1.4 1.4.1 第1课时 空间中点、直线和平面的向量表示-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本讲义聚焦高中数学“空间向量的应用”，核心知识点为空间中点、直线和平面的向量表示，包括方向向量、法向量的概念及求法。通过从平面向量到空间向量的延伸，以基点和向量描述点的位置，用方向向量刻画直线，用法向量表示平面，构建逐步深入的学习支架，为后续位置关系研究奠定基础。 该资料以牌楼、信号塔等生活实例引入，培养数学眼光观察现实世界。通过问题链与自主评测引导推理，如“方向向量是否唯一”等，提升抽象能力与推理意识。例题结合几何体，类题通法规范表达，课中助教师引导探究，课后学生可借练习与总结查漏补缺，强化数学思维与语言运用。

1．4　 空间向量的应用 1．4.1　 用空间向量研究直线、平面的位置关系 第1课时　 空间中点、直线和平面的向量表示　► 对应学生用书P27 学习目标　1.了解空间中点、直线和平面的向量表示，以培养数学抽象能力．(重点)　2.掌握直线的方向向量、平面的法向量的概念，以提升数学抽象能力．(重点)　3.会求直线的方向向量与平面的法向量，以提升数学运算能力．(重点、难点) 牌楼，中国传统建筑之一．最早见于周朝，最初用于旌表节孝的纪念物，后来在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道均有建造，北京是中国牌楼最多的城市．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼曾作为多届世博会中国馆的门面建筑，吸引了世人的视线． 问题1　如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们会得到下边线与地面什么关系呢？ 提示：平行． 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P26～28，分析思考下面几个问题： (1)直线的方向向量如何确定？ 提示：(1)设l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向向量． (2)根据空间直线的向量表示式＝＋t，线段AB的中点M的向量表示式是什么？ 提示：＝＋. (3)一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？ 提示：不一定，两个定方向向量共线时不能确定，两个定方向向量不共线时能确定． (4)如果n为平面α的一个法向量，A，B为平面α内的两点，则n与有什么关系？ 提示：n⊥，即n·＝0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)直线l的方向向量a是唯一的．(　　 ) (2)直线l的方向向量a一定是单位向量．(　　 ) (3)平面α的所有法向量都平行．(　　 ) (4)若n是平面α的一个法向量，则λn(λ∈R)也是平面α的一个法向量．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　 空间中点的向量和直线的向量表示 信号塔是中国移动、中国联通、中国电信等网络运营商所建立的一种无线信号发射装置，外形像塔，所以叫作信号塔． 问题2　如何用向量表示塔顶P的位置？ 提示：在空间中取一定点O作为基点，空间中的任意一点P就可以用向量来表示． 问题3　在空间直角坐标系中如何确定点P的位置？ 提示：点P的位置用(x，y，z)表示． 1．设A是直线l上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点， (1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使得＝ta，即. (2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＋ta，即. 2．空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定． 温馨提示 (1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合． (2)与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　(1) 已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1，3)，且直线 l 过 A(0，y，3)和B(－1，2，z)两点，则y－z等于(　　 ) A．0 B．1 C． D．3 解析：选A.∵A(0，y，3)，B(－1，2，z)，∴＝(－1，2－y，z－3)， ∵直线l的一个方向向量为m＝(2，－1，3)，故设＝km. ∴解得∴y－z＝0. (2)在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1为正方体，棱长为1，则直线DD1的一个方向向量为________，直线BC1的一个方向向量为_________________________________________________________． 解析：因为DD1∥AA1，＝(0，0，1)， 故直线DD1的一个方向向量为(0，0，1)； 因为BC1∥AD1，＝(0，1，1)， 故直线BC1的一个方向向量为(0，1，1)． 答案：(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一) 名师点睛 求直线的方向向量就是求与该直线共线的向量. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，直线l的一个方向向量为(2x－1，x＋1，3)，则x的值为________. 解析：易知＝(2，4，6)，又直线l的一个方向向量为(2x－1，x＋1，3)，所以，解得x＝1. 答案：1 　空间中平面的向量表示 如图，设两条直线相交于点O，它们确定平面α，对应的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点． 问题4　点P在平面α内的充要条件是什么？ 提示：存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 问题5　平面α的法向量满足什么条件？ 提示：平面α的法向量n与平面α内的任意向量都垂直，如n⊥a，n⊥b. 问题6　如何选取平面的法向量？ 提示：平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量，即只需作一条垂直于平面的直线，选取该直线的方向向量即可． 1．如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb. 2．如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式． 3．空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4．如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P＝0}． 温馨提示 　 (1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量． (2)一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 例2　(链接教材：人A版教材P28例1)如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．∠CBA＝60°，建立适当的空间直角坐标系． (1)写出平面BDD1B1的一个法向量； (2)求平面OC1B1的一个法向量． 解：(1)因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形， 所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1， 所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O， 所以O1O⊥底面ABCD. 因为四棱柱的所有棱长都相等， 所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD. 又O1O⊥底面ABCD， 所以OB，OC，OO1两两垂直． 如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为∠CBA＝60°，所以OB＝，OC＝1， 所以O(0，0，0)，B1，C1(0，1，2). (1)平面BDD1B1的一个法向量为n＝(0，1，0). (2)设平面OC1B1的法向量为m＝(x，y，z)， 则m⊥，m⊥， 所以 取z＝－，则x＝2，y＝2， 所以m＝，即平面OC1B1的一个法向量为(2，2，－). 变式探究　1.(变结论)本例条件不变，分别求出平面A1BC和平面A1CD的法向量． 解：A1(0，－1，2)，B，C(0，1，0)，D. 所以＝(0，2，－2)，. 设平面A1BC的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 取x1＝，则y1＝z1＝3， 故n1＝，即平面A1BC的法向量为. 设平面A1CD的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 取x2＝，则y2＝z2＝－3， 故n2＝，即平面A1CD的法向量为. 2．(变条件和结论)本例中，将“四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都等于2”改为“四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等”，“∠CBA＝60°”改为“∠CBA＝90°”，设E，F分别是棱BC，CD的中点，分别求出平面AB1E、平面AD1F的一个法向量． 解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设此棱柱的棱长为1，则A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E，D1(0，1，1)，F＝(1，0，1)，＝(0，1，1)． 设平面AB1E的法向量为n1＝(x1，y1，z1)， 则即 令y1＝2，则x1＝－1，z1＝1， 所以n1＝(－1，2，1)，即平面AB1E的一个法向量为(－1，2，1)． 设平面AD1F的法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则即 令x2＝2，则y2＝－1，z2＝1， 所以n2＝(2，－1，1)，即平面AD1F的一个法向量为(2，－1，1)． 类题通法 　 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两个不共线向量，如. (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z). (3)联立方程组并求解． (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量. 1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　 ) A．(－3，0，－6) B．(9，0，－6) C．(－2，0，2) D．(－2，1，3) 解析：选B.＝(3，0，－2)＝(9，0，－6). 2．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则(　　 ) A．l∥α B．l⊥α C．l⊂α D．l与α斜交 解析：选B.由题知n＝－2a，故直线l⊥α. 3．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m等于________． 解析：∵l∥α，平面α的法向量为， ∴(2，m，1)·＝0， 即2＋m＋2＝0，∴m＝－8. 答案：－8 4．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC的一个法向量为________(写出一个正确的即可)． 解析：由已知可得＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3)． 设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)， 则即 不妨令x＝6，则y＝3，z＝2. 因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量． 答案：(6，3，2)(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $