2.1 2.1.1　倾斜角与斜率-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦直线的倾斜角与斜率核心知识点，从现实坡度情境抽象出倾斜角定义及范围，通过两点坐标代数化推导斜率公式，构建倾斜角与斜率的关系及应用体系，辅以问题引导、自主评测和例题解析作为学习支架。 资料以情境化问题链驱动学习，如从坡度到坐标系中倾斜程度的刻画，培养直观想象与数学抽象素养。通过例题变式和类题通法总结，提升数学运算与推理意识，课中辅助教师引导几何到代数过渡，课后助力学生查漏补缺深化理解。

。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第日章 直线和圆的方程 2.1直线的倾斜角与斜率 2.1.1倾斜角与斜率 学习目标1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几 何要素，以培养数学抽象、直观想象能力.（重点）2.理解直线的倾斜角和斜率的 概念，以提升数学抽象能力·（重点）3经历用代数方法刻画直线斜率的过程，以 提升数学抽象、数学运算能力（难点） 预思启慧自检明真 自主学习·新知感悟 1 交通工程上一般用“坡度”来描述一段道路对于水平方向的倾斜程度，如图， 一辆汽车沿某条道路从A点前进到B点，在水平方向前进的距离为AD,竖直方 向上升的高度为DB(如果是下降，则DB的值为负实数)，则坡度k=上升高度水 平距离=DBAD若O,则表示上坡，若<0，则表示下坡，为了实际应用与安 全，在道路铺设时常要规划坡度的大小。 高 水平距离 D 问题1“坡度”是如何来刻画道路的倾斜程度的呢？ 提示：坡度=铅直高度水平宽度，实际就是坡角的正切值，利用坡度的大小 来刻画道路的倾斜程度. 问题2在平面直角坐标系下，如何刻画直线的倾斜程度？ 提示：如图，在直线1上任取两个不同的，点P1(1,y1),P2(x2,2),记△x=x2一x (△x≠0)，△y=y2一y1,则在直线1上，点P1平移到，点P2,相当于在横轴上改变了△x ,即横坐标的改变量为△x,在纵轴上改变了△y,即纵坐标的改变量为△y.因此，比 值k=x反映了直线1的倾斜程度， y 0 【自主评测】 1.教材挖掘：(1)请认真阅读教材P51,分析思考：任何一条直线都有倾斜角 +独家授权侵权必究。 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 吗？不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 提示：由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角；不同的直线其 倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角是相同的 (2)请认真阅读教材P52~53,分析思考：直线的倾斜角越大，斜率就越大吗？ 提示：不是，如60°<120°，但斜率分别为3和一3，而3>一3.应分区间说 明，当x∈[0°，90°)和∈(90°，180°)时，上述结论在这两个区间分别成立， (3)请认真阅读教材P54,分析思考：若直线1的斜率为k,则直线1的一个方 向向量可以是(1，吗？ 提示：可以. 2.判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×” ()任何一条直线都有倾斜角与斜率.() (2)当直线的斜率为负值时其倾斜角为钝角.() (3)利用过两点的直线的斜率公式可以求任意一条直线的斜率.() (4)与y轴垂直的直线的斜率不存在，与x轴垂直的直线的斜率为0.( 提示：(1)×(2)/(3)×(4)× 破壁生光蓄力冲霄 合作探究·思维进阶 「探究任务一」直线的倾斜角 我们发现，在图①中，经过平面直角坐标系原点的直线有无数条；在图②中， 与x轴（正方向）所成的角为π6的直线也有无数条. 年6 图① 图② 问题3确定一条直线的几何要素是什么？ 提示：由初中的平面几何知识，知道两，点确定一条直线；由必修一中的平面 向量知识，我们知道一个点与一个方向也可以确定一条直线 问题4对于平面直角坐标系中的一条直线（图③），如何利用坐标系确定它 的位置？ 图③ 提示：利用直线1与x轴的交，点和直线1与x轴正方向的夹角可以确定它的位 置.（答案不唯一） ·独家授权侵权必究 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 」知识梳理 当直线1与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线1 定义 向上的方向之间所成的角a 规定 当直线1与x轴平行或重合时，它的倾斜角为0° 范围 0°≤a<180 典例研析 例1(1)（多选）下列命题中，正确的是( A.任意一条直线都有唯一的倾斜角 B.一条直线的倾斜角可以为-30 C.倾斜角为0°的直线有无数条 D.若直线的倾斜角为a,则sina∈(O,1) 解析：选AC.任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；倾斜角不可能为 负，故B错误；倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y轴，故C正确； 当ax=0°时，sing=0;当=90°时，sinx=1,故D错误 (2)如图，已知直线1的倾斜角是150°，2⊥1，垂足为B,1,12与x轴分别 相交于点C,A,飞平分∠BAC,则I3的倾斜角为 y B 解析：因为直线☑1的倾斜角为150°， 所以∠BCA=30°， 所以3的倾斜角为12×(90°一30°)=30° 答案：30 掌类题通法 求直线倾斜角问题的关注点 关键：根据题意画出图形，找准倾斜角： 方法：结合图形，利用特殊三角形（如直角三角形）求角. 注意：倾斜角的取值范围是0°≤a<180°) 【迁移运用】1.已知直线1过原点，1绕原点按顺时针方向转动角α(0°< a<180°)后，恰好与y轴重合，求直线1转动前的倾斜角是多少？ 解：由题意画出如下草图. ·独家授权侵权必究· 多学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 由图可知： 当x为钝角时，倾斜角为x一90°， 当a为锐角时，倾斜角为x十90°， 当x为直角时，倾斜角为0°. 综上，直线1转动前的倾斜角为x十90°0°<<90°，-90°90°≤x <180° 「探究任务二」 直线的斜率与方向向量 在日常生活中，用坡度来刻画道路的倾斜程度，坡度即坡面的铅直高度和水 平长度的比，这个比值反映了物体在水平方向的改变量和铅直方向的改变量的 联系.例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度32 >22.显然坡度越大，坡的倾斜程度就越大.实际上，生活中这样的例子很多， 如水库大坝、楼梯及屋顶的坡度等， 高 前进量 问题5在平面直角坐标系中，我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线 的倾斜程度？ 提示：可以利用倾斜角的正切值，即飞=tan&≠)来定义直线的倾斜程度. 问题6结合问题5的结论，试借助向量的方法求解以下直线倾斜角的正切值： ①直线过O(0,0),P(3,1)；②直线过P1(-1,1),P2(2,0);③直线过P11,y), P2x2,y2) 提示：对于①，向量OP=(3,1),由正切函数的定义，tan1=13)=3)3; 对于②，向量P1P2=(2+1,-1),可平移使0P-P1P2=(2+1,-1),于是 tanc2=-1r2)+1=1-2; 对于③，类比②可知tan a-=y2-ylx2一x1. 知识梳理 1.斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜 率常用小写字母k来表示，即k=tana: ·独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 2.斜率公式：如果直线经过两点P1x1,y),P2(2,y2)x1≠x2),可得斜率公 式为k=y2=ylx2-xl 3.若直线1的斜率为k,则其一个方向向量为(1，)；若直线的方向向量的坐 标为，y),则k=匹， 典例研析 例2(1)（链接教材：人A版教材P55练习T1)若直线的倾斜角为120°，则 直线的斜率为」 (2)若过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1，则m的值为 (3)(链接教材：人A版教材P55练习T5)已知直线1的方向向量的坐标为(1,3)， 则直线1的倾斜角为 解析：(1)k=tan120°=-3 (2)由斜率公式k=4-mm十2=1，得m=1. (3)设直线1的斜率为， 则k=3,所以直线的倾斜角为π3. 答案：(1)-3(2)1(3)m3 1.求直线的斜率的两种方法12x1≠x22.直线的方向向量问题的解题策略12 誉类题通法 1.求直线的斜率的两种方法 (1)利用定义：己知直线的倾斜角为a,且a≠90°，则k=tana. (2)利用斜率公式：k=y2一ylx2一xl(x≠x2). 2.直线的方向向量问题的解题策略 (1)直线的方向向量与直线上任意两点对应的向量平行； (2)利用直线的方向向量与斜率的关系可以解决求值的问题 【迁移运用】2.已知直线1的斜率的取值范围为（一∞，一1]，直线1的方向 向量为(2,3m),则m的取值范围为 解析：由题意知k=3m2,且k∈(-o,-1],所以3m2≤-1，解得m≤-23 所以m的取值范围为(-∞，一23] 答案：(-∞，一23] 3.经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线 ·独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 的倾斜角a (1)A(2,3),B(4,5); (2)C(-2,3),D2,3); (3)P(a,2),Q3,6). 解：(1)存在.直线AB的斜率k4B=5-34-2=1,即tanx=1,又0°≤x <180°，所以倾斜角x=45 (2)存在.直线CD的斜率kcD=3-32+2=0,即tanx=0,又0°≤180°， 所以倾斜角=0° (3)当a=3时，斜率不存在，则倾斜角x=90°； 当a≠3时，直线的斜率k=43-a且倾斜角ax满足tanu=43-a. 「探究任务三」直线的倾斜角与斜率的应用 问题7当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，其斜率如何变化？为什 么？ 提示：由正切函数图象及单调性，当倾斜角为锐角时，斜率为正，且斜率随 着倾斜角的增大而增大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且斜率随着倾斜角的增 大而增大 知识梳理 1.设直线的倾斜角为a,斜率为k a的大小 09 0°<a<909 90° 90°<a<1809 k的范围 k=0 ≥0 不存在 k① k的增减性 随a的增大而增大 随a的增大而增大 2.下面特殊角的正切值要熟记： 倾斜角a 09 30° 45 609 120° 135° 150 斜率k 0 3)3 1 3 -3 -1 -33 12普温馨提示 (1)根据正切函数在[0，π)上的图象可知，倾斜角与斜率之间是一一对应的， 即可以用k的值判定倾斜角的情况， (2)正确分析斜率随倾斜角的变化规律，注意90°倾斜角没有斜率， 独家授权侵权必究· 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+救辅专家 典例研析 例3（链接教材：人A版教材P55练习T3)己知两点A(4,一3），B(3,23), 过点P(1,O)的直线1与线段AB有公共点，求直线1的斜率k的取值范围. 解：如图，由题意可知k4=-3-04一1=-1，kB=3)一03一1=3， B(3,25) /1,0) 4 A(4,-3) 要使1与线段AB有公共，点，则直线1的斜率k的取值范围是[一1,3] 变式演练1.（变条件）本题若将条件中“A(4,一3)”改为“A(一3,4)”，结论 不变，如何求解？ 解：如图，由题意可知4=4一0一3-1=一1，kp=3)一03一1=3， ↑y A(-3,4) 7B(3,2N3) 0P(1,0) 要使1与线段AB有公共，点，则直线1的斜率k的取值范围是C (alvs4lalcol(-oo,-I]Unr(3)),+co). 2.(变结论)本题若条件不变，而将结论“求直线1的斜率k的取值范围.”改 为“求直线1的倾斜角α的取值范围.”如何求解？ 解：如图，由题意可知k4=-3-04-1=-1,kB=3)-O3-1=3, RB(3,2N3) /1,0) 4 3 A(4,-3) PB的倾斜角是60°，PA的倾斜角是135°，所以x的取值范围是0°≤≤60 。或135°≤x<180°. 过定点和线段有交点的直线的斜率（倾斜角）的取值范围问题的解题步骤 12x2-x13章类题通法 过定点和线段有交点的直线的斜率（倾斜角）的取值范围问题的解题步骤 (I)连接PA,PB(若直线PA,PB的斜率均存在)： +独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)由k=y2一ylx2一x1,求出kA,kP8: (3)结合图形即可写出满足条件的直线1的斜率（倾斜角）的取值范围 知行合一行稳致远 学以致用·课堂评价 1.若直线斜率的绝对值等于3，则直线的倾斜角为( A.60 B.30° C.1209 D.60°或120 解析：选D.k=3时，x=60°；k=-3时，x=120° 2.一条直线1与x轴相交，其向上方向与y轴正方向所成的角为α(0°< a<90°)，则其倾斜角为( ) A.a B.180°-a C.180°-a或90°-a D.90°十a或90°-a 解析：选D.如图1，当1向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°十x; 如图2，当1向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°一 1 图2 3.已知斜率为3的直线逆时针旋转150°得到另一条直线，则其斜率 为 解析：斜率为3的直线倾斜角为60°， 则另一条直线的倾斜角为30°，其斜率为3)3. 答案：3)3 4.若经过点A(1一t,1十)和点B(3,2)的直线的倾斜角为钝角，则实数t的 取值范围是 解析：由题意知，k4B=2t-(1+t)3-(1-)=t-1t+2 因为直线的倾斜角为钝角，所以4B=t一1t十2<0，解得一2<K1. 答案：(-2,1) ◆教材深度学习 倾斜角与斜率之间的关系 (链接教材P53“探究”栏目) (1)当直线的倾斜角a=0°时，斜率k=0,直线与x轴平行或重合； (2)当0°<α<90°时，斜率心0，且由正切函数的单调性可知，k值随着倾斜 +独家授权侵权必究 多学科网书城回 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 角的增大而增大，由0趋近于十∞（如图所示）； (3)当a=90°时，斜率k不存在（此时直线是存在的，直线与x轴垂直）： (4)当90°<a<180°时，斜率0，且由正切函数的单调性可知，k值随着倾 斜角的增大而增大，由一∞趋近于0（如图所示） y=tan x ·独家授权侵权必究·