章末总结(二)直线和圆的方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

两直线的平行与垂直 处理两条直线的平行与垂直关系时，通常有两种方式可以选择：一是直线方程以斜截式给出，此时可通过斜率和直线在y轴上的截距处理；二是直线方程以一般式给出，此时可转化为斜率和直线在y轴上的截距处理，也可直接利用系数处理． 例1　已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得： (1)l1⊥l2；(2)l1∥l2. 解：方法一：当m＝0或2时，两直线既不平行，也不垂直； 当m≠0且m≠2时，直线l1，l2的斜率分别为－，. (1)若l1⊥l2，则－·＝－1，解得m＝. (2)若l1∥l2，则由－＝得m＝－1或m＝3. 又当m＝3时，l1与l2重合，故m＝3舍去．故l1∥l2时，m＝－1. 方法二：(1)因为l1⊥l2，所以m－2＋3m＝0，所以m＝. (2)因为l1∥l2，所以3－m(m－2)＝0且2m≠6(m－2)，故m＝－1. 类题通法 一般式方程下两直线的平行与垂直判断方法 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为____________． 解析：易知两直线斜率存在，由l1⊥l2知，·＝－1，解得a＝－3. 答案：－3 (2)已知两直线l1：mx－y＝0，l2：x＋(m－2)y－1＝0，若l1∥l2，则m＝________． 解析：由题意得＝≠，解得m2－2m＋1＝0，即(m－1)2＝0，m＝1. 答案：1 两直线的交点与距离问题 两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题．在应用点到直线距离公式时，要注意直线方程必须化为一般形式．而在应用两条平行直线的距离公式时，要注意两条直线方程必须化为一般形式，且两条直线方程中x和y的系数必须对应相等． 例2　直线l在两坐标轴上的截距相等，且P(4，3)到直线l的距离为3，求直线l的方程． 解：若l在两坐标轴上截距为0， 设l：y＝kx，则＝3，解得k＝－6±， 此时l的方程为y＝(－6±)x； 若l在两坐标轴上截距不为0， 设l：＋＝1，即x＋y－a＝0，则＝3，解得a＝1或13， 此时l的方程为x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 综上，直线l的方程为y＝(－6±)x或x＋y－1＝0或x＋y－13＝0. 类题通法 【迁移运用】 2.已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l∥l1，且直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求直线l的方程． 解：由直线l1，l2的方程知l1∥l2.由题意知直线l与l1，l2均平行． 故可设直线l的方程为3x－2y＋m＝0(m≠－1且m≠－13). 由两平行直线间的距离公式，得d1＝，d2＝. 又因为d1∶d2＝2∶1，所以|m＋1|＝2|m＋13|，解得m＝－25或m＝－9. 故所求直线l的方程为3x－2y－25＝0或3x－2y－9＝0. 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 例3　已知圆C和y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且被直线y＝x截得的弦长为2，则圆C的方程为____________． 解析：设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 由圆C与y轴相切得|a|＝r　①， 又圆心在直线x－3y＝0上，所以a－3b＝0　②， 圆心C(a，b)到直线y＝x的距离为d＝，由于弦心距d，半径r及弦的一半构成直角三角形， 所以()2＋()2＝r2　③. 联立①②③解方程组可得或 故圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9. 答案：(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9 类题通法 关于直线与圆的位置关系 (1)位置关系的判断：一般利用几何法判断，即判断圆心到直线的距离与半径的关系． (2)弦长公式：直线与圆相交时，圆的弦长l，半径r，弦心距d之间满足r2＝d2＋. (3)相切：圆心到切线的距离等于半径、过切点且垂直于切线的直线过圆心. 【迁移运用】 3.(2025·扬州高二检测)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－m)2＋[y－(2m－3)]2＝1，m∈R. (1)当m＝－1时，过原点O作直线l与圆C相切，求直线l的方程； (2)对于P(－2，2)，若圆C上存在点M，使|MP|＝|MO|，求实数m的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，圆C的方程为(x＋1)2＋(y＋5)2＝1，圆心C(－1，－5)，半径r＝1， ①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，满足条件； ②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，由直线l与圆C相切，则＝1，解得k＝， 所以l的方程为y＝x，即12x－5y＝0. 综上，直线l的方程为x＝0或12x－5y＝0； (2)圆心C(m，2m－3)，kOP＝－1， 则线段OP的垂直平分线的方程为y－1＝x＋1，即y＝x＋2， 要使得|MP|＝|MO|，则M在线段OP的垂直平分线上， 所以存在点M既要在y＝x＋2上，又要在圆C上， 所以直线y＝x＋2与圆C有公共点， 所以≤1，解得5－≤m≤5＋，所以m∈[5－，5＋]. 圆与圆的位置关系 一般利用圆心距与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 例4　已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0与圆C2：x2＋y2－2y－4＝0. (1)求证：两圆相交； (2)求两圆公共弦所在直线的方程． 解：(1)证明：圆C1的方程可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，圆C2的方程可化为x2＋(y－1)2＝5，∴C1(2，－1)，C2(0，1)，两圆的半径均为， ∵|C1C2|＝＝2<2， ∴两圆相交． (2)将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程，(x2＋y2－4x＋2y)－(x2＋y2－2y－4)＝0，即x－y－1＝0. 类题通法 过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1，此圆系方程不含C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0)， 特别地，当λ＝－1时，上述方程为一次方程． 两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程. 【迁移运用】 4.已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－5＝0与圆C2：x2＋y2－8x＋4y＋7＝0. (1)证明圆C1与圆C2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2，3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程． 解：(1)把圆C1与圆C2都化为标准方程，得(x＋2)2＋(y－2)2＝13，(x－4)2＋(y＋2)2＝13. 圆心与半径长分别为C1(－2，2)，r1＝； C2(4，－2)，r2＝. 因为|C1C2|＝＝2＝r1＋r2， 所以圆C1与圆C2相切． 由两式相减得12x－8y－12＝0， 即3x－2y－3＝0就是过切点的两圆公切线的方程． (2)法一　过C1，C2的直线方程为＝，即2x＋3y－2＝0， 联立解得则切点坐标为(1，0). 设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则 解得 所以所求圆的方程为(x＋4)2＋＝， 即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 法二　由圆系方程，可设所求圆的方程为 x2＋y2＋4x－4y－5＋λ(3x－2y－3)＝0. 因为点(2，3)在此圆上，将点的坐标代入方程解得λ＝. 所以所求圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－5＋(3x－2y－3)＝0，即x2＋y2＋8x－y－9＝0. 1．(2024·北京高考)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为(　　 ) A． B．2 C．3 D．3 　本题是在学习了人教A版教材选择性必修一P98习题2.5T9圆的标准方程和一般方程，点到直线的距离等知识的基础上创设的． 　直线与圆的位置关系是近几年高考的热点和重点，每年必考，主要考查判断直线与圆的位置关系、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆相切的问题及弦长问题等． 　本题需要先求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式求解即可．此类题型以基础题和中档题为主，题型多为选择、填空题，虽然难度不大，但从趋势来看，其综合性日渐增强，且青睐于多选题，有时也以解答题的形式出现，考查数形结合思想以及转化与化归思想． 　 选D.由题意得x2＋y2－2x＋6y＝0，即(x－1)2＋(y＋3)2＝10，则其圆心坐标为(1，－3)，则圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝3. 2．(2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　　 ) A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2 C．当∠PBA最小时，|PB|＝3 D．当∠PBA最大时，|PB|＝3 　本题源于人教A版选择性必修一P99习题2.5T13圆的标准方程和一般方程，点到直线的距离等知识的基础上创设的． 　圆的方程的求解近几年考查趋势加大，一般考查圆的标准方程和圆的一般方程的求解，大多与圆的性质等知识综合考查，以基础题为主，常以选择、填空题形式出现，难度较小，主要考査计算能力和逻辑思维能力． 　本题需要先求出圆心坐标，再利用点到直线距离公式，利用勾股定理得到切线长，夹角的问题便迎刃而解．此题型属于直线与圆的方程的综合应用问题，在高考中常以直线和圆的位置关系为背景考查最值、定点或定值问题，且常与圆锥曲线(下章学)综合考查，难度一般较大． 　 选ACD.设圆的半径为r，圆心为C.则r＝4，C(5，5).因为A(4，0)，B(0，2)， 所以直线AB的方程为＋＝1，即x＋2y－4＝0. 圆心C(5，5)到直线AB的距离d＝＝， 所以点P到直线AB的距离的最大值为＋4，最小值为－4. 又＋4<10，－4<2，故A正确，B错误． 如图，当BP为圆C的切线时，∠PBA取得最大值或最小值，此时|PB|＝＝＝3，故C，D均正确． 学科网（北京）股份有限公司 $