2.2 2.2.1　直线的点斜式方程-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“直线的方程”核心内容，以点斜式方程为起点，通过射击情境引入，衔接斜率与直线位置关系，系统讲解点斜式（含斜率存在条件、特殊直线方程）及斜截式（截距概念、与一次函数区别），并延伸至平行垂直问题应用，构建完整知识支架。 资料亮点在于情境化与分层设计，射击情境培养数学眼光，自主评测与例题变式发展推理意识，规范解题步骤强化数学语言表达。课中例题链接教材便于教学实施，课后类题通法与迁移运用助力学生查漏补缺，提升知识应用能力。

2．2　直线的方程 2．2．1　直线的点斜式方程 学习目标　1.掌握直线方程的点斜式并会应用， 掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念，以培养数学抽象、数学运算能力．(重点)　2.会用直线的点斜式方程与斜截式方程解决直线的平行与垂直问题，以提升逻辑推理能力．(重点、难点) 射击手在进行射击训练时，要掌握两个动作要领：一是托枪的手要非常稳，二是眼睛要瞄准目标的方向．若要把子弹飞行的轨迹看作一条直线，且射击手达到了上述的两个动作要求． 问题1　怎样观察出直线的倾斜方向？ 提示：托枪的手的位置相当于直线上的定点，眼睛瞄准的方向即为直线的倾斜方向． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P59～60，分析思考： 直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？ 提示：不能．凡是垂直于x轴的直线，即斜率不存在的直线，其方程都不能用点斜式表示． (2)请认真阅读教材P61，分析思考：直线方程的斜截式等同于一次函数的解析式吗？ 提示：不一定．当k≠0时，y＝kx＋b即为一次函数，k＝0时，y＝b不是一次函数． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)倾斜角为0°，且经过点P0(x0，y0)的直线，能用点斜式表示．(　　 ) (2)直线在y轴上的截距就是直线与y轴交点到原点的距离．(　　 ) (3)直线的点斜式也可写成＝k.(　　 ) (4)若直线斜率不存在，则直线方程也不存在．(　　 ) 提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 　直线的点斜式方程 问题2　在直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k，就能确定唯一的一条直线．也就是说直线上所有点的坐标P(x，y)与P0(x0，y0)，k之间的关系是确定的，这一关系如何表示？ 提示：根据过两点的直线的斜率公式得＝k，即y－y0＝k(x－x0). 我们把方程y－y0＝k(x－x0)称为过点P0(x0，y0)，斜率为k的直线l的方程． 方程y－y0＝k(x－x0)由直线上一个定点(x0，y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式． 温馨提示 (1)点斜式应用的前提是直线的斜率存在，若斜率不存在，则不能应用此式． (2)当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0，特别地，x轴的方程是y＝0； 当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程，此时可将方程写成x＝x0，特别地，y轴的方程是x＝0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(链接教材：人A版教材P60例1)(1)过点P(－2，3)，倾斜角为135°的直线的点斜式方程为 ; (2)过点P(－2，3)，平行于x轴的直线方程为 ; (3)过点P(－2，3)，平行于y轴的直线方程为 ． 解析：(1)因为直线的倾斜角为135°， 所以直线的斜率k＝tan 135°＝－1， 所以所求直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2). (2)因为直线平行于x轴，所以直线的斜率k＝0，所以所求直线的方程为y－3＝0. (3)因为直线平行于y轴，所以直线的斜率不存在，所以所求直线的方程为x＝－2. 答案：(1)y－3＝－(x＋2)　(2)y－3＝0　(3)x＝－2 类题通法 求直线的点斜式方程的关注点 (1)关键：求出直线的斜率； (2)题型：已知直线上一点的坐标及直线的斜率或已知直线上两点的坐标； (3)注意：斜率不存在时，可直接写出过点(x0，y0)的直线的方程为x＝x0.) 【迁移运用】 1.求满足下列条件的直线方程： (1)经过点(2，－3)，倾斜角是直线y＝x的倾斜角的2倍； (2)经过点P(5，－2)，且与y轴平行； (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点． 解：(1)∵直线y＝x的斜率为， ∴直线y＝x的倾斜角为30°. ∴所求直线的倾斜角为60°，故其斜率为. ∴所求直线方程为y＋3＝(x－2)， 即x－y－2－3＝0. (2)与y轴平行的直线，其斜率k不存在，不能用点斜式方程表示． 但直线上点的横坐标均为5， 故直线方程可记为x＝5. (3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点的直线斜率 kPQ＝＝＝－1. ∵直线过点P(－2，3)， ∴由直线的点斜式方程可得直线方程为y－3＝－(x＋2)，即x＋y－1＝0. 　直线的斜截式方程 问题3　考虑一种特殊情形：如果直线l的斜率为k且过P0(0，b)，那么此时直线的方程如何表示？ 提示：由y－b＝k(x－0)得y＝kx＋b. 直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距． 我们把方程y＝kx＋b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式． 温馨提示 (1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况． (2)截距是一个实数，它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标，可以为正数、负数和0.当直线过原点时，它的横截距和纵截距都为0. (3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，直线的方程就是函数解析式，其中k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，直线在x轴上的截距是－. 　　　　　　　　　　　　　　　 例2　(链接教材：人A版教材P62练习T3)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程． 解：由斜截式方程知，直线l1的斜率k1＝－2， 又因为l∥l1，所以kl＝－2. 由题意知，l2在y轴上的截距为－2， 所以直线l在y轴上的截距b＝－2. 由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2. 变式演练　1.(变条件)本例中若将“直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相等”改为“直线l与l1垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数”，求直线l的方程． 解：∵l1⊥l，直线l1：y＝－2x＋3， ∴l的斜率为. ∵l与l2在y轴上的截距互为相反数， 直线l2：y＝4x－2， ∴l在y轴上的截距为2. ∴直线l的方程为y＝x＋2. 2．(变结论)若本例条件不变，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积． 解：令x＝0得y＝－2，令y＝0得x＝－1. 所以所求三角形的面积为S＝×|－2|×|－1|＝1. 类题通法 (1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在． (2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线的斜截式方程，只需知道参数k，b的值即可. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　平行与垂直问题 问题4　前面一节课中我们已经讨论过斜率对于直线平行、垂直的影响．设l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，思考一下什么时候：(1)l1∥l2；(2)l1，l2重合；(3)l1⊥l2? 提示：(1)k1＝k2且b1≠b2；(2)k1＝k2且b1＝b2；(3)k1k2＝－1. 若l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1． 温馨提示 (1)给定两条直线的斜截式方程，说明了已知两条直线的斜率及相应截距，在此基础上判断两条直线的位置关系． (2)当给定位置求相应字母的取值时，要正确利用k1＝k2或k1k2＝－1等结论. 　　　　　　　　　　　　　　　　　 角度一　利用平行或垂直求直线方程 例3　(链接教材：人A版教材P61例2)求与直线y＝x＋垂直，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24的直线l的方程． 解：由直线l与直线y＝x＋垂直， 可设直线l的方程为y＝－x＋b， 则直线l在x轴、y轴上的截距分别为x0＝b，y0＝b. 又因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24， 所以S＝|x0||y0|＝24， 即·|b|＝24，b2＝36，解得b＝6或b＝－6. 故所求的直线方程为y＝－x＋6或y＝－x－6. 类题通法 两条直线平行和垂直的判定 已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2， ①若l1∥l2，则k1＝k2，此时两直线与y轴的交点不同，即b1≠b2；反之k1＝k2，且b1≠b2时，l1∥l2.所以有l1∥l2⇔k1＝k2，且b1≠b2. ②若l1⊥l2，则k1·k2＝－1；反之k1·k2＝－1时，l1⊥l2.所以有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 【迁移运用】 2.已知直线l1：y＝x＋a，l2：y＝(a2－3)x＋1，当a为何值时， (1)l1∥l2； (2)l1⊥l2. 解：(1)若l1∥l2，则a2－3＝1，a2＝4，所以a＝±2，又由于l1∥l2，两直线l1与l2不能重合，则a≠1，则a≠2，故a＝－2. (2)若l1⊥l2，则(a2－3)×1＝－1， 所以a2＝2，解得a＝±. 角度二　根据平行或垂直求参数 例4　已知直线l1：y＝－x＋和l2：6my＝－x＋4，则m为 时，l1与l2平行；m为 时，l1与l2垂直． 解析：当m＝0时，l1：4y－5＝0；l2：x－4＝0，l1与l2垂直； 当m≠0时，l2的方程可化为y＝－x＋，由－＝－，得m＝±； 由≠，得m≠且m≠，所以当m＝－时，l1与l2平行； 又－·＝－1无解． 综上，当m＝－时，l1与l2平行； 当m＝0时，l1与l2垂直． 答案：－　0 名师点睛 若已知含参数的两条直线平行或垂直，求参数的值时，要注意讨论斜率是否存在，若是平行关系注意考虑b1≠b2这个条件. 【迁移运用】 3.(1)已知直线l1：x＝ay＋3，若l1与l2：y＝－x＋垂直，则a＝ ． 解析：因为l1的方程为x＝ay＋3，所以它的斜率为，因为l1与l2：y＝－x＋垂直，所以×(－)＝－1，解得a＝. 答案： (2)若直线l1：y＝－x－与直线l2：y＝3x－1互相平行，则a＝ ． 解析：由题意可知解得a＝－，符合题意． 答案：－ 1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线方程是(　　 ) A．y＝3x－2 B．y＝3x＋2 C．y＝3(x－2) D．y＝3(x＋2) 答案：D 2．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则此直线的方程为(　　 ) A．y＝x＋2 B．y＝－x＋2 C．y＝－x－2 D．y＝x－2 解析：选D.直线的倾斜角为60°，则其斜率为，利用斜截式直接写方程． 3．已知直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝ ． 解析：由题意可知a·(a＋2)＝－1，解得a＝－1. 答案：－1 4．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成30°角的直线的斜截式方程是 ． 解析：因为直线与y轴相交成30°角， 所以直线的倾斜角为60°或120°， 所以直线的斜率为或－， 又因为在y轴上的截距为－6， 所以直线的斜截式方程为y＝x－6或y＝－x－6. 答案：y＝x－6或y＝－x－6 学科网（北京）股份有限公司 $