4.2.1（2）等差数列的性质及应用课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、通项公式及性质，通过知识回顾衔接旧知，结合自学指导引导学生自主探究性质，构建从基础理解到实际应用的学习支架，帮助学生逐步深化对知识点的掌握。 其亮点在于融入体育场座位、古代日晷等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过小组互助和变式训练发展数学思维，教师点拨精准突破性质难点，助力学生提升逻辑推理能力，也为教师教学提供高效实用的资源。

人教A版 选择性必修 第二册 4.2.1等差数列的概念 第四章 数列 1.等差数列的概念： 2.等差中项 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 3.等差数列的通项公式 an= a1＋(n－1)d. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . 知识回顾 2 1.能应用等差数列解决实际应用问题； 2.能灵活运用等差数列的性质解决问题. 学习目标 问题1：等差数列的性质。 问题2：通项公式中“下标和”性质。 自学指导 阅读课本16--17页，完成以下问题： 教师点拨 d= 的几何意义是(n,an),(m,am)两点连线的斜率为d. 等差数列的性质 练习 1.若一个等差数列{an}中,a2=3,a7=6,则其公差d为(　　) 小组互助 A 2.已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75. 24 1. 某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用an表示第n排的座位数吗? 第10排有多少个座位? n an O • 1 5 6 9 12 15 18 • 2 • • • • 3 4 6 3 课本P17 由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 d cd 2d pd＋qd′ 教师点拨 若下标成等差数列,则数列am,am+k,am+2k,am+3k,…成等差数列, 公差为kd(m,k∈N*) 等差数列的性质 练习 已知数列{an}是等差数列,公差d=2,则数列{a3n}的公差为　　　　　.  6 小组互助 小组互助 B 例1(1)在等差数列{an}中,a2=-5,a6=a4+6,则a1等于(　　) A.-9 B.-8 C.-7 D.-4 (2)设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项的值为(　　) A.0 B.37 C.100 D.-37 C 小组互助 变式1 (1)若等差数列{an}的公差为2,则数列{3an-2}的公差为(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 (2)已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a19-b19=16, 则a10-b10的值为(　　) A.-6 B.6 C.0 D.11 D D 3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n . 课本P18 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 课本P18 教师点拨 等差数列的“下标和”性质 若数列{an} 是公差为d等差数列，则 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq 反之不成立; 特别地，若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=2ap 等式两边和的项数必须相同. 练习 已知数列{an}是等差数列,a2+a10=8,则a5+a7=   8 小组互助 小组互助 例2 在公差为d的等差数列{an}中, (1)若a2+a3+a23+a24=48,求a13; (2)若a2+a3+a4+a5=34,a2·a5=52,求d. 小组互助 变式2 在等差数列{an}中,若a2+a8=10,则(a4+a6)2-2a5=(　　) A.100 B.90 C.95 D.20 B 例3 假设某市2015年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增加50万平方米.那么从哪一年开始,该市每年新建住房面积大于820万平方米? 小组互助 小组互助 变式3 我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度．《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同．二十四个节气及晷长变化如图所示．相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始．从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为(　　) A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5 C 解：设冬至的日影长为a1，公差为d，则 a1＋a4＋a7＝31.5，a3＋a6＋a9＝25.5 →a1＝13.5，d＝－1 2．由等差数列衍生的新数列：若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 d cd 2d pd＋qd′ 课后反思 课后作业 完成课后训练P.6 A. B. C.- D.- 数列 结论 {c＋an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为_______的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为________的等差数列(p，q为常数) 数列 结论 {c＋an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为_______的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为_______的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为________的等差数列(p，q为常数) 1. 若数列{an}是公差为d的等差数列，则具有以下性质： (1) an＝am＋(n－m)d，d＝(n≠m). (2) 若m＋n＝s＋t，则am＋an＝as＋at． 特别地，若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap(以上m, n, s, t, p∈N*). $