3.1 3.1.2 第2课时 椭圆方程及性质的应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学椭圆方程及性质的应用，系统梳理直线与椭圆位置关系判定（联立方程、判别式）、中点弦问题（点差法）、弦长计算（公式与根与系数关系）及实际应用（数学建模），形成从基础到应用的递进学习支架。 该资料以问题驱动探究，通过鱼群洄游等案例引导学生用数学眼光观察现实，培养抽象与创新意识。中点弦多种解法对比、类题通法总结，助力用数学思维严谨推理，提升逻辑推理与运算能力。课中例题辅助教学，课后练习帮助查漏补缺，强化数学语言表达现实的能力。

第2课时　椭圆方程及性质的应用 学习目标　1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用，以提升数学运算、数学建模、逻辑推理能力．(重点)　2.掌握直线与椭圆位置关系的判定方法，以提升数学运算、逻辑推理能力．(重点、难点) 　直线与椭圆的位置关系 问题1　如何判断P(x0，y0)与椭圆＋＝1的位置关系？ 提示：将点P(x0，y0)代入椭圆方程左侧，与右侧1比大小； 若＋>1，P在椭圆外； 若＋＝1，P在椭圆上； 若＋<1，P在椭圆内． 问题2　直线与椭圆有哪几种位置关系？如何判断？ 提示：相离、相切、相交．联立直线与椭圆的方程，看解的个数． 直线y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离 无解 Δ<0 温馨提示 　 (1)设直线方程时注意斜率不存在的情况． (2)过椭圆内一点的直线与椭圆一定相交. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材P114例7)已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点． 解：直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0，③ 关于x的一元二次方程的根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)由Δ>0，得－3<m<3. 于是当－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两个不同的实数解，这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)由Δ＝0，得m＝±3. 也就是当m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两个相同的实数解，这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点． (3)由Δ<0，得m<－3或m>3. 从而当m<－3或m>3时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解，这时直线l与椭圆C没有公共点． 类题通法 在判断直线和圆锥曲线的位置关系时，先联立方程组，再消去x(或y)，得到关于y(或x)的方程，如果是直线与圆或椭圆，则所得方程一定为一元二次方程；如果是直线与双曲线或抛物线，则需讨论二次项系数等于零和不等于零两种情况，只有二次方程才有判别式，另外还应注意斜率不存在的情形. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　 ) A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 解析：选B．由题意，直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1，可得直线恒过点P(1，1)，又由＋<1，所以点P(1，1)在椭圆＋＝1的内部，所以直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1相交于不同的两点． (2)已知以F1(－2，0)，F2(2，0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为(　　 ) A．3 B．2 C．2 D．4 解析：选C．设椭圆长轴长为2a且a>2，则椭圆方程为＋＝1. 由可得(4a2－12)y2＋8(a2－4)y＋(16－a2)(a2－4)＝0， 因为直线与椭圆只有一个交点，则Δ＝0， 即192(a2－4)2－16(a2－3)×(16－a2)×(a2－4)＝0，解得a＝0或a＝2或a＝， 又由a>2，所以a＝，所以长轴长2a＝2. 　中点弦问题 问题3　已知椭圆的方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦的中点为M(x0，y0)，你能求出kOM·kAB的值吗？ 提示：将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得＋＝0， 因为x1≠x2，则＝－，即·＝－，从而kAB·＝－， 即kAB·kOM＝－. 点差法：设出弦的两端点坐标后，代入椭圆的方程，将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就联系了中点坐标和直线的斜率． 例2　(链接教材：人A版教材P114练习T2)已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为________． 解析：方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)， 由 得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1＋x2＝. 又M为AB的中点， ∴＝＝2，解得k＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意． 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2). ∵M(2，1)为AB的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又A，B两点在椭圆上， 则x＋4y＝16，x＋4y＝16， 两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0， 于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. ∴＝－＝－＝－， 即kAB＝－. 故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 经检验，所求直线满足题意． 方法三　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)， 由于AB的中点为M(2，1)， 则另一个交点为B(4－x，2－y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①－②，化简得x＋2y－4＝0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x＋2y－4＝0. 答案：x＋2y－4＝0 名师点睛 涉及弦的中点，可以使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点坐标与斜率的关系式. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为____________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ∵M是线段AB的中点，∴＝1，＝1. ∵直线AB的方程是y＝－(x－1)＋1， ∴y1－y2＝－(x1－x2). 由①②两式相减可得＋＝0， 即＋·＝0. ∴a＝b，∴c＝b，∴e＝＝. 答案： 　弦长问题 问题4　当直线与椭圆相交时，如何求截得的弦长？试推导一下． 提示：当直线斜率存在时，设直线方程为y＝kx＋m(k≠0)，椭圆方程为＋＝1(a>b>0)或＋＝1(a>b>0)，直线与椭圆的两个交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则|AB|＝， 所以|AB|＝ ＝ ＝， 或|AB|＝ ＝ ＝. 其中，x1＋x2，x1x2或y1＋y2，y1y2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系求得． 当直线的斜率存在时，斜率为k的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两个不同的点，则弦长公式的常见形式有如下几种： (1)|AB|＝|x1－x2|； (2)|AB|＝|y1－y2|(k≠0)； (3)|AB|＝； (4)|AB|＝(k≠0). 温馨提示 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆与直线x＋2y＋8＝0相交于P，Q两点，|PQ|＝，则椭圆的方程为________． 解析：∵e＝，∴＝，即c2＝a2，∴b2＝a2－c2＝a2. ∴椭圆的方程可化为x2＋4y2＝a2，与方程x＋2y＋8＝0联立并消去y， 得2x2＋16x＋64－a2＝0，由方程根的判别式Δ>0，得a2>32. 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由根与系数的关系，得x1＋x2＝－8，x1x2＝. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋k)·|x1－x2|2＝(1＋k)·[(x1＋x2)2－4x1x2]， 即10＝×[64－2(64－a2)]，解得a2＝36. ∴椭圆的方程为x2＋4y2＝36，即＋＝1. 答案：＋＝1 类题通法 求弦长的两种方法 (1)求出弦两端点的坐标，然后利用两点间的距离公式求解； (2)结合根与系数的关系，利用弦长公式求解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.已知斜率为2的直线经过椭圆＋＝1的右焦点F2，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线AB的方程； (2)弦长AB． 解：(1)∵直线AB过椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，且斜率为2， ∴直线AB的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0. (2)法一　由方程组 解得或 则交点A(0，－2)，B(，)或A，B(0，－2). ∴|AB|＝＝＝. 法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组 消去y，得3x2－5x＝0，解得x1＝0，x2＝. ∴|AB|＝|x1－x2|＝×＝. 法三　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组消去x， 得3y2＋2y－8＝0，则由根与系数的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－， 所以|AB|＝|y1－y2|＝×＝. 　实际生活中的椭圆问题 如图所示，某隧道的拱线设计为半个椭圆的形状，最大拱高h为6 m，路面设计是双向车道，车道总宽为8 m. 问题5　如果限制通行车辆的高度不超过4.5 m，那么隧道设计的拱宽d至少应是多少米？ 提示：设椭圆方程为＋＝1，当点(4，4.5)在椭圆上时，＋＝1，解得a＝16，因为车辆高度不超过4.5 m，所以a≥16，d＝2a≥32，故拱宽至少应是32 m. 解决和椭圆有关的实际问题的思路 (1)通过数学抽象，找出实际问题中涉及的椭圆，将原问题转化为数学问题； (2)确定椭圆的位置及要素，并利用椭圆的方程或几何性质求出数学问题的解； (3)用解得的结果还原实际问题． 例4　某海域有A，B两个岛屿，B岛在A岛正东4 n mile处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C，曾有渔船在距A岛、B岛距离和为8 n mile处发现过鱼群，以A，B所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示． (1)求曲线C的标准方程； (2)某日，研究人员在A，B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号(传播速度相同)，A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，你能否确定P处的位置(即点P的坐标)? 解析：(1)由题意知，曲线C是以A，B为焦点且2a为8的椭圆，又2c＝4，则c＝2，a＝4，故b＝2，所以曲线C的方程为＋＝1. (2)由于A，B两岛收到鱼群在P处反射信号的时间比为5∶3，因此设鱼群此时距A，B两岛的距离比为5∶3，即鱼群距A，B两岛的距离分别为5 n mile和3 n mile，设P(x，y)，B(2，0)，由|PB|＝3， 得＝3， 所以 解得或 所以点P的坐标为(2，3)或(2，－3). 类题通法 关于椭圆方程的实际应用 (1)根据轨迹焦点、中心等条件建立坐标系，使求出的椭圆方程为标准形式； (2)求出a，b并写出椭圆的方程，利用方程解决实际问题． 提醒：方程中变量的范围要根据实际问题确定． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 4.(多选)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示．已知它的近地点A(离地心最近的一点)距地面m km，远地点B(离地心最远的一点)距地面n km，并且F，A，B三点在同一直线上，地球半径约为R km.设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a，2b，2c，则(　　 ) A．a－c＝m＋R B．a＋c＝n＋R C．2a＝m＋n D．b＝ 解析：选ABD．因为地球的中心是椭圆的一个焦点， 结合题中图形可得 所以故A，B正确； 2a＝m＋n＋2R，故C不正确； (m＋R)(n＋R)＝a2－c2＝b2， 所以b＝，故D正确． 1．若直线y＝x＋2与椭圆mx2＋y2＝1相切，则椭圆的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选C．将直线y＝x＋2代入椭圆方程mx2＋y2＝1，可得(m＋1)x2＋4x＋3＝0， 由于直线和椭圆相切，则判别式Δ＝16－4(m＋1)×3＝0，解得m＝， 则椭圆＋y2＝1的a＝，c＝，则离心率为e＝＝. 2．直线y＝x－1被椭圆2x2＋y2＝4所截得的弦的中点坐标是(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A．由 消去y得2x2＋(x－1)2＝4，即3x2－2x－3＝0， ∴弦的中点的横坐标是x＝×＝， 代入直线方程y＝x－1中，得y＝－， ∴弦的中点坐标是. 3．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________． 解析：由消去y并化简得x2＋2x－6＝0. 设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6. ∴弦长|MN|＝|x1－x2|＝＝＝. 答案： 4．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________． 解析：∵＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠3.由得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0， ∴Δ＝16m2－4m(m＋3)>0，解得m>1或m<0.∴m>1且m≠3，∴m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞). 答案：(1，3)∪(3，＋∞) 椭圆焦半径公式 (教材内容拓展) (1)P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左焦点、右焦点，则有|PF1|＝a＋ex0，|PF2|＝a－ex0； (2)P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点，F1，F2分别为椭圆的下焦点、上焦点，则有|PF1|＝a＋ey0，|PF2|＝a－ey0. 学科网（北京）股份有限公司 $