2.5 2.5.2　圆与圆的位置关系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦圆与圆的位置关系核心知识点，系统梳理外离、外切、相交、内切、内含五种类型，通过几何法（圆心距与半径关系）和代数法（方程组解的个数）构建判断体系，结合相交弦方程推导及长度计算，形成从实际情境抽象到数学应用的完整学习支架。 以日食现象为情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过几何法与代数法对比发展逻辑推理的数学思维，结合方程相减推导公共弦方程提升数学语言表达能力。课中问题驱动助教师引导学生探究，课后练习题与变式设计帮助学生巩固知识，弥补学习盲点。

2．5．2　圆与圆的位置关系 学习目标　1.了解圆与圆的位置关系，以培养数学抽象、直观想象能力．　2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题， 以提升数学运算能力．(重点、难点) 日食是一种天文现象，在民间称此现象为天狗食日．日食只在月球与太阳呈现合的状态时发生．日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食． 问题1　我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的？ 提示：圆与圆的位置关系有5种，分别是外离、外切、相交、内切、内含． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P96，分析思考：两圆的公切线条数与两圆位置关系有何联系？能否根据公切线条数判断两圆位置关系？ 提示：两圆不同的位置关系对应着不同的公切线条数，因此可以由公切线的条数判断两圆的位置关系，具体情况如下： ①两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条； ②两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条； ③两圆相交时，只有2条外公切线； ④两圆内切时，只有1条外公切线； ⑤两圆内含时，无公切线． (2)请认真阅读教材P96，分析思考：将两个相交的非同心圆的方程x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1，2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性？ 提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)如果两个圆没有公共点，那么这两个圆外离．(　　 ) (2)如果两个圆恰有一条公共切线，那么这两个圆外切．(　　 ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(　　 ) (4)两圆内切或外切时，切点和两个圆的圆心共线．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 　两圆位置关系的判断 问题2　如图为某次拍到的日环食全过程，可以用两个圆来表示变化过程． 根据上图，结合平面几何，思考圆与圆的位置关系有几种？ 提示：有三种，分别为相交、相切(含外切与内切)和相离(含外离与内含). 问题3　能否通过一些数量关系判断两圆的位置关系？ 提示：可以用公共点的个数，但相切、相离时不够准确；可以用两圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断，比较准确区分5种位置关系． 1．代数法：设两圆的一般方程为C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 温馨提示 (1)若用代数法判断两圆位置关系，当方程无解时，无法判断两圆的位置关系是外离还是内含；当方程有一解时，无法判断两圆的位置关系是内切还是外切． (2)在判断两圆的位置关系时，优先使用几何法. 例1　(链接教材：人A版教材P96例5)圆M：(x－1)2＋y2＝4与圆N：x2＋y2＋4x＋2y＝0的位置关系为(　　 ) A．相交 B．内切 C．外切 D．相离 解析：选A.圆M的圆心为M(1，0)，半径为r＝2；N：(x＋2)2＋(y＋1)2＝5，则圆N的圆心为N(－2，－1)，半径为R＝. 两圆心之间的距离|MN|＝＝，且满足R－r<|MN|<R＋r，可知两圆相交． 类题通法 判断两圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是解析几何中主要使用的方法． (2)代数法：将两圆的方程组成方程组，通过解方程组，根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系. 【迁移运用】 1.(1)圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a恰有三条公切线，则实数a的值是(　　 ) A．4 B．6 C．16 D．36 解析：选C.圆C1的标准方程为(x－2)2＋y2＝1， ∵两圆有三条公切线，∴两圆外切， ∴＝1＋，解得a＝16. (2)圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0的位置关系是(　　 ) A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 解析：选D.将两圆的一般方程化为标准方程得C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4；C2：(x＋2)2＋(y－2)2＝4，可知圆心C1(2，－1)，C2(－2，2)，半径r1＝2，r2＝2，|C1C2|＝＝5>r1＋r2，故两圆外离． (3)(2025·湖南长沙高二模拟)若圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，则正实数a的取值范围为(　　 ) A．(3，＋∞) B．(2，＋∞) C． D．(3，4) 解析：选A.|C1C2|＝，因为圆C1：(x－1)2＋(y－a)2＝4与圆C2：(x＋2)2＋(y＋1)2＝a2相交，所以|a－2|<<a＋2，解得a>3. 　相交弦问题 问题4　将⊙C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与⊙C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的方程相减，得到什么式子？两圆相交时，该式子有什么几何意义？ 提示：两方程相减得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0(*)，它代表两圆的公共弦所在直线方程． 理由：设A(x1，y1)，B(x2，y2)为两圆交点，则A，B坐标满足(*)，那它就代表一条过A，B的直线，即公共弦方程． 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 例2　(链接教材：人A版教材P98练习T2)已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0和C2：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0. (1)试判断两圆的位置关系； (2)求公共弦所在的直线方程； (3)求公共弦的长度． [思路点拨] 第(3)问构想 转化 反思 代数法 联立方程组得到交点坐标 两种方法的区别在哪里？ 几何法 先求出圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离，再构造直角三角形 解：(1)将两圆方程分别化为标准方程为C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5；圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.又|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，所以r1－r2<|C1C2|<r1＋r2，所以两圆相交． (2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0. (3)法一　两方程联立，得方程组 两式相减得x＝2y－4，　③ 把③代入②得y2－2y＝0，解得y1＝0，y2＝2， 所以或所以两圆交点坐标为(－4，0)和(0，2)， 所以两圆的公共弦长为＝2. 法二　由(2)知x－2y＋4＝0为两圆公共弦所在直线的方程． 由(1)知圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，圆心C1到直线x－2y＋4＝0的距离d＝＝3， 所以两圆的公共弦长为2＝2＝2. 类题通法 公共弦长的求法 ①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解. 【迁移运用】 2.(1)(2025·邯郸高二检测)(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有(　　 ) A．公共弦AB所在直线方程为x－y＝0 B．公共弦AB的长为 C．线段AB中垂线方程为x＋y－1＝0 D．P为圆O2上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1 解析：选ABC.对于A，因为圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，作差得4x－4y＝0，所以圆O1与圆O2的公共弦AB所在的直线方程为x－y＝0，故A正确； 对于B，圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心为O2(－1，2)，半径r2＝，则圆心O2(－1，2)到直线x－y＝0的距离d＝＝，所以圆O1与圆O2的公共弦AB的长为2＝，故B正确； 对于C，因为圆心O1(1，0)，O2(－1，2)，O1O2所在直线斜率为＝－1，所以线段AB的中垂线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0，故C正确； 对于D，由选项B易得，P到直线AB的距离的最大值为＋，故D错误． (2)(2025·陕西咸阳期末模拟)已知圆C1：x2＋(y＋1)2＝4和圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0. ①求证：圆C1和圆C2相交； ②求圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程以及公共弦的长． 解：①根据题意，圆C1：x2＋(y＋1)2＝4的圆心为(0，－1)，半径r＝2， 圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径R＝2， ∴圆心距l＝＝2， ∵R－r<l<R＋r， ∴圆C1和圆C2相交． ②将两圆方程相减，有x＋y－1＝0，即两圆公共弦所在直线的方程为x＋y－1＝0， 圆心C1到x＋y－1＝0的距离d＝＝，故公共弦的弦长为2×＝2. 　圆与圆的综合性问题 1．处理两圆相切问题的两个步骤 (1)定性，即必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉相切，则必须考虑分两圆内切还是外切两种情况讨论． (2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值(内切时)或两圆半径之和(外切时). 2．合理运用代数法与几何法处理直线与圆、圆与圆的问题，建立模型，利用方程思想或数形结合求解． 例3　(链接教材：人A版教材P98习题2.5T2)求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M的圆的方程． 解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)， 由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切， 则＝r＋1.① 又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0， 故＝.② ＝r.③ 由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6. 故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋＝36. 变式演练　(变结论)将本例变为“求与圆x2＋y2－2x＝0外切，圆心在x轴上，且过点的圆的方程”，如何求？ 解：因为圆心在x轴上， 所以可设圆心坐标为(a，0)，设半径为r， 则所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2， 又因为与圆x2＋y2－2x＝0外切，且过点(3，－)， 所以解得 所以圆的方程为(x－4)2＋y2＝4. 名师点睛 通过直线与圆，圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题. 1．圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－3)2＋y2＝1的位置关系为(　　 ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 解析：选B.由题意，圆C1：x2＋y2＝4，则圆心C1(0，0)，半径r1＝2， 圆C2：(x－3)2＋y2＝1，则圆心C2(3，0)，半径r2＝1， 所以两圆圆心距|C1C2|＝3＝r1＋r2，所以两圆外切． 2．(多选)圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9与圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4外切，则m的值为(　　 ) A．2 B．－5 C．－2 D．5 解析：选AB.圆C1：(x＋2)2＋(y－m)2＝9的圆心为(－2，m)，半径为3， 圆C2：(x－m)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(m，－1)，半径为2. 依题意有＝3＋2， 即m2＋3m－10＝0，解得m＝2或m＝－5. 3．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝_____． 解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝， 圆心(0，0)到直线的距离d＝＝＝1，所以a＝1. 答案：1 4．(2024·辽宁辽阳高二期末)若点P，Q分别是圆C：x2＋y2＝1与圆D：(x－7)2＋y2＝4上一点，则|PQ|的最小值为________． 解析：因为|CD|＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ|的最小值为7－1－2＝4. 答案：4 学科网（北京）股份有限公司 $