1.4 1.4.1 第3课时　空间中直线、平面的垂直-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，以向量法为核心工具，通过门框、国旗杆等生活实例抽象垂直关系，衔接方向向量与法向量知识，构建“问题导入-自主评测-例题解析-类题通法”的学习支架，帮助学生逐步掌握证明方法。 资料亮点在于以数学眼光观察现实情境，通过正六棱柱、圆锥等模型激发探究兴趣，用坐标法、基向量法培养数学思维，结合练习题强化数学语言表达。课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升逻辑推理与数学运算能力。

第3课时　空间中直线、平面的垂直　► 对应学生用书P34 学习目标　1.理解线面的位置关系与向量的联系，以培养数学抽象、直观想象能力．(重点)　2.能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直关系，以提升数学抽象、数学运算能力．(重点)　3.会用向量法判断并证明空间中的垂直关系，以提升逻辑推理能力．(重点、难点) 如图，装修用的门框，广场上竖立的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面等都展示了直线与直线垂直，直线与平面垂直，平面与平面垂直的形象． 问题1　如果一条直线l和一个平面α内的无数条直线都垂直，则直线l和平面α一定垂直吗？ 提示：不一定． 问题2　如果一条直线l和一个平面α内的两条相交直线都垂直，则直线l和平面α一定垂直吗？ 提示：一定． 问题3　如果向量n是平面α的法向量，则向量n和平面α内任意向量都一定垂直吗？ 提示：一定． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P31～32，分析思考：若一个平面内一条直线的方向向量与另一个平面的法向量共线，则这两个平面有怎样的位置关系？ 提示：这两个平面是垂直关系．直线l的方向向量与平面β的法向量共线，说明直线l垂直于平面β，又直线l在平面α内，所以平面α和平面β垂直． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)两个平面的法向量垂直是两个平面垂直的充要条件．(　　 ) (2)若两条直线的方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．(　　 ) (3)直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面垂直．(　　 ) (4)若一条直线的方向向量垂直于一个平面内两条直线的方向向量，则直线和平面垂直．(　　 ) 提示： (1)√　(2)×　(3)×　(4)× 　直线与直线垂直 小明利用纸盒折了一个正六棱柱，如图，根据正棱柱的定义可知AB⊥AE. 问题4　图中AE与CD，AB与CD 是什么位置关系？ 提示：AE∥CD，AB与CD是异面直线，且垂直． 问题5　如何用向量法证明AB与CD垂直？ 提示：证明直线AB，CD的方向向量的数量积为0. 设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 温馨提示 (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量互相垂直． (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. 例1　(链接教材：人A版教材P33练习T2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为A1C1的中点，求证：CE⊥BD. 证明： 方法一：坐标法．建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，C(0，1，0)，E，B(1，1，0)． 则＝(1，1，0)，＝， 所以＋0＝0， 所以⊥，所以DB⊥CE. 方法二：基向量法．；， 所以＝·＝－＝0. 所以⊥，所以DB⊥CE. 类题通法 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系→写出点的坐标→求直线的方向向量→证明向量垂直→得到两直线垂直．) 【迁移运用】 1. 如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.求证：AP⊥BC. 证明： 以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，分别以的方向为y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示． 则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，P(0，0，4)， 故＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)， ∴＝0×(－8)＋3×0＋4×0＝0，∴⊥，即AP⊥BC. 　直线与平面垂直 如图，这是绕直角三角形的一条直角边 OA 旋转一周形成的几何体(圆锥). 问题6　圆锥的旋转轴 OA 与底面上的任意一条直线是否垂直？为什么？ 提示：垂直，因为OA垂直于底面，所以OA垂直底面上的任意一条直线． 问题7　如何用向量法证明直线与平面垂直？ 提示：证明直线的方向向量与平面的法向量平行即可． 设直线 l 的方向向量为u，平面α的法向量为n，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn． 温馨提示 证明直线与平面垂直时，直线l的方向向量必须与平面α内两条相交直线的方向向量都垂直才可. 例2　(链接教材：人A版教材P32例4) 如图，直三棱柱ABC­A1B1C1的侧面BCC1B1为正方形，2AB＝BC＝2，E，F分别为AC，CC1的中点，BF⊥A1B1.证明：BF⊥平面A1B1E. 证明：因为三棱柱ABC­A1B1C1为直三棱柱，侧面BCC1B1为正方形， 所以BB1⊥AB，BB1⊥BC， 又因为BF⊥A1B1，AB∥A1B1， 所以BF⊥AB， 因为BB1∩BF＝B，BB1，BF⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥平面BCC1B1， 因为BC，BB1⊂平面BCC1B1， 所以AB⊥BC， 所以BA，BC，BB1两两垂直，以B为坐标原点，BA，BC，BB1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0，0，0)，F(0，2，1)，A1(1，0，2)，B1(0，0，2)，E，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，A(1，0，0)， 因为＝(0，2，1)·(－1，0，0)＝0，＝(0，2，1)·＝2－2＝0， 所以⊥⊥， 因为A1B1，A1E⊂平面A1B1E，A1B1∩A1E＝A1， 所以BF⊥平面A1B1E. 类题通法 证明线面垂直的方法 (1)基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (2)坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论． (3)法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后证明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．) 【迁移运用】 2. 如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC. 证明：方法一　设该正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系． 则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)． 所以＝(－a，－a，a)，＝(0，2a，2a)，＝(－2a，2a，0)． 因为＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)·0＋(－a)·2a＋a·2a＝0， ＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，所以EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， 所以EF⊥平面B1AC. 方法二　由方法一知＝(0，2a，2a)，＝(－2a，2a，0)． 设平面B1AC的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝2a(y＋z)＝0，m·＝－2a(x－y)＝0. 取x＝1，则y＝1，z＝－1，故m＝(1，1，－1)． 所以＝(－a，－a，a)＝－a(1，1，－1)＝－am. 所以∥m，所以EF⊥平面B1AC. 方法三　设＝b，连接BD(图略)，则＝＝＝(b＋c－a)．因为＝a＋b， 所以(b＋c－a)·(a＋b)＝(b2－a2)＝＝0， 所以⊥，即EF⊥AB1. 同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1，B1C⊂平面B1AC，所以EF⊥平面B1AC. 　 平面与平面垂直 铅垂线多用于建筑测量．用一条细绳一端系重物，在相对于地面静止时，这条绳所在直线就是铅垂线，又称重垂线．铅垂线的作用是判断物体是否与地面垂直． 问题8　为什么利用铅垂线能检查所砌墙面是否与地面垂直？ 提示：由于铅垂线总是垂直于水平面，根据垂线的性质可用铅垂线来检查所砌墙面是否垂直． 问题9　用向量法如何证明两个平面垂直？ 提示：证明两个平面的法向量的数量积为0即可． 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0． 例3　 (链接教材：人A版教材P33练习T3)如图，在四棱锥P­ABCD中，四边形ABCD为矩形，△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC. 证明：取AB的中点O，CD的中点M，连接OM，则OM⊥AB， 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，OM⊂平面ABCD， 所以OM⊥平面PAB， 又PA＝PB，所以PO⊥AB， 以点O为原点，OP，OB，OM所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设AP＝a，AD＝b，则A(0，－a，0)，B(0，a，0)，P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，－a，b)， 所以＝(0，0，b)，＝(a，a，0)，＝(0，0，b)，＝(a，－a，0)， 设n1＝(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量， n2＝(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量， 则由得 则z1＝0，令x1＝1，则y1＝－1，即n1＝(1，－1，0)， 同理则z2＝0， 令x2＝1，可得y2＝1，即n2＝(1，1，0)． 因为n1·n2＝1－1＝0， 所以平面PAD⊥平面PBC. 类题通法 利用空间向量证明面面垂直的两个途径 一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直； 二是直接求解两个平面的法向量，由两个法向量垂直，得面面垂直 【迁移运用】 3. 如图，在三棱锥P­ABC中，PA，PB，PC三条侧棱两两垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC. 证明： 如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点， 以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 设PA＝PB＝PC＝3， 则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)． 于是＝(3，0，0)，＝(1，0，0)， 故，所以PA∥FG. 因为AP⊥平面PBC，所以FG⊥平面PBC. 又因为FG⊂平面GEF， 所以平面GEF⊥平面PBC. 1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则(　　 ) A．l1∥l2 B．l1⊥l2 C．l1，l2相交但不垂直 D．不能确定 解析：选B.∵a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. 2．已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)三点，n＝(1，1，1)，则以n为方向向量的直线与平面ABC的位置关系是(　　 ) A．垂直 B．不垂直 C．平行 D．以上都有可能 解析：选A.由题意，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)，又n·＝0，所以以n为方向向量的直线与平面ABC垂直． 3．已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，则t的值为________. 解析：∵平面α与平面β垂直， ∴平面α的法向量u与平面β的法向量v互相垂直，∴u·v＝0，即－1·t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5. 答案：5 4．在三棱锥S­ABC中，∠SAB＝∠SAC＝∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝，则直线SC与BC是否垂直________．(填“是”或“否”) 解析： 如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC，AS所在直线分别为y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则由AC＝2，BC＝，得B，S，C(0，2，0)，＝＝.因为＝0，所以SC⊥BC. 答案：是 学科网（北京）股份有限公司 $