2.2 2.2.2　直线的两点式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦直线的两点式方程与截距式方程核心知识点，基于上节课点斜式方程，通过两点坐标推导两点式（强调x1≠x2且y1≠y2的适用条件），进而引出截距式（以坐标轴截距点为两点），结合中点坐标公式构建从已知到未知的学习支架。 资料以斜拉桥实际情境引入，培养用数学眼光观察现实世界的意识，通过问题链引导思考（如例2分截距为0和不为0讨论）发展数学思维，例题变式注重运算严谨性，练习题覆盖不同题型，课中助力教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

2．2．2　直线的两点式方程 学习目标　1.理解直线的两点式方程，会求直线的两点式方程，以培养数学抽象、运算能力．(重点)　2.理解直线的截距式方程，会求直线的截距式方程，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.能用直线的两点式、截距式方程及中点坐标公式解决相关问题，以提升逻辑推理能力．(难点) 斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系． 问题1　斜拉索可看成过桥塔上一点与桥面上一点的直线，如何建立这条直线的方程？ 提示：根据直线上的两点坐标我们可以求出直线的斜率，进而利用上节课中的点斜式方程写出直线方程． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P62，分析思考：所有直线都可以用两点式方程来表示吗？ 提示：与x轴平行或与y轴平行的直线无法用两点式方程来表示． (2)请认真阅读教材P63，分析思考： 如果已知点P(a，b)是线段P1P2的中点，其中P1(x1，y1)，那么点P2的坐标是什么？ 提示：设点P2(x2，y2)，由中点坐标公式：a＝，b＝，所以x2＝2a－x1，y2＝2b－y1，则点P2(2a－x1，2b－y1). 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两点式方程与P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的顺序有关．(　　 ) (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，则此直线可以用截距式方程表示．(　　 ) (3)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　 ) (4)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 　直线的两点式方程 问题2　如图，给定直线l上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，x1≠x2，试用点斜式写出l的方程． 提示：y－y1＝(x－x1). 1．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2，y1≠y2)的直线方程＝，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式． 2．当x1＝x2时，直线P1P2垂直于x轴，直线方程为x－x1＝0，即x＝x1；当y1＝y2时，直线P1P2垂直于y轴，直线方程为y－y1＝0，即y＝y1. 温馨提示 (1)对于两点式中的两点，只要是直线上的两个不同点即可，两点式方程与这两个点的顺序无关． (2)把直线的两点式方程化为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，则该方程表示过平面内任意不同两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线. 例1　(链接教材：人A版教材P64练习T1)求过A(2，1)，B(m，3)两点的直线l的方程． 解：①当m＝2时，直线l的方程为x＝2； ②当m≠2时，直线l的方程为＝，即2x－(m－2)y＋m－6＝0. 因为当m＝2时，x＝2满足上式， 所以直线l的方程为2x－(m－2)y＋m－6＝0. 类题通法 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标． (2)根据题中的条件，找到有关方程，解出点的坐标． (3)由直线的两点式方程写出直线的方程． 提醒：要注意判断所给两点是否满足两点式方程的适用条件． 【迁移运用】 1.已知三角形的顶点是A(1，3)，B(－2，－1)，C(1，－1)，求这个三角形三边所在直线的方程． 解：直线AB过A(1，3)，B(－2，－1)，其两点式方程为＝， 整理得4x－3y＋5＝0，即为边AB所在直线的方程．直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为x＝1.直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为y＝－1. 　直线的截距式方程 问题3　如图，若给定直线上两点A(a，0)，B(0，b)(a≠0，b≠0)，你能否得出直线的方程呢？ 提示：根据两点式，＝，整理得＋＝1. 问题4　同学们想一想，直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为多少呢？ 提示：直线－＝1的横截距为3，纵截距为－4，所以直线－＝1在两坐标轴上的截距之和为－1. 我们把直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a叫做直线l在x轴上的截距，此时直线l在y轴上的截距是b.方程＋＝1由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定，所以把此方程叫作直线的截距式方程，简称截距式． 温馨提示 (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程. (2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． (3)与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示；过原点的直线的横、纵截距都为零． 例2　(链接教材：人A版教材P64练习T2)求过点(3，4)，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程． 解：(1)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时，可设直线l的方程为＋＝1.又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝－1. 所以直线l的方程为＋＝1，即x－y＋1＝0. (2)当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0时，即直线l过原点时，设直线l的方程为y＝kx，因为l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝，直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0. 变式演练　1.(变条件)若将本例中条件“截距互为相反数”改为“截距相等”，又如何求直线l的方程？ 解：(1)当截距不为0时， 设直线l的方程为＋＝1， 又l过点(3，4)，所以＋＝1，解得a＝7， 所以直线l的方程为x＋y－7＝0. (2)当截距为0时，设直线l的方程为y＝kx， 又l过点(3，4)，所以4＝k·3，解得k＝， 所以直线l的方程为y＝x，即4x－3y＝0. 综上，直线l的方程为x＋y－7＝0或4x－3y＝0. 2．(变条件)若将本例中条件“截距互为相反数”改为“截距之积为64”，又如何求直线l的方程？ 解：设直线l的方程为＋＝1，由已知得ab＝64　①. 又直线l过点(3，4)，所以＋＝1　②. 由①②解得或 故直线l的方程为＋＝1或＋＝1， 即4x＋y－16＝0或4x＋9y－48＝0. 　直线方程的应用 问题5　截距式方程＋＝1在使用过程中，应该注意哪些问题呢？ 提示：截距式方程应用的注意事项． (1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可． (2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直． (3)要注意截距式方程的逆向应用． 1．一般地，求直线的方程时，已知一点的坐标及斜率通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知在x轴、y轴上的截距选择截距式；已知两点坐标，选择两点式．但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件． 2．与面积、周长有关的问题中常用截距式方程形式，除此外，也可以在方程中分别赋值x＝0和y＝0，求出纵截距与横截距． 例3　已知直线l过点P(3，2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程． 解：法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)， 把点P(3，2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24， 从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立， 此时k＝－＝－， 从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0. 法二　由题意知，直线l的斜率k存在且k<0， 则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)， 且有A，B(0，2－3k)， ∴S△ABO＝(2－3k)＝[12＋(－9k)＋]≥[12＋2]＝×(12＋12)＝12，当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立， 即△ABO的面积的最小值为12， 故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0. 类题通法 计算最值问题的方法 对于三角形、四边形等图形的面积，获得对应的表达式后，可以结合式子特征，应用基本不等式、二次函数等方法，求得最大(或最小)值，需注意变量的限制条件． 【迁移运用】 2.直线l过点P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点． (1)当△AOB的周长为12时，求直线l的方程； (2)当△AOB的面积为6时，求直线l的方程． 解：(1)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，a＋b＋＝12　①. 因为直线l过点P， 所以＋＝1　②. 联立①②，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0. (2)设直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)， 由题意知，ab＝6即ab＝12　③， 联立②③，解得或 所以直线l的方程为3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0. 1．过点(1，2)，(5，3)的直线方程是(　　 ) A．＝ B．＝ C．＝ D．＝ 解析：选B.∵所求直线过点(1，2)，(5，3)， ∴所求直线方程是＝. 2．(多选)下列命题中不正确的是(　　 ) A．经过点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示 B．经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示 C．经过任意两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示 D．不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示 解析：选ABD.A中当直线的斜率不存在时，其方程只能表示为x＝x0； B中经过定点A(0，b)的直线x＝0无法用y＝kx＋b表示； D中不经过原点但斜率不存在(或斜率为零)的直线不能用方程＋＝1表示． 3．直线－＝1与坐标轴围成的图形面积为 ． 解析：化为截距式＋＝1，a＝2，b＝－3， S＝|a|·|b|＝×2×3＝3. 答案：3 4．直线l过点(－4，－1)，且横截距是纵截距的两倍，则直线l的方程为 ． 解析：当横、纵截距都是0时，设直线的方程为y＝kx. ∵直线过点(－4，－1)， ∴－1＝k×(－4)，∴k＝， 即直线的方程为x－4y＝0. 当截距均不为0时，设直线的方程为＋＝1. ∵直线过点(－4，－1)， ∴＋＝1，解得a＝－3， 即直线方程为x＋2y＋6＝0. 综上，所求直线方程为x＋2y＋6＝0或x－4y＝0. 答案：x＋2y＋6＝0或x－4y＝0 学科网（北京）股份有限公司 $