋＝1表示焦点在y轴上的双曲线，可得17－k<0，k－8>0，解得k>17. 答案：(17，＋∞) 类题通法 　 利用双曲线方程的特征求参数值或范围 (1)如果方程为＋＝1，则当mn<0时，方程表示双曲线． 若则方程表示焦点在x轴上的双曲线； 若则方程表示焦点在y轴上的双曲线． (2)利用双曲线的方程求参数的值时，首先要将方程化为标准形式，再利用a，b，c的关系计算，如果双曲线的焦点不能确定，则分情况化为标准形式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.(1)若ax2＋by2＝b(ab<0)，则该曲线是(　　 ) A．双曲线，焦点在x轴上 B．双曲线，焦点在y轴上 C．椭圆，焦点在x轴上 D．椭圆，焦点在y轴上 解析：选B．原方程可化为＋y2＝1.因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线． (2)若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sin θ＝cos θ表示的曲线是(　　 ) A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．焦点在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 解析：选A．曲线方程可化为＋＝1，因为θ是第三象限角，则cos θ<0，>0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线． (3)k>9是方程＋＝1表示双曲线的(　　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B．∵方程＋＝1表示双曲线， ∴(9－k)(k－4)<0，即k>9或k<4， ∴k>9是该方程表示双曲线的充分不必要条件． (4)(2025·福州高二检测)已知方程＋＝1表示双曲线，则实数k的取值范围为________． 解析：因为方程＋＝1表示双曲线，所以(k－4)(10－k)<0，解得k>10或k<4，则实数k的取值范围为(－∞，4)∪(10，＋∞). 答案：(－∞，4)∪(10，＋∞) 角度二　求双曲线的标准方程 例4　(链接教材：人A版教材P121练习T1)根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)与双曲线－＝1有相同的焦点，且经过点； (2)过点P(3，)，Q，且焦点在坐标轴上． 解：(1)方法一　因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以c2＝16＋4＝20，即a2＋b2＝20　(ⅰ). 因为双曲线经过点， 所以－＝1　(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)得a2＝12，b2＝8， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　设所求双曲线的方程为－＝1(－4<λ<16). 因为双曲线经过点， 所以－＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去). 所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法三　因为焦点相同，所以设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)， 所以c2＝16＋4＝20，c＝2，所以左右焦点分别为F1，F2， 因为双曲线经过点， 所以2a＝|－| ＝ ＝ ＝＝4，即a＝2. 因为a2＋b2＝20，得a2＝12，b2＝8， 所以双曲线的标准方程为－＝1. (2)方法一　当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 因为点P，Q在双曲线上， 所以此方程组无解； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 因为点P，Q在双曲线上， 所以解得 所以双曲线的标准方程为－＝1. 方法二　设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1，AB<0， 因为点P，Q在此曲线上， 所以解得 所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 类题通法 　　 双曲线的标准方程 (1)用待定系数法求双曲线的标准方程时，根据焦点位置，设方程为－＝1或－＝1(a>0，b>0)，若焦点位置不确定，可按焦点在x轴和y轴上两种情况讨论求解．或设其方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，通过方程组确定m，n. (2)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2)；与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线的方程为－＝1(－a2<λ<b2). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 4.(1)满足a＝3，c＝4，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为________． 解析：由题设知，a＝3，c＝4，由c2＝a2＋b2得b2＝c2－a2＝42－32＝7.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 (2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q的双曲线的标准方程为_____________________． 解析：设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)， 将点(4，－2)和代入方程得 解得a2＝8，b2＝4， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 1．已知双曲线－＝1，则双曲线的焦点坐标为(　　 ) A．(－，0)， B．(－5，0)，(5，0) C．(0，－5)，(0，5) D．(0，－)， 解析：选B．由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，故c＝5.又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(－5，0)，(5，0). 2．已知方程－＝1对应的图形是双曲线，那么k的取值范围是(　　 ) A．k>5 B．k>5或－2<k<2 C．k>2或k<－2 D．－2<k<2 解析：选B．因为方程对应的图形是双曲线，所以(k－5)(|k|－2)>0. 即或 解得k>5或－2<k<2. 3．若椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为(　　 ) A．1 B．1或－2 C．1或 D． 解析：选A．由题意知解得a＝1. 4．双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，在左支上过点F1的弦AB的长为5，那么△ABF2的周长是(　　 ) A．12 B．16 C．21 D．26 解析：选D．依题意，|AF2|－|AF1|＝2a＝8，|BF2|－|BF1|＝2a＝8， 所以(|AF2|－|AF1|)＋(|BF2|－|BF1|)＝16， 又|AB|＝5， 所以|AF2|＋|BF2|＝16＋(|AF1|＋|BF1|)＝16＋|AB|＝16＋5＝21. 所以|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝21＋5＝26. 即△ABF2的周长是26. 5．与椭圆＋＝1有相同的焦点，且过点(2，)的双曲线的标准方程为________． 解析：由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0). 根据题意得 解得或(不符合题意，舍去)， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 答案：－＝1 学科网（北京）股份有限公司 $