2.5 2.5.1 第2课时　直线与圆的方程的实际应用-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦直线与圆的方程的实际应用这一核心知识点，衔接直线与圆的基本方程和性质，通过问题引入（如卡车过隧道、台风影响轮船）、步骤总结（建系、代数运算、几何结论翻译）、例题解析（圆拱桥水位变化、轮船触礁问题）及迁移运用构建学习支架，助力学生从理论过渡到实践应用。 该资料以圆拱桥通行、轮船触礁等真实情境为载体，引导学生用数学眼光观察现实中的空间形式与数量关系。通过建立坐标系列方程求解，培养数学思维中的逻辑推理和数学建模能力，用坐标法精确表达几何要素，体现数学语言的应用。课中辅助教师引导探究，课后学生可通过练习题查漏补缺，巩固知识盲点。

第2课时　直线与圆的方程的实际应用 学习目标　1.理解并掌握直线与圆的方程在实际生活中的应用，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点) 2．会用“数形结合”的数学思想解决问题，以提升数学运算、数学建模、逻辑推理能力．(难点) 　圆的方程的实际应用 一辆平顶车篷的卡车宽2.7 m，要经过一个半径为4.5 m的半圆形隧道(双车道，不得违章). 问题1　这辆卡车的篷顶距离地面的高度不得超过多少？ 提示：可画出示意图如图所示，通过勾股定理解得OD＝＝＝3.6(m). 　利用圆的方程解决实际问题的步骤 第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题； 第二步：通过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论． 提醒：未知量的范围要根据实际问题确定． 例1　(链接教材：人A版教材P93例3)河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9 m，拱圈内水面宽22 m．一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，故通行无阻．近日水位暴涨了2.7 m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问船身至少应该降低多少？(精确到0.01，参考数据：≈99.383) 解：以正常水位时河道中央O为原点，过点O垂直于水面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示． 设桥拱圆的圆心O1(0，y0)，半径为r，则圆的方程为x2＋(y－y0)2＝r2. 依题意得(r－9)2＋112＝r2，解得r＝，y0＝－. 所以圆的方程为x2＋＝. 当x＝2时，y＝≈8.82. 6.5－(8.82－2.70)＝0.38 m. 所以为使船能通过桥洞，应至少降低船身0.38 m. 【迁移运用】 1.(1)一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2 m，水面宽12 m，当水面下降2 m后，水面宽是(　　 ) A．13 m B．14 m C．15 m D．16 m 解析：选D.建立如图所示的平面直角坐标系， 则A(－6，－2)，B(6，－2)， 设圆的方程为x2＋(y＋m)2＝m2(m>0)，将A点坐标代入圆的方程，则有m＝10， 故圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100， 令y＝－4，则x＝±8，故|EF|＝16(m). (2)如图是一座类似于上海卢浦大桥的圆拱桥示意图，该圆弧拱跨度AB为500 m，圆拱的最高点H离水面AB的高度为100 m，桥面CD离水面AB的高度为50 m. ①建立适当的平面直角坐标系，求圆拱的方程； ②求桥面在圆拱内部分CD的长度．(结果精确到0.1 m) 解：①设圆拱所在圆的圆心为G，以H为原点，方向为x轴正方向，AB的中垂线向上为y轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系． 设CD与y轴交于E点，AB与y轴交于F点，连接GA. 设圆的半径为r，则|AF|＝250，|GF|＝r－100，|AG|＝r， 在Rt△AFG中，|AF|2＋|GF|2＝|AG|2， 所以2502＋(r－100)2＝r2，解得r＝，所以G(0，－)， 所以圆拱方程为x2＋＝(y≥－100). ②由题意得|HE|＝50， 令y＝－50，得x2＋＝， 所以x2＝－＝(＋)×(－)＝675×50＝33 750， 所以x＝±75，所以|CD|＝150≈367.4. 所以桥面在圆拱内部分CD的长度约为367.4 m. 　直线与圆位置关系的应用 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域． 问题2　已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它会不会受到台风的影响？ 提示：如图，以台风中心为原点O，以东西方向为x轴，建立直角坐标系，其中，取10 km为单位长度．则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O，圆的方程为x2＋y2＝9；轮船航线所在的直线l的方程为4x＋7y－28＝0.可知直线与圆相离，故轮船不会受到台风的影响． 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知． (2)建系：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素． (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知． (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去． 例2　(链接教材：人A版教材P94例4)如图，某海面上有O，A，B三个小岛(面积大小忽略不计)，A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 km处，B岛在O岛的正东方向距O岛20 km处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1 km为单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 km处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 解：(1)由题意得A(40，40)，B(20，0)，设过O，A，B三点的圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则解得 ∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0. (2)该船初始位置为点D，则D(－20，－20)， 且该船航线所在直线l的斜率为1， 故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20＝0， 由(1)得圆C的圆心为C(10，30)，半径r＝10， 由于圆心C到直线l的距离d＝＝10<10，故该船有触礁的危险． 类题通法 关于直线与圆位置关系的应用 (1)建立坐标系，确定相关的直线、圆的方程，即建立数学模型． (2)利用直线与圆的位置关系，转化为求点到直线的距离、方程的解、不等式的解集等解决问题. 【迁移运用】 2.为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O处向东走1 km是储备基地的边界上的点A，接着向东再走7 km到达公路上的点B；从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条由D通往公路BC的专用线DE，求DE的最短距离． 解：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴和y轴，建立平面直角坐标系， 则圆O的方程为x2＋y2＝1，因为点B(8，0)，C(0，8)，所以直线BC的方程为＋＝1，即x＋y＝8. 当点D选在与直线BC平行的直线(距BC较近的一条)与圆相切所成切点处时，DE为最短距离．此时DE的最小值为－1＝(4－1)km. 　直线与圆位置关系的综合问题 例3　(链接教材：人A版教材P98习题2.5T11)如图，过半径为2的圆M上两点P，Q的切线相交于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S.试建立适当的平面直角坐标系，用坐标法证明：|RT|＝|ST|. 证明：如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系， 则可得圆的方程为x2＋y2＝4，A(0，2)，B(0，－2)， 设P(x0，y0)，则x＋y＝4. 直线AP的方程为y＝x＋2，令y＝0得xR＝， 直线BP的方程为y＝x－2，令y＝0得xS＝. ∵切线PT的方程为y－y0＝－(x－x0)，即x0x＋y0y＝4，由对称性知点T在x轴上， 故令y＝0得xT＝， ∴|RT|＝|xR－xT|＝|－|＝||＝2||， |ST|＝|xS－xT|＝|－|＝||＝2||， ∴|RT|＝|ST|. 类题通法 建立直角坐标系应坚持的四大原则 (1)若有两条相互垂直的直线，一般以它们分别为x轴和y轴． (2)充分利用图形的对称性． (3)让尽可能多的点落在坐标轴上，或关于坐标轴对称． (4)关键点的坐标易于求得. 【迁移运用】 3.在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a的值． 解：(1)方法一：曲线y＝x2－6x＋1与y轴的交点为(0，1)， 与x轴的交点为(3＋2，0)，(3－2，0)， 由圆的对称性可知圆心在直线x＝3上， 设该圆的圆心C为(3，t)， 则有r2＝32＋(t－1)2＝(2)2＋t2，解得t＝1. 故圆C的半径为r＝＝3. 所以圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9. 方法二：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 则当时有1＋E＋F＝0； 当y＝0时，x2－6x＋1＝0与x2＋Dx＋F＝0是同一方程，所以有D＝－6，F＝1，E＝－2. 故圆C的方程为x2＋y2－6x－2y＋1＝0. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组 消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0. 所以Δ＝56－16a－4a2>0. 在此条件下有① 由于OA⊥OB可得·＝－1， 所以x1x2＋y1y2＝0. 又因为y1＝x1＋a，y2＝x2＋a， 所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0，　② 由①②可得a＝－1， 当a＝－1时，Δ＝56－16a－4a2>0，故a＝－1. 1．一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，则该半圆的方程是(　　 ) A．x2＋y2＝25 B．x2＋y2＝25(y≥0) C．(x＋5)2＋y2＝25(y≤0) D．随建立直角坐标系的变化而变化 答案：D 2．经过直线2x－y＋3＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的两个交点，且面积最小的圆的方程是(　　 ) A．＋＝ B．＋＝ C．＋＝ D．＋＝ 解：选C.由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小． 圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0配方可得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，所以圆心坐标为(－1，2)，半径为2， 弦心距d＝＝，弦长为2＝，过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心和直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋2y－3＝0. 最小的圆的圆心为2x－y＋3＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，解方程组可得(－，)， 所以所求面积最小的圆的方程为＋＝＝. 3．设某村庄外围成圆形，其所在曲线的方程可用(x－2)2＋(y＋3)2＝4表示，村外一小路方程可用x－y＋2＝0表示，则从村庄外围到小路的最短距离是_____． 解析：从村庄外围到小路的最短距离为圆心(2，－3)到直线x－y＋2＝0的距离减去圆 的半径2，即－2＝－2. 答案：－2 4．如图是某主题公园的部分景观平面示意图，圆形池塘以O为圆心，以45 m为半径，B为公园入口，道路AB为东西方向，道路AC经过点O且向正北方向延伸，OA＝10 m，AB＝100 m，现计划从B处起修一条新路与道路AC相连，且新路在池塘的外围，假设路宽忽略不计，则新路的最小长度为(单位：m)________． 解析：以A为坐标原点建立平面直角坐标系(图略)，设修建的新路所在直线方程为kx－y＋100k－10＝0(k>0)，则当该直线与圆O相切时，小路长度最小，此时＝45， 解得k＝1，此时求得小路长度为100 m. 答案：100 学科网（北京）股份有限公司 $