2.2 2.2.3　直线的一般式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦直线的一般式方程核心知识点，衔接已学的点斜式、两点式等特殊形式，通过问题链引导学生建立二元一次方程与直线的双向对应关系，系统梳理方程定义、系数条件及与其他形式的转化，构建完整的直线方程知识支架。 资料以问题驱动设计为主线，通过“任何直线能否用统一方程表示”等问题培养数学抽象与直观想象，结合例1求直线方程、例2解决平行垂直问题等实例提升数学运算与推理能力。课中助力教师引导探究，课后学生可通过自主评测与迁移运用查漏补缺，强化知识应用。

2．2．3　直线的一般式方程 学习目标　1.掌握直线的一般式方程，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都表示直线，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点)　3.会进行直线方程的五种形式之间的转化，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 著名的法国数学家笛卡儿，因将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父．相传他在研究两直线的关系时，遇到这样一个问题： 问题1　平面直角坐标系中的任何一条直线能不能用一种统一的方程来表示呢？ 提示：可以用任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)来表示． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P64，分析思考：直线方程与二元一次方程的关系是什么？ 提示：直线的方程都可以化为二元一次方程；二元一次方程都表示直线． (2)请认真阅读教材P65，分析思考： 当A＝0，B＝0或C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0分别表示什么样的直线？ 提示：若A＝0，则y＝－，表示与y轴垂直的一条直线；若B＝0，则x＝－，表示与x轴垂直的一条直线；若C＝0，则Ax＋By＝0，表示过原点的一条直线． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)可表示平面内的任何一条直线．(　　 ) (2)平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示．(　　 ) (3)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化．(　　 ) (4)直线的一般式方程Ax＋By＋C＝0中，－表示直线的斜率．(　　 ) 提示：(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 　直线的一般式方程 问题2　平面直角坐标系中任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示吗？ 提示：可以．直线斜率存在时，有点斜式y－y0＝k(x－x0)方程为二元一次方程；斜率不存在时，x－x0＝0也可以认为是y的系数为0的二元一次方程． 问题3　任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线吗？ 提示：是．任意一个二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，B≠0时，y＝－x－；B＝0时，x＝－均表示直线． 我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 温馨提示 　 (1)直线一般式方程的结构特征： ①方程是关于x，y的二元一次方程； ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． (2)当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合；,⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 例1　(链接教材：人A版教材P66练习T1)根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程： (1)斜率是，且经过点A(5，3)； (2)经过A(－1，5)，B(2，－1)两点； (3)在x轴、y轴上的截距分别为－3，－1； (4)经过点B(4，2)，且平行于x轴． 解：(1)由点斜式得直线方程为y－3＝(x－5)，即x－y－5＋3＝0. (2)由两点式得直线方程为＝，即2x＋y－3＝0. (3)由截距式得直线方程为＋＝1， 即x＋3y＋3＝0. (4)y－2＝0. 类题通法 (1)求直线一般式方程的策略 当A≠0时，方程可化为x＋ y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定，的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程. (2)不同条件下各种直线方程的选用 在求直线方程时，设一般式方程并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程再化为一般式方程，一般选用规律为： ①已知直线的斜率和直线上某一点的坐标时，选用点斜式； ②已知直线的斜率和在y轴上的截距时，选用斜截式； ③已知直线上两点的坐标时，选用两点式； ④已知直线在x轴、y轴上的截距时，选用截距式． 【迁移运用】 1.已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的一般式方程． 解：设AB，AC边上的中线分别为CD，BE，其中D，E分别为AB，AC的中点， ∵点B在中线BE：y－1＝0上， ∴设B点坐标为(x0，1). 又A点坐标为(1，3)，D为AB的中点， ∴由中点坐标公式得D点坐标为(，2). 又点D在中线CD：x－2y＋1＝0上， ∴－2×2＋1＝0，解得x0＝5， ∴B点坐标为(5，1). 同理可求出C点的坐标是(－3，－1). 故可求出△ABC三边AB，BC，AC所在直线的一般式方程分别为x＋2y－7＝0，x－4y－1＝0和x－y＋2＝0. 　利用一般式解决直线的平行与垂直问题 问题4　已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若B1，B2≠0，则由l1∥l2，l1⊥l2可得什么结论？ 提示：l1∥l2 ⇔＝且≠，即A1B2＝A2B1且B1C2≠B2C1. l1⊥l2 ⇔＝－1，即A1A2＋B1B2＝0. 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0). (1)l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0. (2)l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 温馨提示 (1)A1B2－A2B1＝0表示斜率相等或都不存在，B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)表示截距不同，排除重合的情况． (2)A1A2＋B1B2＝0既包含斜率之积为－1的垂直，又包含一个斜率为0，一个不存在的垂直. 例2　(链接教材：人A版教材P67习题2.2T8)已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程： (1)过点(－1，3)，且与l平行； (2)过点(－1，3)，且与l垂直． 解：法一　l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－. (1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－. 又∵l′过点(－1，3)， ∴由点斜式知l′的方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. (2)∵l′与l垂直， ∴l′的斜率为，又l′过点(－1，3)， ∴由点斜式可得l′的方程为y－3＝(x＋1)，即4x－3y＋13＝0. 法二　(1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1，3)代入上式得m＝－9. ∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0. (2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0. 将点(－1，3)代入上式得n＝13. ∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0. 类题通法 判定平行、垂直的两种方法 (1)化成斜截式方程看斜率和截距的关系，但要注意k＝0和k不存在的情况； (2)化成一般式方程，用充要条件判断． 【迁移运用】 2.(1)过点P(2，1)且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为(　　 ) A．2x＋y＋5＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋5＝0 解析：选B.由题意得所求直线的斜率k＝－2，且过点P(2，1)，所以直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0. (2)已知直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，则实数a的值为_____． 解析：因为直线3x－4y＋4＝0与直线ax＋8y＋7＝0平行，所以3×8－(－4)a＝0，解得a＝－6. 答案：－6 　直线的一般式方程的应用 与直线Ax＋By＋C＝0平行、垂直的直线方程的设法 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0． 例3　设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)已知直线l在x轴上的截距为－3，求m的值； (2)已知直线l的斜率为1，求m的值． 解：(1)由题意知m2－2m－3≠0，即m≠3且m≠－1，令y＝0，得x＝， ∴＝－3，得m＝－或m＝3(舍去)， ∴m＝－. (2)由题意知，2m2＋m－1≠0，即m≠且m≠－1. 由直线l化为斜截式方程得y＝x＋， 则＝1，得m＝－2或m＝－1(舍去)， ∴m＝－2. 变式演练　(变条件)对于本例中的直线l的方程，若直线l与y轴平行，求m的值． 解：∵直线l与y轴平行， ∴∴m＝. 类题通法 含参直线方程的研究策略 (1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则需满足A，B不同时为0. (2)令x＝0可得在y轴上的截距．令y＝0可得在x轴上的截距．若确定直线斜率存在，可将一般式化为斜截式． (3)解分式方程要注意验根． 1．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为(　　 ) A．A≠0 B．B≠0 C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0 解析：选D.由直线的一般式方程可知，要使方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为0. 2．在平面直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　 ) A．30° B．60° C．150° D．120° 解析：选C.直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°. 3．已知直线l过点(0，3)，且与直线x－y－1＝0平行，则l的方程是(　　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 解析：选D.设直线l的方程为x－y＋c＝0(c≠－1)， 由点(0，3)在直线x－y＋c＝0上得0－3＋c＝0，解得c＝3， 因此直线l的方程为x－y＋3＝0. 4．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________． 解析：由已知得∴m＝3. 答案：3 学科网（北京）股份有限公司 $