4.1（1）数列的概念与通项公式 课件-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦数列的概念、分类、通项公式及与函数的关系。课堂导入结合王芳身高、月亮可见部分等现实情境，知识回顾圆锥曲线衔接旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于通过小组互助、教师点拨及例题变式，培养数学眼光（抽象现实问题为数列）、数学思维（对比数列与集合元素性质）、数学语言（用通项公式表达规律）。实例丰富如例3由前4项写通项，助力学生理解应用，教师可直接使用结构化资源提升教学效率。

人教A版 选择性必修 第二册 4.1数列的概念 第四章 数列 知识回顾 1.圆锥曲线的定义与方程 2.圆锥曲线的图象与性质 1.掌握数列的概念,了解数列的分类； 2.掌握数列的通项公式,理解数列与函数之间的关系. 学习目标 问题1：数列及其有关概念。 问题2：数列的分类。 问题3：数列的通项公式。 自学指导 阅读课本2--4页，完成以下问题： 在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.例如: 1. 王芳从1岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据(单位: cm)依次排成一列数: 75, 87, 96, 103, 110, 116, 120, 128, 138, 145, 153, 158, 160, 162, 163, 165, 168 ① 这一列数是身高按岁数从1到17的顺序排列得到的，它们之间不能交换位置. 所以，①是具有确定顺序的一列数. 2. 在两河流域发掘的一块泥版上， 有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数: 5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240 ② 这一列数按日期从1到15的顺序排列得到的，同样它们之间也不能交换位置. 所以，②也是具有确定顺序的一列数. 这时我们就把具有确定顺序的一列数称为数列. 教师点拨 数列的概念 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示······第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示，其中第1项也叫做首项. 数列的一般形式是 a1，a2，a3，…，an，…. (n∈N*) 简记作{an} . 思考 {an} 与an的意思一样吗？ {an}表示一个数列：a1，a2，a3，…，an，…. ； an表示数列{an}中的第n项. 数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系: 序号 1 2 3 ··· n ··· 项 a1 a2 a3 ··· an ··· 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1, 2, ··· , n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an ，记为an = f(n). 以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数. 与函数类似，我们可以定义数列的单调性： 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列； 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列； 特别地，各项都相等的数列叫做常数列. 教师点拨 数列的分类 1. 以项的个数分类： (1) 有穷数列： (2) 无穷数列： 2. 以项的变化趋势分类： (1) 递增数列： (2) 递减数列： (3) 常 数 列： (4) 摆动数列： 各项都相等的数列； 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 项数有限的数列； 项数无限的数列. 对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0). 对任意n∈N*，总有an+1<an (或an+1-an<0). 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列. 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列. 小组互助 练习 (多选题)下列叙述不正确的是(　　) A.数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列 B.数列0,1,2,3,…可以表示为{n}(n∈N*) C.数列0,1,0,1,…是常数列 ABC 小组互助 例1 (1)已知下列数列: ①4 012,4 016,4 020,4 024; 其中有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　　,递减数列是　　　　　.(填序号)  (2)下列说法正确的有　　　　　个.  ①数列2,4,6,8可以表示为{2,4,6,8}; ②数列1,2,3,5与5,3,2,1是相同的数列; ③-1,1,-1,1,…是常数列. ① ②③④ ① ② 0 教师点拨 数列中的项的特点与集合中元素的性质的比较 (1)确定性:一个数是或不是某一数列中的项是确定的,集合中的元素也具有确定性. (2)可重复性:数列中的数可以重复,而集合中的元素不能重复出现(即互异性). (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列顺序有关,而集合中的元素没有顺序(即无序性). (4)数列中的每一项都是数,而集合中的元素还可以是除数字外的其他事物. 小组互助 变式1 下列说法哪些是正确的?哪些是错误的?并说明理由. (1){0,1,2,3,4}是有穷数列; (2)所有自然数能构成数列; (3)-3,-1,1,-3,5,7,1,11是一个项数为6的数列; (4)数列1,2,3,4,…,2n是无穷数列. √ × × × 教师点拨 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式，简称通项. 例如数列：1, 4, 9, 16, ···的通项公式是 填空：(1) 2，4， ，16，32， ，128，… ，通项公式为________; 注意：①通项公式的主要作用是“知序号可求项”如：数列{n2}的第11项是121. ②一些数列的通项公式不是唯一的；如：数列1，-1，1，-1，… ③不是每一个数列都能写出它的通项公式. 如：1，24，8，3，19 思考 数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有通项公式吗？ 为什么？ 小组互助 练习 观察下列数列的特点,用适当的一个数填空: 3 小组互助 例2 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图象. 1. 写出下列数列的前10项，并作出它们的图象: (1) 所有正整数的倒数按从大到小的顺序排列成的数列; (2) 当自变量x依次取1, 2, 3, ‧‧‧时，函数f(x) =2x +1的值构成的数列; 课本P5 2. 根据数列{an }的通项公式填表: n 1 2 ‧‧‧ 5 ‧‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧ n an ‧‧‧ ‧‧‧ 153 ‧‧‧ 273 ‧‧‧ 3(3+4n) 21 33 69 12 22 3. 除数函数(divisor function) y=d(n)(n∈N*)的函数值等于n的正因数的个数, 例如, d(1)=1, d(4)=3. 写出数列d(1), d(2) , ‧‧‧, d(n), ‧‧‧的前10项. 课本P5 例3 根据下列数列的前4 项，写出数列的一个通项公式: 小组互助 常见数列通项公式求法： (1)常见数列：正整数列，奇数列，偶数列，平方数列等直接写通项公式； (2) 分数列：观察分子、分母的特点后写通项公式； (3) 指数数列：观察底数、指数的特点后写通项公式； (4) 各项符号一正一负： 小组互助 变式2 根据下列数列的前4项,写出数列的一个通项公式: (1)1,3,5,7,…; (5)3,33,333,3 333,…; (6)-1,0,-1,0,…. (3)0.9,0.99,0.999,0.999 9,…; (4)3,5,3,5,…. 4. 根据下列数列的前5项，写出数列的一个通项公式: 课本P5 例4 如果数列{an}的通项公式为an=n2+2n，那么120是不是这个数列的项? 如果是，是第几项? 小组互助 小组互助 变式3 已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－28n. (1) 写出此数列的第4项和第6项； (2) －49是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？68是否是该数列中的一项？如果是，应是哪一项？ 小组互助 例5 已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n-5, (1)写出它的前三项; (2)判断数列{an}的单调性. 小组互助 变式4 已知数列{an}的通项公式为an= ,求数列{an}中的最大项与最小项. 通项公式 数列的概念 表示方法 分类 列表 图象 项数 有穷数列 无穷数列 递增 数列 递减 数列 摆动 数列 常 数列 大小 函数 数列 课后反思 27 课后作业 完成课后训练P.2 D.数列(n∈N*)是递增数列 ②1,,…,,…; ③1,-,…,,…; ④1,0,-1,…,sin,…. 1,,　　　　　,,….  (2)-,-,-,-,…; (3)2,5,10,17,…; (4)-,-,…; (1)-1,,-,…; (2),3,,…; 解：(1) a4＝－64，a6＝－60. (2) 由3n2－28n＝－49，得n＝7或n＝(舍去)， ∴－49是该数列中的项，是第7项． 由3n2－28n＝68，得n＝－2或n＝，均不合题意， ∴68不是该数列中的项． $