3.1 3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦椭圆的简单几何性质核心知识点，从椭圆标准方程出发，通过问题探究得出范围、对称性、顶点、焦点及离心率等性质，构建“定义-方程-性质-应用”的完整学习支架，助力学生系统掌握知识脉络。 资料以问题驱动联系现实（如椭圆形反射镜面光学性质），通过数形结合深化理解，设置分层训练（例题、变式、迁移运用）。培养学生用数学眼光观察方程特征，用数学思维分析离心率问题（如构造齐次式），用数学语言规范表达。课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固查漏，提升学习效果。

3．1.2　椭圆的简单几何性质 第1课时　椭圆的简单几何性质 学习目标　1.掌握椭圆的简单几何性质，以培养数学抽象能力．(重点)　2.通过椭圆与方程体会数形结合的思想，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 我们研究椭圆不只是研究椭圆的定义与方程，更重要的是通过它们研究椭圆的几何性质，从而更好的为我们的科技与生活服务．与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等． 问题1　查阅资料，并说明椭圆形的反射镜面具有怎样的光学性质． 提示：椭圆形的反射镜面具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线都会经过椭圆的另一个焦点． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P109～112，分析思考：如图所示椭圆中的△OF2B2，能否找出a，b，c，e对应的线段或量？ 提示：a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，e＝＝＝cos ∠OF2B2(或sin ∠OB2F2). (2)请认真阅读教材P109～112，分析思考：如何理解椭圆的离心率？ 提示：e＝为椭圆的离心率，e的取值范围是(0，1)，e的大小反映椭圆的扁平程度． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(　　 ) (2)椭圆上的点到左焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－c.(　　 ) (3)椭圆＋＝1(m>0，n>0)的长轴为2m.(　　 ) 提示：(1)×　(2)√　(3)× 　椭圆的几何性质　 问题2　观察椭圆C的方程＋＝1(a>b>0)中x，y是否有取值范围？由此指出椭圆C在平面直角坐标系中的位置特征． 提示：x，y有取值范围，－a≤x≤a，－b≤y≤b.椭圆C位于直线x＝－a，x＝a，y＝－b，y＝b所围成的矩形内． 问题3　观察椭圆C的方程＋＝1(a>b>0)，如果(x，y)是方程的解，则(－x，y)，(x，－y)，(－x，－y)都是方程的解，这说明椭圆C具有哪些对称性？ 提示：椭圆C关于x轴，y轴，坐标原点对称． 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1 (a>b>0) 范围 －a≤x≤a，－b≤y≤b －b≤x≤b，－a≤y≤a 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0) 轴长 短轴长等于2b，长轴长等于2a 焦点 焦距 |F1F2|＝2 对称性 对称轴：x轴、y轴，对称中心：原点 离心率 e＝∈(0，1) 温馨提示 　　 (1)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点． (2)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材：人A版教材P112例4)已知椭圆C1：＋＝1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上． (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C2的方程，并研究其几何性质． 解：(1)由椭圆C1：＋＝1， 可得其长半轴长为10，短半轴长为8， 焦点坐标为(6，0)，(－6，0)，离心率e＝. (2)椭圆C2：＋＝1. 几何性质如下： ①范围：－8≤x≤8，－10≤y≤10； ②对称性：对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点； ③顶点：长轴端点(0，10)，(0，－10)，短轴端点(－8，0)，(8，0)； ④焦点：(0，6)，(0，－6)，焦距为12； ⑤离心率：e＝. 类题通法 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式． (2)确定焦点位置．(焦点位置不确定的要分类讨论) (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标，并用描点法画出这个椭圆． 解：将椭圆的方程化为标准形式得＋＝1， 则a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，离心率e＝＝. 焦点为F1(－4，0)和F2(4，0)， 顶点为A1(－5，0)，A2(5，0)，B1(0，－3)，B2(0，3). 画出椭圆在第一象限内的图象，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆． 　由椭圆的几何性质求标准方程 已知椭圆C的中心在原点，焦点在y轴上，且短轴的长为2，离心率等于. 问题4　请利用所学知识求出椭圆的标准方程． 提示：设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0). 因为短轴长为2，所以2b＝2，解得b＝1. 因为离心率e＝＝，又a2＝b2＋c2＝1＋c2，所以a2＝5， 所以椭圆C的标准方程为＋x2＝1. 用待定系数法求标准方程的一般步骤 例2　(链接教材：人A版教材P112练习T3)求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)过点(3，0)，离心率e＝； (2)过点M(1，2)，且与椭圆＋＝1有相同离心率． 解：(1)当椭圆的焦点在x轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得a＝3，因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时， 设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)， 由题意，得b＝3， 因为e＝，所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27， 所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. (2)设所求椭圆方程为＋＝k1(k1>0)或＋＝k2(k2>0)， 将点M的坐标代入可得＋＝k1或＋＝k2，解得k1＝，k2＝，故＋＝或＋＝，即所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 名师点睛 　　 求椭圆的标准方程时，应先定位：确定焦点位置，椭圆的焦点一定在它的长轴上．再定量：根据已知条件构造关于参数a，b，c的关系式，利用方程(组)求参数.　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程． (1)焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)； (2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半焦距为6. 解：(1)设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)， 则解得a2＝148，b2＝37， 所以椭圆方程为＋＝1. (2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，因为在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且半焦距为6，如图所示，c＝b＝6，所以a＝6， 所以椭圆的方程为＋＝1. 　求椭圆的离心率 问题5　 观察图，我们发现，不同形状的椭圆的扁平程度不同．扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗？这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示：利用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度． 如图所示，在Rt△BF2O中，cos ∠BF2O＝，记e＝，则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁平；e越小，∠BF2O越大，椭圆越接近于圆． 温馨提示 e＝＝＝，利用也可以判定扁平程度. 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例3　设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则椭圆C的离心率为________． [思路点拨] 构想 转化 反思 转化法 等价转化为e＝＝＝ 两种方法的联系与区别 构造齐 次式法 根据条件得到关系式|F1F2|＝|PF2|，构造齐次式 解析：方法一　由题意可设|PF2|＝m，结合条件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 方法二　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可得y＝±，所以|PF2|＝.又由∠PF1F2＝30°可得|F1F2|＝|PF2|，故2c＝·，变形可得(a2－c2)＝2ac，等式两边同除以a2，得(1－e2)＝2e，解得e＝或e＝－(舍去). 答案： 变式演练　1.(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“∠PF2F1＝75°，∠PF1F2＝45°”，求椭圆C的离心率． 解：在△PF1F2中， ∵∠PF1F2＝45°，∠PF2F1＝75°，∴∠F1PF2＝60°， 设|PF1|＝m，|PF2|＝n，|F1F2|＝2c，m＋n＝2a，则在△PF1F2中，有＝＝， ∴＝，∴e＝＝＝＝. 2．(变条件)若将本例中“PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°”改为“椭圆C上存在点P，使∠F1PF2为钝角”，求椭圆C的离心率的取值范围． 解：由题意，知c>b，∴c2>b2. 又b2＝a2－c2，∴c2>a2－c2，即2c2>a2， ∴e2＝ >，∴e>，又0<e<1， ∴C的离心率的取值范围为. 类题通法 求椭圆的离心率及离心率的取值范围的方法 (1)直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解．若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解． (2)方程法或不等式法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或取值范围． 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(多选)已知椭圆C：16x2＋4y2＝1，则下列结论正确的是(　　 ) A．长轴长为 　　 B．焦距为 C．焦点坐标为(0，±) 　　 D．离心率为 解析：选CD．由椭圆方程16x2＋4y2＝1化为标准方程可得＋＝1，所以a＝，b＝，c＝， 所以长轴长2a＝1，焦距2c＝，焦点坐标为，离心率e＝＝. 2．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为(　　 ) A． B． C． D． 解析：选A．如图所示， 四边形B1F2B2F1为正方形，则△B2OF2为等腰直角三角形，所以＝. 3．若椭圆C：＋的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为________． 解析：∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)， ∴m2－1－m＝1，即m2－m－2＝0， 解得m＝2或m＝－1， 由于＋＝1表示的是椭圆， 则m>1，∴m＝2， 则椭圆方程为＋＝1， ∴a＝，2a＝2. 答案：2 4．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(2，0)的椭圆的方程是________． 解析：若焦点在x轴上，则a＝2. 又e＝＝，∴c＝. ∴b2＝a2－c2＝1， ∴方程为＋y2＝1. 若焦点在y轴上，则b＝2. 又e＝＝，∴＝1－＝， ∴a2＝4b2＝16，∴方程为＋＝1. 综上，椭圆的方程为＋y2＝1或＋＝1. 答案：＋y2＝1或＋＝1 学科网（北京）股份有限公司 $