18.1.2分式的基本性质 课件-2025-2026学年人教版数学八年级上册

分式的基本性质 人教版八年级上册 1 复习回顾 一般地,用A、B表示两个整式, A÷B可以表示成 的形式，如果B中含有字母，那么称 为分式 . 其中A称为分式的分子，B称为分式的分母，对任意一个分式，分母都不能为零 . B ≠ 0 B = 0 分式 有意义： 分式 无意义： A = 0且B ≠ 0 分式 值为零： 2 分数的约分与通分 1.约分 约去分子与分母的最大公约数，化为最简分数. 2.通分 先找分子与分母的最简公分母，再使分子与分母同乘最简公分母，计算即可. 如果把分数换为分式，又会如何呢？ 复习回顾 导入新课 分数的 基本性质 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于零的数，分数的值不变. 　2.这些分数相等的依据是什么？ 1. 把3个苹果平均分给6个同学，每个同学得到几个苹果？ 探经历类比、归纳分式基本性质的过程，理解并掌握分式的基本性质； 能辨别最简分式，会运用分式的基本性质对分式进行化简； 积累探究代数方面性质的数学活动经验，培养符号意识和严谨的思维模式。 学 习 目 标 重点 难点 素养 课标要求 下列分数是否相等？ 　 这些分数相等的依据是什么？ 　　分数的基本性质. 　　相等. 分式的基本性质 知识点 1 问题1： 探究新知 分数的基本性质： 　　一个分数的分子、分母乘(或除以)同一个不为0的数，分数的值不变． 你能叙述分数的基本性质吗？ 问题2： 长方形个数 1 2 m m+n 总面积 总长 宽 2S 2a S a mS ma (m+n)S (m+n)a 示例： 分式的 基本性质 分母乘以x 分子乘以x 分母除以b2 分子除以b2 　　一般地，对于任意一个分数 有 其中a， b， c 是数． 你能用字母的形式表示分数的基本性质吗？ 问题3： 类比分数的基本性质，你能想出分式有什么性质吗？ 问题4： 分数的分子与分母同时乘以（或除以）一个不等于0的数，分数的值不变. 原因：分数的基本性质 即对于任意一个分数 有： 追问1 如何用式子表示分式的基本性质？ 其中A，B，C 是整式. 例 填空： （1） ， ； 【解析】（1）因为 的分母xy除以x才能化为y，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需要除以x，即. . 所以，括号中应填x2. x2     2x 例 填空： （2） ， . 【解析】（2）因为 的分母ab乘a才能化为a2b，为保证分式的值不变，根据分式的基本性质，分子也需乘a，即. 所以，括号中应填a.     a 2ab-b2 (1)分子、分母应同时做乘、除法中的同一种运算； (2)所乘(或除以)的必须是同一个整式； (3)所乘(或除以)的整式应该不等于零. 追问2　应用分式的基本性质时需要注意什么？ 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变. 上述性质可以用式子表示为： 其中A,B,C是整式. 结论 想一想: 运用分式的基本性质应注意什么? (1)“都” (2) “同一个” (3) “不为0” 例 下列等式成立吗？右边是怎样从左边得到的？ 解: (1)成立. 因为 所以 素养考点 分式的基本性质的应用 (2) 成立. 因为 所以 解：(1)正确．分子分母除以x ； (2)不正确．分子乘x，而分母没乘； (3)正确．分子分母除以(x -y)． (1) （2） （3） 下列变形是否正确？如果正确，说出是如何变形的？如果不正确，说明理由. 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1) ； (2) ；(3) ； (4) ． 解： 分式的分子、分母及分式的本身，任意改变其中的两个符号，分式的值不变；若只改变其中的一个或三个全变号，则分式的值变成原分式值的相反数． 结论 不改变分式的值，使下列分子与分母都不含“－”号. (1) (2) (3) 解：（1）原式= （2）原式= （3）原式= 做一做 下列等式的右边是怎样从左边得到的？ 解：（1）因为y≠0，所以. ； （2）因为x≠0，所以. . （1） ； （2） . 例 素养考点 分式的基本性质 方法总结 应用分式的基本性质的两个步骤及三点注意 (1)两个步骤:①观察分析:对式子进行观察、分析,比较变形前后分式的分子或分母发生了怎样的变化,找到同乘(或除以)的_________;  ②应用性质:根据分析的结果,应用分式的基本性质进行变形. 　整式　 (2)三点注意:①注意分式变形前后的值要_________;  ②注意分式的分子和分母要同乘或同除以,不能只对分子或只对分母进行变形; ③所乘(或除以)的整式不能为_______.  　相等　 　零　 填空： 知识点 2 约分 　　像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．经过约分后的分式如上例 ，其分子与分母没有公因式．像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式．　 观察上例中(1)中的两个分式在变形前后的分子、分母有什么变化？类比分数的相应变形，你联想到什么？ 分式的分子、分母约去公因式，值不变. 问题5： 方法总结 最简分式的标准是分子、分母中不含有公因式,不能再约分. 判断的方法是把分子、分母分解因式,并且观察有无互为相反数的因式,这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分. 在化简分式 时，小颖和小明的做法出现了分歧： 小颖： 小明： 你对他们俩的解法有何看法？说说看！ 一般约分要彻底, 使分子、分母没有公因式. 议一议： 结论 解： 素养考点 约分的应用 例 约分: 例 ， ； 思考 根据分数的约分，由例你能想出如何对分式进行约分吗？ 约分的定义： 像这样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 最简分式的定义： 像这样分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式． 约分的方法： ①如果分式的分子、分母都是单项式，直接约去分子、分母的公因式； ②如果分子或分母是多项式，就要先对多项式进行因式分解，以便找出分母、分子的公因式，最后约分. ③约分结果为最简分式或整式. 归纳总结 注意事项： （1）约分前后分式的值要相等. （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式. （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 化简分式时，通常要使结果成为最简分式或整式. 解： 分式的化简 素养考点 例 化简下列分式: 下列分式中，是最简分式的是:　　　 (填序号). (2) (4) 解： 约分： 方法总结 关于约分的三点说明： (1)根据:分式的基本性质. (2)关键:确定分式分子与分母的公因式. 确定公因式的步骤: ①确定系数,取分子与分母系数的最大公约数; ②确定字母(因式),取分子与分母中都含有的字母(因式); ③确定字母(因式)的次数,都含有的字母(因式)的指数取次数最低的. (3)结果:最简分式或整式. 通分 知识点 3 填空： 分母乘以2ac，根据分式的基本性质，分子也乘以2ac. 分母乘以3b，根据分式的基本性质，分子也乘以3b，整理得6ab-3b2 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 1. 通分的依据是什么？ 2. 通分的关键是什么？ 3. 如何确定n个分式的公分母？ 分式的基本性质：分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变. 确定各分式的最简公分母. 一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母. 想一想 思考 根据分数的通分，由例你能想出如何对分式进行通分吗？ 通分的定义： 像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分. 例 ， ； 为通分，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫最简公分母. 最简公分母 各分母是单项式 3m的因式有3，m；2m2n的因式有2，m2，n。 6 m2 n 示例： 各分母中有多项式 x-y的因式有x-y；2x-2y的因式有2，x-y。 分母可分解因式为2（x-y） 最简公分母 2 （x-y） 解:(1)最简公分母是2a2b2c. (2)最简公分母是(x + 5)(x－5). 例 通分： 素养考点 通分的应用 1. 通分的步骤 ①确定最简公分母，②化异分母分式为同分母分式. 2.确定最简公分母的方法 (1)分母为单项式：①取各分母系数的最小公倍数，②相同字母取次数最高的，③单独出现的字母连同它的指数一起作为最简公分母的一个因式. (2)分母为多项式：①把各分母分解因式，②把每一个因式看做一个整体，按系数、相同因式、不同因式这三方面依分母是单项式的方法确定最简公分母. 归纳总结 通分： 解：(3)最简公分母是 (3) ， ， 已知=3，则代数式 的值是(　　) . A． B． C． D. 解析：∵ =3，∴ =3，∴x﹣y=﹣3xy. 则原式= = = = . D 链接中考 我们一起来 吧! 1.化简 的结果是( ) A. B. C. D. 基础巩固题 D D 2.下列说法中，错误的是( ). A. 与 通分后为 . B. 与 通分后为 与 的最简公分母为m2-n2 的最简公分母为ab(x-y)(y-x) 4.分式 可变形为(　 　) D 3.已知 =______.  5．小明在化简分式 时是这样做的： 原式 （第一步） （第二步）. 他的解法对吗？如果正确，请说明每一步的依据； 如果不正确，错在哪一步？请说明原因. 答：解法不对 错在第一步 分子与分母所乘的不是同一个不为零的整式. 1. 已知 则 的值是( ). A. B. – C.2 D. –2 能力提升题 D 2.化简： = ． x+3 3.化简： x-y+1 4.已知: 求代数式 的值. 解:设t= ≠0,则. x=2t①　y=3t②　z=4t③ 将①②③代入代数式 得. 所以,代数式 的值是 . 5.已知y=3xy+x,求代数式 的值. 解:因为y=3xy+x,所以x-y=-3xy. 当x-y=-3xy时, 已知x2-4xy+4y2=0,那么分式 的值等于多少? 解:∵x2-4xy+4y2=0,∴(x-2y)2=0,∴x=2y. 故分式 的值等于 拓广探索题 分式的基本性质 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 内容 作用 注意事项 分式约分和通分的依据. （1）都乘或除以（不是加或减）； （2）同一个；（3）不为零；（4）整式。 课堂小结 分式的约分与通分 约分 通分 内容 找公因式的方法 （1）找系数的最大公约数； （2）找分子分母相同因式的最低次幂； （3）两者的乘积即为公因式. 把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式。 把一个分式的分子与分母的公因式约去。 内容 确定最简公分母的方法 从系数、相同因式、不同因式三个方面确定，注意多项式要先分解因式。 课堂小结 必做作业：从教材习题中选取； 选做作业：完成练习册本课时的习题. 谢 谢 再 见 下课了! 58 谢谢观看 初中数学人教版八年级上册 Equinox Nicholas Gunn The Sacred Fire 262470.03 XXX - 酷我音乐 $