4.2.1等差数列的概念 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念、等差中项及通项公式，通过天坛石板数、女装尺码等4个现实实例导入，引导学生观察“从第二项起每项与前项差为常数”的规律，结合知识回顾中数列的递推公式与前n项和，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过探究推导通项公式发展数学思维，用规范符号语言强化数学语言表达。小组互助与多样练习促进应用，助力学生从具体到抽象理解概念，提升探究能力，也为教师提供结构清晰、素材实用的教学支持。

人教A版 选择性必修 第二册 4.2.1等差数列的概念 第四章 数列 1.数列的递推公式： 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 2.数列{an}的前n项和 （1）Sn=a1+a2+…+an 知识回顾 2 1.理解等差数列的概念； 2.掌握等差数列的通项公式及运用； 3.掌握等差数列的判定方法. 学习目标 问题1：等差数列的概念。 问题2：等差中项。 问题3：等差数列的通项公式。 自学指导 阅读课本12--14页，完成以下问题： 1. 北京天坛圜丘坛的地面有十板布置，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的示板数依次为 9,18,27,36,45,54,63,72,81 ① 2. S, M, L, XL, XXL, XXXL型号的女装上对应的尺码分别是 38,40,42,44,46,48 ② 3. 测量某地垂直地面方向上海拔500米以下的大气温度，得到从距离地面20米起每升高100米处的大气温度(单位°C)依次为 25, 24.4, 23.8, 23.2, 22.6 ③ 4.某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年，如果个人贷款月利率为r，那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b( =a/12n)元，每月支付给银行的利息(单位:元)依次为 ar, ar-br, ar-2br, ar-3br, ... ④ 思考 上述4个数列的取值规律是什么？有何共同点？ 从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数. 我们把具有这种取值规律的数列称为等差数列. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 等差数列的符号语言： an－an-1 = d (d是常数, n≥2且n∈N*)或an+1－an = d (d是常数, n∈N*) 注意： 1. 判断一个数列是不是等差数列，主要是由定义进行判断，即判定an+1-an 是不是同一个常数. 2. 公差d是每一项(从第2项起)与它的前一项的差，而且公差可以是正数，负数，也可以为0. 教师点拨 等差数列的概念 练习 判断对错： 1. 常数列是等差数列. ( ) 2. 若一个数列从第2项起每一项与前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列. ( ) 差都是同一个常数. 3. 数列{an}满足an＋1－an＝1(n＞1)，则数列{an}是等差数列. ( ) {an}不一定是等差数列，忽略了第1项. √ × × 小组互助 由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列. 这时，A叫做a与b的等差中项. 根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b . 教师点拨 等差中项 练习 方程x2+6x+1=0的两根的等差中项为(　　) A.1 B.6 C.-6 D.-3 D 小组互助 1. 判断下列数列是否是等差数列. 如果是，写出它的公差. 2. 求下列各组数的等差中项: 课本P15 探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 设一个等差数列{an}的首项为a1, 公差为d, 根据等差数列的定义, 可得 an+1－an = d 等差数列的递推公式 所以 a2－a1 = d， a3－a2 = d， a4－a3 = d，‧ ‧ ‧ 于是 a2= a1＋d， a3= a2＋d = (a1＋d)＋d = a1＋2d ， a4= a3＋d = (a1＋2d)＋d = a1＋3d ， ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ an= a1＋(n－1)d，(n≥2) 当n=1时，a1= a1＋(1－1)d = a1 ，也就是说，上式当n=1时也成立. 这时，我们把an= a1＋(n－1)d称为等差数列{an}的通项公式. (2)等差数列与一次函数的关系：an=f(n)=a1+(n-1)d =nd+(a1-d) ①公差d≠0的等差数列{an}的图象是点(n, an)组成的集合, 这些点均匀分布在直线f(x)＝dx＋(a1－d)上. (1) 等差数列通项公式的一般形式： 首项为a1, 公差为d的等差数列{an}的通项公式为 an= a1＋(n－1)d. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . ②等差数列{an}的单调性与公差d有关. 当d>0时，等差数列{an}为递增数列； 当d＝0时，等差数列{an}为常数列； 当d<0时，等差数列{an}为递减数列． 教师点拨 等差数列的通项公式 练习 已知等差数列{an}的首项a1=4,公差d=-2,则通项公式an=(　　) A.4-2n B.2n-4 C.6-2n D.2n-6 C 小组互助 小组互助 例1 (1)若数列{an}的通项公式an=2n+5,则此数列(　　) A.是公差为2的递增等差数列 B.是公差为5的递增等差数列 C.是首项为7的递减等差数列 D.是公差为2的递减等差数列 (2)判断下列数列是不是等差数列,并给出证明. ①an=4-2n; ②an=n2+n. A 小组互助 变式1(1)(多选题)下列通项公式所表示的数列中,是等差数列的是(　 　) A.an=2 B.an=8-3n C.an=log37n D.an=n2-3n ABC (2)判断下列数列是不是等差数列. ①5,8,11,…,3n+2,…; ②1,1,1,1,…; ③-3,-2,-1,1,2,3,4,…. 例2 (1) 已知等差数列{an}的通项公式为an＝5－2n，求{an}公差和首项; (2) 求等差数列 8，5，2，···的第20项. 小组互助 例3 －401是不是等差数列－5，－9，－13， ···的项？如果是，是第几项？ 小组互助 变式2 已知在等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这个数列的项？如果是，是第几项？ 小组互助 3. 已知{an}是一个等差数列，请在下表中的空格处填入适当的数. 4. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4. a1 a3 a5 a7 d －7 8 2 －6.5 0.5 15.5 3.75 15 －11 －24 课本P15 5. 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列. 小组互助 例4(1)已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a5=(　　) A.1 B.2 C.3 D.6 B (2)在等差数列{an}中,已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d. (3)在等差数列{an}中,已知a1=2,a5=10,an=32,求n的值. 小组互助 变式3 在等差数列{an}中,a5=9,且2a3=a2+6,则a1=(　　) A.-3 B.-2 C.0 D.1 A 小组互助 B 例5(1)已知等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为(　　) A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 (2)已知三个数成等差数列并且数列是递增的,且它们的和为18,平方和为116,求这三个数. 当三个数或四个数成等差数列,且和为定值时,可设出首项a1和公差d列方程组求解,也可采用对称的设法. 三个数时,设a-d, a, a+d 四个数时,设a-3d, a-d, a+d, a+3d 教师点拨 小组互助 A B 练习 已知数列{an}的通项公式an=4n-1,n∈N*. (1)求log2a2,log2a3; (2)求证:数列{log2an}是等差数列. 小组互助 1.等差数列的概念： 2.等差中项 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列. 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 3.等差数列的通项公式 an= a1＋(n－1)d. an＝am＋(n－m)d (n,m∈N*) . 课后反思 26 课后作业 完成课后训练P.4 (2)an= 数列{an}为等差数列⇔an=(n≥2). 解：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则an＝a1＋(n－1)d， 由已知，得解得 所以an＝－23＋(n－1)×4＝4n－27， 令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45，45∈N*， 所以153是数列{an}的第45项． 变式4 (1)已知a=,b=,则a,b的等差中项为(　　) A. B. C. D. (2)若lg a,lg b,lg c成等差数列,则(　　) A.b= B.b2=ac C.2b=ac D.2lg b=lg(a+c) $