2.4 2.4.1　圆的标准方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．4　圆的方程 2．4．1　圆的标准方程 学习目标　1.掌握圆的定义及标准方程，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.会用待定系数法求圆的标准方程，能准确判断点与圆的位置关系，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　 床前明月光，疑是地上霜．举头望明月，低头思故乡．(李白《静夜思》) 月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代的人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也大量描写． 问题1　如果把天空看作一个平面，月亮当作一个圆，圆是怎样定义的？如何用集合语言描述？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？ 提示：圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． 用集合语言描述：设圆心为点A，半径为r，则圆A就是以下点的集合：{M│|MA|＝r}． 确定圆的要素：圆心和半径． 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P82～83，分析思考：平面内的点与圆有哪几种位置关系？如何判定？ 提示：分为点在圆外、点在圆上、点在圆内，可以用圆心与点的距离与圆的半径相比较判断位置． (2)请认真阅读教材P82～83，分析思考： 方程(x－a)2＋(y－b)2＝m＋1一定表示圆吗？ 提示：不一定．当m<－1时不表示任何图形；当m＝－1时表示点(a，b)；当m>－1时表示圆． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)圆(x－1)2＋(y＋1)2＝22的圆心为(－1，1).(　　 ) (2)圆心为(2，－1)，半径为的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5.(　　 ) (3)圆x2＋y2＝a2(a≠0)的半径为a.(　　 ) 提示：(1)×　(2)√　(3)× 　圆的标准方程 问题2　在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 提示：设圆心为A(a，b)，半径为r，圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，两边平方，得(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 1．圆的标准方程 条件 圆心为A(a，b)，半径为r 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2 特例 圆心在原点，半径为r的圆的方程x2＋y2＝r2 2.几种特殊位置的圆的标准方程 条件 圆的标准方程 圆心在原点，半径为r x2＋y2＝r2(r>0，r＝1时称为单位圆) 过原点 (x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2>0) 圆心在x轴上 (x－a)2＋y2＝r2(r≠0) 圆心在y轴上 x2＋(y－b)2＝r2(r≠0) 圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0) 圆心在y轴上且过原点 x2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与x轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0) 与y轴相切 (x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0) 温馨提示 (1)当圆心在原点即A(0，0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立的坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． (3)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上. 例1　(链接教材：人A版教材P83例2)求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4，0)，且过点(2，2)； (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)； (3)经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上． 解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8， ∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， ∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0，0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. (3)法一(待定系数法)　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 则有解得 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 法二(几何法)　由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0. ∵弦的垂直平分线过圆心， ∴由得 即圆心坐标为(4，－3)， 半径为r＝＝5. 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 类题通法 1．直接法求圆的标准方程的策略 确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等． 2．待定系数法求圆的标准方程的一般步骤 【迁移运用】 1.求满足下列条件的圆的标准方程： (1)与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)； (2)以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点． 解：(1)∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，∴该圆的半径为5，∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25. (2)∵AB为直径，∴AB的中点(1，2)为圆心，|AB|＝＝5为半径， ∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25. 　点与圆的位置关系 问题3　点M0(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2内的条件是什么？在圆x2＋y2＝r2外的条件又是什么？ 提示：点在圆内时，点到圆心的距离小于半径，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径． 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝. 位置关系 几何法：利用距离判断 代数法：利用方程判断 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 温馨提示 由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“<”“>”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解. 例2　(链接教材：人A版教材P83例1)(1)已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　 ) A．点P在圆C内 B．点P在圆C外 C．点P在圆C上 D．无法确定 解析：选A.由题意得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， ∴点P在圆C内． (2)已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_____． 解析：由题意知 即解得0≤a<1. 答案：[0，1) 类题通法 判断点与圆的位置关系的两种方法 (1)几何法：利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断． (2)代数法：把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断. 【迁移运用】 2.已知点P(2，1)和圆C：＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________；若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________． 解析：由题意得＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，由＋(1－1)2＝1，解得a＝－2或a＝－6. 当点P在圆C外时，由＋(1－1)2>1，解得a<－6或a>－2. 答案：－2或－6　a<－6或a>－2 1．以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(　　 ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16 解析：选C.以(2，－1)为圆心，4为半径的圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝16. 2．已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选D.圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3).因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0. 3．点P(1，3)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　 ) A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 解析：选B.∵12＋32＝10<24，∴点P在圆内． 4．与圆C：(x－1)2＋y2＝36同圆心，且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为___________________． 解析：圆C的半径R＝6，设所求圆的半径为r，则＝，所以r2＝18，又圆心坐标为(1，0)，则所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝18. 答案：(x－1)2＋y2＝18 5．若点P(5a＋1，12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________． 解析：∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1，169a2>1，a2>，∴a>或a＜－. 答案：a>或a<－ (链接教材P89“习题2.4T10”知识拓展) 圆的标准方程 图形 参数方程 参数θ的几何意义 x2＋y2＝r2 (θ为参数) OM0(O′M0)绕点O(O′)逆时针旋转到OM(O′M)的位置时转过的角度，θ∈[0，2π) (x－a)2＋ (y－b)2＝r2 (θ为参数) 学科网（北京）股份有限公司 $