1.3 1.3.1 空间直角坐标系-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

本高中数学讲义聚焦空间直角坐标系核心内容，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，以单位正交基底为支架，系统讲解坐标系建立、点与空间向量的坐标确定及点的对称问题，构建从几何直观到代数表示的知识链。 资料引用吴文俊先生观点凸显几何代数化意义，通过问题链引导学生类比推理，结合四棱锥、正方体等实例落实坐标运算，培养空间观念与推理意识。课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固方法，查漏补缺。

1．3　空间向量及其运算的坐标表示 1．3.1　空间直角坐标系　　　　　► 对应学生用书P19 学习目标　1.了解空间直角坐标系的建立过程．(重点)　2.掌握空间直角坐标系中点的坐标的确定，掌握空间向量的坐标表示．(重点、难点) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 我国著名数学家吴文俊先生在《数学教育现代化问题》中指出：“数学研究数量关系与空间形式，简单讲，就是讲形与数．欧几里德几何体系的特点是排除了数量关系……对于研究空间形式，你要真正腾飞，不通过数量关系，我想不出有什么好办法……” 问题1　 吴文俊先生明确地指出中学几何的“腾飞”是什么？ 提示：是“数量化”，也就是坐标系的引入，这使得几何问题“代数化”． 问题2　为了使得空间几何“代数化”，我们引入了什么？ 提示：为了使得空间几何“代数化”，我们引入了坐标及其运算． 【自主评测】 1．教材挖掘：(1)请认真阅读教材P16，说一说“空间直角坐标系有什么特征？”． 提示： x轴，y轴，z轴两两相交，互相垂直，且有相同的单位长度． (2)请认真阅读教材P17，在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点是否与有序实数组(x，y，z)之间存在唯一的对应关系？ 提示： 是，在给定的空间直角坐标系下，空间中任意一点，其坐标是唯一的有序实数组(x，y，z)；反之，对任意一个有序实数组(x，y，z)，空间中也有唯一的点与之对应． 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)在空间直角坐标系中，x轴上的点的坐标一定是(0，b，c).(　　 ) (2)空间直角坐标系中，点(1，，2)关于Oyz平面的对称点为(－1，，2).(　　 ) 提示：(1)×　(2)√ 　 空间直角坐标系 问题3　利用单位正交基底的概念，我们如何理解平面直角坐标系呢？ 提示：在平面内选定一点O和一个单位正交基底{i，j}，以O为原点，分别以i，j的方向为正方向、以它们的长度为单位长度建立两条数轴：x轴、y轴，那么我们就建立了一个平面直角坐标系．类似地，我们也可以建立一个空间直角坐标系． 1．空间直角坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. 2．右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．本书建立的坐标系都是右手直角坐标系． 温馨提示 (1)|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0. (2)画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°. 例1　(链接教材：人A版教材P18例1)(一题多解)如图所示，四棱锥D­OABC中，建立空间直角坐标系Oxyz，若OD＝2，OA＝4，OC＝6，M是BD的中点，求点M的坐标． [思路点拨] 构想 转化 反思 射影原理 点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3 点M的坐标是如何使用向量表示的 向量加减法 解：方法一：设点M在x轴，y轴，z轴上的射影分别为M1，M2，M3，它们在坐标轴上的坐标分别为2，3，1，所以点M的坐标是(2，3，1)． 类题通法 　 1．求空间中一点P的坐标方法 (1)利用点在坐标轴上的投影求解； (2)利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标(O为坐标原点). 2．在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标为(，，). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 1.已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标． 解：∵正四棱锥P­ABCD的底面边长为4，侧棱长为10， ∴正四棱锥的高为2. 以正四棱锥的底面中心为原点，平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2，－2，0)，B(2，2，0)，C(－2，2，0)，D(－2，－2，0)，P(0，0，2). 答案不唯一． 　空间向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底． 问题4　对于平面内的任意一个向量a都有且只有一对实数x，y，使得a＝xi＋yj，则向量a在平面直角坐标系中的坐标是什么？ 提示：向量a的坐标是有序数对(x，y). 问题5　如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量的坐标是什么？点A的坐标是什么？ 提示：(x，y，z)；(x，y，z). 1．点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk，则与对应的有序实数组(x，y，z)叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标． 2．向量的坐标 给定向量a，若＝a，则a＝xi＋yj＋zk，有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，记作a＝(x，y，z)． 温馨提示　坐标轴或某平面上点的坐标 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z) 点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z) 例2　(链接教材：人A版教材P18例1)棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱DD1，D1C1，BC的中点，以{}为正交基底，建立如图所示的坐标系，求下列向量的坐标： (1)； (2). 解：在正交基底{}下， (1)， 所以＝＝＝. (2)，所以＝； ，所以＝； ，所以＝. 类题通法 　 用坐标表示空间向量的步骤 　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 2.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点，试建立恰当的坐标系求向量的坐标． 解：法一　由题意知CC1⊥AC，CC1⊥BC，AC⊥BC，以点C为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系C­xyz，如图所示． ∴，∴的坐标为(1，－1，1)， 而， ∴的坐标为(1，－1，2)． 又∵， ∴的坐标为(－1，1，－2)． 法二　建系同法一，则B(0，1，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，2)，N(1，0，1)， ∴＝(1，－1，1)，＝(1，－1，2)，＝(－1，1，－2)． 　空间点的对称问题 中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．小红的奶奶是当地的剪纸高手，如图，这是她的剪纸作品． 问题6　这个剪纸图有什么特点？ 提示：这个剪纸图是轴对称图形． 问题7　点 A(1，2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是什么？ 提示：点A(1，2)关于x轴、y轴、原点的对称点分别是(1，－2)，(－1，2)，(－1，－2). 问题8　空间点的对称能类比平面上点的对称吗？ 提示：能． 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点的坐标如下表所示： P(a，b，c) 对称轴或对称中心 对称点坐标 x轴 (a，－b，－c) y轴 (－a，b，－c) z轴 (－a，－b，c) xOy平面 (a，b，－c) yOz平面 (－a，b，c) xOz平面 (a，－b，c) 坐标原点 (－a，－b，－c) 例3　(链接教材：人A版教材P18练习T2)在空间直角坐标系中，已知点P(－2，1，4). (1)求点P关于x轴对称的点的坐标； (2)求点P关于Oxy平面对称的点的坐标； (3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标． 解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4). (2)由点P关于Oxy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2，1，－4). (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点， 由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12， 所以P3的坐标为(6，－3，－12). 类题通法 　 空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解． (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”这个结论. 　　　　　　　　　　　　　　　 【迁移运用】 3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为________． 解析：点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2，3，1)，点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(－2，3，1)，点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2，－3，1). 答案：(2，－3，1) 　 1．已知点A(－3，0，－4)，点A关于原点的对称点为B，则点B的坐标是(　　 ) A．(3，0，－4) B．(－3，0，4) C．(－4，0，－3) D．(3，0，4) 解析：选D.因为点(x，y，z)关于原点的对称点坐标为(－x，－y，－z)，所以点A(－3，0，－4)关于原点的对称点B的坐标是(3，0，4). 2．在空间直角坐标系中，点P(－1，－2，－3)到平面Oyz的距离是(　　 ) A．1 B．2 C．3 D． 解析：选A.点到平面Oyz的距离就是点的横坐标的绝对值． 3．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为________． 解析：由空间向量坐标概念知a＝(2，－4，5)，b＝(1，2，－3). 答案：(2，－4，5)，(1，2，－3) 4．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是AD的中点，AB＝1，则向量的坐标为________________________________________________________． 解析：∵－k，∴. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $