第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版2019选择性必修第一册）

第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】由椭圆的一个焦点坐标是， 得椭圆的长轴在轴上，,,,. 又因为在椭圆中，， 所以. 故选：D 2．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 3．若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【解析】因为，关于轴对称，椭圆也关于轴对称， 所以，要么都在椭圆上，要么都不在椭圆上，而椭圆仅经过，，中的一个点， 所以椭圆经过，代入得，解得，所以椭圆的短轴长为. 故选：B. 4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【解析】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得且， 所以实数的取值范围是且. 故选：D 5．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对双曲线，可得其焦点在轴上，其坐标为. 设椭圆方程为，， 由题意，，所以. 所以椭圆方程为. 故选：B 6．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】直线与轴的交点为，与轴的交点为， 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为； 当抛物线的焦点在轴上时，可得焦点坐标为，此时抛物线的标准方程为. 故选：D 7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，不妨设在第一象限. 设，则, 由. 由. 所以椭圆的离心率. 故选：B 8．圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 【答案】C 【解析】A：根据题意可知直线如果存在斜率，斜率一定不为零， 由椭圆， 设直线的方程为， 于是有， ，设， ， ， 令， ， 对钩函数在上单调递增， 所以当时，对钩函数单调递增， 于是由， 所以，即， 所以当，面积有最大值为3，因此本选项不正确； B：因为， 所以 ， 即，当且仅当时取等号， 即当时，的最小值为，所以本选项不正确； C：因为过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M， 所以， 因为， 所以点M的轨迹是以为圆心，为半径的圆，其方程为，所以本选项正确； D：由上可知：， 所以， 因为A，B两点是椭圆上非长轴上顶点， 所以由椭圆的性质可知：， 所以没有最小值，故本选项不正确， 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 【答案】ABD 【解析】根据题意可以令方程为，曲线为单位圆， 可知方程表示的曲线为曲线的一部分，不正确. 假设命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为假命题， 则存在不在上的点，其坐标满足方程， 由题干可知“坐标满足方程的点都在曲线上” 即点在曲线上，与假设矛盾，故假设不成立， 即命题“不在上的点的坐标必不适合方程”为真命题，C正确. 故选：ABD. 10．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【解析】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D．的最小值为 【答案】ABD 【解析】由双曲线C的方程可知：，且焦点在x轴上， 则，双曲线的渐近线方程为，故B正确； 对于选项A：由双曲线的定义可得，故A正确； 对于选项C：当过M的直线与双曲线相切时，有两条直线与双曲线只有一个公共点； 当过M的直线与渐近线平行时，也有两条直线与双曲线只有一个公共点， 所以过M点且与双曲线只有一个公共点的直线有4条，故C错误； 对于选项D：由选项A可得：， 因为在双曲线的渐近线上方， 则， 当且仅当M，P，三点共线时，取得等号，故D正确. 故选：ABD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 【答案】 【解析】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 13．抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 【答案】 【解析】由抛物线方程可知，由抛物线的定义可得：，所以， 代入抛物线方程得，则. 故答案为：. 14．著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】 【解析】当时，，则曲线的方程为， 当时，，则曲线的方程为，即． 如图所示，为圆心角且， 故曲线所围成的封闭图形可分为三部分， 其面积为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 【解析】（1）依题意，所求方程的曲线是椭圆，设方程为， 由离心率，得，则， 由椭圆过点，得，联立解得， 所以所求曲线的标准方程为. （2）依题意，设双曲线方程为，而， 双曲线过点，则，解得， 所以双曲线的标准方程为. 16．（15分） 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 【解析】（1）设动点 因为线段PH的中点为M点，线段PH垂直x轴，H为垂足， 故 因为点P在圆上， 故，即， 故动点M的轨迹C的方程为： （2）直线l过原点且斜率为， 故直线l的方程为：， 故到直线l的距离：， 联立，得：，， 故， 故， 所以面积：. 17．（15分） 已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 【解析】（1）由已知，可得， 解得； （2）由已知，可得； 解得； （3）； 消去y，得 双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意： 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 18．（17分） 已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 【解析】（1）设圆方程为， ， 求出， 所以所求圆方程为； （2）不能， 设双曲线D方程为， 则，所以双曲线方程为， 若存在，由题易知直线斜率存在，设，且， 因为M、N在双曲线上， 所以，两式相减可得， 所以， 若点A为线段MN的中点， 则，即，代入上式， 所以，则直线l的斜率， 又由题知点P在直线上，且 所以不存在符合题意直线l， 综上，点A不是线段MN的中点 （3）设，直线BS方程为 则， 所以， 所以 得， 同理， 所以. 19．（17分） 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 【解析】（1）设直线的方程为， 代入得， 设点，则， 而线段中点纵坐标为4，则，解得， 故的方程为. （2）（i）法一：由（1），且， 则 所以. 法二：设直线方程为， 抛物线的方程可表示为， 由， 得 ， ， ， 直线的斜率为， ， . （ii）法一：如图，作出符合题意的图形， 由已知得， 设直线的方程为， 联立，可得， ， ， ， 整理得， 即， 当时，直线与直线重合，舍去 ，直线的方程， 直线过定点. 法二：由已知得， ， ， （舍）或， 直线的方程是， 直线过定点. 答案第14页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 圆锥曲线的方程单元综合测试 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知椭圆的一个焦点坐标是，则实数k的值是（    ） A．1 B．2 C． D．3 2．双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．若椭圆：（）仅经过，，中的一个点，则椭圆的短轴长为（   ） A．2 B．4 C． D． 4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．且 5．与双曲线有公共焦点，且短半轴长为2的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 6．已知某抛物线的顶点为坐标原点，焦点在直线上，则该抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．已知分别为椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．圆锥曲线具有丰富的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆反射后会经过另外一个焦点．设，分别是椭圆的左、右焦点，从焦点发出的光线先后经过椭圆上的A，B两点（非长轴上顶点）反射后回到焦点；过点作的外角的角平分线的垂线l，l交直线于点M，则下列说法正确的是（   ） A．面积的最大值为6 B．的最小值为 C．M的轨迹方程为 D．的最小值为8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知坐标满足方程的点都在曲线上，则下列结论不正确的是（    ） A．所表示的曲线是 B．曲线上的点的坐标都适合方程 C．不在上的点的坐标必不适合方程 D．不适合的点都不在上 10．已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为，点P为C的右支上任意一点，点，则下列结论中正确的是（    ） A． B．双曲线C的渐近线方程为 C．过点M且与双曲线C只有一个公共点的直线有1条 D．的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为 ， 13．抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，则 . 14．著名物理学家、数学家阿基米德利用“逼近法”，得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知平面内，曲线的方程为，则曲线所围成的封闭图形的面积为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，过点，离心率； (2)，经过点，焦点在轴上的双曲线； 16．（15分） 在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PH，H为垂足．当点P在圆上运动时，线段PH的中点为M．（当点P经过圆与x轴的交点时，规定定点M与P重合） (1)求动点M的轨迹C的方程； (2)已知，过原点且斜率为的直线l与曲线C交于E，F两点，求面积． 17．（15分） 已知双曲线C：（）. (1)若双曲线的离心率，求实数m的值； (2)若双曲线的离心率e的取值范围为，求实数m的取值范围； (3)直线与双曲线C相交于互异两点，设正数k为双曲线一条渐近线的斜率，求实数k的取值范围. 18．（17分） 已知，，三点 (1)求外接圆方程； (2)若过点的直线l与中心在原点，过B，C两点的双曲线D相交于M，N两点，A能否是线段MN的中点？请说明理由？ (3)S，T是双曲线D上的两个动点，且直线BS，BT的斜率互为相反数，证明直线ST的斜率为定值． 19．（17分） 已知抛物线，斜率为的直线交于两点，且线段中点纵坐标为4． (1)求抛物线的方程； (2)若直线不过点，且直线交于另一点，记直线的斜率为， （i）求证：； （ii）求证：直线过定点． 第2页，共5页 第1页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $