1.4 1.4.2 第1课时　用空间向量研究距离问题-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦用空间向量研究空间距离问题，系统梳理点到直线、点到平面、线面及面面距离的概念与向量表示，通过问题链衔接定义理解与公式推导，构建从几何直观到向量运算的学习支架，配套例题与迁移运用巩固方法。 以立交桥、水渠引水等现实情境引入，培养数学眼光观察距离本质，通过向量投影、法向量等推导距离公式，发展数学思维逻辑推理，用空间直角坐标系和向量符号表达计算过程，提升数学语言表达能力。课中助力教师引导学生转化距离问题，课后学生可借自主评测与练习查漏补缺。

1．4.2　用空间向量研究距离、夹角问题 第1课时　用空间向量研究距离问题　　　► 对应学生用书P38 学习目标　1.理解点线距、线线距、线面距、面面距的概念与向量表示，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点) 2．会利用向量求空间距离，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点、难点) 立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通，而且成为城市建设的美丽风景．在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离． 问题1　高速公路旁两点A、B之间的距离是如何定义的？有什么性质？ 提示：连接A，B两点间的线段的长度称为A、B两点间的距离，它是A，B两点间所有连线中最短的，即两点之间线段最短． 问题2　 公路直线l外一点P到公路直线l的距离是如何定义的？有什么性质？ 提示： 如图，过点P作PQ⊥l，Q为垂足，垂线段PQ的长度为点P到直线l的距离，它是点P和直线l上任一点所作的线段中长度最短的． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P33，分析思考：怎样利用向量方法求直线到直线的距离、直线到平面的距离、平面到平面的距离？ 提示：两条直线平行，其中一条直线到另一条直线间的距离是其中一条直线上任一点到另一条直线的距离；一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一点到这个平面的距离；两个平面平行，平面到平面的距离就是一个平面上任一点到另一个平面的距离． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)平面α外一点A到平面α的距离，就是点A与平面内一点B所成向量的长度．(　　 ) (2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上任一点到平面α的距离．(　　 ) 提示：(1)×　(2)√ 　 点到直线的距离 某人在一片丘陵上开垦了一块田地，在丘陵的上方架有一条直的水渠，此人想从水渠上选择一个点，通过一条管道把水引到田地中的一个点P处． 问题3　要想使这个管道的长度理论上最短，应该如何设计？ 提示：过点P修一条垂直于这条水渠的路线． 问题4　 如图，已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点．如何利用这些条件求点P到直线l的距离？ 提示：设＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得点P到直线l的距离为PQ＝. 设直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是l外一点，＝a，则向量在直线l上的投影向量＝(a·u)u，点P到直线l的距离PQ＝＝. 温馨提示 点到直线的距离，即点到直线的垂线段的长度，由于直线与直线外一点确定一个平面，所以空间点到直线的距离问题可转化为空间某一个平面内点到直线的距离问题. 例1　(链接教材：人A版教材P34例6)在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 解： 方法一　连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，∴＝(－2，0，2)，＝(－2，3，0)， ∴＝(－2，0，2)·(－2，3，0)＝4，取a＝＝(－2，0，2)，u＝＝， ∴a·u＝，∴O1到直线AC的距离d＝. 方法二　 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，过O1作O1D⊥AC于点D，设D(x，y，0)，则＝(x，y，－2)，＝(x－2，y，0)． ∵＝(－2，3，0)，⊥∥， ∴解得∴D， ∴＝. 即O1到直线AC的距离为. 类题通法 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)求直线的单位方向向量． (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度． (3)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化. 【迁移运用】 1. 已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝1，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，求点B到直线A1C1的距离． 解： 以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，所以直线A1C1的方向向量＝(－4，3，0)，＝(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离d＝ . 　点到平面的距离 已知平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点 问题5　如何求平面α外一点P到平面α的距离？ 提示：过点P作PQ⊥平面α，垂足为Q，则线段PQ的长度就是点P到平面α的距离，而∥n，所以向量在法向量n方向上的投影向量的长度就等于线段PQ的长度. 已知平面α的法向量是n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离PQ＝＝＝． 例2　 (链接教材：人A版教材P35练习T1)在三棱锥S­ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA＝SC＝2，M，N分别为AB，SB的中点，如图所示．求点B到平面CMN的距离． 解：取AC的中点O，连接OS，OB. 因为SA＝SC，AB＝BC， 所以AC⊥SO，AC⊥BO. 因为平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC＝AC， 所以SO⊥平面ABC. 又BO⊂平面ABC，所以SO⊥BO. 又因为△ABC为正三角形，O为AC的中点， 所以AO⊥BO. 如图所示，分别以OA，OB，OS所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则B，C(－2，0，0)，S，M，N. 所以＝＝＝. 设n＝(x，y，z)为平面CMN的一个法向量， 则取z＝1，， 则x＝，所以n＝. 所以点B到平面CMN的距离d＝. 类题通法 向量法求点面距的一般步骤 【迁移运用】 2.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距离． 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，0，0)，P(0，0，1)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E，F. 设DH⊥平面PEF，垂足为H， 则＝，x＋y＋z＝1， ＝， 所以x＋y－z＝0. 同理，y－z＝0， 又x＋y＋z＝1，解得x＝y＝， 所以，所以＝. 因此，点D到平面PEF的距离为. 　 直线、平面到平面的距离 问题6　类比两条平行直线间的距离，如何求直线与平面或两个平行平面间的距离？ 提示：在直线上或其中一个平面上取一定点，则该点到另一个平面的距离即为直线与平面或两平行平面之间的距离． 问题7　 直线与平面或两个平行平面间的距离，本质上与点到平面距离是一样的，如图，空间中，平面α和平面α外一点A，如何得到点A到平面α的距离？ 提示： 过A作平面α的一条垂线段，即作AA′⊥α于A′，则垂线段AA′的长为点A到平面α的距离，点A与平面内任一点的最短连线的长度即点A到平面α的距离AA′. 1．如果一条直线l与一个平面α平行，可在直线l上任取一点P，将线面距离转化为点P到平面α的距离求解． 2．如果两个平面α，β互相平行，在其中一个平面α内任取一点P，可将两个平行平面的距离转化为点P到平面β的距离求解． 温馨提示 只有线面(或面面)平行时，才有线面(面面)距离． 角度一　线面距 例3　(链接教材：人A版教材P35练习T2)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，M，N分别为A1B1，AD，CC1的中点，求AC与平面EMN之间的距离． 解： 以D为原点，以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则M(1，0，0)，E(2，1，2)，N(0，2，1)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，所以＝(1，1，2)，＝(－1，2，1)，＝(－2，2，0)． 设平面EMN的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则 令z＝1，则得n＝(－1，－1，1)． 因为·n＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0，所以⊥n， 又因为点A显然不在平面EMN内， 所以AC与平面EMN平行． 又因为＝(1，0，0)， 所以＝ ， 因此点A到平面EMN的距离为，这也是AC与平面EMN之间的距离． 名师点睛 求直线与平面的距离，先证明直线与平面平行，再转化为点与平面的距离求解. 【迁移运用】 3. 如图，在直棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE的距离． 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离． 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz， 则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E，C. 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝，∴B，∴＝＝. 设平面ABE的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1，0，1)． ∵＝(0，0，2)， ∴点A1到平面ABE的距离d＝. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 角度二　面面距 例4　(链接教材：人A版教材P35练习T3) 如图，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧棱AA1＝3，底面边长为AB＝2，E，F分别为棱BC，B1C1的中点． (1)求证：平面BD1F∥平面C1DE； (2)求平面BD1F与平面C1DE间的距离． 解：(1) 证明：如图，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，C1(0，2，3)，B1(2，2，3)，B(2，2，0)，E(1，2，0)，F(1，2，3)， 所以＝(1，2，0)，＝(1，2，0)， 所以∥，所以D1F∥DE. 又因为＝(－1，0，3)，＝(－1，0，3)， 所以∥，所以BF∥EC1， 又D1F∩BF＝F，DE∩EC1＝E， 所以平面BD1F∥平面C1DE. (2)由(1)可知平面BD1F与平面C1DE间的距离等于D1到平面C1DE的距离， 设平面C1DE的法向量n＝(x，y，z)， 由得所以 令x＝6，得n＝(6，－3，2)是平面C1DE的一个法向量． 又＝(0，2，0)， 所以D1到平面C1DE的距离为＝＝， 所以平面BD1F与平面C1DE间的距离为. 名师点睛 求平面与平面的距离，先证明平面与平面平行，再转化为点与平面的距离求解. 【迁移运用】 4. 如图所示，已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1是底面边长为1的正四棱柱．若点C到平面AB1D1的距离为，求正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高． 解： 设正四棱柱的高为h(h>0)，正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高h，即为上下两个平面之间的距离，建立如图所示的空间直角坐标系，有A(0，0，h)，B1(1，0，0)，D1(0，1，0)，C(1，1，h)， 则＝(1，0，－h)，＝(0，1，－h)，＝(1，1，0)， 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 取z＝1，得n＝(h，h，1)， 所以点C到平面AB1D1的距离为d＝， 解得h＝2. 故正四棱柱ABCD­A1B1C1D1的高为2. 1．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在α内，则P(－2，1，4)到平面α的距离为(　　 ) A．10 B．3 C． D． 解析：选D.因为A(－1，3，0)，P(－2，1，4)， 所以＝(－1，－2，4)， 又因为平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A在α内， 所以P(－2，1，4)到α的距离为. 2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)，则两平面间的距离是(　　 ) A． B． C． D．3 解析：选B.∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且两平面的一个法向量n＝(－1，0，1)， ∴两平面间的距离d＝. 3．已知直线l经过点A(2，3，1)，且向量n＝为l的一个单位方向向量，则点P(4，3，2)到l的距离为________． 解析：因为＝(－2，0，－1)，n＝为l的一个单位方向向量， ∴点P到l的距离d＝. 答案： 4．若三棱锥P­ABC的三条侧棱两两垂直，且满足PA＝PB＝PC＝1，则点P到平面ABC的距离是____________． 解析： 以P为坐标原点，分别以PA，PB，PC所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则P(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，1，0)， C(0，0，1)． 可以求得平面ABC的一个法向量为n＝(1，1，1)， 则d＝. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $