3.1 3.1.1 椭圆及其标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦椭圆及其标准方程核心知识点，从哈雷彗星、橄榄球等生活实例引入，通过问题链抽象椭圆定义，系统推导标准方程，进而延伸到焦点三角形性质应用，构建从具体到抽象、从定义到应用的学习支架。 资料特色在于融合数学眼光（观察生活实例抽象椭圆特征）、思维（定义变式辨析、方程逻辑推导）、语言（公式规范表达）。通过自主评测、动手实验描述、例题多解法设计，课中助力教师引导探究，课后类题通法与迁移练习帮学生查漏补缺，提升数学素养。

学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第目章 圆锥曲线的方程 3.1椭圆 3.1.1椭圆及其标准方程 学习目标1.了解椭圆的实际背景，以培养数学抽象、直观想象能力，（重点） 2.经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义及标准方程，以提 升数学抽象、数学运算能力.（重点、难点） 预思启慧自检明真 自主学习·新知感悟 哈雷彗星每隔76年绕太阳公转一圈，它的运行轨迹是椭圆形；橄榄球运动 盛行于英国、美国、加拿大、澳大利亚等国家，球的形状是椭圆形；夏天的时 候，吃一口西瓜，沁人心脾，西瓜也是椭圆形；听见音乐就会翻翻起舞的“跳舞 草”，它那椭圆形的身躯是那么优美.… 问题1其实生活中还有许许多多椭圆形的例子，你能再举一些例子吗？椭 圆有着怎样的几何特征？它是否也像圆一样有自己的定义、自己的方程呢？ 提示：可以再举一些例子：鸡蛋，放鱼的餐盘； 椭圆的结构特征主要包括以下几，点： 形状特征：椭圆是圆锥曲线的一种，即圆锥与平面的截线，它类似于圆形， 但两头比圆形长，且从圆心到边上转一圈的长度（即周长）是不一样的 边缘特性：椭圆形的边缘都是圆滑的，没有棱角。 【自主评测】 1.教材挖掘：(1)请认真阅读教材P105,分析思考：椭圆定义中将“大于 FF2”改为“等于FF2”,其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：，点的轨迹是线段FF2 (2)请认真阅读教材P105,分析思考：椭圆定义中将“大于FF2”改为“小于引 FF2”,其他条件不变，点的轨迹是什么？ 提示：点的轨迹不存在 2.判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打V”,错误的打“×”. (1)已知F1(-一4,0)，F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 的轨迹是椭圆.( (2)己知F1(一4,0)，F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于6的点 的轨迹是椭圆.（) (3)椭圆x225+y249=1的焦点在x轴上.() (4)椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与C2:y2a2十x2b2=1(a>b>0)的焦距相同， 焦点也相同.( ) 提示：(1)×(2)×3)×(4)× 破壁生光蓄力冲胃 合作探究·思维进阶 「探究任务一」椭圆的定义 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳 子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆.如图所示，如果把细绳的 两端拉开一段距离，分别固定在图板中的两点，F2,套上铅笔，拉紧绳子， 移动笔尖。 问题2画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动，点）满足的几 何条件是什么？ 提示：椭圆，笔尖到两个定，点的距离的和等于常数， 问题3在上述活动中，如果把细绳拉直后固定住两端，点(FF2等于绳长)，那 么动，点M的轨迹是什么？ 提示：线段 」知识梳理 把平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数（大于EE)的点的轨迹叫做 椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的二 半称为半焦距， 典例研析 例1(1)下列说法中正确的是( A.到点M(一3,0)，W(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆 B.到点M(0,一3)，WN(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆 C.到点M(一3，O),N(3,O)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 D.到点MO,一3)，V(O,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：选C.由椭圆定义知，C正确 (2)(链接教材：人A版教材P108例2)如图所示，A是圆O内一定点，B是圆 周上一个动点，AB的垂直平分线CD与OB交于点E,则点E的轨迹是() A.圆 B.椭圆 C.线段 D.射线 解析：选B.连接EA,OA(图略)，根据线段垂直平分线的性质，可得EA= EB,EO+EA=|OB>OA,即，点E到，点O和，点A的距离之和等于圆 的半径OB,且OB>OA,根据椭圆的定义，可得，点E的轨迹是以点O和，点 A为焦点的椭圆 津类题通法 椭圆定义的理解 (1)椭圆定义中包含一动点和两定点， (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离 【迁移运用】1.(1)设F1,F2为定点，FF2=6,动点M满足MF1+M2=10, 则动点M的轨迹是( A.椭圆 B.直线 C.圆 D.线段 解析：选A.:MF1+MF2=10>FF2=6,由椭圆定义知，动，点M的轨迹 为椭圆。 (2)(多选)设定点F1(0,一3)，Fz(0,3),动点P满足PF1+PF2=a+9(a>0), 则点P的轨迹可能是( A.圆 B.线段 C.椭圆 D.直线 解析：选BC.:a+9a≥2×3=6=|FF2(a>0),当且仅当a=3时取等号，∴ 由椭圆的定义得，当a十9a=6时，点P的轨迹为线段；当a十9a>6时，点P的 轨迹为椭圆， 独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 「探究任务二」 椭圆的标准方程 观察椭圆的形状，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的 对称轴，所以我们以经过椭圆两焦点F1,F2的直线为x轴，线段FF2的垂直平 分线为y轴，建立平面直角坐标系Oy,如图所示 问题4试利用椭圆定义推导椭圆方程 提示：根据椭圆的定义，设，点M与焦，点乃1，F2的距离的和等于2.由椭圆的 定义可知，椭圆可看作，点集P={MMF1+MF2=2a}. 因为MF=(x+c2+y2,MF2=x-c2+y2, 所以x+c2+y2+x-c2+y2=2a①， 为了化简方程①，我们将其左边一个根式移到右边，得x十c)2十y2=2a-(化一c) 2+y2② 对方程②两边平方，得(x+c)2+y2=4a2-4ac-c2十y2+(x-c)2+y2, 整理，得a2-cx=aK-c2十y2③， 对方程③两边平方，得a4-2a2cx十c2x2=a2x2-2a2cx十a2c2+ay2, 整理，得a2-c2)x2+a3y2=a2(a2-c2)④， 将方程④两边同除以a2(a2-c2), 得x2a2+y2a2-c2=1⑤， 由椭圆的定义可知2a>2c>0,即a>c>0, 所以a2-c2>0 令b=a2-c2, 那么方程⑤就是x2a2+y2b2=1(a>b>0). 问题5 如图，如果焦，点F1,F2在y轴上，且，F2的坐标分别是(0，一c),(0,C), α，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？ 提示：y2a2+x2b2=1(a>b>0) 知识梳理 ·独家授权侵权必究 学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 x2a2+y2b2=1(a>b>0) y2a2+x2b2=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 E1(-c,0),E(c,0) E(0,一C,E0,c a,b,c的关系 b2=a2-c2 12y2a>b>0x2a>b>03 掌温馨提示 (1)椭圆的标准方程是指当椭圆在标准位置时的方程，所谓标准位置，就是 指椭圆的中心在坐标原点，椭圆的对称轴为坐标轴 (2)两种椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0),y2a2+x2b2=1(a>b>0)的相同点是：它 们的形状、大小都相同，都有a>b>0,a2=b2+c2；不同点是：两种椭圆的位置 不同，它们的焦点坐标也不同. (3)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在谁的轴上. 典例研析 例2（链接教材：人A版教材P109练习T2)求适合下列条件的椭圆的标准方 程： (1)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)： (2)两个焦点的坐标分别是(0，一2)，(0,2)，并且椭圆经过点avs4alco1(-) f352): (3)经过点P(13,13),Q1avs4 allcol0,-f12: (4)以椭圆x25+y29=1的焦点为焦点，且经过点Mrc)(alvs4 allcol2,1 r6)八 [思路点拨] 第(3)问构想 转化 反思 当椭圆焦点在x轴或者y轴上时，分别 分类讨论 进行分类讨论 两个方法的异同，哪 设椭圆的方程为mx2+2=1(m>0,n 个更简便？ 待定系数法 >0,m≠m,代点列方程 解：(I)因为椭圆的焦点在y轴上， 独家授权侵权必究 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0) 又椭圆经过，点(0,2)和(1,0)， 所以f(40b201b2)=1,解得a2=4,b2=1.) 所以所求的椭圆的标准方程为y24十x2=1. (2)由题意得椭圆的焦点在y轴上， 所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0), 由椭圆的定义知， 2q=\rc2)+VNcl(rez++\rc\2)+VbNd(re2=2/0, 即a=10,又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆的标准方程为y210十x26=1. (3)方法一①当椭圆焦，点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2= 1(a>b>0) 依题意，有fbnc(rc2bMc(rc2b2bnc(rcb2)=I, 解得a2=f1514),由a>b>0,知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦，点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0), 依题意，有fbnc(rc2bnc(rc2b2bnc(rc2a2)+0=I, 解得a2=f1415), 所以所求椭圆的标准方程为y214十x215=1. 方法二设椭圆的方程为x2+my2=1(m>0,n>0,m≠n), 则f11914)n=1,解得m=5,n=4.) 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1, 故椭圆的标准方程为y214+x215=1. (4)方法一（定义法）由题意，知焦，点F1(0,2),F2(0,一2)， 设所求椭圆的方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0), 点M在所求椭圆上， ..2a=MF1+MF2=(2-0)2+bilcl(rc)(alvs4lallcol(r(6)-2))slup12(2)+ (2-0)2 +bllcl(rc)(alvs4allcol(r(6)+2))\slup12(2) =rc)(alvs4lallcol(2r(3)-r(2))+rcv)(alvs4 alcol(2r(3)+r(2))=43, ∴.a=23,即a2=12,∴.b2=a2-c2=12-4=8, ∴.所求椭圆的标准方程为y212十x28=1. 方法二（待定系数法）由题意，知焦点F1(0,2),F2(0,一2)， 设所求椭圆的方程为y21十4十x21=1(>0),将x=2,y=6代入， ·独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 得61十4+4机=1，解得孔=8或1=-2（舍去） 故所求椭圆的标准方程为y212+x28=1. 1①“定位”：指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦 点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式.②“定量”：指确定a2,b2的具体数 值，常根据条件列方程（组）求解.2m>0,n>0,m≠x2y2a>b>02a>b>0,b2 +>0类题通法 (1)确定椭圆标准方程的两个方面 ①“定位”：指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点 位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式. ②“定量”：指确定a2,b2的具体数值，常根据条件列方程（组）求解。 (2)设椭圆的常用技巧 ①当椭圆的焦点不确定在哪个轴上时，椭圆的方程也可以设为x2+2=1 (m>0,n>0,m≠n). ②与椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程可设为：x2a2+入 +y2b2+=1(a>b>0,b2+>0) 【迁移运用】2.(1)若关于x,y的方程x2m十y22m一1=1表示椭圆，则m满 足的条件是 解析：由关于x,y的方程x2m+y22m-1=1表示椭圆，知m>0,2m一1>0， m≠2m-1,解得m>12，,且m≠1 答案：mm>f12),且时1) (2)求适合下列条件的椭圆的标准方程： ①以坐标轴为对称轴，并且经过两点A(0,2),B(12,3): ②经过点(3,15)，且与椭圆x225+y29=1有共同的焦点. 解：①方法一当焦，点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为x22十y2b2=1 (a>b>0). 因为点A(0,2),B(12,3)在椭圆上， 所以f4b2 blcl(rc2bnc(rc)avs4al小col(r(3))supl2(2b2)=1,解得a2=1, b2=4,)》 这与>b相矛盾，故应舍去 当焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为y2a2十x2b2=1(a>b>0) 独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 因为，点A(0,2),B(12,3)在椭圆上， 所以f4a2 bucl(rc)avs4al小colr(3))八supl2(2 blIcl(rc2622)=1,解得a2=4, b2=1,) 所以椭圆的标准方程为x2+y24=1. 综上可知，椭圆的标准方程为x2+y24=1. 方法二设椭圆的标准方程为x2+2=1(m>0,n>0,m≠m. 因为点A(0,2),B(12,3)在椭圆上， 所以4n=1,14)m+3n=1,解得m=1,14), 故椭圆的标准方程为x2+y24=1. ②方法一椭圆x225+y29=1的焦点为(-4,0)和(4,0)， 可设过，点.(3,15)的椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0) 由椭圆的定义可得2a=(3+4)2+lb1 Icinrc)alvs4 al.co.1r(I5)-0)八sp12(2) +(3-4)2+bilcl(rc)(alvs4\alcol(r(15)-0))siup12(2), 所以2a=12,即a=6. 因为c=4,所以b2=a2-c2=62-42=20, 所以椭圆的标准方程为x236+y220=1. 方法二由题意可设待求椭圆的标准方程为x225+1+y29+1=1(>一9)， 将(3,15)的坐标代入椭圆方程， 得3225+1+9十=1，解得1=11或1=-21（舍去）， 所以椭圆的标准方程为x236+v220=1. 「探究任务三」椭圆定义的应用 焦点三角形是圆锥曲线理论中的一个重要概念，具有丰富的性质和应用价值. 通过深入学习和研究焦点三角形的相关知识，可以加深对圆锥曲线的理解，提 高解决数学问题的能力，并为实际应用提供有力的数学支持.焦点三角形面积 公式在光学、声学、天文学等领域也有广泛的应用，可以帮助我们理解光线或 声音在通过椭圆或双曲线反射时的行为，以及椭圆轨道的计算等. 问题6请画出图形，并说明焦点三角形是如何构成的 提示：焦点三角形是由椭圆上任意与焦，点不共线的一点和其两焦点所构成的 三角形，如图中△MFF2 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 知识梳理 1.椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形. 2.焦点三角形的性质 (1)MF+MF2=2a: (2)焦点三角形的周长L=2a十2c: (3)在△MFF2中，由余弦定理可得FF22=MF12+MF22-2MF1MF2cos∠ F MF2: (4)焦点三角形的面积S△FMF2=12MF1MF2sin∠FMF2=b2tan∠ FIMF22. (⑤)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1,两焦点分别为F1,F2,设焦点△PFF2, ∠FPF2最大时，点P为椭圆与y轴的交点. 典例研析 例3（链接教材：人A版教材P115习题3.1T5)已知P为椭圆x212+y23=1 上一点，F,F2分别是椭圆的左、右焦点，∠FPF2=60°，求△FPF2的面积. 解：由已知得a=23,b=3, 所以c=a2-b2=12-3=3, 从而F1F2=2c=6, 在△FPF2中，FF22=PF1l2+PF22-2PF1PF2cos60°， 即36=PF2+PF22-PFPF2① 由椭圆的定义得PF1+PF2=43, 即48=PF2+PF22+2PF1PF2②. 由①②得PFP2=4. 所以S△FPF2=12PF1PF2sin60°=3. 变式演练（变条件）若将本例中“∠FPF2=60°”变为“∠PFF2=90”,求△ FPF2的面积. 解：由已知得a=23,b=3, 所以c=a2-b2=12-3=3. 从而F1F2=2c=6. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 在△FPF2中，由勾股定理可得PF22=PF12+FF22, 即PF22=PF12+36, 又由椭圆定义知PF1十PF2=43, 所以PF2=43-PF1: 从而有(43-PF1)2=PF2+36, 解得PF1=3)2 所以S△FPF2=12PFFF2=12×3)2×6=3)2. 脊类题通法 椭圆定义的应用技巧 (I)椭圆的定义能够对椭圆上的点到焦点的距离进行转化. (②)对于焦点三角形，可以利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理、三 角形的面积公式等知识求解. 知行合一行稳致远 学以致用·课堂评价 1.已知A(-5,0),B(5,0),动点C满足AC+BC=10,则点C的轨迹是( A.椭圆B.直线C.线段D.点 解析：选C.由AC+BC=10=AB知，点C的轨迹是线段AB 2.点P为椭圆x24十y216=1上一点，F1,F2为该椭圆的两个焦点，若PF1 =3,则PF2等于( ) A.13B.1C.7D.5 解析：选D.由已知得a=4,PF2=2a-PF1=8-3=5. 3.己知椭圆的焦点为（一1,0）和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程 为( ) A.x24+y23=1 B.x24+y2=1 C.y24+x23=1 D.y24+x2=1 解析：选A.由已知得c=1,又由，点P(2,0)在椭圆上，可得a=2,则b2=3, ∴.椭圆的方程为x24+y23=1. 4.若方程x2+2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是 A.(0,+o) B.(0,2) C.(1,+o) D.(0,1) 独家授权侵权必究·