专题突破(二)对称问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学对称问题核心知识点，系统梳理点关于点、点关于直线、直线关于直线、直线关于点的对称规律，从特例归纳到通法总结，结合例题解析与迁移运用，构建从基础原理到实际应用的学习支架。 资料特色在于分类清晰，通过“特例-通法-例题-迁移”链条培养数学思维，如点关于直线对称紧扣垂直和平分推理坐标，体现推理能力；光的反射、最值问题联系现实情境，发展几何直观与模型观念。课中辅助教师系统授课，课后助力学生回顾强化，弥补知识盲点。

考向一　对称问题 常用对称的特例 ①A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； ②B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； ③C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； ④D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； ⑤P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； ⑥Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a，2n－b). 角度一　点关于点的对称问题 点关于点的对称：若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则 已知点A(x，5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　 ) A．4 B． C． D． 解析：选D.根据中点坐标公式得解得所以点P的坐标为(4，1)，则点P(x，y)到原点的距离d＝＝. 类题通法 (1)点关于点的对称问题通常利用中点坐标公式．点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y). (2)直线关于点的对称直线通常用转移法或取特殊点来求． 设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)和点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0. 【迁移运用】 1.直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　　) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 解析：选B.法一　在直线3x－2y＝0上任取两点O(0，0)，M(2，3)， 设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′， 则O′，M′， 所以所求直线方程为＝， 即3x－2y－2＝0. 法二　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为， 因为点在直线3x－2y＝0上， 所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0， 所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 角度二　点关于直线的对称问题 点(x1，y1)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的对称点(x2，y2)可由得出． 对称点坐标x2＝x1－2A·，y2＝y1－2B·. 点P(2，5)关于直线l：x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(　　 ) A．(6，－3) B．(3，－6) C．(－6，－3) D．(－6，3) 解析：选C.设点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标为(x，y)，则解得 故点P(2，5)关于直线l的对称点的坐标为(－6，－3). 名师点睛 点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分”． 设P(x0，y0)，l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，P关于l的对称点Q可以通过条件：①PQ⊥l；②PQ的中点在l上列方程组求得. 【迁移运用】 2.点P(m，n)关于直线l：2x－y＋1＝0对称的点仍在l上，则2m－n等于(　　 ) A．－1 B．1 C．2 D．0 解析：选A.∵点P(m，n)关于直线l：2x－y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(m，n)在直线l上， ∴2m－n＋1＝0，即2m－n＝－1. 角度三　直线关于直线的对称问题 直线关于直线对称：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称的直线l2的方程的求法：转化为点关于直线对称，在直线l1上任取两点P1和P2，求出P1，P2关于l的对称点，再用两点式求出直线l2的方程． 两直线方程为l1：3x－2y－6＝0，l2：x－y－2＝0，则l1关于l2对称的直线方程为(　　 ) A．3x－2y－4＝0 B．2x＋3y－6＝0 C．2x－3y－4＝0 D．3x－2y－6＝0 解析：选C.设所求直线上任一点M(x，y)，M关于直线x－y－2＝0的对称点为M′(x1，y1)， 则解得(*) ∵点M′在直线3x－2y－6＝0上， ∴将(*)式代入，得3(y＋2)－2(x－2)－6＝0， 化简得2x－3y－4＝0，即为l1关于l2对称的直线方程． 名师点睛 求直线关于直线的对称直线的问题可转化为点关于直线的对称问题. 【迁移运用】 3.直线y＝x关于直线x＝1的对称直线为l，则直线l的方程是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x＋y＋2＝0 C．x＋y－2＝0 D．x＋y＋2＝0 解析：选C.直线y＝x与直线x＝1交于点A，所以直线l的斜率为－且过点A， 所以直线l的方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. 角度四　直线关于点的对称问题 直线关于点对称：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再用两点式求出直线方程．或者求出一个对称点，再利用直线平行，由点斜式得所求直线方程． 直线2x＋3y－6＝0关于点(1，1)对称的直线方程为(　　 ) A．3x－2y＋2＝0 B．2x＋3y＋7＝0 C．3x－2y－12＝0 D．2x＋3y－4＝0 解析：选D.设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点(1，1)对称的点的坐标为(2－x，2－y)，以(2－x，2－y)代换原直线方程中的(x，y)，得2(2－x)＋3(2－y)－6＝0，即2x＋3y－4＝0. 【迁移运用】 4.已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2).求： (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标； (2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l对称的直线m′的方程； (3)直线l关于点A的对称直线l′的方程． 解：(1)设A′(x，y)， 得解得 ∴A′. (2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上． 设对称点为M′(a，b)， 则得M′. 设直线m与直线l的交点为N， 由得N(4，3). 又m′经过点N(4，3)，∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. (3)法一　在l：2x－3y＋1＝0上任取两点， 如P(1，1)，Q(4，3)，则P，Q关于点A(－1，－2)的对称点P′，Q′均在直线l′上， 易得P′(－3，－5)，Q′(－6，－7)， 再由两点式可得l′的方程为2x－3y－9＝0. 法二　∵l∥l′， ∴设l′的方程为2x－3y＋C＝0(C≠1). ∵点A(－1，－2)到两直线l，l′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式，得＝， 解得C＝－9，∴l′的方程为2x－3y－9＝0. 考向二　光的反射问题 光线从A(－4，－2)点射出，到直线y＝x上的B点后被直线y＝x反射到y轴上C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． 解：作出草图，如图所示， 设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6).由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C. 故BC所在的直线方程为＝，即10x－3y＋8＝0. 名师点睛 根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的．利用点的对称关系可以求解. 【迁移运用】 5.一束光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所经过的路程． 解：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)， 由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得 解得所以A的坐标为(4，3). 因为反射光线的反向延长线过A(4，3)， 又由反射光线过P(－4，3)，A，P两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线的方程为y＝3. 联立解得即交点Q， 由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3. 由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|， 由A(4，3)，P(－4，3)知，|AP|＝4－(－4)＝8， 即光线从O点到达P点所经过的路程为8. 考向三　利用对称解决有关最值问题 在直线l：x－y－1＝0上求两点P，Q，使得： (1)P到A(4，1)与B(0，4)的距离之差最大； (2)Q到A(4，1)与C(3，0)的距离之和最小． 解：(1)如图，设点B关于l的对称点B′的坐标为(a，b)，连接BB′， 则kBB′·kl＝－1，即×1＝－1, ∴a＋b－4＝0，① ∵BB′的中点在直线l上， ∴－－1＝0，即a－b－6＝0.② 由①②得 ∴点B′的坐标为(5，－1). 于是AB′所在直线的方程为＝， 即2x＋y－9＝0. 易知||PB|－|PA||＝||PB′|－|PA||，当且仅当P，B′，A三点共线时，||PB′|－|PA||最大． ∴联立直线l与AB′的方程，解得x＝，y＝， 即直线l与AB′的交点坐标为. 故点P的坐标为. (2)如图，设点C关于l的对称点为C′，可求得C′的坐标为(1，2)， ∴AC′所在直线的方程为x＋3y－7＝0. 易知|QA|＋|QC|＝|QA|＋|QC′|，当且仅当Q，A，C′三点共线时，|QA|＋|QC′|最小． ∴联立直线AC′与l的方程，解得x＝，y＝， 即直线AC′与l的交点坐标为. 故点Q的坐标为. 类题通法 利用对称性求距离的最值问题 由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A′，得直线A′B的方程，再求其与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 【迁移运用】 6.已知两点A(1，3)，B(4，5)，动点M在直线y＝x上运动，则|MA|＋|MB|的最小值为________． 解析：根据题意画出图象，如图， 设点A关于直线y＝x的对称点为A′(x，y)， 所以解得 即A′(3，1)， 连接A′B，则|A′B|即为|MA|＋|MB|的最小值，|A′B|＝＝. 答案： 1．点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，则a＋b等于(　　 ) A．－1 B．1 C．2 D．0 解析：选A.∵点P(a，b)关于直线l：x＋y＋1＝0对称的点仍在l上，∴点P(a，b)在直线l上，∴a＋b＋1＝0，即a＋b＝－1. 2．已知直线l：ax＋by＋c＝0与直线l′关于直线x＋y＝0对称，则l′的方程为(　　 ) A．bx＋ay－c＝0 B．bx－ay＋c＝0 C．bx＋ay＋c＝0 D．bx－ay－c＝0 解析：选A.在l的方程中以－x代替y，以－y代替x，即得l′的方程，则l′：a(－y)＋b(－x)＋c＝0，即bx＋ay－c＝0. 3．若点P(3，4)和点Q(a，b)关于直线x－y－1＝0对称，则(　　 ) A．a＝1，b＝－2 B．a＝2，b＝－1 C．a＝4，b＝3 D．a＝5，b＝2 解析：选D.由解得 4．若x，y满足x＋y＋1＝0，则x2＋y2－2x－2y＋2的最小值为________． 解析：原多项式可化为(x－1)2＋(y－1)2，其几何意义为点P(x，y)和点Q(1，1)间距离的平方，且点P(x，y)在直线x＋y＋1＝0上．设d为点Q到直线x＋y＋1＝0的距离，由|PQ|≥d，得≥，即x2＋y2－2x－2y＋2≥.故所求的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $